\documentclass[11pt,reqno]{article}%{amsart}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\tolerance 10000
\usepackage{mathrsfs} 
\sloppy
\usepackage{amsthm}
\theoremstyle{theorem}
\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{proposition}[theorem]{Предложение}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
\newtheorem{condition}[theorem]{Условие}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Следствие}

\theoremstyle{definition}
\newtoks\thehDefinition
\newtheorem*{Definition}{\the\thehDefinition}
\newenvironment{defin}[1]{\thehDefinition{#1}\begin{Definition}}{\end{Definition}}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Пример}
\newtheorem{remark}[theorem]{Замечание}

\numberwithin{equation}{section}

\theoremstyle{plain}
\newtoks\thehProclaim
\newtheorem*{Proclaim}{\the\thehProclaim}
\newenvironment{proclaim}[1]{\thehProclaim{#1}\begin{Proclaim}}{\end{Proclaim}}

\theoremstyle{definition}
\newtoks{\thehRemark}
\newtheorem*{Remark}{\the\thehRemark}
\newenvironment{rem}[1]{\thehRemark{#1}\begin{Remark}}{\end{Remark}}

\providecommand{\keywords}[1]{\textbf{{Ключевые слова:}} #1}
\setcounter{tocdepth}{1}

\DeclareMathOperator*{\esssup}{ess\,sup}

\textwidth=370pt
\textheight=526pt

\usepackage{tikz}  
\begin{document}

\title{Усреднение периодических параболических систем по $L_2(\mathbb{R}^d)$-норме при учете корректора\footnote{Представлено Т.~А. Суслиной.}\;\,\footnote{Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, грант №14-21-00035.}}
\author{Ю. М. Мешкова \footnote{Лаборатория им. П.~Л. Чебышева, Санкт-Петербургский государственный университет, 14 линия В.~О., дом 29Б, Санкт-Петербург 199178 Россия.  E-mail: {\tt{y.meshkova@spbu.ru}, \tt{juliavmeshke@yandex.ru}}. }}

\maketitle
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay] 

    \node[anchor=north east,inner sep=18pt,text width=8cm] at (current page.north east)
       {
       Препринт Санкт-Петербургского
       
        математического общества 
       
 Выложен 21 сентября 2018 
 
  Доступен на сайте 
  
  \url{http://www.mathsoc.spb.ru/preprint/}
}; 
\end{tikzpicture}
\nopagebreak

\begin{abstract}
\noindent
В пространстве $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряженный матричный эллиптический дифференциальный оператор $\mathcal{B}_\varepsilon$, $0<\varepsilon \leqslant 1$, второго порядка. Старшая часть оператора задана в факторизованной форме, оператор включает члены первого и нулевого порядков. Оператор $\mathcal{B}_\varepsilon$ положительно определен, его коэффициенты периодичны и зависят от $\mathbf{x}/\varepsilon$. В работе изучается поведение в пределе малого периода операторной экспоненты $e^{-\mathcal{B}_\varepsilon t}$, $t\geqslant 0$. Для нее получена аппроксимация по $(L_2\rightarrow L_2)$-операторной норме с оценкой погрешности порядка $O(\varepsilon ^2)$. В этой аппроксимации учтен корректор. Результаты применяются к усреднению решений задачи Коши для параболических систем.
\end{abstract}

\keywords{периодические дифференциальные операторы, параболические системы, усреднение, операторные оценки погрешности. }

\tableofcontents

\section*{Введение}
\addcontentsline{toc}{section}{Введение}

Исследование относится к теории усреднения периодических дифференциальных операторов (ДО). Задачам усреднения посвящена обширная литература; см., например, книги \cite{BaPa,BeLP,ZhKO,Sa}. Мы опираемся на спектральный подход к задачам усреднения, основанный на теории Флоке-Блоха и аналитической теории возмущений и развитый в цикле работ М.~Ш.~Бирмана и Т.~А.~Суслиной \cite{BSu0,BSu,BSu05-1,BSu05,BSu06}. Значительная часть построений проводится в абстрактных теоретико-операторных терминах.

\subsection{Постановка задачи} Изучается усреднение в пределе малого периода решений задачи Коши для параболических систем вида
\begin{equation}
\label{Introduction Cauchy problem}
\begin{cases}
G(\mathbf{x}/\varepsilon )\partial _s\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},s)=-\mathcal{B}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},s),\quad\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d,\;s>0;\\
G(\mathbf{x}/\varepsilon)\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\phi}(\mathbf{x}),\quad\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d .
\end{cases}
\end{equation}
Здесь $\boldsymbol{\phi}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, $\mathcal{B}_\varepsilon$ --- матричный эллиптический ДО второго порядка, действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. Измеримая $(n\times n)$-матрица-функция $G(\mathbf{x})$ предполагается ограниченной, равномерно положительно определенной и периодической относительно некоторой решетки $\Gamma \subset \mathbb{R}^d$. Коэффициенты оператора $\mathcal{B}_\varepsilon$ --- $\Gamma$-периодические функции, зависящие от $\mathbf{x}/\varepsilon$. Для всякой измеримой $\Gamma$-периодической функции $\varphi (\mathbf{x})$, $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d$, будем пользоваться обозначением $\varphi ^\varepsilon (\mathbf{x})=\varphi (\mathbf{x}/\varepsilon)$.

Старшая часть $\mathcal{A}_\varepsilon$ оператора $\mathcal{B}_\varepsilon$ задана в факторизованной форме
\begin{equation}
\label{Introduction A_eps}
\mathcal{A}_\varepsilon =b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D}),
\end{equation}
где $b(\mathbf{D})$ --- матричный однородный ДО первого порядка, $g(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая ограниченная и положительно определенная матрица-функция в $\mathbb{R}^d$. (Точные условия на коэффициенты оператора $\mathcal{B}_\varepsilon$ приведены ниже в \S\ref{Section Pervaritel'nye svedeniya}.) Оператор $\mathcal{B}_\varepsilon$ включает члены первого и нулевого порядков:
\begin{equation}
\label{Introduction hat-B-eps}
\mathcal{B}_\varepsilon \textbf{u} 
=\mathcal{A}_\varepsilon \textbf{u}
+\sum \limits _{j=1}^d\left(a_j^\varepsilon(\textbf{x})D_j\textbf{u}
+D_j(a_j^\varepsilon (\textbf{x}))^*\textbf{u}\right)
+\mathcal{Q}^\varepsilon (\textbf{x})\textbf{u}+\lambda \textbf{u}.
\end{equation}
Здесь $a_j(\mathbf{x})$, $j=1,\dots,d$, --- $\Gamma$-периодические $(n\times n)$-матрицы-функции из подходящего пространства $L_\varrho$ на ячейке $\Omega$ решетки $\Gamma$. Потенциал $\mathcal{Q}^\varepsilon (\mathbf{x})$ --- вообще говоря, обобщенная функция со значениями в классе эрмитовых матриц, порожденная некоторой быстро осциллирующей мерой. (Так как коэффициенты не предполагаются гладкими, строгое определение оператора \eqref{Introduction hat-B-eps} дается через квадратичную форму.) Постоянная $\lambda$ выбирается так, чтобы оператор $\mathcal{B}_\varepsilon$ был положительно определен. Коэффициенты оператора $\mathcal{B}_\varepsilon$ быстро осциллируют при $\varepsilon \rightarrow 0$. 

Старший член аппроксимации решения задачи \eqref{Introduction Cauchy problem} при малом $\varepsilon $ получен в \cite{M_AA}:
\begin{equation}
\label{Introduction principal tterm of approx u-eps}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,s)-\mathbf{u}_0(\cdot ,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_1\varepsilon (s+\varepsilon ^2)^{-1/2}e^{-C_2 s}\Vert \boldsymbol{\phi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad s\geqslant 0.
\end{equation} 
Здесь $\mathbf{u}_0$ --- решение ,,усредненной'' задачи
\begin{equation*}
\begin{cases}
\overline{G}\partial _s \mathbf{u}_0(\mathbf{x},s)=-\mathcal{B}^0\mathbf{u}_0(\mathbf{x},s),\quad \mathbf{x}\in\mathbb{R}^d,\;s>0;
\\
\overline{G}\mathbf{u}_0(\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\phi}(\mathbf{x}),\quad\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d,
\end{cases}
\end{equation*}
где $\mathcal{B}^0$ --- \textit{эффективный оператор }с постоянными коэффициентами, $\overline{G}$ --- среднее значение матрицы $G$ по ячейке периодов: $\overline{G}=\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega G(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}$. В случае, когда $G(\mathbf{x})=\mathbf{1}_n$, оценка \eqref{Introduction principal tterm of approx u-eps} допускает очевидную запись в операторных терминах:
\begin{equation*}
\Vert e^{-\mathcal{B}_\varepsilon s}-e^{-\mathcal{B}^0 s}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant  C_1\varepsilon (s+\varepsilon ^2)^{-1/2}e^{-C_2 s}.
\end{equation*}
Поэтому результаты такого сорта принято называть \textit{операторными оценками погрешности} в теории усреднения. 
(В общем случае приходится иметь дело с ,,окаймленной'' экспонентой $f^\varepsilon e^{-(f^\varepsilon )^*\mathcal{B}_\varepsilon f^\varepsilon s}(f^\varepsilon )^*$, где $G^{-1}=ff^*$, причем матрица-функция $f$ предполагается $\Gamma$-периодической.) 

\textit{Цель работы} --- уточнить аппроксимацию \eqref{Introduction principal tterm of approx u-eps} за счет введения \textit{корректора}. Иными словами, при фиксированном времени $s>0$ приблизить решение $\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,s)$ задачи \eqref{Introduction Cauchy problem} по $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$-норме c оценкой погрешности порядка $O(\varepsilon ^2)$. 

\subsection{Основные результаты} Во введении ограничимся обсуждением случая $G(\mathbf{x})=\mathbf{1}_n$. 
\textit{Основной результат работы} --- оценка
\begin{equation}
\label{Introduction Main Result}
\Vert e^{-\mathcal{B}_\varepsilon s}-e^{-\mathcal{B}^0s}-\varepsilon \mathcal{K}(\varepsilon ,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant
C_3\varepsilon ^2 (s+\varepsilon ^2)^{-1}e^{-C_2 s},\quad s>0.
\end{equation}
Здесь $\mathcal{K}(\varepsilon ,s)$ --- корректор. Оказывается, что он является суммой трех членов, причем два члена корректора взаимно сопряжены и содержат быстро осциллирующие множители. Третье слагаемое не содержит переменных коэффициентов. 

\subsection{Операторные оценки погрешности: обзор} Интерес к операторным оценкам погрешности возник в связи с работой М.~Ш.~Бирмана и Т.~А.~Суслиной \cite{BSu0}, где для резольвенты оператора \eqref{Introduction A_eps} была установлена оценка
\begin{equation}
\label{Introduction res A-eps principal}
\Vert (\mathcal{A}_\varepsilon +I)^{-1}-(\mathcal{A}^0 +I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C\varepsilon .
\end{equation}
Здесь $\mathcal{A}^0=b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})$ --- эффективный оператор, $g^0$ --- постоянная эффективная матрица. Аппроксимация оператора $(\mathcal{A}_\varepsilon +I)^{-1}$ при учете корректора найдена в \cite{BSu05}:
\begin{equation}
\label{Introduction res A-eps L2-corrector}
\Vert (\mathcal{A}_\varepsilon +I)^{-1}-(\mathcal{A}^0 +I)^{-1} -\varepsilon K(\varepsilon)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C\varepsilon ^2.
\end{equation}
Приближение резольвенты $(\mathcal{A}_\varepsilon +I)^{-1}$ по энергетической норме получено в \cite{BSu06}:
\begin{equation}
\label{Introduction res A-eps H1-corrector}
\Vert (\mathcal{A}_\varepsilon +I)^{-1}-(\mathcal{A}^0 +I)^{-1} -\varepsilon K_1(\varepsilon)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C\varepsilon .
\end{equation}
Здесь $K_1(\varepsilon)$ соответствует традиционному корректору в теории усреднения. Этот оператор содержит быстро осциллирующие множители, поэтому $\varepsilon\Vert K_1(\varepsilon)\Vert _{L_2\rightarrow H^1}=O(1)$. Отметим, что корректор в \eqref{Introduction res A-eps L2-corrector} имеет вид $K(\varepsilon)=K_1(\varepsilon )+K_1(\varepsilon )^* +K_3$, причем $K_3$ от $\varepsilon$ не зависит. 
Впоследствии оценки \eqref{Introduction res A-eps principal}--\eqref{Introduction res A-eps H1-corrector} были обобщены Т.~А.~Суслиной \cite{Su10,Su14} на более широкий класс операторов \eqref{Introduction hat-B-eps}.

К параболическим системам спектральный метод применялся в работах Т.~А.~Суслиной \cite{Su04,Su07}, где был найден старший член аппроксимации оператора $e^{-\mathcal{A}_\varepsilon s}$, Е.~С.~Василевской \cite{V}, где установлено приближение при учете корректора по операторной норме в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, а также в \cite{Su_MMNP}, где получено приближение экспоненты по энергетической норме:
\begin{align}
\label{Introduction exp-A-eps principal}
&\Vert e^{-\mathcal{A}_\varepsilon s}-e^{-\mathcal{A}^0s}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon (s+\varepsilon ^2)^{-1/2},\quad s\geqslant 0;
\\
\label{Introduction Vasilevskaya}
&\Vert e^{-\mathcal{A}_\varepsilon s}-e^{-\mathcal{A}^0s}-\varepsilon \mathcal{K}(\varepsilon ,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon ^2 (s+\varepsilon ^2)^{-1},\quad s\geqslant 0;
\\
\label{Introduction exp-A-eps H1}
&\Vert e^{-\mathcal{A}_\varepsilon s}-e^{-\mathcal{A}^0s}-\varepsilon \mathcal{K}_1(\varepsilon ,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon (s^{-1/2}+s^{-1}),\quad s\geqslant \varepsilon ^2.
\end{align}
В этих оценках нет экспоненциального убывания по времени, поскольку операторы $\mathcal{A}_\varepsilon$ и $\mathcal{A}^0$ имеют краем спектра точку нуль. Обобщение оценок \eqref{Introduction exp-A-eps principal} и \eqref{Introduction exp-A-eps H1} на оператор \eqref{Introduction hat-B-eps} получено в работе автора \cite{M_AA}. Обобщение оценки \eqref{Introduction Vasilevskaya} --- основной результат настоящей работы.

\textit{Другой подход} к получению операторных оценок погрешности в теории усреднения был предложен В.~В.~Жиковым \cite{Zh1} и развит им совместно с С.~Е.~Пастуховой \cite{ZhPas,ZhPAs_parabol}. Метод, названный авторами \textit{,,методом сдвига''} или \textit{,,модифицированным методом первого приближения''}, основан на введении в задачу дополнительного параметра --- сдвига на вектор из $\mathbb{R}^d$, тщательном анализе первого приближения к решению и последующем интегрировании по параметру сдвига. Важную роль играет использование сглаживания по Стеклову. В работах \cite{Zh1,ZhPas} получены аналоги оценок \eqref{Introduction res A-eps principal}, \eqref{Introduction res A-eps H1-corrector} для операторов акустики и теории упругости. К параболическим задачам метод сдвига применялся в \cite{ZhPAs_parabol}, где установлены аналоги неравенств \eqref{Introduction exp-A-eps principal} и \eqref{Introduction exp-A-eps H1}. Изложение дальнейших результатов В.~В.~Жикова, С.~Е.~Пастуховой и их учеников можно найти в обзоре \cite{ZhPasUMN}.

До сих пор обсуждались операторные оценки погрешности для операторов, действующих во всем пространстве $\mathbb{R}^d$. Для полноты изложения отметим, что изучение операторов, действующих в ограниченной области 
$\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$, более традиционно для теории усреднения. Операторные оценки погрешности для таких задач изучались многими авторами. Выделим, в частности, работы \cite{MoV,Gr1,Gr2,ZhPas,KeLiS,SuMatematika,Xu3,GeSh}. 
(Более подробный обзор результатов по операторным оценкам погрешности для задач в ограниченной области можно найти во введении к работе \cite{MSu}.)

\subsection{Метод исследования} Обсудим случай $G=\mathbf{1}_n$. Используя масштабное преобразование, мы сводим доказательство оценки \eqref{Introduction Main Result} к доказательству аналогичной оценки для операторной экспоненты $e^{-\mathcal{B}(\varepsilon) \varepsilon ^{-2} s}$, где $\mathcal{B}(\varepsilon)$ --- оператор в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, заданный дифференциальным выражением
\begin{equation*}
\mathcal{B}(\varepsilon)=b(\mathbf{D})^*g (\mathbf{x}) b(\mathbf{D})
+\varepsilon\sum _{j=1}^d (a_j(\mathbf{x})D_j+D_ja_j(\mathbf{x})^*)+\varepsilon ^2\mathcal{Q}(\mathbf{x})+\varepsilon ^2 \lambda I.
\end{equation*}
Таким образом, от изучения экспоненты от оператора с быстро осциллирующими коэффициентами мы переходим к изучению поведения при больших значениях времени экспоненты от оператора, коэффициенты которого зависят от $\mathbf{x}$, а не от $\mathbf{x}/\varepsilon$.

С помощью теории Флоке-Блоха оператор $\mathcal{B}(\varepsilon)$ раскладывается в прямой интеграл операторов $\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon)$, действующих в пространстве $L_2(\Omega ;\mathbb{C}^n)$ и зависящих от параметра $\mathbf{k}\in\mathbb{R}^d$ (квазиимпульса). Формально оператор $\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon)$ задан выражением
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon) 
&=b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^*g(\mathbf{x}) b(\mathbf{D}+\mathbf{k})
+\varepsilon\sum _{j=1}^d \left( a_j(\mathbf{x}) (D_j+k_j)+(D_j+k_j)a_j(\mathbf{x})^*\right)
\\
&+\varepsilon ^2\mathcal{Q}(\mathbf{x})+\varepsilon ^2\lambda I
\end{split}
\end{equation*}
с периодическими граничными условиями. Спектр операторов $\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon)$ дискретен. Следуя \cite{Su10,Su14}, мы выделяем одномерный параметр \break$\tau =(\vert \mathbf{k}\vert ^2 +\varepsilon ^2)^{1/2}$ и изучаем семейство $\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon)$ методами аналитической теории возмущений по параметру $\tau$. 


\subsection{Структура работы} Работа состоит из введения и трех глав. В главе~1 (\S\ref{Section Predvaritelnye svedenia}--\ref{Section bordered exp abstract}) излагается абстрактная теоретико-операторная схема. В главе~2 (\S\ref{Section Pervaritel'nye svedeniya}--\ref{Section f exp B(eps) f*}) изучаются периодические ДО. Получена аппроксимация ,,окаймленной'' операторной экспоненты (в \S\ref{Section f exp B(eps) f*}). Глава~3 (\S\ref{Section main results in operator terms}--\ref{Section Example}) посвящена усреднению решений задачи Коши для параболических систем. В \S\ref{Section main results in operator terms} из результатов \S\ref{Section f exp B(eps) f*} с помощью масштабного преобразования выводится основной результат работы --- оценка \eqref{Introduction Main Result}. В \S\ref{Section Homogenization of parabolic systems} результаты в операторных терминах применяются к усреднению решений параболических систем. В \S\ref{Section Example} рассматривается пример --- скалярный эллиптический оператор.

\subsection{Обозначения}
Пусть $\mathfrak{H}$, $\mathfrak{H}_*$ --- комплексные сепарабельные гильбертовы пространства. Символами $(\,\cdot\, ,\,\cdot\,)_\mathfrak{H}$ и $\Vert \,\cdot\,\Vert _\mathfrak{H}$ обозначим скалярное произведение и норму в $\mathfrak{H}$; символом $\Vert \,\cdot\,\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}_*}$ обозначим норму линейного непрерывного оператора из $\mathfrak{H}$ в $\mathfrak{H}_*$.
 
Через $\langle \,\cdot\, ,\,\cdot\,\rangle$ и $\vert \,\cdot\,\vert$ обозначим соответственно скалярное произведение и норму в $\mathbb{C}^n$, через $\mathbf{1}_n$ -- единичную $(n\times n)$-матрицу. Если $a$ --- $(m\times n)$-матрица, то символ $\vert a\vert$ означает норму матрицы $a$ как оператора из $\mathbb{C}^n$ в $\mathbb{C}^m$. 
Используем обозначения $\mathbf{x}=(x_1,\dots , x_d)\in\mathbb{R}^d$, $iD_j=\partial _j =\partial /\partial x_j$, $j=1,\dots,d$, $\mathbf{D}=-i\nabla=(D_1,\dots ,D_d)$. Классы $L_p$ вектор-функций в области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ со значениями в $\mathbb{C}^n$ обозначаем через $L_p(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, $1\leqslant p\leqslant \infty$. Классы Соболева $\mathbb{C}^n$-значных функций в области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ обозначаются через $H^s(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$.  При $n=1$ пишем просто $L_p(\mathcal{O})$, $H^s(\mathcal{O})$ и т. д., но, если это не ведет к недоразумениям, мы применяем такие упрощенные обозначения и для пространств вектор-функций или матричнозначных функций. Символ $L_p((0,T);\mathfrak{H})$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, означает $L_p$-пространство $\mathfrak{H}$-значных функций на интервале $(0,T)$.

Различные постоянные в оценках обозначаются символами ${c, C,  \mathfrak{C}, \mathscr{C}}$ 
(возможно, с индексами и значками).


\subsection{} Автор выражает благодарность Т. А. Суслиной за постановку задачи и внимательное чтение рукописи и администрации лаборатории им.~П.~Л.~Чебышева, стимулировавшей завершение данного исследования.

\section*{Глава 1. Абстрактная схема}
\addcontentsline{toc}{section}{Глава 1. Абстрактная схема}

\section{Предварительные сведения}

\label{Section Predvaritelnye svedenia}

Материал пунктов \ref{Subsubsection operator pencils}--\ref{Subsection threshold approximations}  заимствован из \cite{Su10,Su13}.

\subsection{Операторы $X(t)$ и $A(t)$} 
\label{Subsubsection operator pencils}
Пусть $\mathfrak{H}$, $\mathfrak{H}_*$ --- комплексные сепарабельные гильбертовы пространства. Пусть $X_0 :\mathfrak{H}\rightarrow \mathfrak{H}_*$ --- плотно определенный замкнутый оператор, и пусть оператор $X_1 :\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}_*$ ограничен. На области определения $\mathrm{Dom}\,X(t)=\mathrm{Dom}\,X_0$ зададим оператор 
\begin{equation}
\label{X(t) in S1}
X(t):=X_0+tX_1:\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}_*,\quad t\in\mathbb{R}.
\end{equation}
Рассмотрим семейство самосопряженных в $\mathfrak{H}$ неотрицательных операторов
\begin{equation}
\label{A(t)=}
A(t):=X(t)^*X(t),\quad t\in\mathbb{R},
\end{equation}
порожденное замкнутой в $\mathfrak{H}$ квадратичной формой $\Vert X(t)u\Vert ^2_{\mathfrak{H}_*}$, $u\in\mathrm{Dom}\,X_0$. 
Обозначим $A(0)=X_0^*X_0=:A_0$. Положим
\begin{equation*}
\mathfrak{N}:=\mathrm{Ker}\,A_0=\mathrm{Ker}\,X_0,\quad \mathfrak{N}_*:=\mathrm{Ker}\,X_0^*.
\end{equation*}
Через $P$ обозначим ортогональный проектор пространства $\mathfrak{H}$ на $\mathfrak{N}$, а через $P_*$ --- ортопроектор $\mathfrak{H}_*$ на $\mathfrak{N}_*$.

Наложим следующее условие.
\begin{condition}
\label{Condition lambda0}
Точка $\lambda _0=0$ изолирована в спектре оператора $A_0$, причем
\begin{equation*}
0<n:=\mathrm{dim}\,\mathfrak{N}<\infty,\quad n\leqslant n_*:=\mathrm{dim}\,\mathfrak{N}_*\leqslant\infty .
\end{equation*}
\end{condition}

\textit{Через $d^0$ обозначим расстояние от точки нуль до остального спектра оператора $A_0$.}

\subsection{Операторы $Y(t)$ и $Y_2$}

\label{Subsection Y(t) i Y2}

Пусть $\widetilde{\mathfrak{H}}$ --- еще одно сепарабельное гильбертово пространство. Пусть $Y_0: \mathfrak{H}\rightarrow\widetilde{\mathfrak{H}}$ --- плотно определенный линейный оператор такой, что $\mathrm{Dom}\,X_0\subset \mathrm{Dom}\,Y_0$, а $Y_1 :\mathfrak{H}\rightarrow\widetilde{\mathfrak{H}}$ --- ограниченный линейный оператор. Положим $Y(t)=Y_0+tY_1$, $\mathrm{Dom}\,Y(t)=\mathrm{Dom}\,Y_0$. Будем считать выполненным следующее условие.

\begin{condition}
\label{Condition Y(t)}
Найдется постоянная $c_1>0$ такая, что
\begin{equation}
\label{Cond Y(t)u<=}
\Vert Y(t)u\Vert _{\widetilde{\mathfrak{H}}}\leqslant c_1\Vert X(t)u\Vert _{\mathfrak{H}_*},\quad u\in\mathrm{Dom}\,X_0,\quad t\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\end{condition}

Из оценки \eqref{Cond Y(t)u<=} при $t=0$ вытекает, что $\mathrm{Ker}\,X_0\subset\mathrm{Ker}\,Y_0$, т. е. $Y_0P=0$.

Пусть $Y_2:\mathfrak{H}\rightarrow \widetilde{\mathfrak{H}}$ --- плотно определенный линейный оператор, причем $\mathrm{Dom}\,X_0\subset\mathrm{Dom}\,Y_2$. Предположим, что справедливо следующее условие.

\begin{condition}
\label{Condition Y2}
Для любого $\nu >0$ существует число $C(\nu)>0$ такое, что
\begin{equation*}
\Vert Y_2 u\Vert ^2 _{\widetilde{\mathfrak{H}}}\leqslant \nu \Vert X(t)u\Vert ^2_{\mathfrak{H}_*}
+C(\nu)\Vert u\Vert ^2 _\mathfrak{H},\quad u\in\mathrm{Dom}\,X_0,\quad t\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\end{condition}

\subsection{Форма $\mathfrak{q}$}

\label{Subsection form g abstract scheme}

Пусть в пространстве $\mathfrak{H}$ задана плотно определенная эрмитова полуторалинейная форма $\mathfrak{q}[u,v]$, причем $\mathrm{Dom}\,X_0\subset \mathrm{Dom}\,\mathfrak{q}$. Наложим следующее условие.

\begin{condition}
\label{Condition q}
$1^\circ$. Существуют такие постоянные $c_2\geqslant 0$, $c_3\geqslant 0$, что
\begin{equation*}
\begin{split}
\vert \mathfrak{q}[u,v]\vert\leqslant (c_2\Vert X(t)u\Vert ^2_{\mathfrak{H}_*}+c_3\Vert u\Vert ^2_\mathfrak{H})^{1/2}(c_2\Vert X(t)v\Vert ^2_{\mathfrak{H}_*}+c_3\Vert v\Vert ^2_\mathfrak{H})^{1/2},
\\
u,v\in\mathrm{Dom}\,X_0,\quad t\in\mathbb{R}.
\end{split}
\end{equation*}

$2^\circ$. Существуют такие постоянные $0<\kappa\leqslant 1$ и $c_0\in\mathbb{R}$, что
\begin{equation*}
\mathfrak{q}[u,u]\geqslant -(1-\kappa)\Vert X(t)u\Vert ^2 _{\mathfrak{H}_*}-c_0\Vert u\Vert ^2_\mathfrak{H},\quad u\in\mathrm{Dom}\,X_0,\quad t\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\end{condition}

\subsection{Оператор $B(t,\varepsilon)$}

\label{Subsection B(t,eps) abstract}

Пусть $\varepsilon\in (0,1]$. 
В пространстве $\mathfrak{H}$ рассмотрим эрмитову полуторалинейную форму
\begin{equation}
\label{b}
\begin{split}
\mathfrak{b}(t,\varepsilon)[u,v]
&=(X(t)u,X(t)v)_{\mathfrak{H}_*}+\varepsilon\left( (Y(t)u,Y_2v)_{\widetilde{\mathfrak{H}}}+(Y_2u,Y(t)v)_{\widetilde{\mathfrak{H}}}\right)
\\
&+\varepsilon ^2\mathfrak{q}[u,v],\quad u,v\in\mathrm{Dom}\,X_0.
\end{split}
\end{equation}

Используя условия \ref{Condition Y(t)}, \ref{Condition Y2}, \ref{Condition q}, легко установить оценки
\begin{align}
\mathfrak{b}(t,\varepsilon)[u,u]&\leqslant (2+c_1^2+c_2)\Vert X(t)u\Vert ^2 _{\mathfrak{H}_*}+(C(1)+c_3)\varepsilon ^2\Vert u\Vert ^2_\mathfrak{H},\quad u\in\mathrm{Dom}\,X_0,
\nonumber
\\
\label{frac b(t,e)>=}
\mathfrak{b}(t,\varepsilon)[u,u] &\geqslant \frac{\kappa}{2} \Vert X(t)u\Vert ^2_{\mathfrak{H}_*}-(c_0+c_4)\varepsilon ^2\Vert u\Vert ^2 _\mathfrak{H},\quad u\in\mathrm{Dom}\,X_0.
\end{align}
Здесь 
\begin{equation}
\label{c4}
c_4=4\kappa ^{-1}c_1^2C(\nu)\quad\mbox{при}\quad\nu=\kappa ^2(16 c_1^2)^{-1}.
\end{equation}
Подробный вывод этих неравенств можно найти в \cite[п. 1.4]{Su10}. Таким образом, форма $\mathfrak{b}(t,\varepsilon)$ замкнута и полуограничена снизу.

Самосопряженный оператор в пространстве $\mathfrak{H}$, отвечающий форме \eqref{b}, обозначим через $\mathfrak{B}(t,\varepsilon)$. Формально,
\begin{equation*}
\mathfrak{B}(t,\varepsilon)=A(t)+\varepsilon (Y_2^*Y(t)+Y(t)^*Y_2)+\varepsilon ^2Q.
\end{equation*}
Здесь $Q$ --- формальный объект, который мы сопоставляем в этой записи форме $\mathfrak{q}$.

Пусть $Q_0:\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}$ --- ограниченный положительно определенный оператор. 
 Добавляя величину $\lambda Q_0$ к $Q$, будем считать, что оператор
\begin{equation}
\label{B(t,eps) ne mathfrak}
B(t,\varepsilon):=\mathfrak{B}(t,\varepsilon)+\lambda \varepsilon ^2 Q_0 =A(t)+\varepsilon (Y_2^*Y(t)+Y(t)^*Y_2)+\varepsilon ^2(Q+\lambda  Q_0),
\end{equation}
отвечающий форме
\begin{equation}
\label{b(t,eps) forma which >0}
b(t,\varepsilon)[u,v]:=\mathfrak{b}(t,\varepsilon)[u,v]+\lambda\varepsilon^2 (Q_0 u,v)_\mathfrak{H},\quad u,v\in\mathrm{Dom}\,X_0,
\end{equation}
положительно определен. Для этого наложим на $\lambda$ ограничение
\begin{equation}
\label{lambda condition}
\begin{split}
\lambda &>\Vert Q_0^{-1}\Vert (c_0+c_4),\quad\mbox{если }\lambda\geqslant 0,
\\
\lambda &>\Vert Q_0\Vert ^{-1}(c_0+c_4),\quad\mbox{если }\lambda<0\quad (\mbox{и }c_0+c_4<0).
\end{split}
\end{equation}
Условие \eqref{lambda condition} обеспечивает выполнение неравенства 
\begin{equation}
\label{lambda Q0 form >=}
\lambda (Q_0u,u)_{\mathfrak{H}}\geqslant (c_0+c_4+\beta)\Vert u\Vert ^2 _{\mathfrak{H}},\quad u\in\mathfrak{H},
\end{equation}
где $\beta >0$ определено по числу $\lambda$ следующим образом:
\begin{equation}
\label{beta condition}
\begin{split}
\beta &=\lambda \Vert Q_0^{-1}\Vert ^{-1}-c_0-c_4,\quad\mbox{если }\lambda\geqslant 0,
\\
\beta &=\lambda \Vert Q_0\Vert -c_0-c_4,\quad\mbox{если }\lambda<0 \quad (\mbox{и }c_0+c_4<0).
\end{split}
\end{equation}
Из \eqref{frac b(t,e)>=} и \eqref{lambda Q0 form >=} вытекает оценка снизу для формы \eqref{b(t,eps) forma which >0}:
\begin{equation}
\label{b (t,eps)>=}
b(t,\varepsilon)[u,u]\geqslant \frac{\kappa}{2}\Vert X(t)u\Vert ^2 _{\mathfrak{H}_*}+\beta \varepsilon ^2\Vert u\Vert ^2_\mathfrak{H},\quad u\in\mathrm{Dom}\,X_0.
\end{equation}
Таким образом, $B(t,\varepsilon)>0$. Оператор $B(t,\varepsilon)$ --- основной объект исследования в главе~1.

\subsection{Переход к параметрам $\tau$, $\vartheta$}

\label{Subsection to parameters tau and vartheta}

Семейство $B(t,\varepsilon)$ представляет собой аналитическое операторное семейство относительно параметров $t$ и $\varepsilon$. Если $t=\varepsilon=0$, то оператор $B(0,0)$ совпадает с $A_0$ и в силу условия~\ref{Condition lambda0} имеет изолированное собственное значение $\lambda _0=0$ кратности $n$. Хочется воспользоваться аналитической теорией возмущений. Однако при $n>1$ мы имеем дело с кратным собственным значением и двумерным параметром. Аналитическая теория возмущений непосредственно неприменима. Поэтому мы выделяем одномерный параметр $\tau =(t^2+\varepsilon ^2)^{1/2}$. При этом приходится следить за зависимостью от дополнительных параметров $\vartheta _1=t\tau ^{-1}$ и $\vartheta _2 =\varepsilon\tau ^{-1}$. Отметим, что вектор $\vartheta =(\vartheta _1,\vartheta _2)$ принадлежит единичной окружности. Оператор $B(t,\varepsilon)$ будем теперь обозначать через $B(\tau;\vartheta)$, а соответствующую форму $b(t,\varepsilon)$ через $b(\tau;\vartheta)$. Согласно \eqref{b} и \eqref{b(t,eps) forma which >0} эта форма имеет вид 
\begin{equation*}
\begin{split}
b(\tau;\vartheta)[u,v]&=
(X_0u,X_0v)_{\mathfrak{H}_*}+\tau\vartheta _1 \left( (X_0u,X_1v)_{\mathfrak{H}_*}+(X_1u,X_0v)_{\mathfrak{H}_*}\right)
\\
&+\tau ^2 \vartheta _1 ^2 (X_1 u,X_1v)_{\mathfrak{H}_*}+\tau\vartheta _2 \left( (Y_0u,Y_2v)_{\widetilde{\mathfrak{H}}}+(Y_2u,Y_0v)_{\widetilde{\mathfrak{H}}}\right)
\\
&+\tau ^2\vartheta _1\vartheta _2\left((Y_1u,Y_2v)_{\widetilde{\mathfrak{H}}}+(Y_2u,Y_1v)_{\widetilde{\mathfrak{H}}}\right)
\\
&+\tau ^2\vartheta _2 ^2 \left(\mathfrak{q}[u,v]+\lambda (Q_0u,v)_{\mathfrak{H}}\right),
\quad u,v\in\mathrm{Dom}\,X_0.
\end{split}
\end{equation*}
Формально,
\begin{equation*}
\begin{split}
B(\tau;\vartheta)&=X_0^*X_0+\tau\vartheta _1(X_0^*X_1+X_1^*X_0)+\tau ^2 \vartheta _1 ^2 X_1^*X_1
\\
&+\tau\vartheta _2(Y_2^*Y_0+Y_0^*Y_2)+\tau ^2 \vartheta _1\vartheta _2(Y_2^*Y_1+Y_1^*Y_2)
+\tau ^2\vartheta _2^2(Q+\lambda Q_0).
\end{split}
\end{equation*}

Пусть $F(\tau;\vartheta;\mu)$ --- спектральный проектор оператора $B(\tau;\vartheta)$, отвечающий отрезку $[0,\mu]$. Фиксируем постоянную $\delta\in (0,\kappa d^0/13)$, а затем выберем число $\tau _0>0$ такое, что
\begin{equation}
\label{tau 0 in abstract scheme}
\tau _0\leqslant \delta ^{1/2}\left(
(2+c_1^2+c_2)\Vert X_1 \Vert ^2 +C(1)+c_3+\vert \lambda\vert \Vert Q_0\Vert
\right)^{-1/2}.
\end{equation}
Как проверено в \cite[предложение 1.5]{Su10}, при $\vert\tau\vert \leqslant\tau _0$ выполнено 
\begin{equation*}
F(\tau;\vartheta;\delta)=F(\tau;\vartheta;3\delta),\quad\mathrm{rank}\,F(\tau;\vartheta
;\delta)=n,\quad\vert\tau\vert \leqslant\tau _0.
\end{equation*}
В дальнейшем мы часто будем писать $F(\tau;\vartheta)$ вместо $F(\tau;\vartheta ;\delta)$.

На протяжении главы~1 мы будем следить за зависимостью оценочных постоянных от следующего множества ,,данных''
\begin{equation}
\label{data for abstract scheme}
\kappa ^{1/2}, \kappa ^{-1/2},  \delta, \delta ^{-1/2},  \tau _0,  c_1, c_2^{1/2}, c_3^{1/2}, C(1)^{1/2}, \vert \lambda\vert , \Vert X_1\Vert , \Vert Y_1\Vert , \Vert Q_0\Vert 
\end{equation}
(а также от постоянной $\check{c}_*^{-1}$, которая будет введена ниже в п.~\ref{Subsection exp abstract approx}). 
Для применения результатов настоящей главы к дифференциальным операторам важно, что оценочные постоянные (возможно, после завышения) зависят от этих величин полиномиально, причем коэффициенты соответствующих многочленов --- некоторые положительные абсолютные постоянные.

\subsection{Операторы $Z$ и $\widetilde{Z}$}

\label{Subsection Z and tilde-Z-abstract}

В этом и следующем пунктах определяются операторы, возникающие при рассмотрениях в духе теории возмущений. 

Положим $\mathcal{D}:=\mathrm{Dom}\,X_0\cap \mathfrak{N}^\perp$. Поскольку точка $\lambda _0=0$ изолирована в спектре оператора $A_0$, форма $(X_0\phi,X_0\psi)_{\mathfrak{H}_*}$, $\phi,\psi\in\mathcal{D}$, задает в $\mathcal{D}$ скалярное произведение, превращая $\mathcal{D}$ в гильбертово пространство. 
Пусть $\omega\in\mathfrak{N}$. Рассмотрим уравнение на элемент $\phi\in\mathcal{D}$ (ср. \cite[глава~1, (1.7)]{BSu}):
\begin{equation}
\label{first eq. for Z}
X_0^*(X_0\phi +X_1\omega)=0,
\end{equation}
которое понимается в слабом смысле. Иными словами, $\phi\in\mathcal{D}$ удовлетворяет тождеству
\begin{equation}
\label{def Z phi tozd}
(X_0\phi ,X_0\zeta )_{\mathfrak{H}_*}=-(X_1\omega ,X_0\zeta)_{\mathfrak{H}_*},\quad \forall \zeta\in\mathcal{D}.
\end{equation}
Поскольку правая часть в \eqref{def Z phi tozd} есть антилинейный непрерывный функционал над $\zeta\in\mathcal{D}$, из теоремы Рисса следует, что 
уравнение \eqref{first eq. for Z} имеет единственное решение $\phi (\omega)$. Очевидно, $\Vert X_0\phi\Vert_{\mathfrak{H}_*}\leqslant\Vert X_1\omega \Vert _{\mathfrak{H}_*}$.  Определим ограниченный оператор $Z:\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}$ равенствами
\begin{equation*}
Z\omega =\phi (\omega),\quad\omega\in\mathfrak{N};\quad Zx=0,\quad x\in\mathfrak{N}^\perp .
\end{equation*}
Очевидно,
\begin{equation}
\label{ZP=Z, PZ=0}
ZP=Z,\quad PZ=0,\quad PZ^*=Z^*,\quad Z^*P=0.
\end{equation}
Несложно проверить (см. \cite[(1.21)]{Su13}), что
\begin{equation}
\label{Z<=}
\Vert Z\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}}\leqslant\kappa^{1/2}(13\delta)^{-1/2}\Vert X_1\Vert.
\end{equation}

Аналогично для заданного $\omega\in\mathfrak{N}$ рассмотрим уравнение
\begin{equation}
\label{eq tilde Z abstract}
X_0^*X_0\psi+Y_0^*Y_2\omega =0
\end{equation}
на элемент $\psi\in\mathcal{D}$, понимаемое в смысле тождества
\begin{equation*}
(X_0\psi ,X_0\zeta )_{\mathfrak{H}_*}=-(Y_2\omega,Y_0\zeta)_{\widetilde{\mathfrak{H}}},\quad\zeta\in\mathcal{D}.
\end{equation*}
В силу условия~\ref{Condition Y(t)} правая часть является антилинейным непрерывным функционалом над $\zeta\in\mathcal{D}$. По теореме Рисса решение $\psi (\omega)$ существует и единственно. Определим ограниченный оператор $\widetilde{Z}:\mathfrak{H}\rightarrow \mathfrak{H}$ равенствами
\begin{equation*}
\widetilde{Z}\omega = \psi (\omega),\quad\omega\in\mathfrak{N};\quad\widetilde{Z}x=0,\quad x\in \mathfrak{N}^\perp .
\end{equation*}
Отметим, что $\widetilde{Z}$ переводит $\mathfrak{N}$ в $\mathfrak{N}^\perp$, а $\mathfrak{N}^\perp $ в $\lbrace 0\rbrace$. Таким образом,
\begin{equation}
\label{tilde Z P}
\widetilde{Z}P=\widetilde{Z},\quad
P\widetilde{Z}=0,\quad P\widetilde{Z}^*=\widetilde{Z}^*, \quad \widetilde{Z}^*P=0.
\end{equation}
 Нам потребуется оценка (см. \cite[(1.25)]{Su13}):
\begin{equation}
\label{tilde Z<=}
\Vert \widetilde{Z}\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow \mathfrak{H}}\leqslant c_1 \kappa^{1/2}C(1)^{1/2}(13\delta )^{-1/2}.
\end{equation}

\subsection{Операторы $R$ и $S$}

\label{Subsection R and S in abstract scheme}

Определим теперь оператор $R:\mathfrak{N}\rightarrow \mathfrak{N}_*$ (см. \cite[глава~1, п.~1.2]{BSu}) следующим образом: 
$ R\omega =X_0\psi(\omega)+X_1\omega\in\mathfrak{N}_*$. 
Другое описание оператора $R$ дается формулой $R=P_*X_1\vert _\mathfrak{N}$.

\textit{Спектральным ростком} операторного семейства \eqref{A(t)=} при $t=0$ называется (см. \cite[глава~1, п.~1.3]{BSu}) самосопряженный оператор $S=R^*R :\mathfrak{N}\rightarrow \mathfrak{N}$, 
для которого также справедливо представление $S=PX_1^*P_*X_1\vert _\mathfrak{N}$. 

\subsection{Аналитические ветви собственных значений и собственных векторов оператора $B(\tau;\vartheta)$}

В соответствии с аналитической теорией возмущений (см. \cite{K}), при $\vert \tau\vert\leqslant \tau_0$ найдутся такие вещественно-аналитические функции $\lambda _l(\tau;\vartheta)$ и вещественно-аналитические (по параметру $\tau$) $\mathfrak{H}$-значные функции $\phi _l(\tau ;\vartheta)$, что
\begin{equation}
\label{B phi =lambda phi}
B(\tau;\vartheta)\phi _l(\tau;\vartheta)=\lambda _l(\tau;\vartheta)\phi _l(\tau;\vartheta),\quad l=1,\dots,n,\quad\vert \tau\vert \leqslant \tau _0,
\end{equation}
причем $\phi _l(\tau;\vartheta)$, $l=1,\dots,n$, образуют ортонормированный базис в собственном подпространстве $ F(\tau;\vartheta)\mathfrak{H}$. При достаточно малом $\tau_* (\vartheta)$ ($\leqslant \tau _0$) и $\vert \tau\vert \leqslant \tau_* (\vartheta)$ справедливы сходящиеся степенные разложения
\begin{align}
\label{lambda_l(t)= series}
&\lambda _l(\tau;\vartheta)=\gamma _l (\vartheta) \tau ^2 +\mu _l (\vartheta) \tau ^3+\dots ,\quad \gamma _l(\vartheta)\geqslant 0,
\quad l=1,\dots,n;\\
&\phi _l(\tau;\vartheta)=\omega _l (\vartheta) +\tau \phi _l^{(1)}(\vartheta)+\tau ^2\phi _l^{(2)}(\vartheta)+\dots,\quad l=1,\dots,n.
\nonumber
\end{align}
Элементы $\omega _l (\vartheta)$, $l=1,\dots ,n$, образуют ортонормированный базис в $\mathfrak{N}$.

В \cite[(1.32), (1.33)]{Su10} установлено, что для элементов
\begin{equation*}
\widetilde{\omega}_l(\vartheta):=\phi _l^{(1)}(\vartheta)-\vartheta _1 Z\omega _l(\vartheta)-\vartheta _2 \widetilde{Z}\omega _l (\vartheta),\quad l=1,\dots,n,
\end{equation*}
справедливо тождество
\begin{equation}
\label{omega i tilde omega tozd}
\left(\widetilde{\omega}_k(\vartheta),\omega _l(\vartheta)\right)_\mathfrak{H}
+\left(\omega _k(\vartheta),\widetilde{\omega}_l(\vartheta)\right)_\mathfrak{H}=0,\quad k,l=1,\dots,n.
\end{equation}

В соответствии с \cite[п.~1.8]{Su10} {\it спектральным ростком операторного семейства $B(\tau;\vartheta)$ при $\tau =0$} называется оператор в $\mathfrak{N}$, заданный выражением
\begin{equation}
\label{S(theta)=}
\begin{split}
S(\vartheta)&=\vartheta _1^2S+\vartheta_1\vartheta_2\left(
-(X_0Z)^*X_0\widetilde{Z}-(X_0\widetilde{Z})^*X_0Z+P(Y_2^*Y_1+Y_1^*Y_2)
\right)\Big\vert _{\mathfrak{N}}
\\
&+\vartheta _2^2\left(
-(X_0\widetilde{Z})^*X_0\widetilde{Z}\vert _\mathfrak{N}+Q_\mathfrak{N}+\lambda Q_{0\mathfrak{N}}\right).
\end{split}
\end{equation}
Здесь $Q_\mathfrak{N}$ --- самосопряженный оператор в $\mathfrak{N}$, порожденный формой $\mathfrak{q}[\omega,\omega]$, $\omega\in\mathfrak{N}$, и $Q_{0\mathfrak{N}}:=PQ_0\vert _\mathfrak{N}$.

В \cite[предложение~1.6]{Su10} установлено, что числа $\gamma _l(\vartheta)$ и элементы $\omega _l(\vartheta)$, $l=1,\dots,n$, являются собственными для оператора $S(\vartheta)$:
\begin{equation}
\label{S omega _l=}
S(\vartheta)\omega_l(\vartheta)=\gamma_l(\vartheta)\omega_l(\vartheta),\quad l=1,\dots, n.
\end{equation}
Величины $\gamma _l(\vartheta)$ и $\omega _l(\vartheta)$, $l=1,\dots ,n$, называют \textit{пороговыми характеристиками на краю спектра} для операторного семейства $B(\tau;\vartheta)$.

\subsection{Пороговые аппроксимации} 

\label{Subsection threshold approximations}

Как показано в \cite[теорема~3.1]{Su13},
\begin{equation}
\label{F-P}
F(\tau;\vartheta)-P=\Phi(\tau;\vartheta),\quad \Vert \Phi (\tau;\vartheta)\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}} \leqslant C_1 \vert \tau\vert,\quad \vert \tau\vert\leqslant \tau_0 .
\end{equation}
Кроме \eqref{F-P} нам потребуется более точная аппроксимация спектрального проектора, полученная в \cite[теорема~3.1]{Su13}:
\begin{align}
\label{F(t)=P+tF_1+F_2(t)}
F(\tau;\vartheta )&=P+\tau F_1 (\vartheta)+F_2(\tau;\vartheta),\quad \Vert F_2(\tau;\vartheta)\Vert\leqslant C_2 \tau ^2,\quad \vert \tau\vert\leqslant \tau _0.
\end{align}
Согласно \cite[(1.41)]{Su13} оператор $F_1(\vartheta)$ имеет вид 
\begin{equation}
\label{F_1=}
F_1(\vartheta)=\vartheta _1 (Z+Z^*)+\vartheta _2(\widetilde{Z}+\widetilde{Z}^*).
\end{equation}
Из \eqref{ZP=Z, PZ=0}, \eqref{tilde Z P} и \eqref{F_1=} следует, что
\begin{equation}
\label{F1P=ZP}
F_1(\vartheta) P=\vartheta_1 Z +\vartheta _2\widetilde{Z},
\quad
PF_1 (\vartheta)=\vartheta _1Z^*+\vartheta _2\widetilde{Z}^*.
\end{equation}

Из \eqref{Z<=}, \eqref{tilde Z<=} и \eqref{F_1=} вытекает оценка
\begin{equation}
\label{F_1<=}
\Vert F_1(\vartheta)\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}}\leqslant C_{F_1}=
2\kappa ^{1/2}(13\delta)^{-1/2}(\Vert X_1\Vert +c_1C(1)^{1/2}).
\end{equation}

Нам потребуется аппроксимация, установленная в \cite[теорема~2.2]{Su10}:
\begin{equation}
\label{BF-SP<=}
B(\tau;\vartheta)F(\tau;\vartheta)-\tau ^2S(\vartheta)P=\Phi _1(\tau;\vartheta),\quad
\Vert \Phi _1(\tau;\vartheta)\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}}\leqslant C_3\vert \tau\vert ^3,\quad\vert\tau\vert \leqslant \tau _0.
\end{equation}

Уточнение аппроксимации \eqref{BF-SP<=} получено в \cite[теорема~3.3]{Su13}:
\begin{align}
\label{BF =tau^2S+tau3K+Phi2}
B(\tau;\vartheta)F(\tau;\vartheta)&=\tau ^2S(\vartheta)P+\tau ^3 K(\vartheta)+\Phi_2(\tau ;\vartheta),
\\
\label{Phi 2<=}
\Vert \Phi _2(\tau ;\vartheta)\Vert &\leqslant C_4\tau ^4,\quad \vert \tau\vert \leqslant \tau _0.
\end{align}

В соответствии с \cite[(3.18)--(3.20)]{Su13} имеем 
$
K(\vartheta)=K_0(\vartheta)+N(\vartheta)$, 
где
\begin{align}
\begin{split}
K_0(\vartheta)&=\sum _{l=1}^n \gamma _l(\vartheta)\Bigl(
(\cdot ,\omega _l(\vartheta))_\mathfrak{H}(\vartheta _1 Z\omega _l(\vartheta)+\vartheta _2\widetilde{Z}\omega _l(\vartheta))
\\
&+(\cdot ,\vartheta _1 Z\omega _l(\vartheta)+\vartheta _2\widetilde{Z}\omega _l(\vartheta))_\mathfrak{H}\omega _l(\vartheta)\Bigr),
\end{split}
\nonumber
\\
\label{N=N0+N*}
N(\vartheta)&=N_0(\vartheta)+N_*(\vartheta),
\\
N_0(\vartheta)&=\sum _{l=1}^n \mu _l(\vartheta)(\cdot,\omega _l(\vartheta))_\mathfrak{H}\omega _l(\vartheta),
\nonumber
\\
N_*(\vartheta)&=\sum _{l=1}^n \gamma _l(\vartheta)\bigl((\cdot ,\omega _l(\vartheta))_\mathfrak{H}\widetilde{\omega}_l(\vartheta)+(\cdot ,\widetilde{\omega}_l(\vartheta))_\mathfrak{H}\omega _l(\vartheta)\bigr).
\nonumber
\end{align}
В базисе $\lbrace \omega _l(\vartheta)\rbrace _{l=1}^n$ операторы $N(\vartheta)$, $N_0(\vartheta)$ и $N_*(\vartheta)$ (суженные на $\mathfrak{N}$) представляются $(n\times n)$-матрицами. Оператор $N_0(\vartheta)$ диагонален: $(N_0(\vartheta)\omega _j (\vartheta),\omega _l(\vartheta))=\mu _j (\vartheta)\delta _{jl}$, $j,l=1,\dots,n$. С учетом \eqref{omega i tilde omega tozd} матричные элементы оператора $N_*(\vartheta)$ имеют вид
\begin{equation}
\label{N* matrix elements}
\begin{split}
(N_*(\vartheta)\omega _j (\vartheta),\omega _l(\vartheta))&=\gamma _l(\vartheta)\left(\omega _j(\vartheta),\widetilde{\omega}_l(\vartheta)\right)
+\gamma _j(\vartheta)\left(\widetilde{\omega}_j(\vartheta),\omega _l(\vartheta)\right)
\\
&=\left(\gamma _j(\vartheta)-\gamma _l(\vartheta)\right)\left(\widetilde{\omega}_j(\vartheta),\omega _l(\vartheta)\right),
\end{split}
\end{equation}
$j,l=1,\dots,n$.  Следовательно, диагональные элементы $N_*(\vartheta)$ равны нулю. Более того, $\left(N_*(\vartheta)\omega _j(\vartheta),\omega _l(\vartheta)\right)=0$, если $\gamma _j(\vartheta)=\gamma _l(\vartheta)$. В случае, когда $n=1$, имеем $N_*(\vartheta)=0$, т.~е. $N(\vartheta)=N_0(\vartheta)$.

Инвариантное представление для операторов $K_0(\vartheta)$ и $N(\vartheta)$ 
найдено в \cite[(3.21), (3.30)--(3.34)]{Su13}:
\begin{align}
\label{K0(theta)=}
K_0(\vartheta)&=\vartheta _1\left(ZS(\vartheta)P+S(\vartheta)PZ^*\right)
+\vartheta _2\left(\widetilde{Z}S(\vartheta)P+S(\vartheta)P\widetilde{Z}^*\right),
\\
\label{N(theta)=}
N(\vartheta)&=\vartheta _1^3N_{11}+\vartheta _1^2\vartheta _2N_{12}+\vartheta _1\vartheta _2^2N_{21}+\vartheta _2^3N_{22}.
\end{align}
Здесь
\begin{align}
\label{N11 abstract}
N_{11}&=(X_1Z)^*RP+(RP)^*X_1Z,
\\
\label{N12 abstract}
\begin{split}
N_{12}&=(X_1\widetilde{Z})^*RP+(RP)^*X_1\widetilde{Z}+(X_1Z)^*X_0\widetilde{Z}
\\
&+(X_0\widetilde{Z})^*X_1Z+(Y_2Z)^*Y_0Z+(Y_0Z)^*Y_2Z
\\
&+(Y_2Z)^*Y_1P+(Y_1P)^*Y_2Z+(Y_2P)^*Y_1Z+(Y_1Z)^*Y_2P,
\end{split}
\\
\label{N21 abstract}
\begin{split}
N_{21}&=(X_0\widetilde{Z})^*X_1\widetilde{Z}+(X_1\widetilde{Z})^*X_0\widetilde{Z}+(Y_2Z)^*Y_0\widetilde{Z}
\\
&+(Y_0\widetilde{Z})^*Y_2Z+(Y_2\widetilde{Z})^*Y_0Z+(Y_0Z)^*Y_2\widetilde{Z}+(Y_2\widetilde{Z})^*Y_1P
\\
&+(Y_1P)^*Y_2\widetilde{Z}+(Y_1\widetilde{Z})^*Y_2P+(Y_2P)^*Y_1\widetilde{Z}
\\
&+Z^*QP+PQZ+\lambda ({Z}^*Q_0P+PQ_0Z),
\end{split}
\\
\label{N22 abstract}
N_{22}&=(Y_0\widetilde{Z})^*Y_2\widetilde{Z}+(Y_2\widetilde{Z})^*Y_0\widetilde{Z}+\widetilde{Z}^*QP+PQ\widetilde{Z}
+\lambda(\widetilde{Z}^*Q_0P+PQ_0\widetilde{Z})
.
\end{align}
Поясним, что в \eqref{N21 abstract} под формальной записью $Z^*QP+PQZ$ подразумевается ограниченный самосопряженный оператор в $\mathfrak{H}$, порожденный формой $\mathfrak{q}[Pu,Zu]+\mathfrak{q}[Zu,Pu]$, $u\in\mathfrak{H}$. 
Аналогично в \eqref{N22 abstract} под $\widetilde{Z}^*QP+PQ\widetilde{Z}$ понимается ограниченный самосопряженный оператор в $\mathfrak{H}$, отвечающий форме $\mathfrak{q}[Pu,\widetilde{Z}u]+\mathfrak{q}[\widetilde{Z}u,Pu]$, $u\in\mathfrak{H}$.

Отметим, что в силу \eqref{ZP=Z, PZ=0}, \eqref{tilde Z P} и \eqref{K0(theta)=}--\eqref{N22 abstract} для оператора $
K(\vartheta)=K_0(\vartheta)+N(\vartheta)$ справедливо тождество
\begin{equation}
\label{PKP}
PK(\vartheta)P=PN(\vartheta)P=N(\vartheta).
\end{equation}

Нам потребуются следующие оценки, установленные в \cite[(3.35), (3.36), (3.44)--(3.49)]{Su13}:
\begin{align}
\label{N(theta)<=}
&\Vert N(\vartheta)\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}}\leqslant C_N ,
\\
\label{K<=}
&\Vert K(\vartheta)\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}}\leqslant C_K.
\end{align}

\begin{remark}
\label{Remark constants Sec.1}
Введенные выше постоянные $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$ и $C_{F_1}$ зависят от  данных \eqref{data for abstract scheme} полиномиально. Соответствующие многочлены имеют постоянные положительные коэффициенты. Константы $C_N$ и $C_K$ оцениваются через полиномы с постоянными положительными коэффициентами от данных \eqref{data for abstract scheme}. Зависимость постоянных $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$,  $C_N$ и $C_K$ 
от данных \eqref{data for abstract scheme} прослежена в \cite{Su10,Su13}.
\end{remark}

\section{Аппроксимация оператора $e^{-B(t,\varepsilon)s}$ с учетом корректора}

\subsection{Аппроксимация оператора $e^{-B(\tau;\vartheta)s}$}

\label{Subsection exp abstract approx}

{\it Будем предполагать, что при некотором $c_*>0$ выполнено}
\begin{equation}
\label{A(t)>= abstract}
A(t)\geqslant c_*t^2 I,\quad c_*>0,\quad\vert t\vert \leqslant \tau _0.
\end{equation}
Тогда с учетом \eqref{b (t,eps)>=} справедливо неравенство
\begin{equation}
\label{B(tau,theta)>=}
B(\tau;\vartheta)\geqslant \check{c}_*\tau ^2 I,\quad \vert \tau\vert \leqslant\tau _0;
\quad \check{c}_*=\frac{1}{2}\min\lbrace\kappa c_*;2\beta\rbrace.
\end{equation}
Отсюда и из \eqref{B phi =lambda phi} следует, что собственные значения $\lambda _l(\tau;\vartheta)$ оператора $B(\tau;\vartheta)$ удовлетворяют оценкам
\begin{equation}
\label{lambda l (tau,theta)>=}
\lambda _l(\tau;\vartheta)\geqslant \check{c}_*\tau ^2,\quad l=1,\dots,n,\quad \vert \tau\vert\leqslant\tau _0.
\end{equation}
Сопоставляя \eqref{lambda_l(t)= series} и \eqref{lambda l (tau,theta)>=}, находим, что $\gamma _l(\vartheta)\geqslant \check{c}_*$, $l=1,\dots,n$, а тогда (см. \eqref{S omega _l=})
\begin{equation}
\label{S(theta)>=}
S(\vartheta)\geqslant\check{c}_* I_\mathfrak{N}.
\end{equation}

\textit{Пусть} $\vert \tau\vert\leqslant \tau _0$. Запишем оператор $e^{-B(\tau;\vartheta)s}$, $s\geqslant 0$, в виде
\begin{equation}
\label{expB=}
e^{-B(\tau;\vartheta)s}=e^{-B(\tau;\vartheta)s}F(\tau;\vartheta)^\perp +e^{-B(\tau;\vartheta)s} F(\tau;\vartheta).
\end{equation}
Пусть $s>0$. Согласно \eqref{B(tau,theta)>=} первое слагаемое в правой части \eqref{expB=} допускает оценку
\begin{equation}
\label{expB first summand est}
\Vert e^{-B(\tau;\vartheta)s}F(\tau;\vartheta)^\perp \Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}}
\leqslant e^{-\delta s/2}e^{-\check{c}_*\tau ^2 s/2}\leqslant 2(\delta s)^{-1}e^{-\check{c}_*\tau ^2 s/2}.
\end{equation}
Второе слагаемое представим в виде
\begin{equation}
\label{expB second summand tozd}
e^{-B(\tau;\vartheta)s} F(\tau;\vartheta)=Pe^{-B(\tau;\vartheta)s} F(\tau;\vartheta)+P^\perp e^{-B(\tau;\vartheta)s} F(\tau;\vartheta).
\end{equation}
В силу \eqref{F(t)=P+tF_1+F_2(t)}
\begin{equation*}
\begin{split}
&P^\perp e^{-B(\tau;\vartheta)s} F(\tau;\vartheta)
=(I-P)e^{-B(\tau;\vartheta)s} F(\tau;\vartheta)
\\
&=(\tau F_1(\vartheta)+F_2(\tau;\vartheta))e^{-B(\tau;\vartheta)s} F(\tau;\vartheta)
\\
&=(\tau F_1(\vartheta)+F_2(\tau;\vartheta))
\left( (e^{-B(\tau;\vartheta)s} F(\tau;\vartheta)-e^{-\tau ^2 S(\vartheta)s}P)+e^{-\tau ^2 S(\vartheta)s}P\right).
\end{split}
\end{equation*}
Положим
\begin{equation}
\label{Pi(tau,theta,s)=}
\Pi (\tau;\vartheta ;s):=e^{-B(\tau;\vartheta)s}F(\tau;\vartheta)-e^{-\tau ^2 S(\vartheta)s}P.
\end{equation}
Тогда 
\begin{equation}
\label{P perp exp B F=}
\begin{split}
P^\perp e^{-B(\tau;\vartheta)s} F(\tau;\vartheta)&= \tau F_1(\vartheta)e^{-\tau ^2 S(\vartheta)s}P
+\tau F_1(\vartheta)\Pi (\tau;\vartheta ;s)
\\
&+F_2(\tau;\vartheta)e^{-B(\tau;\vartheta)s} F(\tau;\vartheta).
\end{split}
\end{equation}
Нам потребуется оценка, полученная в \cite[п. 2.2]{M_AA}:
\begin{equation}
\label{Pi(tau,theta,s)<=}
\Vert \Pi (\tau;\vartheta ;s)\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}}
\leqslant
(2C_1\vert\tau\vert +C_3\vert\tau\vert ^3 s)e^{-\check{c}_*\tau ^2 s}.
\end{equation}
Отсюда и из \eqref{F_1<=} следует, что
\begin{equation*}
\Vert \tau F_1(\vartheta)\Pi (\tau;\vartheta ;s)\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}}
\leqslant C_{F_1}(2C_1\tau ^2+C_3\tau ^4s)e^{-\check{c}_*\tau ^2 s}.
\end{equation*}
Вводя параметр $\alpha =\tau ^2 s$, приходим к неравенству
\begin{equation}
\label{F1Pi<=}
\Vert \tau F_1(\vartheta)\Pi (\tau;\vartheta ;s)\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}}
\leqslant C_{F_1}(2C_1\alpha +C_3\alpha ^2)e^{-\check{c}_*\alpha}s^{-1}.
\end{equation}
Третье слагаемое в правой части \eqref{P perp exp B F=} оценим с помощью \eqref{F(t)=P+tF_1+F_2(t)} и \eqref{B(tau,theta)>=}:
\begin{equation}
\label{F2expBF<=}
\Vert F_2(\tau;\vartheta)e^{-B(\tau;\vartheta)s} F(\tau;\vartheta)\Vert  _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}}
\leqslant 
C_2\tau ^2 e^{-\check{c}_*\tau ^2 s}
=C_2\alpha e^{-\check{c}_*\alpha}s^{-1}.
\end{equation}
Объединяя  \eqref{P perp exp B F=}, \eqref{F1Pi<=} и \eqref{F2expBF<=}, находим
\begin{equation}
\label{P perp exp B F<=}
\Vert P^\perp e^{-B(\tau;\vartheta)s} F(\tau;\vartheta)-\tau F_1(\vartheta)e^{-\tau ^2 S(\vartheta)s}P
\Vert  _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}}
\leqslant 
\phi (\alpha) s^{-1},\quad s>0,
\end{equation}
где
\begin{equation}
\label{phi(alpha)=}
\phi (\alpha)=C_{F_1}(2C_1\alpha +C_3\alpha ^2)e^{-\check{c}_*\alpha}+C_2\alpha e^{-\check{c}_*\alpha}.
\end{equation}

Рассмотрим теперь первое слагаемое в правой части \eqref{expB second summand tozd}:
\begin{equation}
\label{P exp B F=}
P e^{-B(\tau;\vartheta)s} F(\tau;\vartheta)=e^{-\tau ^2 S(\vartheta) s}P+\Upsilon (\tau;\vartheta ;s),
\end{equation}
где 
$
\Upsilon (\tau;\vartheta ;s):=P e^{-B(\tau;\vartheta)s} F(\tau;\vartheta)-e^{-\tau ^2 S(\vartheta) s}P$. 
В \cite[п.~2.2]{M_AA} получено представление
\begin{align*}
\Upsilon (\tau;\vartheta ;s)&=e^{-\tau ^2 S(\vartheta) s}P\Phi (\tau;\vartheta)
-\mathcal{J}(\tau;\vartheta ;s),
\\
\mathcal{J}(\tau;\vartheta ;s):&=
\int _0^s e^{-\tau ^2 S(\vartheta)P(s-\widetilde{s})}P\Phi _1(\tau ;\vartheta)e^{-B(\tau;\vartheta)\widetilde{s}}F(\tau;\vartheta)\,d\widetilde{s}.
\end{align*}
Здесь операторы $\Phi (\tau;\vartheta)$ и $\Phi _1(\tau;\vartheta)$ определены в \eqref{F-P}, \eqref{BF-SP<=}. Учитывая \eqref{F-P} и \eqref{F(t)=P+tF_1+F_2(t)}, представим оператор $\Upsilon (\tau;\vartheta ;s)$ в виде
\begin{equation}
\label{Upsilon tozd}
\begin{split}
\Upsilon (\tau;\vartheta ;s)=e^{-\tau ^2 S(\vartheta)Ps}P\tau F_1(\vartheta)
+e^{-\tau ^2 S(\vartheta)Ps}P F_2(\tau;\vartheta)
-\mathcal{J}(\tau;\vartheta ;s).
\end{split}
\end{equation}
Второе слагаемое в правой части \eqref{Upsilon tozd} оценим с помощью \eqref{F(t)=P+tF_1+F_2(t)} и \eqref{S(theta)>=}:
\begin{equation}
\Vert e^{-\tau ^2 S(\vartheta)Ps}P F_2(\tau;\vartheta)\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}}\leqslant
C_2\tau ^2 e^{-\tau ^2\check{c}_*s}=C_2\alpha e^{-\check{c}_*\alpha}s^{-1}.
\end{equation}
Третье слагаемое в правой части \eqref{Upsilon tozd} преобразуем на основании \eqref{BF-SP<=}, \eqref{BF =tau^2S+tau3K+Phi2}, \eqref{PKP} и \eqref{Pi(tau,theta,s)=}:
\begin{equation}
\label{tr summ in Upsilon tozd}
\begin{split}
\mathcal{J}&(\tau;\vartheta ;s)
=\int _0^s e^{-\tau ^2S(\vartheta)P(s-\widetilde{s})}P (\tau ^3 K(\vartheta)+\Phi_2(\tau;\vartheta))e^{-B(\tau;\vartheta)\widetilde{s}}F(\tau;\vartheta)\,d\widetilde{s}
\\
&=\int _0^s e^{-\tau ^2S(\vartheta)P(s-\widetilde{s})}P (\tau ^3 K(\vartheta)+\Phi_2(\tau;\vartheta))
\left(\Pi (\tau;\vartheta;\widetilde{s})+e^{-\tau ^2 S(\vartheta)\widetilde{s}}P\right)\,d\widetilde{s}
\\
&=\mathcal{J}_1(\tau;\vartheta ;s)+\mathcal{J}_2(\tau;\vartheta ;s)+\mathcal{J}_3(\tau;\vartheta ;s).
\end{split}
\end{equation}
Здесь
\begin{align*}
\mathcal{J}_1(\tau;\vartheta ;s):&=\tau ^3 \int _0^s  e^{-\tau ^2S(\vartheta)P(s-\widetilde{s})}P  N(\vartheta)Pe^{-\tau ^2 S(\vartheta)\widetilde{s}}P\,d\widetilde{s},
\\
\mathcal{J}_2(\tau;\vartheta ;s):&=\tau ^3\int _0^s  e^{-\tau ^2S(\vartheta)P(s-\widetilde{s})}P K(\vartheta)\Pi (\tau;\vartheta;\widetilde{s})\,d\widetilde{s},
\\
\mathcal{J}_3(\tau;\vartheta ;s):&=\int _0^s  e^{-\tau ^2S(\vartheta)P(s-\widetilde{s})}P \Phi _2(\tau;\vartheta)e^{-B(\tau;\vartheta)\widetilde{s}}F(\tau;\vartheta)\,d\widetilde{s}.
\end{align*}
Оценим член $\mathcal{J}_2(\tau;\vartheta ;s)$ с помощью \eqref{K<=}, \eqref{S(theta)>=} и \eqref{Pi(tau,theta,s)<=}:
\begin{equation}
\begin{split}
\Bigl\Vert \mathcal{J}_2(\tau;\vartheta ;s)\Bigr\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}}
&\leqslant
\vert \tau \vert ^3\int _0^s e^{-\check{c}_*\tau ^2 (s-\widetilde{s})}C_K(2C_1\vert \tau\vert +C_3\vert \tau\vert ^3 \widetilde{s}) e^{-\check{c}_*\tau ^2 \widetilde{s}}\,d\widetilde{s}
\\
&=
\vert \tau\vert ^3 e^{-\check{c}_*\tau ^2 s}C_K \int _0^s (2C_1\vert \tau\vert +C_3\vert \tau\vert ^3 \widetilde{s})\,d\widetilde{s}
\\
&=e^{-\check{c}_*\tau ^2 s}C_K (2C_1\tau ^4 s +2^{-1}C_3\tau ^6 s^2)
\\
&= C_Ke^{-\check{c}_*\alpha}(2C_1\alpha ^2+2^{-1}C_3\alpha ^3)s^{-1}.
\end{split}
\end{equation}
Используя \eqref{Phi 2<=},  \eqref{B(tau,theta)>=} и \eqref{S(theta)>=}, оценим 
$\mathcal{J}_3(\tau;\vartheta ;s)$:
\begin{equation}
\label{tr summ in tr summ in Upsilon tozd}
\begin{split}
\Bigl\Vert \mathcal{J}_3(\tau;\vartheta ;s)\Bigr\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}}
&\leqslant 
\int _0^s e^{-\check{c}_*\tau ^2 (s-\widetilde{s})}C_4\tau ^4 e^{-\check{c}_*\tau ^2\widetilde{s}}\,d\widetilde{s}
\\
&=e^{-\check{c}_*\tau ^2 s}C_4\tau ^4 s =C_4e^{-\check{c}_*\alpha}\alpha ^2 s^{-1}.
\end{split}
\end{equation}

Подведем итоги. В силу \eqref{P exp B F=}--\eqref{tr summ in tr summ in Upsilon tozd} выполнена оценка
\begin{equation}
\label{Neraw}
\begin{split}
\Bigl\Vert & Pe^{-B(\tau;\vartheta)s}F(\tau;\vartheta)-e^{-\tau ^2 S(\vartheta)s}P-\tau e^{-\tau ^2 S(\vartheta)s}PF_1(\vartheta)
+\tau ^3\mathcal{M}(\tau;\vartheta ;s)\Bigr\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}}
\\
&\leqslant
\left( C_2\alpha +2C_1C_K\alpha ^2+2^{-1}C_3C_K\alpha ^3+C_4\alpha ^2\right) e^{-\check{c}_*\alpha}s^{-1},
\end{split}
\end{equation}
где 
\begin{equation}
\label{M=}
\mathcal{M}(\tau;\vartheta ;s):=\int _0^s e^{-\tau ^2 S(\vartheta)P(s-\widetilde{s})}PN(\vartheta)Pe^{-\tau ^2 S(\vartheta)P\widetilde{s}}\,d\widetilde{s}.
\end{equation}
Теперь из  \eqref{F1P=ZP}, \eqref{expB=}--\eqref{expB second summand tozd}, \eqref{P perp exp B F<=}, \eqref{phi(alpha)=}, \eqref{Neraw} и \eqref{M=} вытекает тождество
\begin{equation}
\label{Th exp abstract theta tau}
\begin{split}
e^{-B(\tau;\vartheta)s}&=e^{-\tau ^2 S(\vartheta)s}P
+\tau (\vartheta _1 Z+\vartheta _2\widetilde{Z})e^{-\tau ^2 S(\vartheta)s}P
\\
&+e^{-\tau ^2 S(\vartheta)s}P\tau(\vartheta _1 Z^*+\vartheta _2\widetilde{Z}^*)
-\tau ^3 \mathcal{M}(\tau;\vartheta;s) 
+\mathcal{R}(\tau;\vartheta ;s),
\end{split}
\end{equation}
где остаточный член $\mathcal{R}(\tau;\vartheta ;s)$ подчинен оценке
\begin{align}
&\Vert \mathcal{R}(\tau;\vartheta ;s)\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}}
\leqslant C_5 s^{-1}e^{-\check{c}_*\tau ^2 s/2},\quad s>0;
\nonumber
\\
\label{D0}
 &C_5=2\delta ^{-1}+\max _{\alpha\geqslant 0}\check{\phi}(\alpha)e^{-\check{c}_*\alpha/2}.
\end{align}
Здесь введено обозначение
\begin{equation*}
\begin{split}
\check{\phi}(\alpha)&=
2(C_1C_{F_1}+C_2)\alpha
+(C_3C_{F_1}+2C_1C_K+C_4)\alpha ^2
+2^{-1}C_3C_K\alpha ^3.
\end{split}
\end{equation*}
Делая замену переменной $\check{c}_*\alpha/2=:\alpha$, 
можно показать, что постоянная $C_5$ контролируется через многочлен от  $\check{c}_*^{-1}$ и данных \eqref{data for abstract scheme}. 

Очевидно, при $s\geqslant 1$ выполнено $s^{-1}\leqslant 2(s+1)^{-1}$, а потому $\Vert \mathcal{R}(\tau;\vartheta ;s)\Vert \leqslant 2C_5(s+1)^{-1}e^{-\check{c}_*\tau ^2 s/2}$. При $0\leqslant s<1$ из \eqref{N(theta)<=}, \eqref{M=} следует, что для $\vert\tau\vert\leqslant\tau _0$ имеет место неравенство $\vert \tau \vert ^3 \Vert \mathcal{M}(\tau;\vartheta ;s)\Vert \leqslant \tau ^3_0C_N e^{-\check{c}_*\tau ^2 s}$. Поэтому, используя \eqref{Z<=}, \eqref{tilde Z<=}, \eqref{B(tau,theta)>=} и \eqref{S(theta)>=}, из \eqref{Th exp abstract theta tau} получаем
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert \mathcal{R}(\tau;\vartheta ;s)\Vert 
\leqslant C_{6}(1+s)^{-1}e^{-\check{c}_*\tau ^2 s/2},\quad 0\leqslant s<1,
\end{split}
\end{equation*}
где 
$
C_{6}=4 +4\kappa ^{1/2}(13\delta )^{-1/2}\tau _0(\Vert X_1\Vert +c_1C(1)^{1/2})+2\tau ^3_0C_N$.


Учитывая замечание~\ref{Remark constants Sec.1}, приходим к следующему результату.

\begin{theorem}
\label{Theorem exp abstract theta tau}
При $\vert \tau\vert\leqslant\tau _0$, $s\geqslant 0$ выполнено тождество \eqref{Th exp abstract theta tau}, 
где оператор $ \mathcal{M}(\tau;\vartheta;s)$ определен в \eqref{M=}, а для оператора $\mathcal{R}(\tau;\vartheta ;s)$ верны оценки
\begin{align*}
\Vert \mathcal{R}(\tau;\vartheta ;s)\Vert &\leqslant C_7(s+1)^{-1}e^{-\check{c}_*\tau ^2 s/2},\quad s\geqslant 0;
\\
\Vert \mathcal{R}(\tau;\vartheta ;s)\Vert &\leqslant C_5s^{-1}e^{-\check{c}_*\tau ^2 s/2},\quad s>0.
\end{align*}
Постоянная $C_5$ определена в \eqref{D0}. Постоянные $C_5$ и $C_7=\max\lbrace 2C_5;C_{6}\rbrace $ контролируются через многочлены от $\check{c}_*^{-1}$ и данных \eqref{data for abstract scheme}.
\end{theorem}

\subsection{Вычисление матричных элементов оператора $\mathcal{M}(\tau;\vartheta ;s)$} 

Рассмотрим подробнее оператор \eqref{M=}. В силу \eqref{N=N0+N*} выполнено
\begin{equation}
\label{M=M0+M*}
\mathcal{M}(\tau;\vartheta ;s)= \mathcal{M}_0(\tau;\vartheta ;s)+\mathcal{M}_*(\tau;\vartheta ;s),
\end{equation}
где
\begin{align*}
\mathcal{M}_0(\tau;\vartheta ;s):&=\int _0^s e^{-\tau ^2 S(\vartheta )P(s-\widetilde{s})}PN_0(\vartheta)e^{-\tau ^2 S(\vartheta )P\widetilde{s}}\,d\widetilde{s},
\\
\mathcal{M}_*(\tau;\vartheta ;s):&=\int _0^s e^{-\tau ^2 S(\vartheta )P(s-\widetilde{s})}PN_*(\vartheta)e^{-\tau ^2 S(\vartheta )P\widetilde{s}}\,d\widetilde{s}.
\end{align*}
Операторы $S(\vartheta)$ и $N_0(\vartheta)$ диагональны в базисе $\lbrace \omega _l(\vartheta)\rbrace _{l=1}^n$, поэтому $N_0(\vartheta)S(\vartheta)=S(\vartheta )N_0(\vartheta)$ и
\begin{equation}
\label{M0=}
\mathcal{M}_0(\tau;\vartheta ;s)=N_0(\vartheta )e^{-\tau ^2 S(\vartheta)Ps}Ps.
\end{equation}
Вычислим теперь матричные элементы оператора $\mathcal{M}_*(\tau;\vartheta ;s)$ в базисе  $\lbrace \omega _l(\vartheta)\rbrace _{l=1}^n$. В соответствии с \eqref{S omega _l=} имеем $e^{-\tau ^2 S(\vartheta)Ps}\omega _j(\vartheta)=e^{-\tau ^2\gamma _j(\vartheta)s}\omega _j(\vartheta)$. Поэтому матричные элементы оператора $\mathcal{M}_*(\tau;\vartheta ;s)$ имеют вид
\begin{equation*}
\begin{split}
\Bigl(& \mathcal{M}_*(\tau;\vartheta ;s) \omega _j(\vartheta),\omega _k(\vartheta)\Bigr)
\\
&=\int _0^s 
\left(
e^{-\tau ^2 S(\vartheta)P(s-\widetilde{s})}N_*(\vartheta)e^{-\tau ^2 S(\vartheta)P\widetilde{s}}\omega _j(\vartheta),\omega _k(\vartheta)\right)
\,d\widetilde{s}
\\
&=\bigl( N_*(\vartheta )\omega _j(\vartheta),\omega _k(\vartheta)\bigr)
e^{-\tau ^2 \gamma _k(\vartheta)s}\int _0^s e^{-\tau ^2 (\gamma _j(\vartheta)-\gamma _k(\vartheta))\widetilde{s}}\,d\widetilde{s}.
\end{split}
\end{equation*}
Отсюда и из \eqref{N* matrix elements} видно, что при $\gamma _j(\vartheta)=\gamma _k(\vartheta)$ выполнено $\left( \mathcal{M}_*(\tau;\vartheta ;s) \omega _j(\vartheta),\omega _k(\vartheta)\right)=0$. Пусть теперь $\gamma _j(\vartheta)\neq \gamma _k(\vartheta)$. В силу \eqref{omega i tilde omega tozd} и \eqref{N* matrix elements}
\begin{equation*}
\begin{split}
\Bigl(& \mathcal{M}_*(\tau;\vartheta ;s) \omega _j(\vartheta),\omega _k(\vartheta)\Bigr)
\\
&=\left( N_*(\vartheta)\omega _j(\vartheta),\omega _k(\vartheta)\right)
e^{-\tau ^2 \gamma _k(\vartheta)s}\frac{e^{-\tau ^2 (\gamma _j(\vartheta)-\gamma _k(\vartheta))s}-1}{(\gamma _k(\vartheta )-\gamma_j(\vartheta))\tau ^2}
\\
&=
\frac{e^{-\tau ^2\gamma _j(\vartheta)s}-e^{-\tau ^2 \gamma _k(\vartheta)s}}{\tau ^2}\left(\omega _j(\vartheta),\widetilde{\omega}_k(\vartheta)\right)
\\
&=\frac{e^{-\tau ^2 \gamma _j(\vartheta)s}}{\tau ^2}\left(\omega _j(\vartheta),\widetilde{\omega}_k(\vartheta)\right)
+\frac{e^{-\tau ^2 \gamma _k(\vartheta)s}}{\tau ^2}\left(\widetilde{\omega}_j(\vartheta),\omega _k(\vartheta)\right).
\end{split}
\end{equation*}
Итак,
\begin{equation}
\label{M* matrix element almost final}
\begin{split}
\Bigl(&\mathcal{M}_*(\tau;\vartheta ;s) \omega _j(\vartheta),\omega _k(\vartheta)\Bigr)
\\
&=\tau ^{-2}\Bigl(
\bigl(e^{-\tau ^2 \gamma _j(\vartheta)s}\omega _j(\vartheta),\widetilde{\omega}_k(\vartheta)\bigr)
+\bigr(\widetilde{\omega}_j(\vartheta),e^{-\tau ^2 \gamma _k(\vartheta)s}\omega _k(\vartheta)\bigr)
\Bigr).
\end{split}
\end{equation}
Согласно \eqref{omega i tilde omega tozd}, при $\gamma _j(\vartheta)=\gamma _k(\vartheta)$ правая часть в \eqref{M* matrix element almost final} равна нулю, поэтому равенство \eqref{M* matrix element almost final} сохраняет силу и в этом случае. Из \eqref{M* matrix element almost final} с учетом тождеств \eqref{omega i tilde omega tozd} получаем представление
\begin{equation}
\label{M*=}
\mathcal{M} _*(\tau;\vartheta ;s)=-\tau ^{-2}\sum _{l=1}^n e^{-\tau ^2 \gamma _l(\vartheta)s}
\Bigl(
\bigl(\cdot ,\widetilde{\omega}_l(\vartheta)\bigr)\omega _l(\vartheta)+\bigl( \cdot ,\omega _l(\vartheta)\bigr)\widetilde{\omega}_l(\vartheta)\Bigr).
\end{equation}
Объединяя \eqref{M=M0+M*}, \eqref{M0=} и \eqref{M*=}, находим
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathcal{M}(\tau;\vartheta ;s)&=N_0(\vartheta )e^{-\tau ^2 S(\vartheta)Ps}Ps
\\
&-\tau ^{-2}\sum _{l=1}^n e^{-\tau ^2 \gamma _l(\vartheta)s}
\Bigl(
\bigl(\cdot ,\widetilde{\omega}_l(\vartheta)\bigr)\omega _l(\vartheta)+\bigl( \cdot ,\omega _l(\vartheta)\bigr)\widetilde{\omega}_l(\vartheta)\Bigr).
\end{split}
\end{equation*}

Отметим, наконец, что формула \eqref{Th exp abstract theta tau} упрощается, если $N(\vartheta)=0$ или $N_*(\vartheta)=0$.

\begin{proposition}
Пусть $N(\vartheta)=0$. Тогда в условиях теоремы~\textnormal{\ref{Theorem exp abstract theta tau}} выполнено
\begin{equation*}
\begin{split}
e^{-B(\tau;\vartheta)s}&=e^{-\tau ^2 S(\vartheta)s}P
+\tau (\vartheta _1 Z+\vartheta _2\widetilde{Z})e^{-\tau ^2 S(\vartheta)s}P
\\
&+e^{-\tau ^2 S(\vartheta)s}P\tau(\vartheta _1 Z^*+\vartheta _2\widetilde{Z}^*)
+\mathcal{R}(\tau;\vartheta ;s).
\end{split}
\end{equation*}
\end{proposition}

\begin{proposition}
\label{Proposition N*(theta)=0}
Пусть в условиях теоремы~\textnormal{\ref{Theorem exp abstract theta tau}} $N_*(\vartheta)=0$. Тогда 
\begin{equation*}
\begin{split}
e^{-B(\tau;\vartheta)s}&=e^{-\tau ^2 S(\vartheta)s}P
+\tau (\vartheta _1 Z+\vartheta _2\widetilde{Z})e^{-\tau ^2 S(\vartheta)s}P
\\
&+e^{-\tau ^2 S(\vartheta)s}P\tau(\vartheta _1 Z^*+\vartheta _2\widetilde{Z}^*)
-\tau ^3 N_0(\vartheta )e^{-\tau ^2 S(\vartheta)Ps}Ps
+\mathcal{R}(\tau;\vartheta ;s).
\end{split}
\end{equation*}
\end{proposition}

\subsection{Возвращение к параметрам $t$ и $\varepsilon$}

Вернемся к исходным параметрам $t,\varepsilon$, вспоминая, что $t=\tau\vartheta _1$, $\varepsilon =\tau\vartheta _2$. В силу \eqref{S(theta)=} оператор $\tau ^2 S(\vartheta)=:L(t,\varepsilon)$ задается выражением
\begin{equation}
\label{L(t,eps)}
\begin{split}
L(t,\varepsilon)
&=t^2 S +t\varepsilon \left( -(X_0Z)^*X_0\widetilde{Z}
-(X_0\widetilde{Z})^*X_0Z
+P(Y_2^*Y_1+Y_1^*Y_2)\right)\Big\vert _\mathfrak{N}
\\
&+\varepsilon ^2 \left(-(X_0\widetilde{Z})^*X_0\widetilde{Z}\vert _\mathfrak{N}+Q_\mathfrak{N}+\lambda Q_{0\mathfrak{N}}\right).
\end{split}
\end{equation}
Отметим оценку, вытекающую из \eqref{S(theta)>=}:
\begin{equation}
\label{L(t,eps)>=}
L(t,\varepsilon)\geqslant\check{c}_*(t^2+\varepsilon ^2)I_\mathfrak{N},\quad t\in\mathbb{R},\quad 0\leqslant\varepsilon\leqslant 1.
\end{equation}

В силу \eqref{N(theta)=} оператор $\tau ^3 N(\vartheta)=:N(t,\varepsilon)$ имеет вид 
\begin{equation}
\label{N(t,eps)=}
N(t,\varepsilon)=t^3 N_{11}+t^2\varepsilon N_{12}+t\varepsilon ^2 N_{21}+\varepsilon ^3 N_{22}.
\end{equation}
Согласно \eqref{N(theta)<=} выполнено
\begin{equation}
\label{N(t,eps)<=}
\Vert N(t,\varepsilon)\Vert \leqslant C_N(t^2+\varepsilon ^2 )^{3/2},\quad t\in\mathbb{R},\quad 0\leqslant\varepsilon\leqslant 1.
\end{equation}

Записывая \eqref{Th exp abstract theta tau} в терминах исходных параметров, дадим равносильную формулировку теоремы~\ref{Theorem exp abstract theta tau}, удобную для дальнейших применений к дифференциальным операторам. Назовем \textit{корректором} оператор
\begin{equation}
\label{K(t,eps,s)}
\begin{split}
K(t,\varepsilon ,s):&=(tZ+\varepsilon \widetilde{Z})e^{-L(t,\varepsilon)s}P
+e^{-L(t,\varepsilon)s}P(tZ^*+\varepsilon \widetilde{Z}^*)
\\
&-\int _0^s e^{-L(t,\varepsilon)(s-\widetilde{s})}PN(t,\varepsilon)e^{-L(t,\varepsilon)\widetilde{s}}P\,d\widetilde{s}.
\end{split}
\end{equation}

В силу \eqref{L(t,eps)>=} и \eqref{N(t,eps)<=} выполнено
\begin{equation}
\label{K(t,eps)<= start}
\Vert K(t,\varepsilon ,s)\Vert 
\leqslant
2\max\lbrace \Vert Z\Vert ;\Vert \widetilde{Z}\Vert \rbrace (t+\varepsilon) e^{-\check{c}_*(t^2+\varepsilon ^2)s}
+C_Ns(t^2+\varepsilon ^2)^{3/2}e^{-\check{c}_*(t^2+\varepsilon ^2)s}.
\end{equation}
Объединяя \eqref{Z<=}, \eqref{tilde Z<=}, \eqref{K(t,eps)<= start} и используя элементарные неравенства 
$e^{-\alpha }\leqslant \alpha ^{-1}e^{-\alpha /2}$ и $e^{-\alpha}\leqslant 3\alpha ^{-2}e^{-\alpha /2}$, $\alpha >0$, находим
\begin{align}
\label{K(t,eps)<= for s>0}
&\Vert  K(t,\varepsilon ,s)\Vert 
\leqslant C_8 s^{-1}(t^2+\varepsilon ^2)^{-1/2}e^{-\check{c}_*(t^2+\varepsilon ^2)s/2},\quad s>0;
\\
&C_8=2^{3/2}\check{c}_*^{-1}\kappa ^{1/2}(13\delta )^{-1/2}\max\lbrace\Vert X_1\Vert ;c_1 C(1)^{1/2}\rbrace + 3\check{c}_*^{-2}C_N.
\nonumber
\end{align}
При $s\geqslant 0$ оценка более громоздкая: теперь для экспонент используем неравенства вида  
$e^{-\alpha}\leqslant 2(1+\alpha )^{-1}e^{-\alpha /2}$ и $e^{-\alpha}\alpha \leqslant 4(1+\alpha )^{-1}e^{-\alpha /2}$, где $\alpha\geqslant 0$. В результате получаем, что
\begin{align}
\label{K(t,eps)<= for s>=0}
&\Vert  K(t,\varepsilon ,s)\Vert 
\leqslant C_9 (t^2+\varepsilon ^2)^{1/2}\left(1+\check{c}_*(t^2+\varepsilon ^2)s\right)^{-1}e^{-\check{c}_*(t^2+\varepsilon ^2)s/2},\quad s\geqslant 0;
\\
&C_9=2^{5/2}\kappa ^{1/2}(13\delta )^{-1/2}\max\lbrace\Vert X_1\Vert ;c_1 C(1)^{1/2}\rbrace + 4\check{c}_*^{-1}C_N .
\nonumber
\end{align}

\begin{theorem}
\label{Theorem exp abstract}
Справедливо представление
\begin{equation}
\label{2.40a}
e^{-B(t,\varepsilon)s}=e^{-L(t,\varepsilon)s}P+K(t,\varepsilon,s)+\mathcal{R}(t,\varepsilon,s),
\end{equation}
где операторы $B(t,\varepsilon)$, $L(t,\varepsilon)$ и $K(t,\varepsilon ,s)$ определены в \eqref{B(t,eps) ne mathfrak}, \eqref{L(t,eps)} и \eqref{K(t,eps,s)} соответственно. Для оператора $K(t,\varepsilon ,s)$ справедливы оценки \eqref{K(t,eps)<= for s>0} и \eqref{K(t,eps)<= for s>=0}. Оператор $\mathcal{R}(t,\varepsilon,s):= \mathcal{R}(\tau;\vartheta ;s)$ при $t^2+\varepsilon ^2\leqslant\tau _0^2$ подчинен неравенствам
\begin{align}
\label{R2(t,eps,s) estimates}
\Vert \mathcal{R}(t,\varepsilon ,s)\Vert &\leqslant C_7(s+1)^{-1}e^{-\check{c}_*(t^2+\varepsilon ^2) s/2},\quad s\geqslant 0;
\\
\label{R2(t,eps,s) estimates s>0}
\Vert \mathcal{R}(t,\varepsilon , s)\Vert &\leqslant C_5s^{-1}e^{-\check{c}_*(t^2+\varepsilon ^2) s/2},\quad s>0.
\end{align}
Постоянные $C_5$, $C_7$, $C_8$ и $C_9$ контролируются через полиномы с абсолютными положительными коэффициентами 
от $\check{c}_*^{-1}$ и от данных \eqref{data for abstract scheme}.
\end{theorem}

\section{Аппроксимация окаймленной операторной экспоненты}

\label{Section bordered exp abstract}

\subsection{Операторное семейство $A(t)=M^*\widehat{A}(t)M$}
\label{Subsection A(t) and hat-A(t)}

Пусть $\widehat{\mathfrak{H}}$ --- еще одно гильбертово пространство, и пусть $\widehat{X}(t)=\widehat{X}_0(t)+t\widehat{X}_1(t):\widehat{\mathfrak{H}}\rightarrow \mathfrak{H}_*$ --- семейство вида \eqref{X(t) in S1}, удовлетворяющее условиям п.~\ref{Subsubsection operator pencils}. Подчеркнем, что при этом пространство $\mathfrak{H}_*$ не изменилось. \textit{Все объекты, связанные с $\widehat{X}(t)$, будем помечать значком ,,$\widehat{\phantom{a}}$''.} 
Пусть $M:\mathfrak{H}\rightarrow\widehat{\mathfrak{H}}$ --- изоморфизм и
\begin{equation}
\label{MDomX0=}
M\mathrm{Dom}\,X_0=\mathrm{Dom}\,\widehat{X}_0,
\end{equation}
$X(t)=\widehat{X}(t)M:\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}_*$; $X_0=\widehat{X}_0M$, $X_1=\widehat{X}_1M$. Тогда $A(t)=M^*\widehat{A}(t)M$, где $\widehat{A}(t)=\widehat{X}(t)^*\widehat{X}(t)$. Отметим, что $\widehat{\mathfrak{N}}=M\mathfrak{N}$, 
$\widehat{n}=n$ и $\widehat{\mathfrak{N}}_*=\mathfrak{N}_*$, $\widehat{n}_*=n_*$, $\widehat{P}_*=P_*$. Положим
\begin{equation}
\label{G= abstract scheme}
G=(MM^*)^{-1}:\widehat{\mathfrak{H}}\rightarrow\widehat{\mathfrak{H}}.
\end{equation}
Пусть $G_{\widehat{\mathfrak{N}}}$ --- блок оператора $G$ в подпространстве $\widehat{\mathfrak{N}}$: $
G_{\widehat{\mathfrak{N}}}=\widehat{P}G\vert _{\widehat{\mathfrak{N}}} :\widehat{\mathfrak{N}}\rightarrow\widehat{\mathfrak{N}}$. 
Очевидно, что $G_{\widehat{\mathfrak{N}}}$ --- изоморфизм в $\widehat{\mathfrak{N}}$. 

Пусть $\widehat{S}=\widehat{R}^*\widehat{R}:\widehat{\mathfrak{N}}\rightarrow\widehat{\mathfrak{N}}$ --- спектральный росток операторного семейства $\widehat{A}(t)$ при $t=0$. В соответствии с \cite[глава~1, п.~1.5]{BSu} выполнено 
\begin{equation}
\label{R and hat-R}
R=\widehat{R}M\vert _\mathfrak{N},\quad\mathrm{rank}\,R=\mathrm{rank}\,\widehat{R},
\end{equation}
и $S=PM^*\widehat{S}M\vert _\mathfrak{N}$.

\subsection{Операторное семейство $B(t,\varepsilon)=M^*\widehat{B}(t,\varepsilon)M$}

\label{Subsection B(t,epa) and hat-B(t,eps)}

Предположим, что для оператора $\widehat{Y}_0 :\widehat{\mathfrak{H}}\rightarrow\widetilde{\mathfrak{H}}$ справедливы условия п.~\ref{Subsection Y(t) i Y2}. Подчеркнем, что пространство $\widetilde{\mathfrak{H}}$ не изменилось. Положим $Y_0:=\widehat{Y}_0M$, $M\mathrm{Dom}\,Y_0=\mathrm{Dom}\,\widehat{Y}_0$. В силу \eqref{MDomX0=} и условия $\mathrm{Dom}\,\widehat{X}_0\subset \mathrm{Dom}\,\widehat{Y}_0$ имеет место включение $\mathrm{Dom}\,X_0\subset \mathrm{Dom}\,Y_0$. Пусть $\widehat{Y}_1: \widehat{\mathfrak{H}}\rightarrow \widetilde{\mathfrak{H}}$ --- ограниченный оператор, пусть $Y_1=\widehat{Y}_1 M :\mathfrak{H}\rightarrow\widetilde{\mathfrak{H}}$. Положим $\widehat{Y}(t):=\widehat{Y}_0+t\widehat{Y}_1 :\widehat{\mathfrak{H}}\rightarrow \widetilde{\mathfrak{H}}$, $\mathrm{Dom}\,\widehat{Y}(t)=\mathrm{Dom}\,\widehat{Y}_0$. Пусть $Y(t)=\widehat{Y}(t)M=Y_0+tY_1 : \mathfrak{H}\rightarrow \widetilde{\mathfrak{H}}$, $\mathrm{Dom}\,Y(t)=\mathrm{Dom}\,Y_0$. На операторы $\widehat{X}(t)$ и $\widehat{Y}(t)$ наложим условие~\ref{Condition Y(t)} с некоторой постоянной $\widehat{c}_1$. Тогда автоматически выполнено $\Vert Y(t)u\Vert _{\widetilde{\mathfrak{H}}}\leqslant c_1 \Vert X(t)u\Vert _{\mathfrak{H}_*}$, $u\in\mathrm{Dom}\,X_0$, где $c_1=\widehat{c}_1$.

Пусть оператор $\widehat{Y}_2:\widehat{\mathfrak{H}}\rightarrow\widetilde{\mathfrak{H}}$ удовлетворяет условиям п.~\ref{Subsection Y(t) i Y2}. Положим $Y_2:=\widehat{Y}_2M :\mathfrak{H}\rightarrow\widetilde{\mathfrak{H}}$, $M\mathrm{Dom}\,Y_2=\mathrm{Dom}\,\widehat{Y}_2$. Так как $M$ --- изоморфизм, а оператор $\widehat{Y}_2$ плотно определен, оператор $Y_2$ также плотно определен. В силу \eqref{MDomX0=} справедливо включение $\mathrm{Dom}\,X_0\subset\mathrm{Dom}\,Y_2$. Предположим, что операторы $\widehat{X}(t)$ и $\widehat{Y}_2$ подчинены условию~\ref{Condition Y2} с некоторыми постоянными $\widehat{C}(\nu)>0$.  Тогда автоматически для любого $\nu >0$ найдется постоянная $C(\nu)=\widehat{C}(\nu)\Vert M\Vert ^2 >0$ такая, что при $u\in\mathrm{Dom}\,X_0$, $t\in\mathbb{R}$, выполнена оценка $\Vert Y_2u\Vert ^2_{\widetilde{\mathfrak{H}}}\leqslant\nu \Vert X(t)u\Vert ^2_{\mathfrak{H}_*}+C(\nu)\Vert u\Vert ^2 _{\mathfrak{H}}$.

Положим $Q_0:=M^*M$. Тогда $Q_0$ --- непрерывный положительно определенный оператор в $\mathfrak{H}$. (Роль $\widehat{Q}_0$ играет тождественный оператор в $\widehat{\mathfrak{H}}$.)

Пусть в пространстве $\widehat{\mathfrak{H}}$ задана форма $\widehat{\mathfrak{q}}$, удовлетворяющая условиям п.~\ref{Subsection form g abstract scheme}. Определим форму $\mathfrak{q}$, действующую по правилу $\mathfrak{q}[u,v]=\widehat{\mathfrak{q}}[Mu,Mv]$, $u,v\in\mathrm{Dom}\,\mathfrak{q}$, $M\mathrm{Dom}\,\mathfrak{q}=\mathrm{Dom}\,\widehat{\mathfrak{q}}$. Формально, $Q=M^*\widehat{Q}M$. Пусть для оператора $\widehat{X}(t)$ и формы $\widehat{\mathfrak{q}}$ выполнено условие~\ref{Condition q} с некоторыми постоянными $\kappa$, $\widehat{c}_0$, $\widehat{c}_2$ и $\widehat{c}_3$. Учитывая \eqref{MDomX0=}, можно проверить, что тогда оператор $X(t)=\widehat{X}(t)M$ и форма $\mathfrak{q}$ удовлетворяют условию~\ref{Condition q} с постоянными
\begin{equation}
\label{c0 relations}
c_0=\Vert M\Vert ^2\widehat{c}_0,\quad\mbox{если }\widehat{c}_0\geqslant 0,\quad
c_0=\Vert M^{-1}\Vert ^{-2}\widehat{c}_0,\quad\mbox{если }\widehat{c}_0<0,
\end{equation}
$c_2=\widehat{c}_2$, $c_3=\Vert M\Vert ^2\widehat{c}_3$ и прежней константой $\kappa$. Из \eqref{c4} видно, что постоянные $c_4$ и $\widehat{c}_4=4\kappa ^{-1}\widehat{c}_1^{\,2}\widehat{C}(\nu)$ при $\nu=\kappa ^2(16\widehat{c}_1^{\,2})^{-1}$ связаны равенством
\begin{equation}
\label{c4 and hat c4}
c_4=\Vert M\Vert ^2 \widehat{c}_4.
\end{equation}

При сделанных предположениях операторный пучок
\begin{equation}
\label{hat B(t,eps)}
\widehat{B}(t,\varepsilon)=\widehat{A}(t)+\varepsilon(\widehat{Y}_2^*\widehat{Y}(t)+\widehat{Y}(t)^*\widehat{Y}_2)+
\varepsilon ^2\widehat{Q}+\lambda\varepsilon ^2 I
\end{equation}
связан с пучком~\eqref{B(t,eps) ne mathfrak} соотношением 
\begin{equation}
\label{B=M*hat-B M abstract}
B(t,\varepsilon)=M^*\widehat{B}(t,\varepsilon)M. 
\end{equation}
Постоянная $\lambda$ выбирается из условия~\eqref{lambda condition} для оператора \eqref{B(t,eps) ne mathfrak}. Используя соотношения \eqref{c0 relations}, \eqref{c4 and hat c4} и равенство $Q_0=M^*M$, находим, что при таком выборе $\lambda$ условие~\eqref{lambda condition} для оператора~\eqref{hat B(t,eps)} также выполнено.

Отметим, что для оператора \eqref{hat B(t,eps)} оба варианта соотношений \eqref{beta condition}  принимают вид $\widehat{\beta}=\lambda-\widehat{c}_0-\widehat{c}_4$. Отсюда и из \eqref{beta condition}, \eqref{c0 relations}, \eqref{c4 and hat c4}  вытекает 
оценка
\begin{equation}
\label{beta<=||M^-1||^-2hat beta}
\beta \leqslant \Vert M^{-1}\Vert ^{-2}\widehat{\beta}.
\end{equation}

\subsection{Связь спектральных ростков $S(\vartheta)$ и $\widehat{S}(\vartheta)$}

В выражениях для операторов $B(t,\varepsilon)$ и $\widehat{B}(t,\varepsilon)$ перейдем к параметрам $\tau$, $\vartheta$. 
Рассмотрим спектральный росток \eqref{S(theta)=} и аналогичный росток для семейства \eqref{hat B(t,eps)}:
\begin{equation}
\label{hat S(vartheta)=}
\begin{split}
\widehat{S}(\vartheta)&=
\vartheta _1 ^2\widehat{S}
-\vartheta _1\vartheta _2(\widehat{X}_0\widehat{Z})^*(\widehat{X}_0\widehat{\widetilde{Z}})\vert _{\widehat{\mathfrak{N}}}-\vartheta _1\vartheta _2 (\widehat{X}_0\widehat{\widetilde{Z}})^*(\widehat{X}_0\widehat{Z})\vert _{\widehat{\mathfrak{N}}}
\\
&-\vartheta _2^2 (\widehat{X}_0\widehat{\widetilde{Z}})^*(\widehat{X}_0\widehat{\widetilde{Z}})\vert _{\widehat{\mathfrak{N}}}
+\vartheta _1\vartheta _2 \widehat{P}(\widehat{Y}_2^*\widehat{Y}_1+\widehat{Y}_1^*\widehat{Y}_2)\vert _{\widehat{\mathfrak{N}}}
+\vartheta _2 ^2(\widehat{Q}_{\widehat{\mathfrak{N}}}+\lambda I_{\widehat{\mathfrak{N}}}).
\end{split}
\end{equation}
В \cite[предложение~1.8]{M_AA} установлена связь операторов \eqref{S(theta)=} и \eqref{hat S(vartheta)=}:
\begin{equation}
\label{S(theta) and hat-S(theta)}
S(\vartheta)=PM^*\widehat{S}(\vartheta)M\vert _\mathfrak{N}.
\end{equation}

Вернемся к параметрам $t$, $\varepsilon$. 
Оператор $\tau ^2 \widehat{S}(\vartheta)=:\widehat{L}(t,\varepsilon)$ задается выражением
\begin{equation}
\label{hat L(t,eps)}
\begin{split}
\widehat{L}(t,\varepsilon)
&=t^2 \widehat{S} +t\varepsilon \left( -(\widehat{X}_0\widehat{Z})^*\widehat{X}_0\widehat{\widetilde{Z}}
-(\widehat{X}_0\widehat{\widetilde{Z}})^*\widehat{X}_0\widehat{Z}
+\widehat{P}(\widehat{Y}_2^*\widehat{Y}_1+\widehat{Y}_1^*\widehat{Y}_2)\right)\Big\vert _{\widehat{\mathfrak{N}}}
\\
&+\varepsilon ^2 \left(-(\widehat{X}_0\widehat{\widetilde{Z}})^*\widehat{X}_0\widehat{\widetilde{Z}}\vert _{\widehat{\mathfrak{N}}}+\widehat{Q}_{\widehat{\mathfrak{N}}}+\lambda I_{\widehat{\mathfrak{N}}}\right).
\end{split}
\end{equation}
В силу \eqref{S(theta) and hat-S(theta)} имеем $L(t,\varepsilon)=PM^*\widehat{L}(t,\varepsilon)M\vert _{\mathfrak{N}}$. 
Здесь $L(t,\varepsilon)$ --- оператор \eqref{L(t,eps)}.

\subsection{Операторы $\widehat{Z}_G$ и $\widehat{\widetilde{Z}}_G$}
\label{Subsection ZG and tilde ZG abstract scheme}

Введем $\widehat{Z}_G$ --- оператор в $\widehat{\mathfrak{H}}$, переводящий элемент $\widehat{u}\in\widehat{\mathfrak{H}}$ в (единственное) решение $\widehat{\phi}_G$ уравнения
\begin{equation*}
\widehat{X}_0^*(\widehat{X}_0\widehat{\phi}_G+\widehat{X}_1\widehat{\omega})=0,\quad G\widehat{\phi}_G\perp \widehat{\mathfrak{N}},
\end{equation*}
где $\widehat{\omega}=\widehat{P}\widehat{u}$.  Уравнение понимается в слабом смысле (ср. \eqref{def Z phi tozd}). Тогда, как показано в \cite[лемма~6.1]{BSu05-1},
\begin{equation}
\label{hat_Z-G and Z}
\widehat{Z}_G=MZM^{-1}\widehat{P}.
\end{equation}

Аналогично введем $\widehat{\widetilde{Z}}_G$ --- оператор в $\widehat{\mathfrak{H}}$, сопоставляющий элементу $\widehat{u}\in\widehat{\mathfrak{H}}$ (единственное) решение $\widehat{\psi}_G$ уравнения
\begin{equation*}
\widehat{X}_0^*\widehat{X}_0\widehat{\psi}_G+\widehat{Y}_0^*\widehat{Y}_2\widehat{\omega}=0,\quad G\widehat{\psi}_G\perp \widehat{\mathfrak{N}},
\end{equation*}
где $\widehat{\omega}=\widehat{P}\widehat{u}$. Уравнение понимается в слабом смысле. Производя пересчет в уравнении \eqref{eq tilde Z abstract}, с учетом тождеств $M\mathfrak{N}=\widehat{\mathfrak{N}}$, \eqref{MDomX0=} и \eqref{G= abstract scheme}, находим
\begin{equation}
\label{hat_tilde-Z-G and tilde Z}
\widehat{\widetilde{Z}}_G=M\widetilde{Z}M^{-1}\widehat{P}.
\end{equation}

\subsection{Оператор $\widehat{N}_G(t,\varepsilon)$}

Используя связь операторов $X_0$, $X_1$, $Y_0$, $Y_1$, $Y_2$ и $Q$ с соответствующими операторами со ,,шляпкой'', равенства $\widehat{\mathfrak{N}}=M\mathfrak{N}$, $Q_0=M^*M$, \eqref{N11 abstract}--\eqref{N22 abstract}, \eqref{N(t,eps)=},  \eqref{R and hat-R}, \eqref{hat_Z-G and Z}
 и \eqref{hat_tilde-Z-G and tilde Z}, заключаем, что оператор
\begin{equation}
\label{NG def in abstr scheme}
\widehat{N}_G(t,\varepsilon):=\widehat{P}(M^*)^{-1}N(t,\varepsilon)M^{-1}\widehat{P}
\end{equation}
имеет вид 
\begin{equation}
\label{NG(t,eps):=}
\widehat{N}_G(t,\varepsilon)=t^3 \widehat{N}_{G,11}+t^2\varepsilon \widehat{N}_{G,12}
+t\varepsilon ^2 \widehat{N}_{G,21}+\varepsilon ^3 \widehat{N}_{G,22},
\end{equation}
где
\begin{align}
\label{NG11 abstract}
\widehat{N}_{G,11}&=(\widehat{X}_1\widehat{Z}_G)^*\widehat{R}\widehat{P}+(\widehat{R}\widehat{P})^*\widehat{X}_1\widehat{Z}_G,
\\
\begin{split}
\widehat{N}_{G,12}&=(\widehat{X}_1\widehat{\widetilde{Z}}_G)^*\widehat{R}\widehat{P}+(\widehat{R}\widehat{P})^*\widehat{X}_1\widehat{\widetilde{Z}}_G+(\widehat{X}_1\widehat{Z}_G)^*\widehat{X}_0\widehat{\widetilde{Z}}_G
\\
&+(\widehat{X}_0\widehat{\widetilde{Z}}_G)^*\widehat{X}_1\widehat{Z}_G
+(\widehat{Y}_2\widehat{Z}_G)^*\widehat{Y}_0\widehat{Z}_G+(\widehat{Y}_0\widehat{Z}_G)^*\widehat{Y}_2\widehat{Z}_G
\\
&+(\widehat{Y}_2\widehat{Z}_G)^*\widehat{Y}_1\widehat{P}+(\widehat{Y}_1\widehat{P})^*\widehat{Y}_2\widehat{Z}_G
+(\widehat{Y}_2\widehat{P})^*\widehat{Y}_1\widehat{Z}_G+(\widehat{Y}_1\widehat{Z}_G)^*\widehat{Y}_2\widehat{P},
\end{split}
\\
\begin{split}
\widehat{N}_{G,21}&=(\widehat{X}_0\widehat{\widetilde{Z}}_G)^*\widehat{X}_1\widehat{\widetilde{Z}}_G
+(\widehat{X}_1\widehat{\widetilde{Z}}_G)^*\widehat{X}_0\widehat{\widetilde{Z}}_G
+(\widehat{Y}_2\widehat{Z}_G)^*\widehat{Y}_0\widehat{\widetilde{Z}}_G
\\
&+(\widehat{Y}_0\widehat{\widetilde{Z}}_G)^*\widehat{Y}_2\widehat{Z}_G
+(\widehat{Y}_2\widehat{\widetilde{Z}}_G)^*\widehat{Y}_0\widehat{Z}_G
+(\widehat{Y}_0\widehat{Z}_G)^*\widehat{Y}_2\widehat{\widetilde{Z}}_G
+(\widehat{Y}_2\widehat{\widetilde{Z}}_G)^*\widehat{Y}_1\widehat{P}
\\
&+(\widehat{Y}_1\widehat{P})^*\widehat{Y}_2\widehat{\widetilde{Z}}_G
+(\widehat{Y}_1\widehat{\widetilde{Z}}_G)^*\widehat{Y}_2\widehat{P}
+(\widehat{Y}_2\widehat{P})^*\widehat{Y}_1\widehat{\widetilde{Z}}_G
\\
&+\widehat{Z}_G^*\widehat{Q}\widehat{P}+\widehat{P}\widehat{Q}\widehat{Z}_G
+\lambda (\widehat{Z}_G^*\widehat{P}+\widehat{P}\widehat{Z}_G),
\end{split}
\\
\label{N_G22 abstract}
\begin{split}
\widehat{N}_{G,22}&=(\widehat{Y}_0\widehat{\widetilde{Z}}_G)^*\widehat{Y}_2\widehat{\widetilde{Z}}_G
+(\widehat{Y}_2\widehat{\widetilde{Z}}_G)^*\widehat{Y}_0\widehat{\widetilde{Z}}_G
+\bigl(\widehat{\widetilde{Z}}_G\bigr)^*\widehat{Q}\widehat{P}
+\widehat{P}\widehat{Q}\widehat{\widetilde{Z}}_G
\\
&+\lambda\Bigl(\bigl(\widehat{\widetilde{Z}}_G\bigr)^*\widehat{P}
+\widehat{P}\widehat{\widetilde{Z}}_G\Bigr)
.
\end{split}
\end{align}
Отметим оценку, вытекающую из \eqref{N(t,eps)<=} и \eqref{NG def in abstr scheme}:
\begin{equation}
\label{NG<= abstract scheme}
\Vert \widehat{N}_G(t,\varepsilon)\Vert \leqslant C_G (t^2+\varepsilon ^2)^{3/2};\quad C_G= C_N\Vert M^{-1}\Vert ^2 .
\end{equation}
В соответствии с замечанием~\ref{Remark constants Sec.1} справедливо следующее наблюдение.

\begin{remark}
\label{Remark CG}
Постоянная $C_G$ контролируется через полином с положительными коэффициентами от $\Vert M^{-1}\Vert $ и от данных \eqref{data for abstract scheme}.
\end{remark}

\subsection{Аппроксимация окаймленной операторной экспоненты}

Наша цель в этом пункте --- для оператора вида \eqref{B=M*hat-B M abstract} найти аппроксимацию операторной экспоненты $e^{-B(t,\varepsilon)s}$ в терминах изоморфизма $M$ и пороговых характеристик оператора $\widehat{B}(t,\varepsilon)$. 

Пусть для оператора ${A}(t)$ справедливо неравенство \eqref{A(t)>= abstract} с некоторой постоянной ${c}_*>0$: 
$
{A}(t)\geqslant {c}_*t^2I$, $\vert t\vert \leqslant {\tau}_0$. 
Здесь $\tau _0$ подчинено условию \eqref{tau 0 in abstract scheme} для оператора $B(t,\varepsilon)$. Тогда для $B(t,\varepsilon)$ выполнена оценка \eqref{B(tau,theta)>=}. 

Итак, оператор $B(t,\varepsilon)$ вида \eqref{B=M*hat-B M abstract} удовлетворяет всем условиям теоремы~\ref{Theorem exp abstract}. 
Применяя ее и умножая равенство \eqref{2.40a} на оператор $M$ слева и на $M^*$ справа, находим
\begin{equation}
\label{M Th exp M*}
\begin{split}
Me^{-B(t,\varepsilon)s}M^*&=Me^{-L(t,\varepsilon)s}PM^*
+MK(t,\varepsilon,s)M^*
+M\mathcal{R}(t,\varepsilon,s)M^*.
\end{split}
\end{equation}
Согласно \eqref{K(t,eps,s)}
\begin{equation}
\label{K(t,eps,s) bordered in sec 3}
\begin{split}
MK(t,\varepsilon,s)M^*
&=M(tZ+\varepsilon \widetilde{Z})e^{-L(t,\varepsilon)s}PM^*
\\
&+Me^{-L(t,\varepsilon)s}P(tZ^*+\varepsilon \widetilde{Z}^*)M^*
\\
&-\int _0^s M e^{-L(t,\varepsilon)(s-\widetilde{s})}PN(t,\varepsilon)Pe^{-L(t,\varepsilon)\widetilde{s}}PM^*\,d\widetilde{s}.
\end{split}
\end{equation}

Учтем тождество, установленное в \cite[предложение 3.1]{M_AA}:
\begin{equation}
\label{exp eff M tozd}
Me^{-L(t,\varepsilon)s}PM^*=M_0e^{-M_0\widehat{L}(t,\varepsilon)M_0 s}M_0\widehat{P}.
\end{equation}
Здесь $L(t,\varepsilon)$ и $\widehat{L}(t,\varepsilon)$ --- операторы \eqref{L(t,eps)} и \eqref{hat L(t,eps)} соответственно,
\begin{equation}
\label{M0}
M_0:=(G_{\widehat{\mathfrak{N}}})^{-1/2}.
\end{equation}

Обозначим $K_G(t,\varepsilon,s):= MK(t,\varepsilon,s)M^*$. Отметим сразу оценки, вытекающие из \eqref{K(t,eps)<= for s>0} и \eqref{K(t,eps)<= for s>=0}:
\begin{align}
\label{KG (t,eps)<= for s>0}
\Vert & K _G(t,\varepsilon ,s)\Vert 
\leqslant C_8\Vert M\Vert ^2 s^{-1}(t^2+\varepsilon ^2)^{-1/2}e^{-\check{c}_*(t^2+\varepsilon ^2)s/2},\quad s>0;
\\
\label{KG (t,eps)<= for s>=0}
\begin{split}
\Vert & K_G(t,\varepsilon ,s)\Vert 
\leqslant C_9\Vert M\Vert ^2 (t^2+\varepsilon ^2)^{1/2}\left(1+\check{c}_*(t^2+\varepsilon ^2)s\right)^{-1}e^{-\check{c}_*(t^2+\varepsilon ^2)s/2},\\
&s\geqslant 0.
\end{split}
\end{align}
В силу \eqref{hat_Z-G and Z}--\eqref{NG def in abstr scheme}, \eqref{K(t,eps,s) bordered in sec 3} и \eqref{exp eff M tozd} для оператора $K_G(t,\varepsilon,s)$ справедливо представление
\begin{equation}
\label{KG(t,eps,s) tozd Sec 3}
\begin{split}
K_G(t,\varepsilon,s)
&=\bigl(t\widehat{Z}_G+\varepsilon\widehat{\widetilde{Z}}_G\bigr)M_0e^{-M_0\widehat{L}(t,\varepsilon)M_0 s}M_0\widehat{P}
\\
&+M_0e^{-M_0\widehat{L}(t,\varepsilon)M_0 s}M_0\widehat{P}\Bigl(t\widehat{Z}_G^*+\varepsilon\bigl(\widehat{\widetilde{Z}}_G\bigr)^*\Bigr)
\\
&-\int _0^s M_0e^{-M_0\widehat{L}(t,\varepsilon)M_0 (s-\widetilde{s})}M_0\widehat{N}_G(t,\varepsilon)M_0e^{-M_0\widehat{L}(t,\varepsilon)M_0 \widetilde{s}}M_0\widehat{P}\,d\widetilde{s}.
\end{split}
\end{equation}

Объединяя \eqref{R2(t,eps,s) estimates}, \eqref{R2(t,eps,s) estimates s>0}, \eqref{M Th exp M*}, \eqref{exp eff M tozd} и \eqref{KG(t,eps,s) tozd Sec 3},  получаем следующий результат.

\begin{theorem}
\label{Theorem bordered exp final in abstrach scheme}
Пусть выполнены условия п.~\textnormal{\ref{Subsection A(t) and hat-A(t)}} и  \textnormal{\ref{Subsection B(t,epa) and hat-B(t,eps)}}. Пусть для оператора ${A}(t)$ справедливо неравенство \eqref{A(t)>= abstract}. Пусть оператор  $\widehat{L}(t,\varepsilon)$ определен в \eqref{hat L(t,eps)}. Пусть $M_0$ --- оператор \eqref{M0}. Тогда справедливо представление
\begin{equation*}
\begin{split}
Me^{-B(t,\varepsilon)s}M^*=M_0e^{-M_0\widehat{L}(t,\varepsilon)M_0 s}M_0\widehat{P}
+K_G(t,\varepsilon,s)
+M\mathcal{R}(t,\varepsilon,s)M^*.
\end{split}
\end{equation*}
Здесь $K_G(t,\varepsilon,s)$ --- оператор \eqref{KG(t,eps,s) tozd Sec 3}, удовлетворяющий оценкам \eqref{KG (t,eps)<= for s>0}, \eqref{KG (t,eps)<= for s>=0}, 
а для остаточного члена выполнены неравенства
\begin{align*}
\Vert M\mathcal{R}(t,\varepsilon,s)M^*\Vert &\leqslant C_7\Vert M\Vert ^2
(s+1)^{-1}e^{-\check{c}_*(t^2+\varepsilon ^2) s/2},\quad s\geqslant 0;
\\
\Vert M\mathcal{R}(t,\varepsilon,s)M^*\Vert &\leqslant C_5\Vert M\Vert ^2
s^{-1}e^{-\check{c}_*(t^2+\varepsilon ^2) s/2},\quad s>0.
\end{align*}
Постоянные $C_5$, $C_7$, $C_8$, $C_9$ контролируются через полиномы от $\check{c}_*^{-1}$ и данных \eqref{data for abstract scheme}, коэффициенты которых --- абсолютные положительные постоянные.
\end{theorem}


\section*{Глава 2. Периодические дифференциальные операторы в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$}
\addcontentsline{toc}{section}{Глава 2. Периодические дифференциальные операторы в~$L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$}

\section{Предварительные сведения}

\label{Section Pervaritel'nye svedeniya}

\subsection{Решетки $\Gamma $ и $\widetilde{\Gamma }$} 
Пусть $\Gamma$~--- решетка в $\mathbb{R}^d$, порожденная базисом 
$\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_d$: $$\Gamma=\lbrace \mathbf{a}\in 
\mathbb{R}^d:\; \mathbf{a}=\sum _{j=1}^d n^j\mathbf{a}_j,\; n^j\in 
\mathbb{Z}\rbrace.$$ Через $\Omega$ обозначим элементарную ячейку решетки 
$\Gamma$: $$\Omega=\lbrace\mathbf{x}\in \mathbb{R}^d:\; \mathbf{x}=\sum 
_{j=1}^d\xi ^j\mathbf{a}_j,\; 0<\xi ^j<1\rbrace.$$ Базис 
$\mathbf{b}^1,\dots,\mathbf{b}^d$, двойственный к 
$\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_d$, определяется соотношениями 
$\langle\mathbf{b}^l, \mathbf{a}_j\rangle=2\pi \delta ^l_j$. Этот базис 
порождает решетку $\widetilde{\Gamma}$, двойственную к решетке~$\Gamma$. 
За $\widetilde{\Omega}$ обозначим \textit{зону Бриллюэна} решетки 
$\widetilde{\Gamma}$: 
$$\widetilde{\Omega}=\lbrace \mathbf{k}\in 
\mathbb{R}^d:\; \vert \mathbf{k}\vert<\vert \mathbf{k}-\mathbf{b}\vert ,\; 
0\neq \mathbf{b}\in \widetilde{\Gamma}\rbrace.$$ 
Область 
$\widetilde{\Omega}$ является фундаментальной для $\widetilde{\Gamma}$. 
Будем пользоваться обозначениями $\vert \Omega\vert 
=\textrm{mes}\,\Omega,$ $\vert \widetilde{\Omega}\vert 
=\textrm{mes}\,\widetilde{\Omega}$. Пусть $r_0$~--- радиус шара, 
вписанного в $\textrm{clos}\;\widetilde{\Omega}$, и пусть $2r_1 = 
\text{diam}\, \widetilde{\Omega}$.

 Если $\Phi (\mathbf{x})$~---~$\Gamma$-периодическая мат\-ри\-ца-функция в $\mathbb{R}^d$, положим 
\begin{equation}
\label{underline and overline definition}
\overline{\Phi}:=\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega \Phi(\mathbf{x})\,d\mathbf{x},\quad
 \underline{\Phi}:=\left(\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega \Phi(\mathbf{x})^{-1}\,d\mathbf{x}\right)^{-1}. 
\end{equation}
Здесь при определении $\overline{\Phi}$ предполагается, что $\Phi\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$, а при определении $\underline{\Phi}$ считается, что матрица $\Phi$ квадратная и неособая, причем $\Phi^{-1}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$. 

\subsection{Факторизованные операторы второго порядка} 
\label{Subsection Factorized DOs}
(См. \cite{BSu}.)
Пусть $b(\mathbf{D})= \sum_{l=1}^d b_l D_l  :  
L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)\rightarrow 
L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m)$~---
ДО первого порядка. Здесь $b_l$~--- постоянные $(m\times n)$-матрицы. 
\textit{Считаем, что} $m\geqslant n$.
Относительно символа $b(\boldsymbol{\xi})= \sum_{l=1}^d b_l \xi_l$ 
\textit{предположим, что} $\textrm{rank}\,b(\boldsymbol{\xi})=n$, $0\neq 
\boldsymbol{\xi}\in \mathbb{R}^d$. Тогда при некоторых $\alpha _0,\, 
\alpha _1 >0$ выполнено
\begin{equation}
\label{<b^*b<}
\alpha _0\mathbf{1}_n \leqslant b(\boldsymbol{\theta})^*b(\boldsymbol{\theta}) 
\leqslant \alpha _1\mathbf{1}_n,\quad 
\boldsymbol{\theta}\in \mathbb{S}^{d-1},\quad 
0<\alpha _0\leqslant \alpha _1<\infty.
\end{equation}
Пусть $(n\times n)$-матрица-функция $f(\mathbf{x})$ и $(m\times 
m)$-матрица-функция $h(\mathbf{x})$, $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d$,~--- 
ограничены и ограниченно обратимы:
\begin{equation}
\label{f,h}
f,\,f^{-1}\in L_\infty(\mathbb{R}^d);\quad h,\;h^{-1}\in L_\infty(\mathbb{R}^d).
\end{equation}
Функции $f$ и $h$ предполагаются $\Gamma$-периодическими. Рассмотрим ДО
\begin{align}
\label{DO X}
&\mathcal{X}:=hb(\mathbf{D})f\,:\,L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m),
\\
\label{Dom DO X}
&\textrm{Dom}\,\mathcal{X}:=\lbrace \mathbf{u}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)\; :\; f\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)\rbrace.
\end{align}
Оператор \eqref{DO X} замкнут на области определения \eqref{Dom DO X}. 
Рассмотрим самосопряженный в~$L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ оператор 
$\mathcal{A}:=\mathcal{X^*X}$, отвечающий квадратичной форме 
\begin{equation}
\label{frak a[u,u]}
\mathfrak{a}[\mathbf{u},\mathbf{u}]=\Vert\mathcal{X}\mathbf{u}\Vert^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad 
\mathbf{u}\in \textrm{Dom}\,\mathcal{X}.
\end{equation} 
Формально можно записать 
$\mathcal{A}=f^*b(\mathbf{D})^*gb(\mathbf{D})f$, где  $g=h^*h$. Используя 
преобразование Фурье и \eqref{<b^*b<}, \eqref{f,h}, легко проверить, что 
при $\mathbf{u}\in \textrm{Dom}\,\mathcal{X}$ справедливы оценки
\begin{equation}
\label{<a[u,u]<}
\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}^{-1}\Vert \mathbf{D}(f\mathbf{u})\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \mathfrak{a}[\mathbf{u},\mathbf{u}]\leqslant \alpha _1\Vert g \Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{D}(f\mathbf{u})\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}

\subsection{Операторы $\mathcal{Y}$ и $\mathcal{Y}_2$} 
Перейдем к описанию младших членов.  Введем оператор 
$\mathcal{Y}:L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^{n})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^{dn})$, действующий по правилу
\begin{equation}
\label{mathcal Y}
\mathcal{Y}\textbf{u}=\mathbf{D}(f\mathbf{u})
=\textrm{col}\,\lbrace D_1(f\mathbf{u}),\dots ,D_d(f\mathbf{u})\rbrace ,\quad 
\textrm{Dom}\,\mathcal{Y}=\textrm{Dom}\,\mathcal{X}.
\end{equation}
Нижняя оценка \eqref{<a[u,u]<} означает, что
\begin{equation}
\label{Yu<=}
\Vert \mathcal{Y}\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant c_1\Vert \mathcal{X}\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad \mathbf{u}\in \textrm{Dom}\,\mathcal{X};\quad
c_1=\alpha _0^{-1/2}\Vert g ^{-1}\Vert _{L_\infty }^{1/2}.
\end{equation}

Пусть в $\mathbb{R}^d$ заданы $\Gamma $-периодические $(n\times 
n)$-матрицы-функции $a_j(\mathbf{x})$,\break $j=1,\dots ,d$, такие, что
\begin{equation}
\label{a_j}
a_j\in L_\varrho (\Omega),\quad \varrho =2\;\mbox{при}\;d=1,\quad 
\varrho >d\enskip\text{при}\enskip d\geqslant 2;\quad j=1,\dots ,d.
\end{equation}
Пусть оператор $\mathcal{Y}_2:L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^{dn})$ действует
на области определения $\textrm{Dom}\,\mathcal{Y}_2=\textrm{Dom}\,\mathcal{X}$
по правилу $\mathcal{Y}_2\textbf{u}=\textrm{col}\,\lbrace a_1^*f\mathbf{u},\dots ,a_d^*f\mathbf{u}\rbrace $. Формально,
$(\mathcal{Y}_2^*\mathcal{Y}+\mathcal{Y}^*\mathcal{Y}_2)\mathbf{u}=\sum_{j=1}^d\left( f^*a_jD_j(f\mathbf{u})+f^*D_j(a_j^*f\mathbf{u})\right)$.

Используя неравенство Гёльдера, условия \eqref{f,h}, \eqref{a_j} и 
компактность вложения $H^1(\Omega )\hookrightarrow L_p(\Omega )$ при  $p=2\varrho 
/(\varrho -2)$, можно показать (ср. \cite[п.~5.2]{Su10}), что для 
любого $\nu >0$ существует постоянная $C(\nu)>0$ такая, что
\begin{equation}
\label{DOY_2u<=}
\Vert \mathcal{Y}_2\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant
 \nu\Vert \mathcal{X}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+C(\nu)\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad \mathbf{u}\in \textrm{Dom}\,\mathcal{X}.
\end{equation}
При фиксированном $\nu$ постоянная $C(\nu)$ зависит от норм $\Vert 
a_j\Vert _{L_\varrho (\Omega)},\;j=1,\dots ,d$, от $\Vert f\Vert 
_{L_\infty }$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty }$, $\alpha _0$, $d$, 
$\varrho $ и от параметров решетки $\Gamma $.

Используя \eqref{Yu<=} и \eqref{DOY_2u<=}, несложно получить неравенство
\begin{align}
\label{1089}
&2\varepsilon \vert \, \textrm{Re}(\mathcal{Y}\mathbf{u},\mathcal{Y}_2\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)}\vert \leqslant \frac{\kappa}{2}\Vert \mathcal{X}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+c_4\varepsilon ^2\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},
\\
&\mathbf{u}\in \textrm{Dom}\,\mathcal{X};
\quad
c_4=4\kappa ^{-1}c_1^2C(\nu)\enskip\text{при}\enskip\nu=\kappa ^2(16c_1^2)^{-1}.
\nonumber
\end{align}

\subsection{Оператор $\mathcal{Q}_0$, форма $q[\mathbf{u},\mathbf{u}]$} 
\label{Subsection Q0 q}
Пусть $\mathcal{Q}_0$~--- оператор в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, 
действующий как умножение на $\Gamma$-периодическую положительно 
опреде\-ленную ограниченную мат\-ри\-цу-функ\-цию 
$\mathcal{Q}_0(\mathbf{x}):=f(\mathbf{x})^*f(\mathbf{x})$.

Пусть в $\mathbb{R}^d$ задана $\Gamma$-периодическая бо\-ре\-левская 
$\sigma $-конечная мера\break $d\mu (\mathbf{x})=\lbrace d\mu 
_{jl}(\mathbf{x})\rbrace ,\,j,l=1,\dots ,n$, со значениями в классе 
эрмитовых\break $(n\times n)$-матриц. Иначе говоря, $d\mu _{jl}(\mathbf{x})$~--- 
комплексная $\Gamma$-периодичес\-кая мера в $\mathbb{R}^d$ и $d\mu 
_{jl}=d\mu _{lj}^*$. Предположим, что мера $d\mu$ такова, что функция 
$\vert v (\mathbf{x})\vert ^2$ суммируема по каждой мере $d\mu _{jl}$ для 
любой функции $v\in H^1(\mathbb{R}^d)$.

В $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассмотрим форму 
$$q[\mathbf{u},\mathbf{u}]=\int _{\mathbb{R}^d}\langle d\mu 
(\mathbf{x})f\mathbf{u},f\mathbf{u}\rangle ,\quad \mathbf{u}\in 
\textrm{Dom}\,\mathcal{X}.$$ 
Наложим на меру $d\mu $ следующее 
ограничение.

\begin{condition}
\label{Condition on mu}
\noindent
$1^\circ$. Существуют постоянные $\widetilde{c}_2\geqslant 0$ и $\widehat{c}_3\geqslant 0$ такие, что при любых $\mathbf{u},\mathbf{v}\in H^1(\Omega ;\mathbb{C}^n)$ выполнена оценка
\begin{equation*}
\begin{split}
\left\vert \int _\Omega \langle d\mu (\mathbf{x})\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle\right\vert
&\leqslant
\left(\widetilde{c}_2\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\Omega)}+\widehat{c}_3\Vert \mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\Omega)}\right)^{1/2}
\\
&\times
\left(\widetilde{c}_2\Vert \mathbf{D}\mathbf{v}\Vert ^2_{L_2(\Omega)}+\widehat{c}_3\Vert \mathbf{v}\Vert ^2 _{L_2(\Omega)}\right)^{1/2}.
\end{split}
\end{equation*}

\noindent
$2^\circ$. Справедлива оценка
\begin{equation*}
\int _\Omega \langle d\mu (\mathbf{x})\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle
\geqslant
-\widetilde{c}\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\Omega)}-\widehat{c}_0\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\Omega)},\quad
\mathbf{u}\in H^1(\Omega ;\mathbb{C}^n),
\end{equation*}
с некоторыми постоянными $\widehat{c}_0\in\mathbb{R}$ и $\widetilde{c}$ такой, что $0\leqslant\widetilde{c}<\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}$.
\end{condition}

Заметим, что из условия~\ref{Condition on mu} вытекают оценки
\begin{align}
\label{1034-1}
\begin{split}
\left\vert \int _\Omega \langle d\mu (\mathbf{x})f\mathbf{u},f\mathbf{v}\rangle\right\vert
&\leqslant
\left(\widetilde{c}_2\Vert \mathbf{D}(f\mathbf{u})\Vert ^2_{L_2(\Omega)}+c_3\Vert \mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\Omega)}\right)^{1/2}
\\
&\times
\left(\widetilde{c}_2\Vert \mathbf{D}(f\mathbf{v})\Vert ^2_{L_2(\Omega)}+c_3\Vert \mathbf{v}\Vert ^2 _{L_2(\Omega)}\right)^{1/2},
\end{split}
\\
\label{1034-2}
\int _\Omega \langle d\mu (\mathbf{x})f\mathbf{u},f\mathbf{u}\rangle
&\geqslant
-\widetilde{c}\Vert \mathbf{D}(f\mathbf{u})\Vert ^2_{L_2(\Omega)}-c_0\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\Omega)},
\end{align}
$f\mathbf{u},f\mathbf{v}\in H^1(\Omega ;\mathbb{C}^n)$,  
с постоянными $c_0=\widehat{c}_0\Vert f\Vert _{L_\infty }^2$, если $\widehat{c}_0\geqslant 0$,  $c_0=\widehat{c}_0\Vert f ^{-1}\Vert _{L_\infty}^{-2}$, если $\widehat{c}_0<0$; $c_3=\Vert f\Vert _{L_\infty }^2\widehat{c}_3$.


При $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\textrm{Dom}\,\mathcal{X}$ запишем неравенства 
\eqref{1034-1}, \eqref{1034-2} по сдвинутым ячейкам $\Omega +\mathbf{a},$ 
$\mathbf{a}\in\Gamma $, и просуммируем. Получим
\begin{align*}
\begin{split}
\vert q[\mathbf{u},\mathbf{v}]\vert &\leqslant \left( \widetilde{c}_2\Vert \mathbf{D}(f\mathbf{u})\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}^2 +c_3\Vert \mathbf{u} \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}^2\right)^{1/2}
\\
&\times
\left( \widetilde{c}_2\Vert \mathbf{D}(f\mathbf{v})\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}^2 +c_3\Vert \mathbf{v} \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}^2\right)^{1/2},
\end{split}
\\
q[\mathbf{u},\mathbf{u}]&\geqslant -\widetilde{c}\Vert \mathbf{D}(f\mathbf{u})\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}^2-c_0\Vert \mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d )}^2.
\end{align*}
С учетом \eqref{<a[u,u]<} отсюда следуют оценки
\begin{align}
\label{DOcond.1.4-1}
\begin{split}
\vert q[\mathbf{u},\mathbf{v}]\vert
&\leqslant \left(c_2\Vert \mathcal{X}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+c_3\Vert \mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}^2\right)^{1/2}
\\
&\times
\left(c_2\Vert \mathcal{X}\mathbf{v}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+c_3\Vert \mathbf{v}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}^2\right)^{1/2},
\end{split}
\\
\label{DOcond.1.4-2}
q[\mathbf{u},\mathbf{u}]&\geqslant -(1-\kappa )\Vert \mathcal{X}\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}^2-c_0\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},
\end{align}
$\mathbf{u},\mathbf{v}\in\textrm{Dom}\,\mathcal{X}$. Здесь 
$c_2=\widetilde{c}_2\alpha _0^{-1}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty }$, 
$\kappa =1-\widetilde{c}\alpha _0^{-1}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty }$, 
$0<\kappa \leqslant 1$.


Примеры мер $d\mu$, удовлетворяющих условию~\ref{Condition on mu}, приведены в \cite[п.~5.5]{Su10}. Выпишем только основной пример.

\begin{example}
\label{Example Q in Ls}
Пусть мера $d\mu$ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега: $d\mu (\mathbf{x})=\mathcal{Q}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}$, где $\mathcal{Q}(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая эрмитова $(n\times n)$- матрица-функция в $\mathbb{R}^d$, причем 
\begin{equation}
\label{Q in Ls ex.}
\mathcal{Q}\in L_\sigma(\Omega),\quad \sigma =1\;\mbox{при}\;d=1;\quad \sigma >d/2\;\mbox{при}\;d\geqslant 2.
\end{equation}
Тогда
\begin{equation*}
q[\mathbf{u},\mathbf{u}]=\int _{\mathbb{R}^d}\langle \mathcal{Q}(\mathbf{x})f(\mathbf{x})\mathbf{u}(\mathbf{x}),f(\mathbf{x})\mathbf{u}(\mathbf{x})\rangle\,d\mathbf{x},\quad
\mathbf{u}\in\mathrm{Dom}\,\mathcal{X}.
\end{equation*}
В силу теорем вложения при условии \eqref{Q in Ls ex.} для любого $\nu >0$ существует положительная постоянная $C_Q(\nu)$ такая, что
\begin{equation*}
\int _\Omega \vert \mathcal{Q}(\mathbf{x})\vert \vert \mathbf{v}\vert ^2\,d\mathbf{x}
\leqslant
\nu \int _\Omega \vert \mathbf{D}\mathbf{v}\vert ^2\,d\mathbf{x}
+C_Q(\nu)\int _\Omega \vert \mathbf{v}\vert ^2\,d\mathbf{x},\quad
\mathbf{v}\in H^1(\Omega ;\mathbb{C}^n).
\end{equation*}
При фиксированном $\nu$ постоянная $C_Q(\nu)$ контролируется через $d$, $\sigma $, норму $\Vert \mathcal{Q}\Vert _{L_\sigma(\Omega)}$ и параметры решетки $\Gamma$. Итак, условие~\ref{Condition on mu} выполнено, причем постоянные можно выбрать следующим образом: $\widetilde{c}_2=1$, $\widehat{c}_3=C_Q(1)$, $\widetilde{c}=\nu$ и $\widehat{c}_0=C_Q(\nu)$ при $2\nu=\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}$.
\end{example}

\subsection{Оператор $\mathcal{B}(\varepsilon )$} 
\label{Subsection B(eps)}
В $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассмотрим квадратичную форму
\begin{equation}
\label{b(e)[u,u]}
\begin{split}
\mathfrak{b}(\varepsilon)[\mathbf{u},\mathbf{u}]
&=\mathfrak{a}[\mathbf{u},\mathbf{u}]+2\varepsilon\textrm{Re}\,(\mathcal{Y}\mathbf{u},\mathcal{Y}_2\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)}+\varepsilon ^2q[\mathbf{u},\mathbf{u}]
\\
&+\lambda \varepsilon ^2(\mathcal{Q}_0\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)},
\quad\mathbf{u}\in\textrm{Dom}\,\mathcal{X},
\end{split}
\end{equation}
где $0<\varepsilon \leqslant 1$, и \textit{параметр $\lambda 
\in\mathbb{R}$ удовлетворяет следующему условию}:
\begin{equation}
\label{DOlambda}
\begin{split}
\lambda &>\Vert \mathcal{Q}_0 ^{-1}\Vert _{L_\infty }(c_0+c_4),\;\mbox{если}\;\lambda \geqslant 0,
\\
\lambda &>\Vert \mathcal{Q}_0 \Vert _{L_\infty}^{-1}(c_0+c_4),\;\mbox{если}\;\lambda <0\;(\mbox{и}\;c_0+c_4<0).
\end{split}
\end{equation}
Оценим форму \eqref{b(e)[u,u]} снизу.
Пусть $\beta >0$ определено равенством
\begin{equation}
\label{DObeta}
\begin{split}
\beta &=\lambda \Vert \mathcal{Q}_0^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}-c_0-c_4,\;\mbox{если}\;\lambda \geqslant 0,
\\
\beta &=\lambda \Vert \mathcal{Q}_0 \Vert _{L_\infty}-c_0-c_4,\;\mbox{если}\;\lambda <0\;(\mbox{и}\;c_0+c_4<0).
\end{split}
\end{equation}
Комбинируя \eqref{1089}, \eqref{DOcond.1.4-2}, \eqref{DOlambda} и
\eqref{DObeta}, имеем
\begin{equation}
\label{b(e)[u,u]>=}
\mathfrak{b}(\varepsilon )[\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant \frac{\kappa}{2}\mathfrak{a}[\mathbf{u},\mathbf{u}]+\varepsilon ^2\beta \Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},
\quad \mathbf{u}\in \textrm{Dom}\, \mathcal{X}, \quad 0<\varepsilon \leqslant 1.
\end{equation}
Таким образом, форма $\mathfrak{b}(\varepsilon )$ положительно определена. 
Объединяя \eqref{Yu<=}, \eqref{DOY_2u<=} при $\nu =1$ и оценку 
\eqref{DOcond.1.4-1} для квадратичной формы $q[\mathbf{u},\mathbf{u}]$, находим
\begin{equation}
\label{b(e)[u,u]<=}
\begin{split}
\mathfrak{b}(\varepsilon )[\mathbf{u},\mathbf{u}]&\leqslant (2+c_1^2+c_2)\mathfrak{a}[\mathbf{u},\mathbf{u}]\\
&+\varepsilon ^2(C(1)+c_3+\vert \lambda \vert \Vert \mathcal{Q}_0 \Vert _{L_\infty })\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2 (\mathbb{R}^d)},
\quad
\mathbf{u}\in\textrm{Dom}\,\mathcal{X}.
\end{split}
\end{equation}
Из неравенств \eqref{b(e)[u,u]>=} и \eqref{b(e)[u,u]<=} следует, что форма 
$\mathfrak{b}(\varepsilon )$ замкнута.\textit{ Отвечающий ей положительно 
определенный оператор в пространстве $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$\break 
обозначим через $\mathcal{B}(\varepsilon )$}. Формально можно записать
\begin{equation}
\label{B(e)}
\begin{split}
\mathcal{B}(\varepsilon )&=\mathcal{A}+\varepsilon (\mathcal{Y}^*_2\mathcal{Y}+\mathcal{Y}^*\mathcal{Y}_2)+\varepsilon ^2f^*\mathcal{Q}f+\varepsilon ^2\lambda \mathcal{Q}_0
\\
&=f^*b(\mathbf{D})^*gb(\mathbf{D})f+\varepsilon 
\sum \limits _{j=1}^d f^*\left( a_jD_j+D_ja_j^* \right)f+\varepsilon ^2f^*\mathcal{Q}f+\varepsilon ^2\lambda \mathcal{Q}_0,
\end{split}
\end{equation}
где $\mathcal{Q}$ следует интерпретировать как обобщенный матричный 
потенциал, порожденный мерой~$d\mu $.

\textit{Для удобства дальнейших ссылок назовем ,,исходными данными`` набор величин}
\begin{equation}
\label{dannie_zadachi}
\begin{split}
&d,\,m,\,n,\,\varrho ;\,\alpha _0,\,\alpha _1,\,\Vert g\Vert _{L_\infty},\,\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty} ,\,\Vert f\Vert _{L_\infty} ,\,\Vert f^{-1}\Vert _{L_\infty},\,\Vert a_j\Vert _{L_\varrho (\Omega )},\,
\\
&j=1,\dots ,d;\,
\widetilde{c},\,\widehat{c}_0,\,\widetilde{c}_2,\,\widehat{c}_3\,\mbox{ из условия 4.1}; \lambda ; \mbox{ параметры решетки }\Gamma .
\end{split}
\end{equation}
Мы будем следить за зависимостью постоянных в оценках от этих 
данных. Постоянные $c_1$, $C(1)$, $\kappa $, 
$c_2$, $c_3$, $c_4$, $c_0$, $\beta$ полностью определяются исходными 
данными \eqref{dannie_zadachi}.

\section{Разложение оператора $\mathcal{B}(\varepsilon )$ в прямой интеграл}


\subsection{Преобразование Гельфанда} 
Преобразование Гельфанда $\mathcal{U}$ первоначально задается на функциях 
класса Шварца $\mathbf{v}\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ 
формулой
$$
\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\mathbf{x})=(\mathcal{U}\mathbf{v})(\mathbf{k},\mathbf{x})=\vert \widetilde{\Omega}\vert ^{-1/2}\sum\limits_{\mathbf{a}\in \Gamma}\textrm{exp}(-i\langle \mathbf{k},\mathbf{x}+\mathbf{a}\rangle )\mathbf{v}(\mathbf{x}+\mathbf{a}),\quad \mathbf{x}\in \Omega ,\; \mathbf{k}\in \widetilde{\Omega}.
$$
При этом
$\int _{\widetilde{\Omega}}\int _{\Omega}\vert 
\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\mathbf{x})\vert 
^2\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{k}=\int _{\mathbb{R}^d}\vert 
\mathbf{v}(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}$, а потому $\mathcal{U}$ продолжается 
по непрерывности до унитарного отображения
\begin{equation*}
\mathcal{U}\; :\;L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)
\rightarrow \int _{\widetilde{\Omega}}\oplus L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)\,d\mathbf{k}=:\mathcal{H}.
\end{equation*}
\textit{Через $\widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n)$ обозначим 
подпространство тех функций из $H^1(\Omega;\mathbb{C}^n)$, 
$\Gamma$-периодическое продолжение которых на $\mathbb{R}^d$ принадлежит 
классу \break $H_{\rm{loc}}^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$}. Включение 
$\mathbf{v}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ равносильно тому, что 
$\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\mathbf{\cdot})\in 
\widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n)$ при п.~в. $\mathbf{k}\in 
\widetilde{\Omega}$ и
$$
\int _{\widetilde{\Omega}}\int _{\Omega}\left(\vert 
(\mathbf{D}+\mathbf{k)}\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\mathbf{x})\vert 
^2+\vert \widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\mathbf{x})\vert 
^2\right)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{k}<\infty.
$$
Оператор умножения на ограниченную периодическую матрицу-функцию в 
$L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ под действием $\mathcal{U}$ переходит в 
умножение на ту же функцию в слоях прямого интеграла $\mathcal{H}$. 
Действие оператора $b(\mathbf{D})$ на $\mathbf{v}\in 
H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ переходит в послойное действие оператора 
$b(\mathbf{D}+\mathbf{k})$ на 
$\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\mathbf{\cdot})\in 
\widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n)$.

\subsection{Операторы $\mathcal{A}(\mathbf{k})$}
(См. \cite[п.~2.2.1]{BSu}.) Положим
\begin{equation}
\label{H, H_*}
\mathfrak{H}=L_2(\Omega;\mathbb{C}^n),\quad 
\mathfrak{H}_*=L_2(\Omega;\mathbb{C}^m),\quad 
\widetilde{\mathfrak{H}}=L_2(\Omega ;\mathbb{C}^{dn})
\end{equation}
и рассмотрим замкнутый оператор
$\mathcal{X}(\mathbf{k})\, :\,\mathfrak{H}\rightarrow \mathfrak{H}_*,\; \mathbf{k}\in \mathbb{R}^d,$
задаваемый соотношениями
\begin{align}\label{X(k)}
&\mathcal{X}(\mathbf{k}) =hb(\mathbf{D}+\mathbf{k})f,\quad \mathbf{k}\in \mathbb{R}^d,
\\
\label{DomX(k)}
&\mathfrak{d} :=\textrm{Dom}\,\mathcal{X}(\mathbf{k})=\lbrace \mathbf{u}\in \mathfrak{H}\;:\;f\mathbf{u}\in \widetilde{H}^1(\Omega; \mathbb{C}^n)\rbrace.
\end{align}
Самосопряженный оператор 
$\mathcal{A}(\mathbf{k}):=\mathcal{X}(\mathbf{k})^*\mathcal{X}(\mathbf{k})\, 
:\,\mathfrak{H}\rightarrow \mathfrak{H},\;\mathbf{k}\in \mathbb{R}^d$, 
порождается замкнутой квадратичной формой 
$\mathfrak{a}(\mathbf{k})[\mathbf{u},\mathbf{u}]:=\Vert 
\mathcal{X}(\mathbf{k})\mathbf{u}\Vert_{\mathfrak{H}_*}^2$, $\mathbf{u}\in 
\mathfrak{d}$, $\mathbf{k}\in \mathbb{R}^d$.
Из \eqref{<b^*b<} и \eqref{f,h} вытекают оценки
\begin{equation}
\label{<a(k)[u,u]<}
\begin{split}
\alpha _0 \Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty } \Vert (\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathbf{v}\Vert ^2_{L_2(\Omega)}\leqslant \mathfrak{a}(\mathbf{k})[\mathbf{u},\mathbf{u}]
\leqslant \alpha _1 \Vert g \Vert _{L_\infty} \Vert (\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathbf{v}\Vert ^2_{L_2(\Omega)},
\\
\mathbf{v}=f\mathbf{u}\in \widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n).
\end{split}
\end{equation}
Из \eqref{<a(k)[u,u]<} и компактности вложения $\widetilde{H}
^1(\Omega;\,\mathbb{C}^n)$ в $\mathfrak{H}$ следует, что спектр оператора 
$\mathcal{A}(\mathbf{k})$ дискретен. Положим 
$\mathfrak{N}:=\mathrm{Ker}\,\mathcal{A}(0)=\mathrm{Ker}\,\mathcal{X}(0)$. 
Из неравенств \eqref{<a(k)[u,u]<} при $\mathbf{k}=0$ вытекает, что
\begin{equation}
\label{KerA(k)=}
\mathfrak{N}=\mathrm{Ker}\,\mathcal{A}(0)=\lbrace \mathbf{u}\in L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)\; :\; f\mathbf{u}=\mathbf{c}\in \mathbb{C}^n\rbrace ,\quad\mathrm{dim}\,\mathfrak{N}=n.
\end{equation}

Как показано в \cite[(2.2.11), (2.2.12)]{BSu}, справедлива оценка
\begin{equation}
\label{A(k)>}
\mathcal{A}(\mathbf{k})\geqslant c_*\vert \mathbf{k}\vert ^2I,\quad \mathbf{k}\in \mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega};\quad c_*=\alpha _0\Vert f^{-1} \Vert_{L_\infty}^{-2} \Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}^{-1}.
\end{equation}
В соответствии с \cite[(2.2.14)]{BSu} расстояние $d^0$ от точки 
$\lambda _0 =0$ до остального спектра оператора $\mathcal{A}(0)$ допускает оценку
\begin{equation}
\label{d^0>}
d^0\geqslant 4c_*r_0^2.
\end{equation}

\subsection{Операторы $\mathcal{Y}(\mathbf{k})$ и $Y_2$} 
Рассмотрим оператор 
$\mathcal{Y}(\mathbf{k}):\mathfrak{H}\rightarrow 
\widetilde{\mathfrak{H}}$, действующий на области определения 
$\textrm{Dom}\,\mathcal{Y}(\mathbf{k})=\mathfrak{d}$ по правилу
\begin{equation}
\label{Y(k)u}
\mathcal{Y}(\mathbf{k})\mathbf{u}=(\mathbf{D}+\mathbf{k})f\mathbf{u}
=\mathrm{col}\,\lbrace (D_1+k_1)f\mathbf{u},\dots ,(D_d+k_d)f\mathbf{u}\rbrace ,\quad\mathbf{u}\in\mathfrak{d} .
\end{equation}
Из нижней оценки \eqref{<a(k)[u,u]<} вытекает, что
\begin{equation}
\label{Y(k)u<=}
\Vert \mathcal{Y}(\mathbf{k})\mathbf{u}\Vert _\mathfrak{H}\leqslant c_1\Vert \mathcal{X}(\mathbf{k})\mathbf{u}\Vert _{\mathfrak{H}_*},\quad\mathbf{u}\in\mathfrak{d},
\end{equation}
где постоянная $c_1$ определена в \eqref{Yu<=}.

Рассмотрим оператор $Y_2:\mathfrak{H}\rightarrow \widetilde{\mathfrak{H}}$, заданный соотношением
\begin{equation}
\label{Y_2u=}
Y_2\mathbf{u}=\textrm{col}\,\lbrace a_1^*f\mathbf{u},\dots ,a_d^*f\mathbf{u}\rbrace ,\quad \mathrm{Dom}\,Y_2=\mathfrak{d}.
\end{equation}

Как показано в \cite[п. 5.7]{Su10}, для любого $\nu >0$ найдутся 
постоянные $C_j(\nu )>0$, $j=1,\dots ,d$, такие, что при $\mathbf{k}\in 
\mathbb{R}^d$ справедливы неравенства
\begin{equation*}
\Vert a_j^*\mathbf{v}\Vert ^2_{L_2(\Omega )}\leqslant \nu \Vert (\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathbf{v}\Vert ^2_{L_2(\Omega )}+C_j(\nu )\Vert \mathbf{v}\Vert ^2_{L_2(\Omega )},\; \mathbf{v}\in \widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n),\;j=1,\dots ,d.
\end{equation*}
Пусть $\mathbf{v}=f\mathbf{u}$, $\mathbf{u}\in \mathfrak{d}$. Тогда, 
суммируя указанные неравенства по $j$ и учитывая \eqref{f,h}, 
\eqref{<a(k)[u,u]<}, получаем, что для любого $\nu >0$ существует 
постоянная $C(\nu)>0$ (та же, что и в \eqref{DOY_2u<=}) такая, что
\begin{equation}
\label{DOcond.1.3}
\Vert Y_2\mathbf{u}\Vert ^2_{\widetilde{\mathfrak{H}}}\leqslant \nu \Vert \mathcal{X}(\mathbf{k})\mathbf{u}\Vert ^2_{\mathfrak{H}_*}+C(\nu)\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_\mathfrak{H},\quad \mathbf{u}\in \mathfrak{d},\;\mathbf{k}\in \mathbb{R}^d.
\end{equation}

\subsection{Оператор $\mathcal{Q}_0$, форма $q_\Omega [\mathbf{u},\mathbf{u}]$} 
Пусть $\mathcal{Q}_0$~--- ограниченный оператор в $\mathfrak{H}$, 
действующий как умножение на матри\-цу-функцию 
$\mathcal{Q}_0(\mathbf{x})=f(\mathbf{x})^*f(\mathbf{x})$.

В $L_2(\Omega ;\mathbb{C}^n)$ рассмотрим форму 
$$q_\Omega 
[\mathbf{u},\mathbf{u}]=\int _\Omega \langle d\mu 
(\mathbf{x})f\mathbf{u},f\mathbf{u}\rangle ,\quad \mathbf{u}\in 
\mathfrak{d}.$$ 
Заменяя в \eqref{1034-1}, \eqref{1034-2} функцию 
$f(\mathbf{x})\mathbf{u}(\mathbf{x})$ на 
$f(\mathbf{x})\mathbf{u}(\mathbf{x})\exp (i\langle 
\mathbf{k},\mathbf{x}\rangle )$ (эти функции принадлежат пространству $H^1(\Omega 
;\mathbb{C}^n)$ одновременно), а $f(\mathbf{x})\mathbf{v}(\mathbf{x})$ на $f(\mathbf{x})\mathbf{v}(\mathbf{x})\exp (i\langle 
\mathbf{k},\mathbf{x}\rangle )$ и используя \eqref{<a(k)[u,u]<}, получаем, 
что
\begin{align}
\label{<q_Omega<-1}
\begin{split}
&\vert q_\Omega [\mathbf{u},\mathbf{v}]\vert \leqslant
\left( c_2\Vert \mathcal{X}(\mathbf{k})\mathbf{u}\Vert 
^2_{\mathfrak{H}_*}+c_3\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_\mathfrak{H}\right)^{1/2}
\left( c_2\Vert \mathcal{X}(\mathbf{k})\mathbf{v}\Vert 
^2_{\mathfrak{H}_*}+c_3\Vert \mathbf{v}\Vert ^2_\mathfrak{H}\right)^{1/2},
\end{split}
\\
\label{<q_Omega<-2}
&q_\Omega [\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant -(1-\kappa )\Vert \mathcal{X}(\mathbf{k})\mathbf{u}\Vert ^2_{\mathfrak{H}_*}-c_0\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_\mathfrak{H};\quad \mathbf{u}, \mathbf{v}\in \mathfrak{d},\quad\mathbf{k}\in \mathbb{R}^d .
\end{align}
Здесь постоянные $\kappa$, $c_0$, $c_2$, $c_3$ те же, что и в \eqref{DOcond.1.4-1}, \eqref{DOcond.1.4-2}.

\subsection{Операторный пучок $\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon )$} 
В пространстве $\mathfrak{H}$ рассмотрим квадратичную форму
\begin{align*}
\mathfrak{b}(\mathbf{k},\varepsilon )[\mathbf{u},\mathbf{u}]
&=\mathfrak{a}(\mathbf{k})[\mathbf{u},\mathbf{u}]+2\varepsilon\textrm{Re}\,(\mathcal{Y}(\mathbf{k})\mathbf{u},Y_2\mathbf{u})_{\widetilde{\mathfrak{H}}}
\\
&+\varepsilon ^2 q_\Omega [\mathbf{u},\mathbf{u}]+\lambda \varepsilon ^2(\mathcal{Q}_0\mathbf{u},\mathbf{u})_\mathfrak{H},
\quad \mathbf{u}\in\mathfrak{d}.
\end{align*}
Из \eqref{DOlambda}, \eqref{DObeta},
\eqref{Y(k)u<=}, \eqref{DOcond.1.3} и \eqref{<q_Omega<-2} вытекает оценка
\begin{equation}
\label{b(k,e)[u,u]>=}
\mathfrak{b}(\mathbf{k},\varepsilon )[\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant \frac{\kappa}{2}\mathfrak{a}(\mathbf{k})[\mathbf{u},\mathbf{u}]+\beta \varepsilon ^2\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_\mathfrak{H},\quad \mathbf{u}\in\mathfrak{d}.
\end{equation}
Далее, из \eqref{Y(k)u<=}, \eqref{DOcond.1.3} при $\nu =1$ и 
 \eqref{<q_Omega<-1} получаем
\begin{equation}
\label{b(k,e)[u,u]<=}
\mathfrak{b}(\mathbf{k},\varepsilon )[\mathbf{u},\mathbf{u}]\leqslant (2+c_1^2+c_2)\mathfrak{a}(\mathbf{k})[\mathbf{u},\mathbf{u}]+(C(1)+c_3+\vert \lambda \vert \Vert \mathcal{Q}_0\Vert _{L_\infty })\varepsilon ^2\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_\mathfrak{H},\quad \mathbf{u}\in \mathfrak{d}.
\end{equation}
Неравенства \eqref{b(k,e)[u,u]>=}, \eqref{b(k,e)[u,u]<=} показывают, что 
форма $\mathfrak{b}(\mathbf{k},\varepsilon )$ замкнута на области 
определения \eqref{DomX(k)} и поло\-жи\-тель\-но определена. Порожденный 
этой формой самосопряженный по\-ло\-жи\-тель\-но опре\-деленный оператор в 
пространстве $\mathfrak{H}$ обозначим через 
$\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon )$. Формально можно записать
\begin{equation}\label{B(k,e)}
\begin{split}
\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon )&=\mathcal{A}(\mathbf{k})+\varepsilon (Y_2^*\mathcal{Y}(\mathbf{k})+\mathcal{Y}(\mathbf{k})^*Y_2)+\varepsilon ^2 f^*\mathcal{Q}f+\lambda \varepsilon ^2 \mathcal{Q}_0
\\
&=f^*b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^*gb(\mathbf{D}+\mathbf{k})f
\\
&+\varepsilon \sum \limits _{j=1}^d f^*\left(a_j(D_j+k_j)+(D_j+k_j)a_j^*\right)f+\varepsilon ^2f^*\mathcal{Q}f+\lambda \varepsilon ^2 f^*f.
\end{split}
\end{equation}

\subsection{Разложение в прямой интеграл для оператора $\mathcal{B}(\varepsilon)$} 
\label{Subsection direct integral decomposition}
Под действием преобразования Гельфанда $\mathcal{U}$ оператор 
\eqref{B(e)}, действующий в пространстве $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, 
раскладывается в прямой интеграл операторов \eqref{B(k,e)}, действующих в 
$L_2(\Omega ;\mathbb{C}^n)$:
$$
\mathcal{U}\mathcal{B}(\varepsilon )\mathcal{U}^{-1}=\int  
_{\widetilde{\Omega }}\oplus \mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon 
)\,d\mathbf{k}.
$$ 
Сказанное означает следующее. Пусть 
$\widetilde{\mathbf{u}}=\mathcal{U}\mathbf{u},$ где $\mathbf{u}\in 
\mathrm{Dom}\,\mathfrak{b}(\varepsilon)=\mathrm{Dom}\,\mathcal{X}$. Тогда
\begin{align}
\label{tilde u}
&\widetilde{\mathbf{u}}(\mathbf{k},\cdot )\in \mathfrak{d}\; \mbox{при п.~в. } \mathbf{k}\in \widetilde{\Omega},
\\
\label{b[u,u]=int}
&\mathfrak{b}(\varepsilon )[\mathbf{u},\mathbf{u}]=\int 
_{\widetilde{\Omega}}\mathfrak{b}(\mathbf{k},\varepsilon 
)[\widetilde{\mathbf{u}}(\mathbf{k},\cdot 
),\,\widetilde{\mathbf{u}}(\mathbf{k},\cdot )]\,d\mathbf{k}.
\end{align}
Обратно, если для $\widetilde{\mathbf{u}}\in \mathcal{H}$ выполнено 
\eqref{tilde u} и интеграл в \eqref{b[u,u]=int} конечен, то 
$\mathbf{u}\in \mathrm{Dom}\,\mathfrak{b}(\varepsilon )=\mathrm{Dom}\,\mathcal{X}$ и выполнено 
\eqref{b[u,u]=int}.

\section{Включение операторов $\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon )$ 
в абстрактную схему}

Содержимое п.~\ref{Subsection vkluchenie-1}--\ref{Subsection N(k,eps)} заимствовано из \cite{Su14}.

\subsection{} 
\label{Subsection vkluchenie-1}
При $d>1$ операторы $\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon )$ зависят от 
многомерного параметра~$\mathbf{k}$. Следуя \cite[гл.~2]{BSu}, выделим 
одномерный параметр $t$, полагая $\mathbf{k}=t\boldsymbol{\theta}$, 
$t=\vert \mathbf{k}\vert $, $\boldsymbol{\theta}\in\mathbb{S}^{d-1}.$ 
Будем применять схему главы~1. При этом возникающие объекты будут зависеть 
от дополнительного параметра $\boldsymbol{\theta}$, и необходимо следить 
за равномерностью по $\boldsymbol{\theta}$ построений и оценок. 
Пространства $\mathfrak{H}$, $\mathfrak{H}_*$ и $\widetilde{\mathfrak{H}}$ 
определены в \eqref{H, H_*}. Положим $X(t)=X(t;\boldsymbol{\theta} 
):=\mathcal{X}(t\boldsymbol{\theta}).$ В~соответствии с~\eqref{X(k)} имеем 
$X(t;\boldsymbol{\theta} )=X_0+tX_1(\boldsymbol{\theta} ),$ где 
\begin{equation}
\label{6.0}
X_0=\mathcal{X}(0)=h b(\mathbf{D})f,\quad 
\mathrm{Dom}\,X_0=\mathfrak{d};\quad X_1(\boldsymbol{\theta })=h b(\boldsymbol{\theta})f .
\end{equation}
 Далее, положим 
$A(t)=A(t;\boldsymbol{\theta}):=\mathcal{A}(t\boldsymbol{\theta} )$. В 
соответствии с~\eqref{KerA(k)=} ядро 
$\mathfrak{N}=\mathrm{Ker}\,X_0=\mathrm{Ker}\,\mathcal{A}(0)$ $n$-мерно. 
Условие~\ref{Condition lambda0} выполнено. Величина $d^0$ допускает оценку \eqref{d^0>}. Как 
показано в \cite[гл.~2, \S 3]{BSu}, условие $n\leqslant 
n_*=\mathrm{dim\,Ker}\,X_0^*$ также выполнено. 
Оценка \eqref{A(k)>} соответствует неравенству \eqref{A(t)>= abstract}. 


Далее, роль $Y(t)$ играет оператор $Y(t;\boldsymbol{\theta 
}):=\mathcal{Y}(t\boldsymbol{\theta})$. Согласно \eqref{Y(k)u} справедливо равенство 
$Y(t;\boldsymbol{\theta })=Y_0+tY_1(\boldsymbol{\theta })$, где
\begin{equation}
\label{Y_0, Y_1(theta)}
\begin{split}
&Y_0\mathbf{u}=\mathbf{D}(f\mathbf{u})=\textrm{col}\,\lbrace D_1f\mathbf{u},\dots ,D_df\mathbf{u}\rbrace ,\quad \mathrm{Dom}\,Y_0=\mathfrak{d};
\\
&Y_1(\boldsymbol{\theta })\mathbf{u}=\mathrm{col}\,\lbrace \theta 
_1f\mathbf{u},\dots ,\theta _df\mathbf{u}\rbrace .
\end{split}
\end{equation}
Условие~\ref{Condition Y(t)} выполнено за счет оценки \eqref{Y(k)u<=}. Оператор $Y_2$ определен 
в \eqref{Y_2u=}. Условие~\ref{Condition Y2} выполнено в силу \eqref{DOcond.1.3}. Роль 
формы $\mathfrak{q}$ из п.~\ref{Subsection form g abstract scheme} играет форма $q_\Omega$. Условие~\ref{Condition q}  
выполнено в силу \eqref{<q_Omega<-1}, \eqref{<q_Omega<-2}. Роль оператора $Q_0$ из п.~\ref{Subsection B(t,eps) abstract} играет 
оператор умножения на матрицу-функцию $\mathcal{Q}_0(\mathbf{x})$. 
Ограничение \eqref{lambda condition} на параметр $\lambda $ выполнено в силу 
\eqref{DOlambda}. 

Наконец, в качестве операторного пучка $B(t,\varepsilon )$ (см. 
п.~\ref{Subsection B(t,eps) abstract}) выступает операторное семейство \eqref{B(k,e)}: 
$B(t,\varepsilon ;\boldsymbol{\theta }):=\mathcal{B}(t\boldsymbol{\theta 
},\varepsilon )$.

Таким образом, все предположения абстрактной схемы выполнены.

\subsection{} 
В соответствии с п.~\ref{Subsection to parameters tau and vartheta} надлежит фиксировать положительное число $\delta $ 
такое, что $\delta <\kappa d^0/13$. Учитывая \eqref{A(k)>} и \eqref{d^0>}, 
положим
\begin{equation*}
\delta = \frac{1}{4}\kappa c_*r_0^2=\frac{1}{4}\kappa \alpha _0\Vert f^{-1}\Vert ^{-2}_{L_\infty }\Vert g ^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty }r_0^2.
\end{equation*}
Заметим, что из \eqref{<b^*b<}, \eqref{f,h}, \eqref{6.0} и \eqref{Y_0, Y_1(theta)} вытекают соотношения
\begin{equation}
\label{X_1(theta)<=, Y_1(theta)=}
\Vert X_1(\boldsymbol{\theta } )\Vert \leqslant \alpha _1^{1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty }\Vert f \Vert _{L_\infty },\quad \Vert Y_1(\boldsymbol{\theta })\Vert =\Vert f\Vert _{L_\infty },\quad \boldsymbol{\theta }\in \mathbb{S}^{d-1}.
\end{equation}

Теперь правая часть в оценке \eqref{tau 0 in abstract scheme} принимает вид 
$$\delta ^{1/2}((2+c_1^2+c_2)\Vert X_1(\boldsymbol{\theta })\Vert ^2 +C(1)+c_3+\vert \lambda \vert \Vert f\Vert ^2_{L_\infty })^{-1/2}$$ 
и зависит от $\boldsymbol{\theta }$. 
Выберем следующее значение постоянной $\tau _0$, подходящее при всех $\boldsymbol{\theta }\in \mathbb{S}^{d-1}$:
\begin{equation}
\label{DOtau_0}
\tau _0=\delta ^{1/2}((2+c_1^2+c_2)\alpha _1\Vert g \Vert _{L_\infty }\Vert f \Vert ^2_{L_\infty }+C(1)+c_3+\vert \lambda \vert \Vert f \Vert ^2_{L_\infty })^{-1/2}.
\end{equation}

С учетом \eqref{A(k)>} и 
\eqref{b(k,e)[u,u]>=} для оператора $B(t,\varepsilon ;\boldsymbol{\theta 
})$ справедливо условие вида \eqref{B(tau,theta)>=}:
\begin{align}
\label{B(t,eps,theta)>=}
&\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon )=B(t,\varepsilon ;\boldsymbol{\theta }) \geqslant 
\check{c}_*(t^2+\varepsilon ^2)I,\quad \mathbf{k}=t\boldsymbol{\theta 
}\in\widetilde{\Omega},\quad 0<\varepsilon \leqslant 1;
\\
\label{DOcheck c_*}
&\check{c}_* =\frac{1}{2}\min \lbrace \kappa c_*;2\beta \rbrace.
\end{align}

\subsection{Случай $f=\mathbf{1}_n$}
\label{Subsection f=1n}

\textit{Все объекты, относящиеся к случаю $f=\mathbf{1}_n$, 
далее помечаются верхним значком} ,,$\;\widehat{ }\;$``. Имеем 
$\widehat{\mathfrak{H}}=\mathfrak{H}=L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$. 
В~соответствии~с~п.~\ref{Subsection vkluchenie-1} выполнено
$\widehat{X}(t;\boldsymbol{\theta} 
)=\widehat{X}_0+t\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta} )$, где
\begin{equation}
\label{hat X0 for DO's}
\widehat{X}_0=h b(\mathbf{D}),\quad 
\mathrm{Dom}\,\widehat{X}_0=\widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n),
\end{equation}
 и $\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta })$~--- ограниченный оператор умножения 
на матрицу $h (\mathbf{x}) b(\boldsymbol{\theta})$:
\begin{equation}
\label{X_1 hat for DO's}
\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta })=h b(\boldsymbol{\theta}).
\end{equation}
Формально 
$\widehat{A}(t;\boldsymbol{\theta})=\widehat{X}(t;\boldsymbol{\theta})^*\widehat{X}(t;\boldsymbol{\theta})$. 
В~случае $f=\mathbf{1}_n$ ядро \eqref{KerA(k)=} совпадает с 
под\-про\-странством констант $\widehat{\mathfrak{N}}=\lbrace \mathbf{u}\in 
\mathfrak{H}\; :\;\mathbf{u}=\mathbf{c}\in \mathbb{C}^n\rbrace $. 
Ортогональный проектор $\widehat{P}$ пространства 
$\mathfrak{H}=L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$ на подпространство 
$\widehat{\mathfrak{N}}=\mathbb{C}^n$~--- это оператор усреднения по ячейке 
$\Omega$: 
\begin{equation}
\label{P= for DO's}
\widehat{P}\mathbf{u}=\vert \Omega \vert ^{-1}\int 
_{\Omega}\mathbf{u}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}.
\end{equation}

Далее, 
$\widehat{Y}(t;\boldsymbol{\theta})=\widehat{Y}_0+t\widehat{Y}_1(\boldsymbol{\theta}): 
{\mathfrak{H}}\rightarrow \widetilde{\mathfrak{H}}$, где
\begin{align}
\label{Y0 for DO's}
&\widehat{Y}_0\mathbf{u}=\mathbf{Du}=\mathrm{col}\, \lbrace D_1\mathbf{u},\dots ,D_d\mathbf{u} \rbrace,
\quad
\mathrm{Dom}\,\widehat{Y}_0=\widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n),
\\
\label{hat Y1 for DO's}
&\widehat{Y}_1(\boldsymbol{\theta })\mathbf{u}=\mathrm{col}\,\lbrace \theta _1\mathbf{u},\dots ,\theta _d\mathbf{u}\rbrace.
\end{align}
Оператор $\widehat{Y}_2: {\mathfrak{H}}\rightarrow 
\widetilde{\mathfrak{H}}$ действует по 
правилу
\begin{equation}
\label{hat Y2 for DO's}
\widehat{Y}_2\mathbf{u}=\mathrm{col}\,\lbrace a_1^*\mathbf{u},\dots 
,a_d^*\mathbf{u}\rbrace,\quad  \mathrm{Dom}\,\widehat{Y}_2=\widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n). 
\end{equation}
Роль формы 
$\widehat{\mathfrak{q}}[\mathbf{u},\mathbf{u}]$ играет форма $\int _\Omega 
\langle d\mu (\mathbf{x})\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle$, $\mathbf{u}\in\widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n)$. В роли оператора 
$\widehat{Q}_0$ выступает тождественный оператор~$I$.

Операторный пучок $\widehat{B}(t,\varepsilon ;\boldsymbol{\theta })$ 
формально дается выражением
$$
\widehat{B}(t,\varepsilon ;\boldsymbol{\theta })=\widehat{A}(t;\boldsymbol{\theta })+\varepsilon (\widehat{Y}_2^*\widehat{Y}(t;\boldsymbol{\theta })+\widehat{Y}(t;\boldsymbol{\theta })^*\widehat{Y}_2)+\varepsilon ^2 \mathcal{Q}+\lambda\varepsilon ^2I.
$$
(Подчеркнем, что формальный объект $\mathcal{Q}$ не изменился.) 


\subsection{Случай $f\neq \mathbf{1}_n$. Реализация условий \S\ref{Section bordered exp abstract} }

Вернемся к рассмотрению операторов $\mathcal{B}(\varepsilon)$ общего 
вида \eqref{B(e)} и соответствующих семейств $B(t,\varepsilon 
;\boldsymbol{\theta})$, описанных в п.~\ref{Subsection vkluchenie-1}. Верхний значок ,,$\;\widehat{ 
}\;$`` удерживается для обозначения объектов, отвечающих 
$f=\mathbf{1}_n$ при сохранении тех же 
$b(\mathbf{D}),\,g,\,a_j,\,j=1,\dots,d,\,\lambda$ и $d\mu$.

Поймем, что для операторных семейств $B(t,\varepsilon;\boldsymbol{\theta})$ и $\widehat{B}(t,\varepsilon ;\boldsymbol{\theta })$ справедливы условия \S\ref{Section bordered exp abstract} абстрактной схемы. Действительно, тождество \eqref{B=M*hat-B M abstract} соответствует очевидному равенству $B(t,\varepsilon;\boldsymbol{\theta})=f^*\widehat{B}(t,\varepsilon;\boldsymbol{\theta})f$. Роль изоморфизма $M$ сейчас играет оператор умножения на матрицу-функцию $f(\mathbf{x})$. Тогда в качестве оператора $G$ (см. \eqref{G= abstract scheme}) выступает оператор умножения на матрицу-функцию $(f(\mathbf{x})f(\mathbf{x})^*)^{-1}$. 
Блок $G$ в ядре $\widehat{\mathfrak{N}}=\mathbb{C}^n$~--- 
оператор умножения на постоянную матрицу
$\overline{G}=\vert \Omega\vert ^{-1}\int 
_{\Omega}(f(\mathbf{x})f(\mathbf{x})^*)^{-1}\,d\mathbf{x}$. Роль оператора 
$M_0$ (см. \eqref{M0}) играет оператор умножения на матрицу 
\begin{equation}
\label{f0}
f_0:=(\overline{G})^{-1/2}=(\underline{ff^*})^{1/2}.
\end{equation}
 Заметим, что
\begin{equation}
\label{f_0<f}
\vert f_0\vert  \leqslant \Vert f\Vert _{L_\infty},\quad \vert f_0^{-1}\vert \leqslant \Vert f^{-1}\Vert _{L_\infty}.
\end{equation}

\subsection{Об оценочных постоянных}

Мы нацелены на применение результатов главы~1 к оператору $B(t,\varepsilon;\boldsymbol{\theta})$, который зависит от дополнительного параметра $\boldsymbol{\theta}$. Чтобы реализовать абстрактную схему, требуется сделать все оценки главы~1 в применении к этому оператору равномерными по $\boldsymbol{\theta}$, т.~е. для каждой постоянной выбрать значение, подходящее при всех $\boldsymbol{\theta}\in\mathbb{S}^{d-1}$. В главе~1 было прослежено (см. замечания \ref{Remark constants Sec.1} и \ref{Remark CG} и теорему \ref{Theorem bordered exp final in abstrach scheme}), что постоянные  $C_N$, $C_5$, $C_7$, $C_8$ и $C_9$ контролируются через полиномы с абсолютными положительными коэффициентами от данных \eqref{data for abstract scheme} и $\check{c}_*^{-1}$, а постоянная $C_G$ зависит от тех же величин и от $\Vert M ^{-1}\Vert$. В рассматриваемом случае $\Vert M ^{-1}\Vert =\Vert \mathcal{Q}_0\Vert ^{1/2} _{L_\infty}$, данные \eqref{data for abstract scheme} сводятся к набору величин $\delta ,\delta ^{-1/2}$, $\tau _0$, $\kappa ^{1/2}$, $\kappa ^{-1/2}$, $c_1$, $c_2^{1/2}$, $c_3^{1/2}$, $C(1)^{1/2}$, $\vert \lambda\vert$, $\Vert X_1(\boldsymbol{\theta})\Vert $, $\Vert Y_1(\boldsymbol{\theta})\Vert $ и $ \Vert \mathcal{Q}_0\Vert _{L_\infty}$. Величины $\delta ,\delta ^{-1/2}$, $\kappa ^{1/2}$, $\kappa ^{-1/2}$, $c_1$, $c_2^{1/2}$, $c_3^{1/2}$, $C(1)^{1/2}$ от $\boldsymbol{\theta}$ не зависят и допускают контроль через исходные данные \eqref{dannie_zadachi}; число $\tau _0$ уже выбрано не зависящим от $\boldsymbol{\theta}$ (см. \eqref{DOtau_0}). Используя \eqref{X_1(theta)<=, Y_1(theta)=}, вместо $\Vert X_1(\boldsymbol{\theta})\Vert $ можно взять $\alpha _1^{1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert f\Vert _{L_\infty}$, а вместо $\Vert Y_1(\boldsymbol{\theta})\Vert $ --- норму $\Vert f\Vert _{L_\infty}$. Таким образом, справедливо следующее наблюдение.

\begin{remark}
\label{Remark Constants Chapter 2}
Значения постоянных $C_G$, $C_5$, $C_7$, $C_8$ и $C_9$ для оператора $B(t,\varepsilon;\boldsymbol{\theta})$ можно выбрать не зависящими от $\boldsymbol{\theta}\in\mathbb{S}^{d-1}$.
\end{remark}

\section{Эффективные характеристики} 

\subsection{Операторы $\widehat{Z}(\boldsymbol{\theta})$, $\widehat{\widetilde{Z}}$ и $\widehat{R}(\boldsymbol{\theta})$}

Оператор $\widehat{Z}$, определенный в п.~\ref{Subsection Z and tilde-Z-abstract}, сейчас зависит от $\boldsymbol{\theta}$. Введем $\Gamma$-периодическую $(n\times m)$-матрицу-функцию $\Lambda (\mathbf{x})$, являющуюся слабым решением уравнения 
\begin{equation}
\label{Lambda}
b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\Lambda (\mathbf{x})+\mathbf{1}_m)=0,\quad \int _\Omega \Lambda (\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{equation}
Как проверено в \cite[п. 6.3]{Su10}, оператор $\widehat{Z}(\boldsymbol{\theta}):\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}$ определяется равенством
\begin{equation}
\label{Z= for DO's}
\widehat{Z}(\boldsymbol{\theta})=\Lambda b(\boldsymbol{\theta})\widehat{P},
\end{equation}
где $\widehat{P}$ --- проектор \eqref{P= for DO's}.

В соответствии с \cite[п. 6.3]{Su10} 
\begin{equation}
\label{tilde Z = for DO's}
\widehat{\widetilde{Z}}=\widetilde{\Lambda}\widehat{P},
\end{equation} 
где $\widetilde{\Lambda }(\mathbf{x})$~--- $\Gamma $-периодическое 
$(n\times n)$-матричное решение задачи
\begin{equation}
\label{tildeLambda}
b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda }(\mathbf{x})+\sum \limits _{j=1}^dD_ja_j(\mathbf{x})^*=0,\quad \int _{\Omega }\widetilde{\Lambda }(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{equation}

Оператор $\widehat{R}(\boldsymbol{\theta}):\widehat{\mathfrak{N}}\rightarrow\mathfrak{N}_*$ действует как умножение на матрицу-функцию
\begin{equation}
\label{hat R for DO's}
\widehat{R}(\boldsymbol{\theta})=h(b(\mathbf{D})\Lambda +\mathbf{1}_m)b(\boldsymbol{\theta}).
\end{equation}

\subsection{Оператор $\widehat{S}(\boldsymbol{\theta})$. Эффективная матрица}

Спектральный росток $\widehat{S}$, введенный в п.~\ref{Subsection R and S in abstract scheme}, теперь зависит от 
$\boldsymbol{\theta}$. Согласно \cite[гл.~3, \S1]{BSu} оператор 
$\widehat{S}(\boldsymbol{\theta}) :\widehat{\mathfrak{N}}\rightarrow 
\widehat{\mathfrak{N}}$ действует как оператор умножения на матрицу 
$b(\boldsymbol{\theta})^*g^0b(\boldsymbol{\theta})$, 
$\boldsymbol{\theta}\in \mathbb{S}^{d-1}.$ Здесь $g^0$~--- постоянная 
$(m\times m)$-матрица, называемая \textit{эффективной матрицей} и заданная 
выражением
\begin{equation}
\label{g^0}
g^0=\vert \Omega \vert ^{-1}\int _{\Omega}\widetilde{g}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} ,\quad  \widetilde{g}(\mathbf{x}):= g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\Lambda(\mathbf{x})+\mathbf{1}_m).
\end{equation}

Нам потребуются следующие свойства эффективной матрицы, см. \cite[гл.~3, \S1]{BSu}.

\begin{proposition}
Эффективная матрица $g^0$ подчинена оценкам 
$$\underline{g}\leqslant g^0\leqslant\overline{g}.$$ 
\textnormal{(}Здесь $\underline{g}$ и $\overline{g}$ определены согласно \eqref{underline and overline definition}.\textnormal{)} При $m=n$ выполнено $g^0=\underline{g}$.
\end{proposition}

\begin{proposition}
Равенство $g^0=\overline{g}$ равносильно соотношениям
\begin{equation}
\label{g0=overline g}
b(\mathbf{D})^*\mathbf{g}_k(\mathbf{x})=0,\quad k=1,\dots,m,
\end{equation}
для столбцов $\mathbf{g}_k(\mathbf{x})$ матрицы $g(\mathbf{x})$.
\end{proposition}

\begin{proposition}
Равенство $g^0=\underline{g}$ эквивалентно представлениям
\begin{equation*}
{\mathbf l}_k(\mathbf{x}) = {\mathbf l}_k^0 + b(\mathbf{D}) {\mathbf w}_k,\ \ {\mathbf l}_k^0\in \mathbb{C}^m,\ \
{\mathbf w}_k \in \widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^m),\ \ k=1,\dots,m,
\end{equation*}
где ${\mathbf l}_k(\mathbf{x})$, $k=1,\dots,m,$ --- столбцы матрицы $g(\mathbf{x})^{-1}$.
\end{proposition}



\subsection{Оператор $\mathcal{B}^0(\mathbf{k},\varepsilon)$}
\label{Subsection B0(k,eps)}

Оператор $\widehat{L}(t,\varepsilon)$, определенный согласно \eqref{L(t,eps)} и действующий в пространстве $\widehat{\mathfrak{N}}$, теперь зависит от $\boldsymbol{\theta}$. Оказывается (см. \cite[(7.2), (7.3), (7.8)]{Su10}), справедливо представление
\begin{equation*}
\begin{split}
\widehat{L}(\mathbf{k},\varepsilon)
&=b(\mathbf{k})^*g^0b(\mathbf{k})-\varepsilon ( b(\mathbf{k})^*V+V^*b(\mathbf{k}))+\varepsilon\sum  _{j=1}^d(\overline{a_j+a_j^*})k_j 
\\
&+\varepsilon ^2(-W+\overline{\mathcal{Q}}+\lambda I),
\end{split}
\end{equation*}
где постоянные матрицы $(\overline{a_j+a_j^*})$ определены согласно \eqref{underline and overline definition},
\begin{align}
\label{V}
V &:=\vert \Omega \vert ^{-1}\int _{\Omega}(b(\mathbf{D})\Lambda(\mathbf{x}))^*g(\mathbf{x})b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x},
\\
\label{W}
W &:=\vert \Omega \vert ^{-1}\int 
_{\Omega}(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x}))^*g(\mathbf{x})b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x},
\\
\label{overlineQ}
\overline{\mathcal{Q}}&:=\vert \Omega \vert ^{-1}\int _\Omega d\mu(\mathbf{x}).
\end{align}

В соответствии с \eqref{A(k)>} выполнено неравенство 
$\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})\geqslant \widehat{c}_*\vert 
\mathbf{k}\vert ^2I$, $\mathbf{k}\in \widetilde{\Omega}$,
где $\widehat{c}_* = \alpha_0 \|g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty}$.
Отметим, что постоянные $c_*$ и $\widehat{c}_*$
связаны равенством $c_*=\Vert f^{-1}\Vert^{-2}_{L_\infty} \widehat{c}_*$.
Согласно \eqref{beta<=||M^-1||^-2hat beta} $\beta \leqslant \Vert 
f^{-1}\Vert ^{-2}_{L_\infty}\widehat{\beta}$.
В силу \eqref{DOcheck c_*} имеем
$\check{c}_*=\frac{1}{2}\min \lbrace \kappa c_*;2\beta \rbrace$,
 $\widehat{\check{c}}_* =\frac{1}{2}\min \lbrace \kappa \widehat{c}_*;2 \widehat{\beta} \rbrace$. Следовательно,
$\check{c}_*\leqslant \Vert f^{-1}\Vert 
^{-2}_{L_\infty}\widehat{\check{c}}_*$. В соответствии с \eqref{L(t,eps)>=}
$\widehat{L}(\mathbf{k},\varepsilon ) \geqslant 
\widehat{\check{c}}_*(\vert \mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon 
^2)\mathbf{1}_n$.
С учетом \eqref{f_0<f} отсюда вытекает оценка
\begin{equation}
\label{f_0Lf_0>=}
f_0 \widehat{L}(\mathbf{k},\varepsilon )f_0\geqslant \check{c}_*(\vert \mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2)\mathbf{1}_n,\quad \mathbf{k}\in \mathbb{R}^d.
\end{equation}

Положим
\begin{align}
\widehat{\mathcal{A}}^0(\mathbf{k}) &=b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^*g^0b(\mathbf{D}+\mathbf{k}),\quad \widehat{\mathcal{Y}}^0(\mathbf{k})=-b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^*V+\sum\limits_{j=1}^d\overline{a_j}(D_j+k_j),
\nonumber
\\
\label{hat B0 (k,eps)}
\widehat{\mathcal{B}}^0(\mathbf{k},\varepsilon ) &=\widehat{\mathcal{A}}^0(\mathbf{k})+\varepsilon(\widehat{\mathcal{Y}}^0(\mathbf{k})+\widehat{\mathcal{Y}}^0(\textbf{k})^*)+\varepsilon ^2(\overline{\mathcal{Q}}-W+\lambda I).
\end{align}
Тогда
\begin{equation}
\label{LP=B0P}
\widehat{L}(\mathbf{k},\varepsilon)\widehat{P}=\widehat{\mathcal{B}}^0(\mathbf{k},\varepsilon)\widehat{P}.
\end{equation}

Положим
\begin{equation}
\label{B0 (k,eps)}
\mathcal{B}^0(\mathbf{k},\varepsilon):=f_0\widehat{\mathcal{B}}^0(\mathbf{k},\varepsilon)f_0,
\end{equation}
где $\widehat{\mathcal{B}}^0(\mathbf{k},\varepsilon)$ --- оператор \eqref{hat B0 (k,eps)}. Так как символ оператора $\mathcal{B}^0(\mathbf{k},\varepsilon)$ подчинен оценке \eqref{f_0Lf_0>=}, используя разложение в ряд Фурье, несложно проверить оценку
\begin{equation}
\label{B0(k,eps)>=}
\mathcal{B}^0(\mathbf{k},\varepsilon)
\geqslant \check{c}_*(\vert \mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2)I,\quad \mathbf{k}\in \widetilde{\Omega}.
\end{equation}

\subsection{Случай $f\neq \mathbf{1}_n$. Операторы $\widehat{Z}_G(\boldsymbol{\theta})$ и $\widehat{\widetilde{Z}}_G$} 

Вернемся к рассмотрению общего случая $f\neq\mathbf{1}_n$.  
Реализуем операторы из п.~\ref{Subsection ZG and tilde ZG abstract scheme}. Определим $\Gamma$-периодическую $(n\times 
m)$-матрицу-функцию $\Lambda _{G} (\mathbf{x})$ как (слабое) решение задачи
\begin{equation}
\label{Lambda-G problem}
b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})\left( b(\mathbf{D})\Lambda _{G} (\mathbf{x})+\mathbf{1}_m\right) =0,\quad \int  _\Omega G(\mathbf{x})\Lambda _{G} (\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{equation}
Ср.~\cite[\S5]{BSu05}.
Очевидно, $\Lambda _{G} (\mathbf{x})$ отличается от решения $\Lambda 
(\mathbf{x})$ задачи \eqref{Lambda} на постоянное слагаемое:
\begin{equation}
\label{Lambda_rho=Lambda+Lambda_rho^0}
\Lambda _{G} (\mathbf{x})=\Lambda (\mathbf{x})+\Lambda _{G} ^0,\quad \Lambda _G ^0=-\left(\overline{G}\right)^{-1}\left( \overline{G\Lambda}\right).
\end{equation}
В \cite[п. 7.3]{BSu05} установлена следующая оценка:
\begin{equation}
\label{Lambda_rho^0<=}
\vert \Lambda _{G} ^0\vert \leqslant \mathfrak{C}_{G} =m^{1/2}(2r_0)^{-1}\alpha _0^{-1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty} \Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert f\Vert ^2_{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert ^2_{L_\infty} .
\end{equation}

Согласно \cite[\S5]{BSu05} роль оператора $\widehat{Z}_G$ из п.~\ref{Subsection ZG and tilde ZG abstract scheme} 
играет оператор 
\begin{equation}
\label{hat ZG for DO's}
\widehat{Z}_{G}(\boldsymbol{\theta})=\Lambda _{G} 
b(\boldsymbol{\theta})\widehat{P}.
\end{equation} 
C учетом $b(\mathbf{D})\widehat{P}=0$ 
имеем $t\widehat{Z}_{G}(\boldsymbol{\theta})=\Lambda _{G} 
b(\mathbf{D}+\mathbf{k})\widehat{P}$, $\mathbf{k}\in \mathbb{R}^d$.

Далее, аналогично \eqref{tildeLambda} рассмотрим $\Gamma$-периодическое $(n\times n)$-матричное решение $\widetilde{\Lambda}_G(\mathbf{x})$ задачи
\begin{equation}
\label{tilde-Lambda-G problem}
b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda }_G(\mathbf{x}) +\sum\limits _{j=1}^d D_j a_j(\mathbf{x})^*=0,\quad \int  _\Omega G (\mathbf{x})\widetilde{\Lambda}_G (\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{equation}
Заметим, что
\begin{equation}
\label{tildeLambda_rho=tildeLambda+}
\widetilde{\Lambda}_G(\mathbf{x})=\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})+\widetilde{\Lambda}^0_G ,\quad \widetilde{\Lambda }^0_G =-\left(\overline{G}\right)^{-1}\left(\overline{G \widetilde{\Lambda}}\right).
\end{equation}
В \cite[(7.12)]{M_AA} установлена оценка
\begin{equation}
\label{tildeLambda_rho^0<=}
\vert \widetilde{\Lambda }_G^0 \vert \leqslant \widetilde{\mathfrak{C}}_G =(2r_0)^{-1}C_an^{1/2}\alpha _0^{-1}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}\Vert f\Vert ^2_{L_\infty} \Vert f ^{-1}\Vert ^2_{L_\infty}\vert \Omega \vert ^{-1/2}.
\end{equation}
Здесь $C_a^2=\sum _{j=1}^d\int _\Omega \vert a_j(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}$. 
Из определений оператора $\widehat{\widetilde{Z}}_G$ и матрицы-функции $\widetilde{\Lambda }_G$  вытекает тождество
\begin{equation}
\label{hat tilde ZG for DO's}
\widehat{\widetilde{Z}}_G=\widetilde{\Lambda}_G \widehat{P}.
\end{equation}


\subsection{Оператор $\widehat{N}_G(\mathbf{k},\varepsilon)$}
\label{Subsection N(k,eps)}

Оператор $\widehat{N}_G(t,\varepsilon)$, определенный согласно \eqref{NG(t,eps):=}--\eqref{N_G22 abstract}, теперь зависит от $\boldsymbol{\theta}$ и представляется в виде
\begin{equation}
\label{N=... chapter 2 start}
\widehat{N}_G(t,\varepsilon;\boldsymbol{\theta})=t^3 \widehat{N}_{G,11}(\boldsymbol{\theta})+t^2\varepsilon \widehat{N}_{G,12}(\boldsymbol{\theta})+t\varepsilon ^2 \widehat{N}_{G,21}(\boldsymbol{\theta})+\varepsilon ^3 \widehat{N}_{G,22},
\end{equation}
где операторы $\widehat{N}_{G,jl}(\boldsymbol{\theta})$ определены соотношениями \eqref{NG11 abstract}--\eqref{N_G22 abstract}, в которых операторы $\widehat{X}_1$, $\widehat{Z}_G$, $\widehat{R}$, $\widehat{Y}_1$ зависят от $\boldsymbol{\theta}$. (Ясно, что $\widehat{N}_{G,22}$ от $\boldsymbol{\theta}$ не зависит.)

Используя равенства \eqref{X_1 hat for DO's}, \eqref{P= for DO's}, \eqref{hat R for DO's} и \eqref{hat ZG for DO's}, можно показать (ср. \cite[п.~5.3]{BSu05}), что первое слагаемое в правой части \eqref{N=... chapter 2 start} имеет вид
\begin{equation*}
\widehat{N}_{G,11}(\mathbf{k}):=t^3 \widehat{N}_{G,11}(\boldsymbol{\theta})
= b(\mathbf{k})^* M_G(\mathbf{k})b(\mathbf{k})\widehat{P},
\end{equation*}
где 
$
M_G(\mathbf{k})=\overline{\Lambda _G ^* b(\mathbf{k})^*\widetilde{g}}
+\overline{\widetilde{g}^*b(\mathbf{k})\Lambda _G} $. 
Отметим, что $M_G(\mathbf{k})$ --- эрмитова \break$(m\times m)$-матрица-функция, однородная первой степени по $\mathbf{k}$. Таким образом, $M_G(\mathbf{k})$ является символом самосопряженного ДО $M_G(\mathbf{D})$ первого порядка с постоянными коэффициентами.

Положим $\widehat{N}_{G,12}(\mathbf{k}):=t^2 \widehat{N}_{G,12}(\boldsymbol{\theta})$. Используя равенства \eqref{hat X0 for DO's}--\eqref{hat Y2 for DO's}, \eqref{hat R for DO's}, \eqref{hat ZG for DO's} и \eqref{hat tilde ZG for DO's} и рассуждая по аналогии с \cite[п. 5.2]{Su14} можно проверить, что
\begin{equation*}
\varepsilon \widehat{N}_{G,12}(\mathbf{k})=\varepsilon\bigl(
b(\mathbf{k})^*T_{G,0}b(\mathbf{k})+M_{G,1}(\mathbf{k})b(\mathbf{k})+b(\mathbf{k})^*M_{G,1}(\mathbf{k})^*
\bigr)\widehat{P},
\end{equation*}
где
\begin{align*}
M_{G,1}(\mathbf{k})&=\overline{\widetilde{\Lambda}_G^*b(\mathbf{k})^*\widetilde{g}}
+\overline{ (b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}_G)^*g b(\mathbf{k})\Lambda_G}
+\sum _{j=1}^d \overline{(a_j+a_j^*)\Lambda _G}k_j,
\\
T_{G,0}&=2\sum _{j=1}^d \mathrm{Re}\,\overline{\Lambda _G ^* a_j D_j\Lambda _G}.
\end{align*}

Пусть $\widehat{N}_{G,21}(\mathbf{k}):=t\widehat{N}_{G,21}(\boldsymbol{\theta})$.  
Рассуждая по аналогии с \cite[п. 5.2]{Su14}, несложно установить, что
\begin{equation*}
\begin{split}
\varepsilon ^2 \widehat{N}_{G,21}(\mathbf{k})
&=\varepsilon ^2 
\bigl(
M_{G,2}(\mathbf{k})+M_{G,2}(\mathbf{k})^*+T^*_Gb(\mathbf{k})+b(\mathbf{k})^*T_G\bigr)\widehat{P}
\\
&+2\varepsilon ^2 \sum _{j=1}^d \mathrm{Re}\,\overline{(a_j+a_j^*)\widetilde{\Lambda}_G}k_j\widehat{P},
\end{split}
\end{equation*}
где
\begin{align*}
M_{G,2}(\mathbf{k})&=\overline{(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}_G)^* g b(\mathbf{k})\widetilde{\Lambda}_G},
\\
T_G&=\sum _{j=1}^d \left(
\overline{\Lambda ^* _G a_j(D_j\widetilde{\Lambda}_G)}
+\overline{(D_j\Lambda _G)^* a_j^*\widetilde{\Lambda}_G}\right)
+\overline{\Lambda ^*_G \mathcal{Q}}+\lambda\overline{\Lambda ^*_G}.
\end{align*}
Здесь $\overline{{\Lambda}_G^* \mathcal{Q}}=\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega {\Lambda}_G(\mathbf{x})^*\,d\mu(\mathbf{x})$.

Наконец, по аналогии с \cite[(5.30), (5.31)]{Su14} 
$
\widehat{N}_{G,22}=(\widetilde{T}_G+\widetilde{T}_G^*)\widehat{P}$. 
Здесь
\begin{equation*}
\widetilde{T}_G=\sum _{j=1}^d \overline{\widetilde{\Lambda}_G^*a_j(D_j\widetilde{\Lambda}_G)}
+\overline{\widetilde{\Lambda}_G^*\mathcal{Q}}+\lambda \overline{\widetilde{\Lambda}^*_G},
\end{equation*}
где $\overline{\widetilde{\Lambda}_G^* \mathcal{Q}}=\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega\widetilde{\Lambda}_G(\mathbf{x})^*\,d\mu(\mathbf{x})$.

В итоге оператор $\widehat{N}_G(\mathbf{k},\varepsilon)=\widehat{N}_G(t,\varepsilon;\boldsymbol{\theta})$, определенный в \eqref{N=... chapter 2 start}, представляется в виде
\begin{equation*}
\widehat{N}_G(\mathbf{k},\varepsilon)=\widehat{N}_{G,11}(\mathbf{k})+\varepsilon \widehat{N}_{G,12}(\mathbf{k})+\varepsilon ^2 \widehat{N}_{G,21}(\mathbf{k})+\varepsilon ^3 \widehat{N}_{G,22}.
\end{equation*}
В соответствии с замечанием~\ref{Remark Constants Chapter 2}, для оператора $\widehat{N}_G(\mathbf{k},\varepsilon)$ выполнена оценка вида \eqref{NG<= abstract scheme}, в которой постоянную $C_G$ можно выбрать не зависящей от~$\boldsymbol{\theta}$. Таким образом, при $\mathbf{k}\in\mathbb{R}^d$ и  $0<\varepsilon \leqslant 1$ имеем
\begin{equation}
\label{N(k,eps)<=}
\Vert \widehat{N}_G(\mathbf{k},\varepsilon)\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}} 
=\vert \widehat{N}_G(\mathbf{k},\varepsilon)\vert
\leqslant 
C_G(\vert \mathbf{k}\vert ^2 +\varepsilon ^2)^{3/2}.
\end{equation}
(Мы учли, что для оператора умножения на постоянную матрицу операторная норма в $L_2 (\Omega;\mathbb{C}^n)$ совпадает с матричной нормой.)

Так как в выражениях, определяющих операторы $\widehat{N}_{G,11}(\mathbf{k})$, $\widehat{N}_{G,12}(\mathbf{k})$ и $\widehat{N}_{G,21}(\mathbf{k})$, присутствует проектор $\widehat{P}$, в них можно заменить $\mathbf{k}$ на $\mathbf{D}+\mathbf{k}$: 
$\widehat{N}_G(\mathbf{k},\varepsilon)=\mathcal{N}(\mathbf{k},\varepsilon)\widehat{P}$, 
где $\mathcal{N}(\mathbf{k},\varepsilon)$ --- самосопряженный ДО третьего порядка:
\begin{equation*}
\mathcal{N}(\mathbf{k},\varepsilon)=\mathcal{N}_{11}(\mathbf{D}+\mathbf{k})+\varepsilon\mathcal{N}_{12}(\mathbf{D}+\mathbf{k})+\varepsilon ^2 \mathcal{N}_{21}(\mathbf{D}+\mathbf{k})+\varepsilon ^3 \mathcal{N}_{22}.
\end{equation*}
Здесь слагаемые в правой части --- ДО третьего, второго, первого и нулевого порядков, соответственно, заданные соотношениями
\begin{align}
\mathcal{N}_{11}(\mathbf{D}+\mathbf{k})&=b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^*M_G(\mathbf{D}+\mathbf{k})b(\mathbf{D}+\mathbf{k}),
\nonumber
\\
\begin{split}
\mathcal{N}_{12}(\mathbf{D}+\mathbf{k})&=b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^*T_{G,0}b(\mathbf{D}+\mathbf{k})+M_{G,1}(\mathbf{D}+\mathbf{k})b(\mathbf{D}+\mathbf{k})
\\
&+b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^*M_{G,1}(\mathbf{D}+\mathbf{k})^*,
\end{split}
\nonumber
\\
\begin{split}
\mathcal{N}_{21}(\mathbf{D}+\mathbf{k})&=
M_{G,2}(\mathbf{D}+\mathbf{k})+M_{G,2}(\mathbf{D}+\mathbf{k})^*+{T}^*_Gb(\mathbf{D}+\mathbf{k})
+b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^* {T}_G
\\
&+2\sum _{j=1}^d \mathrm{Re}\,\overline{(a_j+a_j^*)\widetilde{\Lambda}_G}(D_j+k_j),
\end{split}
\nonumber
\\
\label{N22 for DO's}
\mathcal{N}_{22}&=\widetilde{T}_G+\widetilde{T}^*_G.
\end{align}

\begin{remark}
\label{Remark N(k,eps)=0}
Если $\Gamma$-периодические решения задач \eqref{Lambda-G problem} и \eqref{tilde-Lambda-G problem} обращаются в нуль\textnormal{:} $\Lambda _G =0$, $\widetilde{\Lambda}_G=0$, то по построению $\mathcal{N}(\mathbf{k},\varepsilon)=0$.
\end{remark}

\section{Аппроксимация оператора $fe^{-\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon)s}f^*$}

\subsection{}

Применим теорему~\ref{Theorem bordered exp final in abstrach scheme} к оператору $\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon)$. 
 Учитывая равенства \eqref{Z= for DO's}, \eqref{tilde Z = for DO's}, \eqref{LP=B0P} и \eqref{B0 (k,eps)}, на основании теоремы~\ref{Theorem bordered exp final in abstrach scheme} при $\vert \tau\vert =(\vert \mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2)^{1/2}\leqslant\tau _0$ 
имеем
\begin{equation}
\label{Ch 2 Th for small k}
\begin{split}
fe^{-\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon)s}f^*=f_0e^{-\mathcal{B}^0(\mathbf{k},\varepsilon)s}f_0\widehat{P}+\mathcal{K}(\mathbf{k},\varepsilon,s)+f\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon,s)f^*.
\end{split}
\end{equation}
Здесь 
оператор $\mathcal{B}^0(\mathbf{k},\varepsilon)$ определен в \eqref{B0 (k,eps)}, 
\begin{equation}
\label{K(k,eps)}
\begin{split}
\mathcal{K}(\mathbf{k},\varepsilon,s)
&:=
\left( \Lambda _G b(\mathbf{D}+\mathbf{k})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}_G\right)f_0e^{-\mathcal{B}^0(\mathbf{k},\varepsilon)s}f_0\widehat{P}
\\
&+f_0e^{-\mathcal{B}^0(\mathbf{k},\varepsilon)s}f_0\widehat{P} \left( b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^*\Lambda _G ^*+\varepsilon\widetilde{\Lambda}_G^*\right)
\\
&-\int _0^s f_0e^{-\mathcal{B}^0(\mathbf{k},\varepsilon)(s-\widetilde{s})}f_0\mathcal{N}(\mathbf{k},\varepsilon)f_0e^{-\mathcal{B}^0(\mathbf{k},\varepsilon)\widetilde{s}}f_0\widehat{P}\,d\widetilde{s},
\end{split}
\end{equation}
а для остаточного члена $f\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon,s)f^*$ при $(\vert \mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2)^{1/2}\leqslant\tau _0$ справедливы оценки
\begin{align}
\label{fR2f small k s>=0}
&\Vert f\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon,s)f^*\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)} \leqslant C_7 \Vert f\Vert ^2_{L_\infty}(s+1)^{-1}e^{-\check{c}_*(\vert \mathbf{k}\vert ^2 +\varepsilon ^2)s/2},\quad s\geqslant 0;
\\
\label{fR2f small k s>0}
&\Vert f\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon,s)f^*\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)} \leqslant C_5\Vert f\Vert ^2_{L_\infty}s^{-1}e^{-\check{c}_*(\vert \mathbf{k}\vert ^2 +\varepsilon ^2)s/2},\quad s> 0.
\end{align}

\subsection{Оценки при $\vert \mathbf{k}\vert ^2 +\varepsilon ^2>\tau _0^2$}

Если $\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}$, $0<\varepsilon\leqslant 1$ и $\vert \mathbf{k}\vert ^2 +\varepsilon ^2 >\tau _0^2$, достаточно оценить каждый оператор в \eqref{Ch 2 Th for small k} по отдельности. Используя \eqref{B(t,eps,theta)>=} и элементарные неравенства \break$e^{-\alpha}\leqslant \alpha ^{-1}e^{-\alpha /2}$ при $\alpha >0$ и $e^{-\alpha}\leqslant 2 (1+\alpha)^{-1}e^{-\alpha /2} $ при $\alpha\geqslant 0$, находим, что при $\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}$,  $\vert \mathbf{k}\vert ^2 +\varepsilon ^2>\tau _0^2$ выполнено
\begin{align}
\label{exp B(k,eps) big k, s>0}
\begin{split}
\Vert fe^{-\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon)s}f^*\Vert  _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)} &\leqslant \Vert f\Vert ^2 _{L_\infty}e^{-\check{c}_*(\vert \mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2) s}\\
&\leqslant 
\tau _0^{-2}\check{c}_* ^{-1} s^{-1}e^{-\check{c}_*(\vert \mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2) s/2}\Vert f\Vert ^2 _{L_\infty},\quad s>0;
\end{split}
\\
\label{exp B(k,eps) big k, s>=0}
\begin{split}
\Vert fe^{-\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon)s}f^*\Vert  _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)} &\leqslant 
2\max\lbrace 1;\check{c}_*^{-1}\tau _0^{-2}\rbrace 
\\
&\times (1+s)^{-1}e^{-\check{c}_*(\vert \mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2) s/2}
\Vert f\Vert ^2 _{L_\infty},\quad s\geqslant 0.
\end{split}
\end{align}
Аналогично, на основании \eqref{f_0<f} и \eqref{B0(k,eps)>=} при $\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}$,  $\vert \mathbf{k}\vert ^2 +\varepsilon ^2>\tau _0^2$ имеем
\begin{align}
\label{exp B0(k,eps) big k, s>0}
\Vert f_0e^{-\mathcal{B}^0(\mathbf{k},\varepsilon)s}f_0\widehat{P}\Vert  _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)} & \leqslant \tau _0^{-2}\check{c}_*^{-1}s^{-1}e^{-\check{c}_*(\vert \mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2) s/2}\Vert f\Vert ^2 _{L_\infty},\quad s>0;
\\
\label{exp B0(k,eps) big k, s>=0}
\begin{split}
\Vert f_0e^{-\mathcal{B}^0(\mathbf{k},\varepsilon)s}f_0\widehat{P}\Vert  _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)} &\leqslant 2\max\lbrace 1;\check{c}_*^{-1}\tau _0^{-2}\rbrace 
\\
&\times (1+s)^{-1}e^{-\check{c}_*(\vert \mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2) s/2}
\Vert f\Vert ^2 _{L_\infty},\quad s\geqslant 0.
\end{split}
\end{align}
В силу \eqref{KG (t,eps)<= for s>0}, \eqref{KG (t,eps)<= for s>=0} и замечания~\ref{Remark Constants Chapter 2} для корректора справедливы оценки с постоянными, не зависящими от $\boldsymbol{\theta}$:
\begin{align}
\label{K (k,eps)<= for s>0}
\begin{split}
\Vert & \mathcal{K}(\mathbf{k},\varepsilon,s)\Vert   _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)}
\leqslant C_8\Vert f\Vert _{L_\infty} ^2 s^{-1}(\vert \mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2)^{-1/2}e^{-\check{c}_*(\vert \mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2)s/2}
\\
&\leqslant  C_8\tau _0^{-1}\Vert f\Vert  _{L_\infty} ^2 s^{-1}e^{-\check{c}_*( \vert \mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2)s/2}
,\\ 
&s>0,\quad 0<\varepsilon\leqslant 1,\quad \mathbf{k}\in\widetilde{\Omega},\quad \vert \mathbf{k}\vert ^2 +\varepsilon ^2 >\tau _0^2;
\end{split}
\\
\label{K (k,eps)<= for s>=0}
\begin{split}
\Vert  &\mathcal{K}(\mathbf{k},\varepsilon,s)\Vert   _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)}
\\
&\leqslant C_9\Vert f\Vert  _{L_\infty} ^2 (\vert \mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2)^{1/2}\left(1+\check{c}_*( \vert \mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2)s\right)^{-1}e^{-\check{c}_*(\vert \mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2)s/2}
\\
&\leqslant
C_9\Vert f\Vert  _{L_\infty} ^2 (r_1^2+1)^{1/2}\max\lbrace 1;\check{c}_*^{-1}\tau _0^{-2}\rbrace
(1+s)^{-1}e^{-\check{c}_*(\vert \mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2)s/2},
\\
&s\geqslant 0,\quad 0<\varepsilon\leqslant 1,\quad \mathbf{k}\in\widetilde{\Omega},\quad \vert \mathbf{k}\vert ^2 +\varepsilon ^2 >\tau _0^2.
\end{split}
\end{align}

Объединяя \eqref{fR2f small k s>0}, \eqref{exp B(k,eps) big k, s>0}, \eqref{exp B0(k,eps) big k, s>0} и \eqref{K (k,eps)<= for s>0}, заключаем, что для $s>0$ при всех $\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}$ справедливо представление \eqref{Ch 2 Th for small k} с оценкой остатка
\begin{align}
\label{fR2f all k s>0}
\Vert f\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon,s)f^*\Vert  _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)}\leqslant C_{10} s^{-1}e^{-\check{c}_*(\vert \mathbf{k}\vert ^2 +\varepsilon ^2)s/2},\quad s> 0, \quad \mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}.
\end{align}
Здесь $C_{10} =\max \lbrace  C_5 ; 2\tau _0^{-2}\check{c}_*^{-1}+C_8\tau _0^{-1}\rbrace \Vert f\Vert ^2_{L_\infty}$.

В силу \eqref{fR2f small k s>=0}, \eqref{exp B(k,eps) big k, s>=0}, \eqref{exp B0(k,eps) big k, s>=0} и \eqref{K (k,eps)<= for s>=0} для остаточного члена в \eqref{Ch 2 Th for small k} при $s\geqslant 0$ и $\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}$ справедлива оценка
\begin{equation}
\label{fR2f all k s>=0}
\Vert f\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon,s)f^*\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)} \leqslant C_{11} (1+s)^{-1}e^{-\check{c}_*(\vert \mathbf{k}\vert ^2 +\varepsilon ^2)s/2},\quad s\geqslant 0, \quad \mathbf{k}\in\widetilde{\Omega},
\end{equation}
с постоянной $C_{11}=\max\left\lbrace C_7 ;(4+C_9(1+r_1^2)^{1/2})\max\lbrace 1;\check{c}_*^{-1}\tau _0^{-2}\rbrace \right\rbrace \Vert f\Vert ^2_{L_\infty}$.

Мы получили следующий результат.

\begin{theorem}
\label{Theorem exp of B(k,eps)}
Пусть $\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon)$ и $\mathcal{B}^0(\mathbf{k},\varepsilon)$ --- операторы \eqref{B(k,e)} и \eqref{B0 (k,eps)} соответственно, пусть $\mathcal{K}(\mathbf{k},\varepsilon,s)$ --- корректор \eqref{K(k,eps)}. Тогда при $s\geqslant 0$, $0<\varepsilon\leqslant 1$ и $\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}$ справедливо представление \eqref{Ch 2 Th for small k}, причем для остаточного члена верны оценки \eqref{fR2f all k s>0} и \eqref{fR2f all k s>=0}, где постоянные $C_{10}$ и $C_{11}$ контролируются через исходные данные \eqref{dannie_zadachi}.
\end{theorem}



\section{Аппроксимация оператора $fe^{-\mathcal{B}(\varepsilon)s}f^*$}

\label{Section f exp B(eps) f*}

\subsection{}

\label{Subsection exp into direct integral}

Вернемся к рассмотрению оператора $\mathcal{B}(\varepsilon)$, действующего в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и определенного в п.~\ref{Subsection B(eps)}. Аппроксимация окаймленной операторной экспоненты $fe^{-\mathcal{B}(\varepsilon)s}f^*$ выводится из теоремы~\ref{Theorem exp of B(k,eps)} с помощью разложения в прямой интеграл.

Введем эффективный оператор с постоянными коэффициентами
\begin{equation}
\label{B0(eps)}
\begin{split}
\mathcal{B}^0(\varepsilon)&:=
f_0b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})f_0+\varepsilon f_0\left(-b(\mathbf{D})^*V-V^*b(\mathbf{D})+\sum _{j=1}^d \overline{(a_j+a_j^*)}D_j\right)f_0
\\
&+\varepsilon ^2 f_0(-W+\overline{\mathcal{Q}}+\lambda I)f_0.
\end{split}
\end{equation}
Символом оператора \eqref{B0(eps)} является матрица $f_0\widehat{L}(\mathbf{k},\varepsilon)f_0$ (см. п.~\ref{Subsection B0(k,eps)}).

Определим ДО третьего порядка с постоянными коэффициентами:
\begin{align}
\label{9.1a}
\mathcal{N}(\varepsilon)&=\mathcal{N}_{11}(\mathbf{D})+\varepsilon\mathcal{N}_{12}(\mathbf{D})+\varepsilon ^2 \mathcal{N}_{21}(\mathbf{D})+\varepsilon ^3\mathcal{N}_{22},
\\
\mathcal{N}_{11}(\mathbf{D})&=b(\mathbf{D})^*M_G(\mathbf{D})b(\mathbf{D}),
\nonumber
\\
\mathcal{N}_{12}(\mathbf{D})&=b(\mathbf{D})^*T_{G,0}b(\mathbf{D})+M_{G,1}(\mathbf{D})b(\mathbf{D})+b(\mathbf{D})^*M_{G,1}(\mathbf{D})^*,
\nonumber
\\
\begin{split}
\mathcal{N}_{21}(\mathbf{D})&=M_{G,2}(\mathbf{D})+M_{G,2}(\mathbf{D})^*+T_G^*b(\mathbf{D})+b(\mathbf{D})^*T_G
\\
&+2\sum _{j=1}^d \mathrm{Re}\,\overline{(a_j+a_j^*)\widetilde{\Lambda}_G}D_j.
\end{split}
\nonumber
\end{align}
(Напомним, что матрица $\mathcal{N}_{22}$ определена в \eqref{N22 for DO's}.)

Используем разложение для оператора $\mathcal{B}(\varepsilon)$ в прямой интеграл, см. п.~\ref{Subsection direct integral decomposition}. Тогда для операторной экспоненты справедливо представление
\begin{equation*}
e^{-\mathcal{B}(\varepsilon)s}=\mathcal{U}^{-1}\left(\int _{\widetilde{\Omega}}\oplus e^{-\mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon)s}\,d\mathbf{k}\right)\mathcal{U}.
\end{equation*}
Аналогичное тождество имеет место и для $e^{-\mathcal{B}^0(\varepsilon)s}$. Оператор $\Lambda _G b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}_G$ раскладывается в прямой интеграл со слоями $\Lambda _G b(\mathbf{D}+\mathbf{k})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}_G$. Для оператора $\mathcal{N}(\varepsilon)$ справедливо разложение в прямой интеграл по операторам $\mathcal{N}(\mathbf{k},\varepsilon)$. Поэтому из замечания~\ref{Remark N(k,eps)=0} вытекает следующее наблюдение.

\begin{remark}
\label{Remark N(eps)=0}
Если $\Lambda _G =0$ и $\widetilde{\Lambda}_G=0$, то  $\mathcal{N}(\varepsilon)=0$.
\end{remark}

Определим ограниченный оператор $\Pi$ в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ соотношением $\Pi 
=\mathcal{U}^{-1}[\widehat{P}]\mathcal{U}$, где $[\widehat{P}]$ --- оператор в пространстве $\mathcal{H}=\int _{\widetilde{\Omega}}\oplus L_2 (\Omega ;\mathbb{C}^n)\,d\mathbf{k}$, действующий послойно как оператор усреднения по ячейке $\widehat{P}$. Как выяснено в \cite[п.~6.1]{BSu05}, оператор $\Pi$ представим в виде
\begin{equation}
\label{Pi}
(\Pi \mathbf{u})(\mathbf{x})=(2\pi )^{-d/2}\int _{\widetilde{\Omega}} e^{i\langle \mathbf{x},\boldsymbol{\xi}\rangle}(\mathcal{F}\mathbf{u})(\boldsymbol{\xi})\,d\boldsymbol{\xi},
\end{equation}
где $(\mathcal{F}\mathbf{u})(\cdot)$ --- Фурье-образ функции $\mathbf{u}$. Таким образом, $\Pi$ --- ПДО с символом $\chi _{\widetilde{\Omega}}(\boldsymbol{\xi})$, где $\chi _{\widetilde{\Omega}}$ --- характеристическая функция множества $\widetilde{\Omega}$. Этот оператор является сглаживающим. Отметим, что $\Pi$ коммутирует с дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами.

Из теоремы~\ref{Theorem exp of B(k,eps)} вытекает тождество
\begin{equation}
\label{exp B(e) approx with Pi}
\begin{split}
fe^{-\mathcal{B}(\varepsilon)s}f^*
=
f_0e^{-\mathcal{B}^0(\varepsilon)s}f_0\Pi +\mathcal{K}(\varepsilon,s)+\mathcal{R}(\varepsilon,s).
\end{split}
\end{equation}
Здесь корректор $\mathcal{K}(\varepsilon,s)=\mathcal{U}^{-1}\left(\int _{\widetilde{\Omega}}\oplus \mathcal{K}(\mathbf{k},\varepsilon,s) \,d\mathbf{k}\right)\mathcal{U}$ имеет вид
\begin{equation}
\label{K(eps,s) with Pi}
\begin{split}
\mathcal{K}(\varepsilon,s)
&=
\left( \Lambda _G b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}_G\right)f_0e^{-\mathcal{B}^0(\varepsilon)s}f_0\Pi
+f_0e^{-\mathcal{B}^0(\varepsilon)s}f_0\Pi \left( b(\mathbf{D})^*\Lambda _G ^*+\varepsilon\widetilde{\Lambda}_G^*\right)
\\
&-\int _0^s f_0e^{-\mathcal{B}^0(\varepsilon)(s-\widetilde{s})}f_0\mathcal{N}(\varepsilon)f_0e^{-\mathcal{B}^0(\varepsilon)\widetilde{s}}f_0\Pi\,d\widetilde{s} ,
\end{split}
\end{equation}
а для оператора $\mathcal{R} (\varepsilon,s)=  \mathcal{U}^{-1}\left(\int _{\widetilde{\Omega}}\oplus f \mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon,s)f^*\,d\mathbf{k}\right)\mathcal{U}$ справедливы оценки
\begin{align*}
\begin{split}
\Vert \mathcal{R} (\varepsilon,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
&=
\esssup_{\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}}\Vert f \mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon,s)f^*\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)}
\\
&\leqslant C_{10} s^{-1}e^{-\check{c}_*\varepsilon ^2 s/2},\quad s> 0; 
\end{split}
\\
\Vert \mathcal{R} (\varepsilon,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}&\leqslant C_{11} (1+s)^{-1}e^{-\check{c}_*\varepsilon ^2 s/2},\quad s\geqslant 0.
\end{align*}


\subsection{Устранение оператора $\Pi$} Обсудим возможность устранения сглаживающего оператора из аппроксимации \eqref{exp B(e) approx with Pi}. Положим
\begin{equation}
\label{Xi (eps,s)}
\Xi (\varepsilon ,s):=f_0e^{-\mathcal{B}^0(\varepsilon)s}f_0(I-\Pi).
\end{equation}
 Так как матрица $f_0\widehat{L}(\boldsymbol{\xi},\varepsilon)f_0$ --- символ оператора $\mathcal{B}^0(\varepsilon)$, а $\Pi$ --- ПДО с символом $\chi _{\widetilde{\Omega}}(\boldsymbol{\xi})$, в силу \eqref{f_0<f}, \eqref{f_0Lf_0>=} и элементарного неравенства $e^{-\alpha}\leqslant 2(1+\alpha )^{-1}e^{-\alpha /2}$, $\alpha \geqslant 0$, 
при $s\geqslant 0$ справедлива оценка
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert \Xi (\varepsilon ,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
&\leqslant \Vert f\Vert ^2 _{L_\infty}\sup _{\boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^d} \vert e^{-f_0\widehat{L}(\boldsymbol{\xi},\varepsilon)f_0s}\vert (1-\chi _{\widetilde{\Omega}}(\boldsymbol{\xi}))
\\
&\leqslant \Vert f\Vert ^2 _{L_\infty}\sup _{\boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^d,\,\vert \boldsymbol{\xi}\vert \geqslant r_0} e^{-\check{c}_*(\vert \boldsymbol{\xi}\vert ^2 +\varepsilon ^2)s}
\\
&\leqslant
2\Vert f\Vert ^2 _{L_\infty} \max\lbrace 1;\check{c}_*^{-1}r_0^{-2}\rbrace(1+s)^{-1}e^{-\check{c}_*\varepsilon ^2 s/2}.
\end{split}
\end{equation*}
Таким образом, из старшего члена аппроксимации \eqref{exp B(e) approx with Pi} сглаживатель $\Pi$ всегда может быть устранен.

Также при $s>0$ можно заменить $\Pi$ на $I$ в третьем члене корректора \eqref{K(eps,s) with Pi}. Отметим, что $\mathcal{N}(\varepsilon)$ --- ДО с символом $\widehat{N}_G(\boldsymbol{\xi},\varepsilon)$ (см. п.~\ref{Subsection N(k,eps)}), для которого справедлива оценка \eqref{N(k,eps)<=}. Отсюда, учитывая  \eqref{f_0<f} и оценку \eqref{f_0Lf_0>=} для символа оператора $\mathcal{B}^0(\varepsilon)$, получаем
\begin{equation*}
\begin{split}
\Bigl\Vert & \int _0^s  f_0e^{-\mathcal{B}^0(\varepsilon)(s-\widetilde{s})}f_0\mathcal{N}(\varepsilon)f_0e^{-\mathcal{B}^0(\varepsilon)\widetilde{s}}f_0(I-\Pi)\,d\widetilde{s}
\Bigr\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant
\Vert f\Vert ^4 _{L_\infty}\sup _{\boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^d}\int _0^s\vert e^{-f_0\widehat{L}(\boldsymbol{\xi},\varepsilon)f_0(s-\widetilde{s})}\vert \vert \widehat{N}_G(\boldsymbol{\xi},\varepsilon)\vert \vert e^{-f_0\widehat{L}(\boldsymbol{\xi},\varepsilon)f_0\widetilde{s}}\vert\,d\widetilde{s}(1-\chi _{\widetilde{\Omega}}(\boldsymbol{\xi}))
\\
&\leqslant
\Vert f\Vert ^4_{L_\infty}\sup _{\boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^d,\vert \boldsymbol{\xi}\vert \geqslant r_0}s e^{-\check{c}_*(\vert \boldsymbol{\xi}\vert ^2+\varepsilon ^2)s}C_G(\vert \boldsymbol{\xi}\vert ^2+\varepsilon ^2)^{3/2}
\\
&\leqslant 3 \check{c}_*^{-2}r_0^{-1}C_G\Vert f\Vert ^4 _{L_\infty}s^{-1}e^{-\check{c}_*\varepsilon ^2 s/2},\quad s>0.
\end{split}
\end{equation*}
(Мы использовали элементарное неравенство $e^{-\alpha}\leqslant 3\alpha ^{-2}e^{-\alpha /2}$, $\alpha >0$.)


Обсудим возможность устранения оператора $\Pi$ из остальных членов корректора. 
Так как матрицы-функции $\Lambda _G$ и $\Lambda$, $\widetilde{\Lambda}_G$ и $\widetilde{\Lambda}$ отличаются на постоянные слагаемые (см. \eqref{Lambda_rho=Lambda+Lambda_rho^0} и \eqref{tildeLambda_rho=tildeLambda+}), нам потребуются мультипликаторные свойства матриц-функций $\Lambda$ и $\widetilde{\Lambda}$, 
чтобы устранить сглаживающий оператор в членах корректора, содержащих $\Lambda _G$ и $\widetilde{\Lambda} _G$. 
Следующий результат установлен в \cite[предложение~6.8]{BSu05} при $d\leqslant 4$ и \cite[(7.19) и (7.20)]{V} при $d>4$.

\begin{lemma}
\label{Lemma Lambda multiplier}
Пусть $\Lambda$ --- $\Gamma$-периодическое $(n\times m)$-матричное решение задачи \eqref{Lambda}. Пусть $l=1$ при $d\leqslant 4$ и $l=d/2-1$ при $d>4$. Тогда оператор $[\Lambda]$ умножения на матрицу-функцию $\Lambda$ непрерывно переводит $H^l(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m)$ в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, и справедлива оценка
\begin{equation*}
\Vert [\Lambda ]\Vert _{H^l(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \mathfrak{C}_\Lambda .
\end{equation*}
Постоянная $ \mathfrak{C}_\Lambda$ контролируется через $m$, $n$, $d$, $\alpha _0$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$ и параметры решетки $\Gamma$.
\end{lemma}

При $d\leqslant 6$ будем пользоваться предложением~6.9 из \cite{Su14}, 
 а при $d> 6$ --- леммой~6.5($1^\circ$) из \cite{MSu}.

\begin{lemma}
\label{Lemma tilde Lambda multiplier}
Пусть $\widetilde{\Lambda}$ --- $\Gamma$-периодическое $(n\times n)$-матричное решение задачи \eqref{tildeLambda}. Положим $\sigma =2$ при $d\leqslant 6$ и $\sigma =d/2-1$ при $d>6$. Тогда оператор $[\widetilde{\Lambda}]$ умножения на матрицу-функцию $\widetilde{\Lambda}$ непрерывно переводит $H^\sigma (\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, и справедлива оценка
\begin{equation*}
\Vert [\widetilde{\Lambda} ]\Vert _{H^\sigma(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}} .
\end{equation*}
Постоянная $\mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}$ контролируется через исходные данные \eqref{dannie_zadachi}.
\end{lemma} 

Следующий результат получен в \cite[предложение 8.3]{M_AA}.

\begin{proposition}
Пусть $\Xi (\varepsilon ,s)$ --- оператор \eqref{Xi (eps,s)}. Тогда при $s>0$ и всех $l>0$ операторы $b(\mathbf{D})\Xi (\varepsilon ,s)$ и $\varepsilon \Xi (\varepsilon ,s)$ ограничены из $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ в $H^l (\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и
\begin{align}
\label{b(D)Xi(eps,s)<=}
\Vert b(\mathbf{D})\Xi (\varepsilon ,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^l(\mathbb{R}^d)}
&\leqslant \alpha _1^{1/2}\mathscr{C}(l)s^{-(l+1)/2}e^{-\check{c}_*\varepsilon ^2 s/2},
\\
\label{eps Xi(eps,s)<=}
\varepsilon\Vert \Xi (\varepsilon ,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^l(\mathbb{R}^d)}
&\leqslant \mathscr{C}(l)s^{-(l+1)/2}e^{-\check{c}_*\varepsilon ^2 s/2}.
\end{align}
Постоянная $\mathscr{C}(l)$ зависит только от $l$ и исходных данных \eqref{dannie_zadachi}.
\end{proposition}

Теперь мы можем рассмотреть первое слагаемое в \eqref{K(eps,s) with Pi}. (Второе слагаемое является сопряженным к первому и дополнительного исследования не требует.) В силу \eqref{Lambda_rho=Lambda+Lambda_rho^0}
\begin{equation}
\label{part corr with Lambda G=}
\begin{split}
\Lambda _G b(\mathbf{D}) \Xi (\varepsilon ,s)
=\Lambda b(\mathbf{D}) \Xi (\varepsilon ,s)
+\Lambda _G^0 b(\mathbf{D})\Xi (\varepsilon ,s).
\end{split}
\end{equation}
Объединяя \eqref{<b^*b<}, \eqref{f_0<f}, \eqref{f_0Lf_0>=}, \eqref{Lambda_rho^0<=}, \eqref{Xi (eps,s)}, находим
\begin{equation}
\label{9.8a}
\begin{split}
\Vert \Lambda _G^0 b(\mathbf{D})\Xi (\varepsilon ,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant
\mathfrak{C}_G\Vert f\Vert ^2_{L_\infty}\sup _{\boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^d}\vert b(\boldsymbol{\xi})\vert e^{-\check{c}_*(\vert \boldsymbol{\xi}\vert ^2 +\varepsilon ^2)s}(1-\chi _{\widetilde{\Omega}}(\boldsymbol{\xi}))
\\
\leqslant \alpha _1^{1/2}\check{c}_*^{-1}r_0^{-1}\mathfrak{C}_G\Vert f\Vert ^2  _{L_\infty} s^{-1}e^{-\check{c}_*\varepsilon ^2 s/2},\quad s>0.
\end{split}
\end{equation}
В дальнейшем нас будут интересовать большие значения $s$, поэтому сейчас достаточно рассматривать $s\geqslant 1$. 
Из леммы~\ref{Lemma Lambda multiplier} и оценки \eqref{b(D)Xi(eps,s)<=} следует, что 
\begin{equation}
\label{part with Lambda<=}
\Vert \Lambda b(\mathbf{D})\Xi (\varepsilon ,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_{12}s^{-1}e^{-\check{c}_*\varepsilon ^2 s/2},\quad s\geqslant 1.
\end{equation}
Здесь $C_{12}=\mathfrak{C}_\Lambda \alpha _1^{1/2}\mathscr{C}(l)$, где $l=1$ при $d\leqslant 4$ и $l=d/2-1$ при $d> 4$. 
Объединяя \eqref{part corr with Lambda G=}--\eqref{part with Lambda<=}, получаем
\begin{equation*}
\Vert \Lambda _G b(\mathbf{D}) \Xi (\varepsilon ,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant
C_{13}s^{-1}e^{-\check{c}_*\varepsilon ^2 s/2},\quad s\geqslant 1,
\end{equation*}
где $C_{13}=\alpha _1^{1/2}\check{c}_*^{-1}r_0^{-1}\mathfrak{C}_G\Vert f\Vert ^2  _{L_\infty}+C_{12}$.

Аналогично, на основании 
леммы~\ref{Lemma tilde Lambda multiplier} и 
\eqref{tildeLambda_rho=tildeLambda+}, \eqref{tildeLambda_rho^0<=}, \eqref{eps Xi(eps,s)<=}, приходим к оценке
\begin{equation*}
\Vert \varepsilon \widetilde{\Lambda}_G\Xi (\varepsilon ,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_{14}s^{-1}e^{-\check{c}_*\varepsilon ^2 s/2},\quad s\geqslant 1,
\end{equation*}
с постоянной $C_{14}=\check{c}_*^{-1}r_0^{-1}\widetilde{\mathfrak{C}}_G\Vert f\Vert ^2_{L_\infty}+\mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}\mathscr{C}(\sigma )$, где $\sigma=2$ при $d\leqslant 6$ и $\sigma =d/2-1$ при $d> 6$. Тем самым мы показали, что при $s\geqslant 1$ сглаживающий оператор $\Pi$ может быть устранен из всех членов корректора \eqref{K(eps,s) with Pi}.

\begin{theorem}
Пусть $\mathcal{B}(\varepsilon)$ и $\mathcal{B}^0(\varepsilon)$ --- операторы \eqref{B(e)} и \eqref{B0(eps)} соответственно. 

\noindent
$1^\circ$. 
Пусть $\mathcal{K}(\varepsilon ,s)$ --- оператор \eqref{K(eps,s) with Pi}. Тогда при $0<\varepsilon \leqslant 1$ и $s\geqslant 0$ справедлива оценка
\begin{equation}
\label{epx B(eps) appr no Pi in principal part Th}
\Vert fe^{-\mathcal{B}(\varepsilon)s}f^*-f_0e^{-\mathcal{B}^0(\varepsilon )s}f_0-\mathcal{K}(\varepsilon,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_{15}(1+s)^{-1}e^{-\check{c}_*\varepsilon ^2 s/2}
\end{equation}
с постоянной $C_{15}=C_{11}+2\Vert f\Vert ^2_{L_\infty}\max\lbrace 1;\check{c}_*^{-1}r_0^{-2}\rbrace$.

\noindent
$2^\circ$. 
Положим
\begin{equation}
\label{K(eps,s) without Pi}
\begin{split}
\mathcal{K}^0(\varepsilon,s)
:&=
\left( \Lambda _G b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}_G\right)f_0e^{-\mathcal{B}^0(\varepsilon)s}f_0
+f_0e^{-\mathcal{B}^0(\varepsilon)s}f_0\left( b(\mathbf{D})^*\Lambda _G ^*+\varepsilon\widetilde{\Lambda}_G ^*\right)
\\
&-\int _0^s f_0e^{-\mathcal{B}^0(\varepsilon)(s-\widetilde{s})}f_0\mathcal{N}(\varepsilon)f_0e^{-\mathcal{B}^0(\varepsilon)\widetilde{s}}f_0 \,d\widetilde{s}.
\end{split}
\end{equation}
Тогда при $0<\varepsilon \leqslant 1$ и $s\geqslant 1$ справедлива оценка
\begin{equation}
\label{appr exp B(eps) no Pi}
\Vert fe^{-\mathcal{B}(\varepsilon)s}f^*-f_0e^{-\mathcal{B}^0(\varepsilon )s}f_0-\mathcal{K}^0(\varepsilon,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_{16}s^{-1}e^{-\check{c}_*\varepsilon ^2 s/2},
\end{equation}
где $C_{16}=C_{10}+2\Vert f\Vert ^2_{L_\infty}\max\lbrace 1;\check{c}_*^{-1}r_0^{-2}\rbrace +3\check{c}_*^{-2}r_0^{-1}C_G\Vert f\Vert ^4_{L_\infty}+2C_{13}+2C_{14}$.
\end{theorem}


\section*{Глава 3. Задача усреднения для параболических систем}

\addcontentsline{toc}{section}{Глава 3. Задача усреднения для параболических систем}

\section{Усреднение оператора $f^\varepsilon e^{-\mathcal{B}_\varepsilon s} (f^\varepsilon)^*$}

\label{Section main results in operator terms}

\subsection{Постановка задачи} Для всякой $\Gamma$-периодической функции $\phi (\mathbf{x})$, $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d$, будем пользоваться обозначением $\phi ^\varepsilon (\mathbf{x}):=\phi (\mathbf{x}/\varepsilon )$, $\varepsilon >0$. В $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассмотрим оператор
\begin{equation*}
\mathcal{A}_\varepsilon =f^\varepsilon (\mathbf{x})^* b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})f^\varepsilon (\mathbf{x}),
\end{equation*}
отвечающий квадратичной форме
\begin{equation}
\label{a_eps [u,u]}
\mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]=\int _{\mathbb{R}^d}\langle g^\varepsilon b(\mathbf{D})f^\varepsilon \mathbf{u},b(\mathbf{D})f^\varepsilon \mathbf{u}\rangle\,d\mathbf{x}
\end{equation}
на области определения $\mathfrak{d}_\varepsilon =\lbrace \mathbf{u}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) : f^\varepsilon\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)\rbrace$. 
Для формы \eqref{a_eps [u,u]} справедливы оценки, аналогичные неравенствам \eqref{<a[u,u]<}:
\begin{equation}
\label{<a_eps[u,u]<}
\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}^{-1}\Vert \textbf{D}(f^\varepsilon \textbf{u})\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \mathfrak{a}_\varepsilon [\textbf{u},\textbf{u}]\leqslant \alpha _1\Vert g \Vert _{L_\infty}\Vert \textbf{D}(f^\varepsilon \textbf{u})\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}

Далее, пусть $\mathcal{Y}_\varepsilon : L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^{dn})$ --- оператор, действующий по правилу 
\begin{equation*}
\mathcal{Y}_\varepsilon\mathbf{u}=\mathbf{D}(f^\varepsilon\mathbf{u})=\mathrm{col}\,\lbrace D_1(f^\varepsilon \mathbf{u}),\dots , D_d (f^\varepsilon\mathbf{u})\rbrace,\quad\mathrm{Dom}\,\mathcal{Y}_\varepsilon =\mathfrak{d}_\varepsilon ,
\end{equation*}
и пусть $\mathcal{Y}_{2,\varepsilon} : L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^{dn})$ --- оператор умножения на $(dn\times d)$-матрицу, составленную из блоков $a_j^\varepsilon (\mathbf{x})^*f^\varepsilon (\mathbf{x}) $, $j=1,\dots ,d$:
\begin{equation*}
\mathcal{Y}_{2,\varepsilon}\mathbf{u}=\mathrm{col}\,\lbrace (a_1^\varepsilon )^*f^\varepsilon\mathbf{u},\dots , (a_d^\varepsilon )^*f^\varepsilon\mathbf{u}\rbrace,\quad \mathbf{u}\in \mathfrak{d}_\varepsilon.
\end{equation*}

Пусть $d\mu$ --- матричнозначная мера на $\mathbb{R}^d$, определенная в п.~\ref{Subsection Q0 q}. Построим по ней меру $d\mu ^\varepsilon$ следующим образом. Для любого борелевского множества $\Delta \subset\mathbb{R}^d$ рассмотрим множество $\varepsilon ^{-1}\Delta=\lbrace\mathbf{y}=\varepsilon ^{-1}\mathbf{x} : \mathbf{x}\in\Delta\rbrace$ и положим $\mu ^\varepsilon (\Delta)=\varepsilon ^d\mu (\varepsilon ^{-1}\Delta )$. Квадратичную форму $q_\varepsilon$ определим равенством
\begin{equation*}
q_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]=\int _{\mathbb{R}^d}\langle d\mu ^\varepsilon (\mathbf{x})(f^\varepsilon\mathbf{u})(\mathbf{x}),(f^\varepsilon\mathbf{u})(\mathbf{x})\rangle,\quad\mathbf{u}\in \mathfrak{d}_\varepsilon.
\end{equation*}

Все условия из п.~\ref{Subsection Factorized DOs}--\ref{Subsection Q0 q} предполагаем выполненными. В пространстве $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассмотрим квадратичную форму
\begin{equation}
\label{b_eps [u,u]}
\mathfrak{b}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]=\mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]
+2\mathrm{Re}\,(\mathcal{Y}_\varepsilon \mathbf{u},\mathcal{Y}_{2,\varepsilon}\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)}+q_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}],\quad\mathbf{u}\in \mathfrak{d}_\varepsilon.
\end{equation}

Пусть $T_\varepsilon$ --- унитарный в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ оператор масштабного преобразования: 
\begin{equation}
\label{T_eps}
(T_\varepsilon \mathbf{u})(\mathbf{x})=\varepsilon ^{d/2}\mathbf{u}(\varepsilon\mathbf{x}),\quad\varepsilon >0.
\end{equation}
Для форм \eqref{frak a[u,u]} и \eqref{a_eps [u,u]}, \eqref{b(e)[u,u]} и \eqref{b_eps [u,u]} справедливы очевидные тождества
\begin{equation*}
\mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]
=
\varepsilon ^{-2}\mathfrak{a}[T_\varepsilon\mathbf{u},T_\varepsilon \mathbf{u}],\quad 
\mathfrak{b}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]
=
\varepsilon ^{-2}\mathfrak{b}(\varepsilon)[T_\varepsilon\mathbf{u},T_\varepsilon \mathbf{u}],\quad \mathbf{u}\in \mathfrak{d}_\varepsilon .
\end{equation*}
Отсюда и из оценок \eqref{b(e)[u,u]>=}, \eqref{b(e)[u,u]<=} следует, что при $\mathbf{u}\in \mathfrak{d}_\varepsilon$ выполнено
\begin{align}
\label{b_eps [u,u]>=}
&\mathfrak{b}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant \frac{\kappa}{2}\mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]+\beta \Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},
 \\
\label{b_eps [u,u]<=}
&\mathfrak{b}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]\leqslant (2+c_1^2+c_2)\mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]+(C(1)+c_3+\vert \lambda \vert \Vert \mathcal{Q}_0 \Vert _{L_\infty })\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{align}
Из \eqref{<a_eps[u,u]<}, \eqref{b_eps [u,u]>=} и \eqref{b_eps [u,u]<=} вытекает, что форма $\mathfrak{b}_\varepsilon$ замкнута и положительно определена. Через $\mathcal{B}_\varepsilon$ обозначим отвечающий ей самосопряженный оператор в пространстве $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. Формально,
\begin{equation}
\label{B_eps}
\begin{split}
\mathcal{B}_\varepsilon &=\mathcal{A}_\varepsilon + (\mathcal{Y}^*_{2,\varepsilon}\mathcal{Y}_\varepsilon +\mathcal{Y}^*_\varepsilon \mathcal{Y}_{2,\varepsilon})+(f^\varepsilon)^*\mathcal{Q}^\varepsilon
f^\varepsilon +\lambda \mathcal{Q}_0^\varepsilon 
\\
&=(f^\varepsilon)^*b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon b(\mathbf{D})f^\varepsilon + 
\sum \limits _{j=1}^d (f^\varepsilon)^*\left( a_j^\varepsilon D_j+D_j(a_j^\varepsilon)^* \right)f^\varepsilon 
\\
&+ (f^\varepsilon)^*\mathcal{Q}^\varepsilon
f^\varepsilon +\lambda \mathcal{Q}_0^\varepsilon ,
\end{split}
\end{equation}
где $\mathcal{Q}^\varepsilon$ следует интерпретировать как обобщенный матричный 
потенциал, порожденный быстро осциллирующей мерой~$d\mu ^\varepsilon$.

\subsection{Старший член аппроксимации оператора $f^\varepsilon e^{-\mathcal{B}_\varepsilon s} (f^\varepsilon)^*$} Аппроксимация в старшем порядке найдена в \cite[п.~9.3]{M_AA}. Чтобы сформулировать результат, выпишем эффективный оператор:
\begin{equation}
\label{B0}
\begin{split}
\mathcal{B}^0&=
f_0b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})f_0+ f_0\left(-b(\mathbf{D})^*V-V^*b(\mathbf{D})+\sum _{j=1}^d \overline{(a_j+a_j^*)}D_j\right)f_0
\\
&+ f_0(-W+\overline{\mathcal{Q}}+\lambda I)f_0.
\end{split}
\end{equation}
Здесь постоянные матрицы $f_0$, $g^0$, $V$, $W$, $(\overline{a_j+a_j^*})$ и $\overline{\mathcal{Q}}$  определены согласно \eqref{f0}, \eqref{g^0}, \eqref{V}, \eqref{W}, \eqref{underline and overline definition}, \eqref{overlineQ}. Символом оператора \eqref{B0} является матрица $f_0\widehat{L}(\boldsymbol{\xi} ,1)f_0$ (см. п.~\ref{Subsection B0(k,eps)}). Поэтому из оценки \eqref{f_0Lf_0>=} вытекает положительная определенность оператора $\mathcal{B}^0$: $\mathcal{B}^0\geqslant \check{c}_*I$.

В \cite[теорема~9.1]{M_AA} установлен следующий результат.

\begin{theorem}
\label{Theorem principal term of approx exp B_eps}
Пусть выполнены условия п.~\textnormal{\ref{Subsection Factorized DOs}--\ref{Subsection Q0 q}}. Пусть $\mathcal{B}_\varepsilon$ --- оператор \eqref{B_eps}, и пусть $\mathcal{B}^0$ --- эффективный оператор \eqref{B0}. Тогда при $s\geqslant 0$ и $0<\varepsilon\leqslant 1$ справедлива оценка
\begin{equation*}
\Vert f^\varepsilon e^{-\mathcal{B}_\varepsilon s}(f^\varepsilon )^*-f_0e^{-\mathcal{B}^0s}f_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant
C_{17}\varepsilon (s+\varepsilon ^2)^{-1/2}e^{-\check{c}_*s/2}.
\end{equation*}
Постоянная $C_{17}$ зависит только от исходных данных \eqref{dannie_zadachi}.
\end{theorem}

\subsection{Аппроксимация оператора $f^\varepsilon e^{-\mathcal{B}_\varepsilon s} (f^\varepsilon)^*$ при учете корректора}

Установим теперь более точную аппроксимацию операторной экспоненты на основании результатов \S\ref{Section f exp B(eps) f*} с помощью масштабного преобразования \eqref{T_eps}. Для операторов \eqref{B_eps} и \eqref{B(e)}, \eqref{B0} и \eqref{B0(eps)} 
справедливы тождества 
$\mathcal{B}_\varepsilon =\varepsilon ^{-2}T_\varepsilon ^* \mathcal{B}(\varepsilon)T_\varepsilon$ и 
$\mathcal{B}^0=\varepsilon ^{-2}T_\varepsilon ^*\mathcal{B}^0(\varepsilon)T_\varepsilon $. 
Следовательно,
\begin{align}
\label{exp scaling}
&f^\varepsilon e^{-\mathcal{B}_\varepsilon s} (f^\varepsilon)^*=T_\varepsilon ^* f e^{-\mathcal{B}(\varepsilon)\varepsilon ^{-2}s}f^*T_\varepsilon ,
\\
\label{eff exp scaling}
& f_0e^{-\mathcal{B}^0s}f_0=T_\varepsilon ^* f_0e^{-\mathcal{B}^0(\varepsilon)\varepsilon ^{-2}s}f_0 T_\varepsilon .
\end{align}

Далее, через $\Pi _\varepsilon$ обозначим ПДО в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, символ которого --- характеристическая функция $\chi _{\widetilde{\Omega}/\varepsilon}(\boldsymbol{\xi})$ множества $\widetilde{\Omega}/\varepsilon$:
\begin{equation}
\label{Pi_eps}
(\Pi _\varepsilon \mathbf{f})(\mathbf{x})=(2\pi )^{-d/2}\int _{\widetilde{\Omega}/\varepsilon}e^{i\langle \mathbf{x},\boldsymbol{\xi}\rangle}(\mathcal{F}\mathbf{f})(\boldsymbol{\xi})\,d\boldsymbol{\xi}.
\end{equation}
Операторы \eqref{Pi} и \eqref{Pi_eps} связаны равенством
\begin{equation}
\label{Pi scaling tozd}
\Pi _\varepsilon =T_\varepsilon ^*\Pi T_\varepsilon.
\end{equation}

Обозначим 
\begin{equation*}
\mathcal{N}:=\mathcal{N}_{11}(\mathbf{D})+\mathcal{N}_{12}(\mathbf{D})+\mathcal{N}_{21}(\mathbf{D})+\mathcal{N}_{22}.
\end{equation*}
Тогда
\begin{equation}
\label{N tozd scaling}
\mathcal{N}=\varepsilon ^{-3}T_\varepsilon ^*\mathcal{N}(\varepsilon)T_\varepsilon ,
\end{equation}
где оператор $\mathcal{N}(\varepsilon )$ определен в \eqref{9.1a}.

Отметим тождества
\begin{equation}
\label{Lambda i tilde-Lambda scaling tozd}
[\Lambda _G ^\varepsilon]b(\mathbf{D})=\varepsilon ^{-1}T_\varepsilon ^*[\Lambda _G]b(\mathbf{D})T_\varepsilon,
\quad
[\widetilde{\Lambda} _G^\varepsilon]=T_\varepsilon ^*[\widetilde{\Lambda}_G]T_\varepsilon .
\end{equation}

Введем корректоры:
\begin{align}
\label{K_eps (s) with Pi}
\begin{split}
\mathcal{K}_\varepsilon(s)
:&=
\left( \Lambda _G ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}_G^\varepsilon\right)f_0e^{-\mathcal{B}^0 s}f_0\Pi _\varepsilon
\\
&+f_0e^{-\mathcal{B}^0s}f_0\Pi _\varepsilon \left( b(\mathbf{D})^*(\Lambda _G^\varepsilon) ^*+(\widetilde{\Lambda}_G^\varepsilon)^*\right)
\\
&-\int _0^s f_0e^{-\mathcal{B}^0(s-\widetilde{s})}f_0\mathcal{N}f_0e^{-\mathcal{B}^0\widetilde{s}}f_0\Pi _\varepsilon \,d\widetilde{s} ,
\end{split}
\\
\label{K_eps 0(s) no Pi}
\begin{split}
\mathcal{K}_\varepsilon ^0(s)
:&=
\left( \Lambda _G ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}_G^\varepsilon\right)f_0e^{-\mathcal{B}^0 s}f_0
+f_0e^{-\mathcal{B}^0s}f_0 \left( b(\mathbf{D})^*(\Lambda _G^\varepsilon) ^*+(\widetilde{\Lambda}_G^\varepsilon)^*\right)
\\
&-\int _0^s f_0e^{-\mathcal{B}^0(s-\widetilde{s})}f_0\mathcal{N}f_0e^{-\mathcal{B}^0\widetilde{s}}f_0 \,d\widetilde{s} .
\end{split}
\end{align}

Объединяя \eqref{exp scaling}, \eqref{eff exp scaling} и \eqref{Pi scaling tozd}--\eqref{Lambda i tilde-Lambda scaling tozd}, заключаем, что операторы \eqref{K(eps,s) with Pi} и \eqref{K_eps (s) with Pi} связаны равенством
\begin{equation}
\label{K scaling}
\varepsilon \mathcal{K}_\varepsilon (s)=T_\varepsilon ^* \mathcal{K}(\varepsilon ,\varepsilon ^{-2}s)T_\varepsilon .
\end{equation}
Для операторов \eqref{K(eps,s) without Pi} и \eqref{K_eps 0(s) no Pi} справедливо аналогичное тождество. 
Теперь из \eqref{epx B(eps) appr no Pi in principal part Th}, \eqref{appr exp B(eps) no Pi}, \eqref{exp scaling}, \eqref{eff exp scaling} и \eqref{K scaling} вытекает следующий результат.

\begin{theorem}
\label{Theorem exp B_eps final}
Пусть выполнены условия теоремы~\textnormal{\ref{Theorem principal term of approx exp B_eps}}. Пусть $\mathcal{K}_\varepsilon (s)$ и $\mathcal{K}_\varepsilon ^0(s)$ --- операторы \eqref{K_eps (s) with Pi} и \eqref{K_eps 0(s) no Pi} соответственно. Тогда при $0<\varepsilon \leqslant 1$ и $s\geqslant 0$ справедлива аппроксимация
\begin{equation}
\label{Th Main result s>=0}
\Vert f^\varepsilon e^{-\mathcal{B}_\varepsilon s}(f^\varepsilon )^*-f_0e^{-\mathcal{B}^0s}f_0 -\varepsilon \mathcal{K}_\varepsilon (s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_{15}\varepsilon ^2 (s+\varepsilon ^2)^{-1}e^{-\check{c}_* s/2}.
\end{equation}
При $0<\varepsilon \leqslant 1$ и $s\geqslant \varepsilon ^2$ выполнено
\begin{equation*}
\Vert f^\varepsilon e^{-\mathcal{B}_\varepsilon s}(f^\varepsilon )^*-f_0e^{-\mathcal{B}^0s}f_0 -\varepsilon \mathcal{K}_\varepsilon ^0 (s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_{16}\varepsilon ^2 s^{-1}e^{-\check{c}_* s/2}.
\end{equation*}
Постоянные $C_{15}$, $C_{16}$ и $\check{c}_*$ зависят только от исходных данных \eqref{dannie_zadachi}.
\end{theorem}

\subsection{Случай нулевого корректора}

Предположим, что $g^0=\overline{g}$, т.~е. верны соотношения \eqref{g0=overline g}. Тогда $\Gamma$-периодические решения задач \eqref{Lambda}, \eqref{Lambda-G problem} равны нулю: $\Lambda (\mathbf{x})=\Lambda _G(\mathbf{x})=0$. Предположим дополнительно, что $\sum _{j=1}^d D_j a_j(\mathbf{x})^*=0$. Тогда $\Gamma$-периодические решения задач \eqref{tildeLambda}, \eqref{tilde-Lambda-G problem} также равны нулю: $\widetilde{\Lambda} (\mathbf{x})=\widetilde{\Lambda} _G(\mathbf{x})=0$. Поэтому из \eqref{V}, \eqref{W} следует, что $V=0$ и $W=0$. Эффективный оператор \eqref{B0} принимает вид
\begin{equation}
\label{B0 with V=W=0}
\begin{split}
\mathcal{B}^0=
f_0b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})f_0+f_0\sum _{j=1}^d \overline{(a_j+a_j^*)}D_jf_0
+ f_0(\overline{\mathcal{Q}}+\lambda I)f_0.
\end{split}
\end{equation}
Из \eqref{N tozd scaling} и замечания~\ref{Remark N(eps)=0} вытекает, что в рассматриваемом случае $\mathcal{N}=0$. Таким образом, все члены корректора \eqref{K_eps (s) with Pi} обращаются в нуль и из \eqref{Th Main result s>=0} вытекает следующий результат.

\begin{proposition}
Пусть в условиях теоремы~\textnormal{\ref{Theorem exp B_eps final}} справедливы соотношения \eqref{g0=overline g} и $\sum _{j=1}^d D_j a_j(\mathbf{x})^*=0$. Тогда при $0<\varepsilon \leqslant 1$ и $s\geqslant 0$ имеем
\begin{equation*}
\Vert f^\varepsilon e^{-\mathcal{B}_\varepsilon s}(f^\varepsilon )^*-f_0e^{-\mathcal{B}^0s}f_0 \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_{15}\varepsilon ^2 (s+\varepsilon ^2)^{-1}e^{-\check{c}_* s/2}.
\end{equation*}
Здесь $\mathcal{B}^0$ --- оператор \eqref{B0 with V=W=0}.
\end{proposition}

\section{Усреднение решений задачи Коши для параболических систем}

\label{Section Homogenization of parabolic systems}

\subsection{Применение к задаче Коши для однородного уравнения} Пусть $\widehat{\mathcal{B}}_\varepsilon $ --- оператор вида \eqref{B_eps} в случае, когда $f=\mathbf{1}_n$:
\begin{equation*}
\begin{split}
\widehat{\mathcal{B}}_\varepsilon =
b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon b(\mathbf{D})+ 
\sum \limits _{j=1}^d \left( a_j^\varepsilon D_j+D_j(a_j^\varepsilon)^* \right)
+ \mathcal{Q}^\varepsilon
 +\lambda I.
\end{split}
\end{equation*}

Рассмотрим задачу Коши
\begin{equation}
\label{Cauchy problem}
G^\varepsilon (\mathbf{x})\frac{\partial \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},s)}{\partial s}=-\widehat{\mathcal{B}}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},s),\quad s>0;
\quad
G^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\phi}(\mathbf{x}),
\end{equation}
где  $\boldsymbol{\phi}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, a $\Gamma$-периодическая $(n\times n)$-матрица-функция $G$ предполагается ограниченной и положительно определенной. Запишем $G(\mathbf{x})$ в факторизованном виде: $G(\mathbf{x})^{-1}=f(\mathbf{x})f(\mathbf{x})^*$, где $f(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая матрица-функция. 
Положим $\mathbf{v}_\varepsilon =(f^\varepsilon )^{-1}\mathbf{u}_\varepsilon$. Тогда $\mathbf{v}_\varepsilon (\mathbf{x},s)$ --- решение задачи
\begin{equation*}
\frac{\partial \mathbf{v}_\varepsilon (\mathbf{x},s)}{ \partial s}=-(f^\varepsilon )^*\widehat{\mathcal{B}}_\varepsilon f^\varepsilon\mathbf{v}_\varepsilon (\mathbf{x},s),\quad s>0;\quad 
\mathbf{v}_\varepsilon (\mathbf{x},0)=(f^\varepsilon )^*\boldsymbol{\phi}(\mathbf{x}).
\end{equation*}
Пусть $\mathcal{B}_\varepsilon =(f^\varepsilon)^*\widehat{\mathcal{B}}_\varepsilon f^\varepsilon$. Тогда $\mathbf{v}_\varepsilon (\cdot ,s)=e^{-\mathcal{B}_\varepsilon s}(f^\varepsilon )^*\boldsymbol{\phi}$. 
Отсюда вытекает, что решение $\mathbf{u}_\varepsilon =f^\varepsilon \mathbf{v}_\varepsilon $ задачи \eqref{Cauchy problem} допускает представление
\begin{equation}
\label{u-eps= F=0}
\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,s)=f^\varepsilon e^{-\mathcal{B}_\varepsilon s}(f^\varepsilon )^*\boldsymbol{\phi}.
\end{equation}

Соответствующая эффективная задача имеет вид 
\begin{equation}
\label{eff Cauchy problem}
\overline{G}\frac{\partial \mathbf{u}_0(\mathbf{x},s)}{\partial s}=-\widehat{\mathcal{B}}^0\mathbf{u}_0(\mathbf{x},s),\quad s>0;\quad \overline{G}\mathbf{u}_0(\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\phi}(\mathbf{x}). 
\end{equation}
Здесь
\begin{equation*}
\begin{split}
\widehat{\mathcal{B}}^0=
b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D}) -b(\mathbf{D})^*V-V^*b(\mathbf{D})+\sum _{j=1}^d \overline{(a_j+a_j^*)}D_j 
 -W+\overline{\mathcal{Q}}+\lambda I.
\end{split}
\end{equation*}
Положим $f_0=(\overline{G})^{-1/2}$ и $ \mathcal{B}^0 =f_0\widehat{\mathcal{B}}^0 f_0$. 
Тогда
\begin{equation}
\label{u-0= F=0}
\mathbf{u}_0(\cdot ,s)=f_0e^{-\mathcal{B}^0 s}f_0\boldsymbol{\phi}.
\end{equation}

Из \eqref{u-eps= F=0}, \eqref{u-0= F=0} и теоремы~\ref{Theorem exp B_eps final} вытекает следующий результат.

\begin{theorem}
Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon $ и $\mathbf{u}_0$ --- решения задач \eqref{Cauchy problem} и \eqref{eff Cauchy problem}, соответственно. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant 1$ и $s\geqslant \varepsilon ^2$ справедлива аппроксимация
\begin{equation}
\label{Th solutions homogenization}
\begin{split}
\Bigl\Vert & \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,s)-\mathbf{u}_0(\cdot ,s)
-\varepsilon 
\Bigl(\Lambda _G^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{u}_0(\cdot ,s)+\widetilde{\Lambda}_G^\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot ,s)
\\
&+f_0e^{-\mathcal{B}^0s}f_0\bigl((\Lambda _G^\varepsilon b(\mathbf{D}))^*+(\widetilde{\Lambda}_G^\varepsilon)^*\bigr)\boldsymbol{\phi}
-\int _0^s f_0e^{-\mathcal{B}^0(s-\widetilde{s})}f_0\mathcal{N}\mathbf{u}_0(\cdot ,\widetilde{s})\,d\widetilde{s}
\Bigr)
\Bigr\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant C_{16}\varepsilon ^2 s^{-1}e^{-\check{c}_* s/2}\Vert \boldsymbol{\phi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation}
\end{theorem}

Отметим, что третий член корректора в \eqref{Th solutions homogenization} --- функция $\mathbf{v}^{(3)}(\cdot ,s):=\int _0^s f_0e^{-\mathcal{B}^0(s-\widetilde{s})}f_0\mathcal{N}\mathbf{u}_0(\cdot ,\widetilde{s})\,d\widetilde{s}$ --- является решением задачи
\begin{equation*}
\overline{G}\frac{\partial \mathbf{v}^{(3)}(\mathbf{x},s)}{\partial s}=-\widehat{\mathcal{B}}^0\mathbf{v}^{(3)}(\mathbf{x},s)+\mathcal{N}\mathbf{u}_0(\mathbf{x},s)
,\quad s>0;\quad \overline{G}\mathbf{v}^{(3)}(\mathbf{x},0)=0. 
\end{equation*}

\subsection{Задача Коши для неоднородного уравнения}

Рассмотрим теперь более общую задачу Коши
\begin{equation}
\label{Problem with F}
G^\varepsilon (\mathbf{x})\frac{\partial \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},s)}{\partial s}=-\widehat{\mathcal{B}}_\varepsilon\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},s)+\mathbf{F}(\mathbf{x},s),\quad s\in (0,T);
\quad
G^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\phi}(\mathbf{x}),
\end{equation}
где $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d$, $s\in (0,T)$, $T>0$. Пусть $\boldsymbol{\phi}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, $\mathbf{F} \in L_p((0,T);L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))=:\mathcal{H}_p$ при некотором $1<p\leqslant\infty$. Пусть $\mathbf{u}_0$ --- решение ,,усредненной'' задачи
\begin{equation}
\label{effective Problem with F}
\overline{G}\frac{\partial \mathbf{u}_0 (\mathbf{x},s)}{\partial s}=-\widehat{\mathcal{B}}^0\mathbf{u}_0 (\mathbf{x},s)+\mathbf{F}(\mathbf{x},s),\quad s\in (0,T);
\quad
\overline{G}\mathbf{u}_0(\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\phi}(\mathbf{x}).
\end{equation}

Действуя по аналогии с выводом представления \eqref{u-eps= F=0}, можно показать, что
\begin{align}
\label{u-eps= with F}
&\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,s)= f^\varepsilon e^{-\mathcal{B}_\varepsilon s}(f^\varepsilon )^*\boldsymbol{\phi}+\int _0^s f^\varepsilon e^{-\mathcal{B}_\varepsilon (s-\widetilde{s})}(f^\varepsilon )^*\mathbf{F}(\cdot ,\widetilde{s})\,d\widetilde{s},
\\
\label{u-0 = with F}
&\mathbf{u}_0(\cdot ,s) =f_0 e^{-\mathcal{B}^0 s}f_0\boldsymbol{\phi}
+\int _0^s f_0e^{-\mathcal{B}^0 (s-\widetilde{s})}f_0\mathbf{F}(\cdot ,\widetilde{s})\,d\widetilde{s}.
\end{align}

Аппроксимация решения $\mathbf{u}_\varepsilon$ в старшем порядке получена в \cite[теорема~10.1]{M_AA}:
\begin{equation}
\label{Th 10.1 from M}
\begin{split}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,s)-\mathbf{u}_0(\cdot ,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
&\leqslant
C_{17}\varepsilon (s+\varepsilon ^2 )^{-1/2}e^{-\check{c}_* s/2}\Vert \boldsymbol{\phi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&+C_{18}\theta _1(\varepsilon ,p)\Vert \mathbf{F}\Vert _{\mathcal{H}_p},
\end{split}
\end{equation}
где постоянная $C_{18}$ зависит только от $p$ и исходных данных \eqref{dannie_zadachi},
\begin{equation}
\label{theta-1 (eps,p)}
\theta _1(\varepsilon ,p)=
\begin{cases}
\varepsilon ^{2-2/p}, &1<p<2,
\\
\varepsilon(1+\vert \ln\varepsilon \vert )^{1/2} , &p=2,
\\
\varepsilon , &2<p\leqslant\infty .
\end{cases}
\end{equation}

Повторяя рассуждения \cite[п.~10.1]{V}, на основании теоремы~\ref{Theorem exp B_eps final} и представлений \eqref{u-eps= with F}, \eqref{u-0 = with F} можно получить следующий результат.

\begin{theorem}
\label{Theorem solutions F neq 0}
Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon$ и $\mathbf{u}_0$ --- решения задач \eqref{Problem with F} и \eqref{u-0 = with F}, соответственно, где $\boldsymbol{\phi}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F} \in \mathcal{H}_p$. Тогда при $0<s<T$, $0<\varepsilon\leqslant 1$ и $2<p\leqslant\infty$ справедливо представление
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,s)
&=\mathbf{u}_0(\cdot ,s)
+\varepsilon \Bigl(\Lambda _G^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot ,s) +\widetilde{\Lambda}_G^\varepsilon \Pi _\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot ,s)
\\
&+f_0e^{-\mathcal{B}^0s}f_0\bigl( (\Lambda _G^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon )^* +(\widetilde{\Lambda}_G^\varepsilon \Pi _\varepsilon )^*\bigr)\boldsymbol{\phi}\Bigr)
\\
&-\varepsilon \int _0^s f_0e^{-\mathcal{B}^0(s-\widetilde{s})}f_0\mathcal{N}\Pi _\varepsilon
f_0e^{-\mathcal{B}^0\widetilde{s}}f_0 \boldsymbol{\phi}\,d\widetilde{s}
\\
&+\varepsilon \int _0^s f_0e^{-\mathcal{B}^0(s-\widetilde{s})}f_0 \Bigl(
(\Lambda ^\varepsilon _G b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon )^* +(\widetilde{\Lambda}^\varepsilon _G\Pi _\varepsilon )^*\Bigr)\mathbf{F}(\cdot ,\widetilde{s})\,d\widetilde{s}
\\
&-\varepsilon \int _0^s \,d\widetilde{s}\int _0^{s-\widetilde{s}}\,ds' f_0e^{-\mathcal{B}^0(s-\widetilde{s}-s')}f_0
\mathcal{N}\Pi _\varepsilon f_0e^{-\mathcal{B}^0s'}f_0 \mathbf{F}(\cdot ,\widetilde{s})+\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\cdot ,s),
\end{split}
\end{equation*}
где остаточный член $\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\cdot ,s)$ допускает оценку
\begin{equation*}
\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\cdot ,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant
C_{15}\varepsilon ^2(s+\varepsilon ^2)^{-1}e^{-\check{c}_*s/2}\Vert \boldsymbol{\phi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
+C_{19}\varepsilon ^{2/p'}\theta _2(\varepsilon ,p)\Vert\mathbf{F}\Vert _{\mathcal{H}_p},
\end{equation*}
$p^{-1}+(p')^{-1}=1$. 
Здесь постоянная $C_{19}$ зависит только от $p$ и исходных данных \eqref{dannie_zadachi}, $\theta _2(\varepsilon ,p)=1$ при $p<\infty$ и $\theta _2(\varepsilon ,p)=1+\vert\ln\varepsilon\vert$ при $p=\infty$.

При $0<s<T$, $0<\varepsilon\leqslant 1$ и $1<p\leqslant 2$ справедливо представление
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,s)&=\mathbf{u}_0(\cdot ,s)
+\varepsilon \Bigl(\Lambda _G^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon f_0e^{-\mathcal{B}^0s}f_0 \boldsymbol{\phi} +\widetilde{\Lambda}_G^\varepsilon \Pi _\varepsilon f_0e^{-\mathcal{B}^0s}f_0 \boldsymbol{\phi}
\\
&+f_0e^{-\mathcal{B}^0s}f_0\bigl( (\Lambda _G^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon )^* +(\widetilde{\Lambda}_G^\varepsilon \Pi _\varepsilon )^*\bigr)\boldsymbol{\phi}\Bigr)
\\
&-\varepsilon \int _0^s f_0e^{-\mathcal{B}^0(s-\widetilde{s})}f_0\mathcal{N}\Pi _\varepsilon
f_0e^{-\mathcal{B}^0\widetilde{s}}f_0 \boldsymbol{\phi}\,d\widetilde{s}+\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\cdot ,s),
\end{split}
\end{equation*}
причем
\begin{equation*}
\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\cdot ,s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant
C_{15}\varepsilon ^2(s+\varepsilon ^2)^{-1}e^{-\check{c}_*s/2}\Vert \boldsymbol{\phi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
+C_{18}\theta _1(\varepsilon ,p)\Vert \mathbf{F}\Vert _{\mathcal{H}_p}.
\end{equation*}
Здесь $\theta _1(\varepsilon ,p)$ --- величина \eqref{theta-1 (eps,p)}.
\end{theorem}

\begin{remark}
Разные аппроксимации решения $\mathbf{u}_\varepsilon$ при разных условиях на $p$ в теореме~\textnormal{\ref{Theorem solutions F neq 0}} обусловлены тем, что учет корректора в первом слагаемом в правой части \eqref{u-eps= with F} приводит к уточнению аппроксимации по сравнению с \eqref{Th 10.1 from M} при любом $1<p\leqslant \infty$, а учет корректора во втором слагаемом --- только при $2<p\leqslant\infty$.
\end{remark}

\section{Пример применения общей схемы: \\скалярный эллиптический оператор}

\label{Section Example}

В настоящем параграфе мы рассмотрим один из примеров применения общей схемы. Ранее для эллиптических задач этот пример изучался в \cite{Su10,Su14}. Там же могут быть найдены другие примеры.

\subsection{Скалярный эллиптический оператор}
\label{Subsection scalar elliptic operator}

Рассмотрим случай, когда $n=1$, $m=d$, $b(\mathbf{D})=\mathbf{D}$, а $g(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая симметричная $(d\times d)$-матрица с \textit{вещественными элементами}, ограниченная и положительно определенная. Тогда оператор $\mathcal{A}_\varepsilon$ имеет вид $\mathcal{A}_\varepsilon =\mathbf{D}^*g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D}=-\mathrm{div}\,g^\varepsilon (\mathbf{x})\nabla$. Очевидно, в данном случае $\alpha _0=\alpha _1=1$; см. \eqref{<b^*b<}.

Далее, пусть $\mathbf{A}(\mathbf{x})=\mathrm{col}\,\lbrace A_1(\mathbf{x}),\dots ,A_d(\mathbf{x})\rbrace$, где $A_j(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодические вещественные функции, причем
\begin{equation*}
A_j\in L_\varrho (\Omega),\quad \varrho =2\;\mbox{при}\;d=1,\quad \varrho >d\;\mbox{при}\;d\geqslant 2;\quad j=1,\dots,d.
\end{equation*}
Пусть $v(\mathbf{x})$ и $\mathcal{V}(\mathbf{x})$ --- вещественные $\Gamma$-периодические функции такие, что
\begin{equation*}
v,\mathcal{V}\in L_\sigma(\Omega),
\quad
\sigma =1\;\mbox{при}\;d=1,\quad \sigma >\frac{d}{2}\;\mbox{при}\;d\geqslant 2;
\quad \int _\Omega v(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{equation*}

В пространстве $L_2(\mathbb{R}^d)$ рассмотрим оператор $\mathfrak{B}_\varepsilon$, формально заданный дифференциальным выражением
\begin{equation}
\label{example of B-eps}
\mathfrak{B}_\varepsilon =
(\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon (\mathbf{x}))^*g^\varepsilon (\mathbf{x})(\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon (\mathbf{x}))
+\varepsilon ^{-1}v^\varepsilon (\mathbf{x})+\mathcal{V}^\varepsilon (\mathbf{x}).
\end{equation}
Точное определение оператора $\mathfrak{B}_\varepsilon$ дается через квадратичную форму
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathfrak{b}_\varepsilon [u,u]=\int _{\mathbb{R}^d}
\Bigl(\langle g^\varepsilon (\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon )u,(\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon)u\rangle
+(\varepsilon ^{-1}v^\varepsilon +\mathcal{V}^\varepsilon )\vert u\vert ^2\Bigr)\,d\mathbf{x},
\\
u\in H^1(\mathbb{R}^d).
\end{split}
\end{equation*}
Оператор \eqref{example of B-eps} можно трактовать как периодический оператор Шрёдингера с метрикой $g^\varepsilon$, магнитным потенциалом $\mathbf{A}^\varepsilon$ и электрическим потенциалом $\varepsilon ^{-1}v^\varepsilon +\mathcal{V}^\varepsilon$, содержащим ,,сингулярное'' первое слагаемое.

В \cite[п.~13.1]{Su10} показано, что оператор \eqref{example of B-eps} можно записать в требуемом виде
\begin{equation*}
\mathfrak{B}_\varepsilon =\mathbf{D}^*g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D}
+\sum _{j=1}^d \bigl(a_j^\varepsilon (\mathbf{x})D_j+D_j(a_j^\varepsilon (\mathbf{x}))^*\bigr)+\mathcal{Q}^\varepsilon (\mathbf{x}).
\end{equation*}
Вещественная функция $\mathcal{Q}(\mathbf{x})$ определена следующим образом:
\begin{equation}
\label{Q scalar example}
\mathcal{Q}(\mathbf{x})=\mathcal{V}(\mathbf{x})+\langle g(\mathbf{x})\mathbf{A}(\mathbf{x}),\mathbf{A}(\mathbf{x})\rangle.
\end{equation}
Комплексные функции $a_j(\mathbf{x})$ заданы выражениями
\begin{equation}
\label{a_j example}
a_j(\mathbf{x})=-\eta _j(\mathbf{x})+i\zeta _j(\mathbf{x}),
\end{equation}
где $\eta _j(\mathbf{x})$ --- компоненты вектор-функции $\boldsymbol{\eta}(\mathbf{x})=g(\mathbf{x})\mathbf{A}(\mathbf{x})$, а функции $\zeta _j(\mathbf{x})$ определены через $\Gamma$-периодическое решение уравнения $\Delta\Phi (\mathbf{x})=v(\mathbf{x})$ соотношением $\zeta _j(\mathbf{x})=-\partial _j\Phi (\mathbf{x})$. При этом выполнено
\begin{equation}
\label{v= example}
v(\mathbf{x})=-\sum _{j=1}^d \partial _j\zeta _j(\mathbf{x}).
\end{equation}
Нетрудно убедиться, что функции \eqref{a_j example} удовлетворяют требованию \eqref{a_j} с подходящим показателем $\widetilde{\varrho}$ (зависящим от $\varrho$ и $\sigma$); при этом нормы $\Vert a_j\Vert _{L_{\widetilde{\varrho}}(\Omega)}$ контролируются через $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert \mathbf{A}\Vert _{L_\varrho (\Omega)}$, $\Vert v\Vert _{L_\sigma(\Omega)}$ и параметры решетки $\Gamma$. Функция \eqref{Q scalar example} удовлетворяет условию \eqref{Q in Ls ex.} с подходящим показателем $\widetilde{\sigma }=\min\lbrace\sigma ;\varrho /2\rbrace$. Таким образом, сейчас реализуется пример~\ref{Example Q in Ls}.

Выберем параметр $\lambda$ из условия \eqref{DOlambda}, в котором $c_0$ и $c_4$ отвечают оператору \eqref{example of B-eps}. Обозначим $\mathcal{B}_\varepsilon :=\mathfrak{B}_\varepsilon +\lambda I$. Нас интересует аппроксимация экспоненты от этого оператора. В рассматриваемом случае исходные данные \eqref{dannie_zadachi} сводятся к следующему набору:
\begin{equation}
\label{problem data for scalar elliptic operator}
\begin{split}
d,\varrho,\sigma ; \Vert g\Vert _{L_\infty}, \Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}, \Vert \mathbf{A}\Vert _{L_\varrho (\Omega)}, \Vert v\Vert _{L_\sigma(\Omega)}, \Vert \mathcal{V}\Vert _{L_\sigma(\Omega)},\lambda ;
\\
\mbox{параметры решетки }\Gamma.
\end{split}
\end{equation}

\subsection{Эффективный оператор}

\label{Subsection eff op for scalar case}

Выпишем эффективный оператор. В нашем случае $\Gamma$-периодическое решение задачи \eqref{Lambda} является матрицей-строкой: $\Lambda (\mathbf{x})=i\Psi (\mathbf{x})$, $\Psi (\mathbf{x})=(\psi _1(\mathbf{x}),\dots,\psi _d(\mathbf{x}))$, где $\psi _j\in \widetilde{H}^1(\Omega)$ --- решение задачи
\begin{equation*}
\mathrm{div}\,g(\mathbf{x})(\nabla \psi _j(\mathbf{x})+\mathbf{e}_j)=0,\quad
\int _\Omega \psi _j(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{equation*}
Здесь $\mathbf{e}_j$, $j=1,\dots,d$, --- стандартные орты в $\mathbb{R}^d$. Ясно, что функции $\psi _j(\mathbf{x})$ вещественнозначные, а элементы матрицы-строки $\Lambda (\mathbf{x})$ чисто мнимые. Согласно \eqref{g^0} столбцами $(d\times d)$-матрицы-функции $\widetilde{g}(\mathbf{x})$ служат вектор-функции $g(\mathbf{x})(\nabla \psi _j(\mathbf{x})+\mathbf{e}_j)$, $j=1,\dots,d$. Эффективная матрица определена в соответствии с \eqref{g^0}: $g^0=\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega \widetilde{g}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}$. Ясно, что $\widetilde{g}(\mathbf{x})$ и $g^0$ имеют вещественные элементы.

В соответствии с \eqref{a_j example}, \eqref{v= example} периодическое решение задачи \eqref{tildeLambda} представляется в виде $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})=\widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x})+i\widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x})$, где вещественные $\Gamma$-периодические функции $\widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x})$ и $\widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x})$ являются решениями задач
\begin{align*}
&-\mathrm{div}\,g(\mathbf{x})\nabla \widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x})+v(\mathbf{x})=0,\quad\int _\Omega \widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0;
\\
&-\mathrm{div}\,g(\mathbf{x})\nabla \widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x})+\mathrm{div}\,g(\mathbf{x})\mathbf{A}(\mathbf{x})=0,\quad \int _\Omega \widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{align*}
Матрица-столбец $V$ (см. \eqref{V}) имеет вид $V=V_1+iV_2$, $V_1$, $V_2$ --- столбцы с вещественными элементами, определяемые равенствами
\begin{align*}
&V_1=\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega (\nabla \Psi (\mathbf{x}))^tg(\mathbf{x})\nabla\widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x})\,d\mathbf{x},
\\
&V_2=-\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega (\nabla\Psi (\mathbf{x}))^tg(\mathbf{x})\nabla \widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}.
\end{align*}
Согласно \eqref{W} постоянная $W$ запишется в виде
\begin{equation*}
W=\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega \Bigl(
\langle g(\mathbf{x})\nabla \widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x}),\nabla \widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x})\rangle
+\langle g(\mathbf{x})\nabla \widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x}),\nabla\widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x})\rangle\Bigr)\,d\mathbf{x}.
\end{equation*}
Эффективный оператор для $\mathcal{B}_\varepsilon$ действует по правилу
\begin{equation*}
\mathcal{B}^0u=-\mathrm{div}\,g^0\nabla u +2i\langle \nabla u, V_1+\overline{\boldsymbol{\eta}}\rangle
+(-W+\overline{\mathcal{Q}}+\lambda)u,\quad u\in H^2(\mathbb{R}^d).
\end{equation*}
Соответствующее дифференциальное выражение допускает запись в виде
\begin{equation*}
\mathcal{B}^0=(\mathbf{D}-\mathbf{A}^0)^*g^0(\mathbf{D}-\mathbf{A}^0)+\mathcal{V}^0+\lambda,
\end{equation*}
где
\begin{equation*}
\mathbf{A}^0=(g^0)^{-1}(V_1+\overline{g\mathbf{A}}),\quad\mathcal{V}^0=\overline{\mathcal{V}}+\overline{\langle g\mathbf{A},\mathbf{A}\rangle }-\langle g^0\mathbf{A}^0,\mathbf{A}^0\rangle -W.
\end{equation*}

\subsection{Оператор $\mathcal{N}$} Вид оператора $\mathcal{N}$ в рассматриваемом случае найден в \cite[(9.12)--(9.15)]{Su14}. Выпишем результат:
\begin{equation*}
\mathcal{N}=\sum _{k,l=1}^d \mathcal{N}_{12,kl}D_kD_l+\sum _{k=1}^d\mathcal{N}_{21,k}D_k+\mathcal{N}_{22},
\end{equation*}
где
\begin{align*}
\mathcal{N}_{12,kl}&=2\overline{\widetilde{\Lambda}_1\widetilde{g}_{kl}}
+\overline{v\psi _k\psi _l}-\sum _{j=1}^d\overline{(g_{jl}\psi _k+g_{jk}\psi _l)\partial _j\widetilde{\Lambda}_1},
\\
\mathcal{N}_{21,k}&=2\sum _{j=1}^d\overline{g_{jk}\Bigl(\widetilde{\Lambda}_1\partial _j\widetilde{\Lambda}_2-\widetilde{\Lambda}_2 \partial _j \widetilde{\Lambda}_1\Bigr)}
\\
&+2\overline{\psi _k\langle\boldsymbol{\eta},\nabla \widetilde{\Lambda}_1\rangle}
-2\overline{\widetilde{\Lambda}_1\langle\boldsymbol{\eta},\nabla \psi _k\rangle}
+2\overline{v\widetilde{\Lambda}_2\psi _k}
-4\overline{\eta _k\widetilde{\Lambda}_1},
\\
\mathcal{N}_{22}&=2\overline{\widetilde{\Lambda}_2\langle \boldsymbol{\eta},\nabla\widetilde{\Lambda}_1\rangle}
-2\overline{\widetilde{\Lambda}_1\langle\boldsymbol{\eta},\nabla\widetilde{\Lambda}_2\rangle}
+\overline{v\Bigl(\widetilde{\Lambda}_1^2+\widetilde{\Lambda}_2^2\Bigr)}
+2\overline{\widetilde{\Lambda}_1(\mathcal{Q}+\lambda)}.
\end{align*}

\subsection{Аппроксимация экспоненты}

В силу равенства $\Lambda (\mathbf{x})=i\Psi (\mathbf{x})$ оператор \eqref{K_eps 0(s) no Pi} имеет вид
\begin{equation}
\label{K_eps 0 for scalar ell op}
\begin{split}
\mathcal{K}_\varepsilon ^0 (s)&
=(\Psi ^\varepsilon \nabla +\widetilde{\Lambda}^\varepsilon )e^{-\mathcal{B}^0s}
+e^{-\mathcal{B}^0s}(\Psi ^\varepsilon \nabla +\widetilde{\Lambda}^\varepsilon )^*
-\int _0 ^s e^{-\mathcal{B}^0(s-\widetilde{s})}\mathcal{N}e^{-\mathcal{B}^0\widetilde{s}}\,d\widetilde{s}
\\
&=(\Psi ^\varepsilon \nabla +\widetilde{\Lambda}^\varepsilon )e^{-\mathcal{B}^0s}
+e^{-\mathcal{B}^0s}(\Psi ^\varepsilon \nabla +\widetilde{\Lambda}^\varepsilon )^*
-s\mathcal{N}e^{-\mathcal{B}^0s}.
\end{split}
\end{equation}
Мы учли, что в нашем случае скалярный дифференциальный оператор $\mathcal{N}$ коммутирует с экспонентой от эффективного оператора $\mathcal{B}^0$ с постоянными коэффициентами.

Из теоремы~\ref{Theorem exp B_eps final} выводим следующий результат.

\begin{theorem}
Пусть операторы $\mathcal{B}_\varepsilon$ и $\mathcal{B}^0$ определены в п.~\textnormal{\ref{Subsection scalar elliptic operator}} и \textnormal{\ref{Subsection eff op for scalar case}} соответственно, пусть $\mathcal{K}_\varepsilon ^0 (s)$ --- корректор \eqref{K_eps 0 for scalar ell op}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant 1$ и $s>0$ справедлива аппроксимация 
\begin{equation*}
\Vert e^{-\mathcal{B}_\varepsilon s}-e^{-\mathcal{B}^0s}-\varepsilon \mathcal{K}_\varepsilon ^0 (s)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant
C_{16}\varepsilon ^2 s^{-1}e^{-\check{c}_* s/2}.
\end{equation*}
Постоянные $C_{16}$ и $\check{c}_*$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data for scalar elliptic operator}.
\end{theorem}

\begin{thebibliography}{XXXX}

\bibitem[BaPa]{BaPa} 
Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П., 
\emph{Осреднение процессов в периодических средах}, Наука, М., 1984.

\bibitem[BeLP]{BeLP} 
Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G., 
\emph{Asymptotic ana\-lysis for periodic structures}, 
Stud. Math. Appl., vol. 5, North-Holland Publ. Co., Amsterdam--New York, 1978.
 
\bibitem[BSu1]{BSu0} 
Birman M., Suslina Т., 
\textit{Threshold effects near the lower edge of the spectrum for periodic
differential operators of mathematical physics}, Systems, Approximation, Singular Integral
Operators, and Related Topics (Bordeaux, 2000), Oper. Theory Adv. Appl., vol. 129,
Birkh\"auser, Basel, 2001, pp. 71--107.

\bibitem[BSu2]{BSu} Бирман М. Ш., Суслина Т. А., 
\emph{Периодические дифференциальные операторы второго порядка. 
Пороговые свойства и усреднения}, Алгебра и анализ {\bf 15} (2003),  №5, 1--108.

\bibitem[BSu3]{BSu05-1} Бирман М. Ш., Суслина Т. А., 
\emph{Пороговые аппроксимации резольвенты факторизованного самосопряженного 
семейства с учетом корректора}, Алгебра и анализ {\bf 17} (2005), №5, 69--90.

\bibitem[BSu4]{BSu05} Бирман М. Ш., Суслина Т. А., 
\emph{Усреднение периодических эллиптических дифференциальных операторов 
с учетом корректора}, Алгебра и анализ {\bf 17} (2005), №6, 1--104.

\bibitem[BSu5]{BSu06} 
Бирман М. Ш., Суслина Т. А., 
\textit{Усреднение периодических дифференциальных операторов с учетом 
корректора. Приближение решений в классе Соболева $H^1(\mathbb{R}^d)$}, 
Алгебра и анализ {\bf 18} (2006), №6, 1--130.

\bibitem[V]{V} Василевская Е. С., 
\emph{Усреднение параболической задачи Коши с периодическими коэффициентами 
при учете корректора}, Алгебра и анализ {\bf 21} (2009), №1, 3--60.

\bibitem[GeS]{GeSh} 
Geng J., Shen Zh., \textit{Convergence rates in parabolic homogenization 
with time-dependent periodic coefficients}, J. Funct. Anal. {\bf 272} 
(2017), no. 5, 2092--2113.

\bibitem[Gr1]{Gr1} 
Griso~G., 
\textit{Error estimate and unfolding for periodic homogenization},
Asymptot. Anal. \textbf{40} (2004), no. 3/4, 269--286.

\bibitem[Gr2]{Gr2} 
Griso~G., \textit{Interior error estimate for periodic homogenization},
Anal. Appl. \textbf{4} (2006), no. 1, 61--79.

\bibitem[ZhKO]{ZhKO} 
Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А., 
\emph{Усреднение дифференциальных операторов}, Физматлит, М., 1993.

\bibitem[Zh]{Zh1} 
Жиков В. В., \textit{Об операторных оценках в теории усреднения}, Докл. 
РАН {\bf 403} (2005), №3, 305--308. 

\bibitem[ZhPas1]{ZhPas} 
Zhikov V. V., Pastukhova S. E., 
\textit{On operator estimates for some problems in homogenization theory}, 
Russ. J. Math. Phys. {\bf 12} (2005), no. 4, 515--524. 

\bibitem[ZhPas2]{ZhPAs_parabol} 
Zhikov V. V., Pastukhova S. E., 
\emph{Estimates of homogenization for a parabolic equation with periodic 
coefficients}, Russ. J. Math. Phys. {\bf 13} (2006), no.~2, 224--237.


\bibitem[ZhPas3]{ZhPasUMN} 
Жиков В. В., Пастухова С. Е., 
\textit{Об операторных оценках в теории 
усреднения}, Успехи мат. наук {\bf 71} (2016), №3, 27--122. 

\bibitem[Ka]{K} Като Т., 
\emph{Теория возмущений линейных операторов}, Мир, М., 1972.

\bibitem[KeLiS]{KeLiS} 
Kenig C.~E., Lin F., Shen Zh.,
\textit{Convergence rates in $L^2$ for elliptic homogenization problems},
Arch. Rational Mech. Anal. \textbf{203} (2012), no. 3, 1009--1036.

\bibitem[M]{M_AA} Мешкова Ю. М., 
\textit{Усреднение задачи Коши для параболических систем с периодическими 
коэффициентами}, Алгебра и анализ {\bf 25} (2013),  №6, 125--177.

\bibitem[MSu]{MSu} Мешкова Ю. М.,  Суслина Т. А., \emph{Усреднение первой начально-краевой задачи для параболических систем\textnormal{:} операторные оценки погрешности}, Алгебра и анализ {\bf 29} (2017), №6, 99--158.

\bibitem[MoVo]{MoV} 
Moskow Sh., Vogelius M., 
\textit{First-order corrections to the homogenised eigenvalues of a 
periodic composite medium. A convergence proof}, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 
Sect. A {\bf 127} (1997), no. 6, 1263--1299.

\bibitem[Sa]{Sa} 
Санчес-Паленсия Э., \textit{Неоднородные среды и теория колебаний}, Мир, 
М., 1984. 

\bibitem[Su1]{Su04} 
Суслина Т. А., \textit{Об усреднении периодических параболических систем}, 
Функц. анал. и его прил. {\bf 38} (2004), №4, 86--90. 
 
\bibitem[Su2]{Su07}  Suslina T. A., 
\emph{Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem}, 
Nonlinear equations and spectral theory, 201--233, 
Amer. Math. Soc. Transl. (2), vol. 220, Amer. Math. Soc., 
Providence, RI, 2007.

\bibitem[Su3]{Su_MMNP} Suslina T.~A., 
{\it Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem in the Sobolev 
space $H^1(\mathbb{R}^d)$}, Math. Model. Nat. Phenom. {\bf 5} (2010), no.~4, 390--447. 

\bibitem[Su4]{Su10} Суслина Т. А., 
\emph{Усреднение в классе Соболева $H^1(\mathbb{R}^d)$ для периодических 
эллиптических дифференциальных операторов второго порядка при включении 
членов первого порядка}, Алгебра и анализ {\bf 22} (2010), №1, 108--222.

\bibitem[Su5]{Su13} 
Суслина Т. А., 
\emph{Аппроксимация резольвенты двупараметрического квадратичного операторного 
пучка вблизи нижнего края спектра}, Алгебра и анализ  {\bf 25} (2013), 
№5, 221--251.

\bibitem[Su6]{SuMatematika}  
Suslina T. A., \textit{Homogenization of the Dirichlet problem for 
elliptic systems}: $L_2$\textit{-operator error estimates}, Mathematika {\bf 59} 
(2013), no.~2, 463--476.
 
\bibitem[Su7]{Su14} Суслина Т. А.,  \textit{Усреднение эллиптических систем с периодическими коэффициентами}: \textit{операторные оценки погрешности в $L_2(\mathbb{R}^d)$ с учетом корректора,} Алгебра и анализ {\bf 26} (2014), №4, 195–263. 

\bibitem[Xu]{Xu3}
Xu~Q., 
\textit{Convergence rates for general elliptic homogenization problems in 
Lipschitz domains}, 
SIAM~J. Math. Anal. {\bf 48} (2016), no.~6, 3742--3788.
\end{thebibliography}
\end{document}