\documentclass[a4paper, 12pt, oneside]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage{cmap}

\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[warn]{mathtext}
\usepackage[T2A]{fontenc}

\usepackage[height = 25cm, a4paper, hmargin={2cm , 2cm}]{geometry}

\usepackage[unicode=true, colorlinks=true, linkcolor=blue, citecolor=Green]{hyperref}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{color}        % Для цветного текста 

\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath,amsthm,mathtools}

\usepackage{esint}

\usepackage{mathrsfs}                    % Для рукописного шрифта \mathscr
\usepackage{euscript}                    % Для рукописного шрифта \EuScript
\usepackage{enumitem}                    % Настройка списков
\usepackage{indentfirst}                 % Абзац с красной строки

\usepackage{tikz}

\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}

\DeclareMathOperator{\Dom}{Dom}
\DeclareMathOperator{\meas}{meas}
\DeclareMathOperator{\rank}{rank}
\DeclareMathOperator{\Ran}{Ran}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\clos}{clos}
\DeclareMathOperator{\esssup}{ess-sup}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}

\numberwithin{equation}{section}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{proposition}{\scshape Предложение}[subsection]
\newtheorem{thrm}{\scshape Теорема} [subsection]
\newtheorem{lemma}{\scshape Лемма} [subsection]
\newtheorem{corollary}{\scshape Следствие} [subsection]
\newtheorem{remark}{\scshape Замечание} [subsection]
\newtheorem{condition}{\scshape Условие} [subsection]

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}{\scshape Пример} [subsection]
 
\providecommand{\keywords}[1]{\textbf{{Ключевые слова:}} #1}

\title{Усреднение уравнений типа Шрёдингера с периодическими коэффициентами при включении членов младшего порядка\footnote{Представлено Т.~А. Суслиной.}\;\,\footnote{Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ \textnumero 16-01-00087 А.}}
\date{}
\author{Дородный~М.~А.\footnote{Санкт-Петербургский государственный университет, Россия, 199034, Санкт-Петербург, Университетская~наб., д.~7/9; e-mail: \texttt{mdorodni@yandex.ru}.}}

\begin{document}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000

\hyphenation{мат-ри-чно-знач-ная}
\hyphenation{пе-рио-ди-чес-кие}
\hyphenation{пе-рио-ди-чес-кую}
\hyphenation{пе-рио-ди-чес-кое}
    
\maketitle
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
\node[anchor=north east,inner sep=18pt,text width=12cm] at (current page.north east)
{
	\begin{flushright}
	{\footnotesize
		Препринт Санкт-Петербургского математического общества 
		
		Выложен 10 декабря 2018 года		
		
		Доступен на сайте \href{http://www.mathsoc.spb.ru/preprint/}{\texttt{http://www.mathsoc.spb.ru/preprint/}}
	}
	\end{flushright}	
};
\end{tikzpicture}
\nopagebreak 

\begin{abstract}
	\noindent
	В $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряжённый матричный эллиптический дифференциальный оператор $\mathcal{B}_\varepsilon$, $0<\varepsilon \leqslant 1$, второго порядка с периодическими коэффициентами, зависящими от $\mathbf{x}/\varepsilon$. Старшая часть оператора задана в факторизованной форме, оператор включает члены первого и нулевого порядков. Для операторной экспоненты $e^{-is \mathcal{B}_\varepsilon}$, $s \in \mathbb{R}$, при малом $\varepsilon$ получена аппроксимация по ($H^r \to L_2$)-операторной норме при подходящем $r$. Результаты применяются к вопросу о поведении решения $\mathbf{u}_\varepsilon$ задачи Коши для нестационарного уравнения типа Шрёдингера $i\partial_{s} \mathbf{u}_\varepsilon =  \mathcal{B}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon + \mathbf{F}$. Рассмотрены приложения к магнитному уравнению Шрёдингера с сингулярным электрическим потенциалом и к двумерному уравнению Паули с сингулярными потенциалами. 
\end{abstract}

\keywords{периодические дифференциальные операторы, нестационарные уравнения типа Шрёдингера, усреднение, эффективный оператор, операторные оценки погрешности.}

\section*{Введение}
Работа относится к теории усреднения (гомогенизации) периодических дифференциальных операторов (ДО). Задачам усреднения в пределе малого периода посвящена обширная литература; укажем в первую очередь книги~\cite{BeLP,BaPa,ZhKO}.

Для изучения задач усреднения в $\mathbb{R}^d$ один из возможных методов~--- это спектральный метод, основанный на теории Флоке--Блоха. Спектральный подход применялся во многих работах, например,~\cite[глава~4]{BeLP}, \cite[глава~2]{ZhKO}, \cite{Se1981}, \cite{COrVa}, \cite{APi}.

\subsection{Класс операторов}
Пусть $\Gamma$~--- решётка в $\mathbb{R}^d$, $\Omega$~--- элементарная ячейка решётки $\Gamma$. Для $\Gamma$-периодических функций в $\mathbb{R}^d$ используется обозначение $\varphi^{\varepsilon}(\mathbf{x}) \coloneqq \varphi(\varepsilon^{-1}\mathbf{x})$, $\varepsilon>0$.

Рассматриваются самосопряжённые эллиптические матричные ДО второго порядка в $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ следущего вида
\begin{multline}
\label{intro_B_eps}
\mathcal{B}_{\varepsilon} = \mathcal{A}_{\varepsilon} + \sum_{j=1}^{d} \left( f^{\varepsilon}(\mathbf{x})^* a_j^{\varepsilon}(\mathbf{x}) D_j f^{\varepsilon}(\mathbf{x})  + f^{\varepsilon}(\mathbf{x})^* D_j a_j^{\varepsilon}(\mathbf{x})^* f^{\varepsilon}(\mathbf{x}) \right) + \\ + f^{\varepsilon}(\mathbf{x})^* \mathcal{Q}^{\varepsilon}(\mathbf{x}) f^{\varepsilon}(\mathbf{x}) + \lambda f^{\varepsilon}(\mathbf{x})^* \mathcal{Q}_0^{\varepsilon}(\mathbf{x}) f^{\varepsilon}(\mathbf{x}).
\end{multline}
Здесь старшая часть $\mathcal{A}_{\varepsilon}$ задана в факторизованном виде: 
\begin{equation}
\label{intro_A_eps}
\mathcal{A}_{\varepsilon} = f^{\varepsilon}(\mathbf{x})^* b(\mathbf{D})^* g^{\varepsilon}(\mathbf{x}) b(\mathbf{D}) f^{\varepsilon}(\mathbf{x}),
\end{equation} 
где  $b(\mathbf{D})$~--- однородный матричный ДО 
первого порядка с постоянными коэффициентами, $g(\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодическая ограниченная и положительно определённая ($m \times m$)-матрица-функция, $f(\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодическая ограниченная вместе со своей обратной ($n \times n$)-матрица-функция. (Точные условия на $g$ и $b(\mathbf{D})$ см. в п.~\ref{A_section}.)
Далее, $a_j(\mathbf{x})$, $j = 1, \ldots,d$,~--- $\Gamma$-периодические ($n \times n$)-матрицы-функции, вообще говоря, неограниченные. Потенциал $\mathcal{Q}(\mathbf{x})$~--- обобщённая функция (со значениями в классе эрмитовых матриц), порождённая некоторой матричнозначной мерой. Требуются лишь определённые условия подчинённости потенциала старшей части оператора. Наконец, $\mathcal{Q}_0 (\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодическая положительно-определённая и ограниченная ($n \times n$)-матричнозначная функция. На параметр $\lambda$ накладывается условие, обеспечивающее положительную определённость оператора~(\ref{intro_B_eps}). (Точные условия на коэффициенты приведены в пп.~\ref{Y_Y_2_section}, \ref{q_section}, \ref{B(eps)_section}.)

Целесообразно сначала изучить более узкий класс операторов вида
\begin{equation}
\label{intro_hatB_eps}
\widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon} = \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon} + \sum_{j=1}^{d} \left( a_j^{\varepsilon}(\mathbf{x}) D_j   + D_j a_j^{\varepsilon}(\mathbf{x})^*  \right) +  \mathcal{Q}^{\varepsilon}(\mathbf{x})  + \lambda  \mathcal{Q}_0^{\varepsilon}(\mathbf{x}), 
\end{equation}
отвечающий случаю $f = \mathbf{1}_n$, где
\begin{equation}
\label{intro_hatA_eps}
\widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon} = b(\mathbf{D})^* g^{\varepsilon}(\mathbf{x}) b(\mathbf{D}).
\end{equation}

\subsection{Операторные оценки погрешности для эллиптических и параболических задач в $\mathbb{R}^d$}
В работах М.~Ш.~Бирмана и Т.~А.~Суслиной~\cite{BSu2003}--\cite{BSu2006} был предложен и развит теоретико-операторный подход к эллиптическим задачам усреднения в $\mathbb{R}^d$ (вариант спектрального метода), основанный на масштабном преобразовании, теории Флоке--Блоха и аналитической теории возмущений.

Будем для определённости говорить о более простых операторах~(\ref{intro_hatB_eps}), (\ref{intro_hatA_eps}) и обсудим сначала результаты для оператора~(\ref{intro_hatA_eps}).
В~\cite{BSu2003} было показано, что при $\varepsilon \to 0$ резольвента $(\widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon} + I )^{-1}$ сходится к резольвенте $(\widehat{\mathcal{A}}^0 + I )^{-1}$ по операторной $L_2$-норме, где $\widehat{\mathcal{A}}^0 = b(\mathbf{D})^* g^0 b(\mathbf{D})$~--- эффективный оператор с постоянной эффективной матрицей $g^0$. Способ нахождения эффективной матрицы хорошо известен в теории усреднения, в нашем случае он описан ниже в~(\ref{g0}). В~\cite{BSu2003} была установлена оценка
\begin{equation}
\label{intro_A_resolv_est}
\| (\widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon} + I )^{-1} - (\widehat{\mathcal{A}}^0 + I )^{-1} \|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \le C \varepsilon.
\end{equation}

В работах~\cite{BSu2005, BSu2005-2} была найдена более точная аппроксимация резольвенты оператора $\widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}$ по операторной норме в $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon^2)$, а в~\cite{BSu2006} найдена аппроксимация той же резольвенты по норме операторов, действующих из $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ в пространство Соболева $H^1 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$, с погрешностью $O(\varepsilon)$. В этих аппроксимациях учитываются члены первого порядка (\emph{корректоры}).

Аналогичным образом проблема усреднения параболических уравнений в $\mathbb{R}^d$ может изучаться как вопрос об асимптотическом описании операторной экспоненты $\exp(-s \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon} )$ при $s > 0$ и малом $\varepsilon$. Теоретико-операторный подход применялся к таким задачам в работах~\cite{Su2004}--\cite{Su2010-parab}, \cite{V}, \cite{VSu}. В~\cite{Su2004,Su2007} получена следующая оценка
\begin{equation}
\label{intro_A_parab_exp_est}
\| \exp(-s \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon} ) - \exp(-s \widehat{\mathcal{A}}^0) \|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \le C \varepsilon (s + \varepsilon^2)^{-1/2}.
\end{equation}
В работе~\cite{V} была найдена более точная аппроксимация оператора $\exp(-s \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon} )$ по операторной норме в $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon^2)$ при фиксированном $s$, а в~\cite{Su2010-parab} получена аппроксимация экспоненты по норме операторов, действующих из $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ в пространство Соболева $H^1 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$, с погрешностью $O (\varepsilon)$ при фиксированном $s$. В этих аппроксимациях учитываются корректоры первого порядка.

Ещё более точные аппроксимации экспоненты и резольвенты при учёте первого и второго корректоров найдены в работе~\cite{VSu}. В~\cite{BSu2003}--\cite{BSu2006}, \cite{Su2004}--\cite{Su2010-parab}, \cite{V}, \cite{VSu} аналогичные результаты получены и для более общего оператора~(\ref{intro_A_eps}), но формулировки сложнее; здесь мы не будем на этом останавливаться.

Оценки погрешности типа~(\ref{intro_A_resolv_est}), (\ref{intro_A_parab_exp_est}) называют \emph{операторными оценками погрешности} в теории усреднения. Другой подход (так называемый \textquotedblleft метод сдвига\textquotedblright) к получению операторных оценок погрешности был предложен В.~В.~Жиковым. В работах~\cite{Zh,ZhPas2005} были получены аппроксимации резольвенты по норме в $L_2$ с погрешностью $O(\varepsilon)$ и по норме операторов, действующих из $L_2$ в $H^1$, с погрешностью $O(\varepsilon)$ для операторов акустики и теории упругости (которые относятся к классу операторов вида~(\ref{intro_hatA_eps})). В~\cite{ZhPas2006} была получена оценка вида~(\ref{intro_A_parab_exp_est}) для оператора $- \operatorname{div} g^\varepsilon (\mathbf{x}) \nabla$. См. также обзор~\cite{ZhPas2016}.

В присутствии членов младшего порядка эллиптическая задача усреднения изучалась в работах~\cite{Bo}, \cite{Su2010}. Там была установлена оценка
\begin{equation*}
\| (\widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon})^{-1} - (\widehat{\mathcal{B}}^0)^{-1} \|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \le C \varepsilon,
\end{equation*}
а также найдена аппроксимация оператора $(\widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon})^{-1}$ по норме операторов, действующих из $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ в пространство Соболева $H^1 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$, с погрешностью $O(\varepsilon)$. 
Здесь $\widehat{\mathcal{B}}^0$~--- \emph{эффективный оператор} с постоянными коэффициентами (см.~(\ref{hatB0})).
В статье~\cite{Bo} предполагалось, что коэффициенты оператора зависят не только от быстрой, но и от медленной переменной. Однако в~\cite{Bo} коэффициенты оператора предполагались достаточно гладкими, а постоянные в оценках зависели от \textquotedblleft гладких\textquotedblright \ норм коэффициентов. В~\cite{Su2010} эти оценки доказаны при широких предположениях о коэффициентах оператора (таких же, как в настоящей статье). В работе~\cite{Su2014} была найдена более точная аппроксимация оператора $(\widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon})^{-1}$ по операторной норме в $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon^2)$.

Параболические задачи с оператором $\widehat{\mathcal{B}}_\varepsilon$ (а также с оператором $\mathcal{B}_\varepsilon$) изучались в работе~\cite{M2013}.

\subsection{Операторные оценки погрешности для нестационарных уравнений типа Шрёдингера и гиперболического типа} 

Несколько иначе обстоит дело с усреднением нестационарных уравнений типа Шрёдингера и гиперболического типа, которым посвящена статья~\cite{BSu2008}. Остановимся опять на результатах для более простого оператора~(\ref{intro_hatA_eps}). В операторных терминах речь идёт о поведении при малом $\varepsilon$ оператор-функций $e^{-i s \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}}$ и $\cos(s \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}^{1/2})$, $\widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}^{-1/2} \sin(s \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}^{1/2})$,  где $s \in \mathbb{R}$. Для этих оператор-функций уже не удаётся получить аппроксимации по операторной норме в $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$, а приходится рассматривать норму операторов, действующих из пространства Соболева $H^r (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ (с подходящим $r$) в $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$. В~\cite{BSu2008} были получены следующие оценки:
\begin{align}
\label{intro_exp_est}
\| e^{-i s \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}} - e^{-i s \widehat{\mathcal{A}}^0} \|_{H^3 (\mathbb{R}^d) \to L_2 (\mathbb{R}^d)} &\le C (1 + |s|)\varepsilon, \\
\label{intro_cos_est}
\| \cos(s \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}^{1/2}) - \cos(s (\widehat{\mathcal{A}}^0)^{1/2}) \|_{H^2 (\mathbb{R}^d) \to L_2 (\mathbb{R}^d)} &\le  C (1 + |s|)\varepsilon.
\end{align}
Похожий результат для оператора $\widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}^{-1/2} \sin(s \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}^{1/2})$ был получен в работе~\cite{M2017} (см. также~\cite{M2019}):
\begin{equation}
\label{intro_sin_est}
\| \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}^{-1/2} \sin(s \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}^{1/2}) - (\widehat{\mathcal{A}}^0)^{-1/2} \sin(s (\widehat{\mathcal{A}}^0)^{1/2}) \|_{H^1 (\mathbb{R}^d) \to L_2 (\mathbb{R}^d)} \le C (1 + |s|)\varepsilon.
\end{equation}

С помощью интерполяции это позволяет получить также оценку разности операторных экспонент из~(\ref{intro_exp_est}) по $(H^r \to L_2)$--норме с погрешностью $O(\varepsilon^{r/3})$ (при $0 \le r \le 3$), оценку разности операторных косинусов из~(\ref{intro_cos_est}) по $(H^r \to L_2)$--норме с погрешностью $O(\varepsilon^{r/2})$ (при $0 \le r \le 2$), а также оценку разности операторов из~(\ref{intro_sin_est}) по $(H^r \to L_2)$--норме с погрешностью $O(\varepsilon^{(r+1)/2})$ (при $-1 \le r \le 1$).

Кроме того, в~\cite{M2017,M2019} получена аппроксимация оператора $\widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}^{-1/2} \sin(s \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}^{1/2})$  по норме операторов, действующих из $H^2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ в $H^1 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$, с погрешностью $O (\varepsilon)$ при фиксированном $s$.


В работах~\cite{Su2017,DSu2018} (см. также~\cite{Su2016,DSu2016}) была подтверждена точность оценок~(\ref{intro_exp_est})--(\ref{intro_sin_est}) относительно типа операторной нормы. С другой стороны, были найдены достаточные условия на оператор, позволяющие усилить результат и получить оценки
\begin{align*}
\| e^{-i s \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}} - e^{-i s \widehat{\mathcal{A}}^0} \|_{H^{2} (\mathbb{R}^d) \to L_2 (\mathbb{R}^d)} &\le \mathcal{C}(1+|s|) \varepsilon, \\
\| \cos(s \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}^{1/2}) - \cos(s (\widehat{\mathcal{A}}^0)^{1/2}) \|_{H^{3/2} (\mathbb{R}^d) \to L_2 (\mathbb{R}^d)} &\le \mathcal{C}(1+|s|) \varepsilon,\\
\| \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}^{-1/2} \sin(s \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}^{1/2}) - (\widehat{\mathcal{A}}^0)^{-1/2} \sin(s (\widehat{\mathcal{A}}^0)^{1/2}) \|_{H^{1/2} (\mathbb{R}^d) \to L_2 (\mathbb{R}^d)} &\le \mathcal{C}(1+|s|) \varepsilon.
\end{align*}
 

\subsection{Основные результаты работы}

В настоящей работе мы проводим аналогичные~\cite{BSu2008,Su2017} рассмотрения для экспоненты от оператора~(\ref{intro_hatB_eps}), включающего младшие члены. Полученные результаты применяются к вопросу о поведении решения задачи Коши для нестационарного уравнения типа Шрёдингера. Мы доказываем оценку 
\begin{equation}
\label{intro_exp_B_est}
\| e^{-i s \widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon}} - e^{-i s \widehat{\mathcal{B}}^0} \|_{H^3 (\mathbb{R}^d) \to L_2 (\mathbb{R}^d)} \le C (1 + |s|)\varepsilon
\end{equation} 
и подтверждаем её точность в следующем смысле: указываем условие на оператор, при котором оценка
\begin{equation*}
\| e^{-i s \widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon}} - e^{-i s \widehat{\mathcal{B}}^0} \|_{H^r (\mathbb{R}^d) \to L_2 (\mathbb{R}^d)} \le  C(s)\varepsilon
\end{equation*}
заведомо неверна, если $r < 3$. 

С другой стороны, при некоторых дополнительных предположениях (которые формулируются в терминах спектральных характеристик оператора на краю спектра)  мы можем усилить результат и доказать оценку
\begin{equation*}
\| e^{-i s \widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon}} - e^{-i s \widehat{\mathcal{B}}^0} \|_{H^{2} (\mathbb{R}^d) \to L_2 (\mathbb{R}^d)} \le \mathcal{C}(1 + |s|)\varepsilon.
\end{equation*}

Мы получаем аналоги этих результатов и для более общего оператора~(\ref{intro_B_eps}). При этом оказывается, что удобно изучать операторную экспоненту, окаймлённую подходящими быстро осциллирующими множителями. Речь идёт об операторе $f^\varepsilon e^{-is \widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon}} (f^\varepsilon)^{-1}$.

Результаты, полученные в операторных терминах, применяются затем к вопросу о поведении решения $\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x}, s)$, $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d$, $s \in \mathbb{R}$, следующей задачи
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
&i \frac{\partial \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x}, s)}{\partial s} =  (\widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon} \mathbf{u}_\varepsilon) (\mathbf{x}, s) + \mathbf{F} (\mathbf{x}, s), \\
& \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x}, 0) = \boldsymbol{\phi} (\mathbf{x}), 
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
а также более общей задачи с оператором $\mathcal{B}_{\varepsilon}$.
Мы применяем общие результаты к конкретным уравнениям математической физики. В частности, рассмотрены нестационарное магнитное уравнение Шрёдингера с быстро осциллирующими магнитным потенциалом и сингулярным электрическим потенциалом, а также двумерное уравнение Паули с сингулярными периодическими потенциалами. 

\subsection{Метод}
Результаты получены с помощью дальнейшего развития теоретико-операторного подхода. Этот метод был предложен и развит в серии статей~\cite{BSu2003}--\cite{BSu2006}, где изучался оператор $\mathcal{A}_{\varepsilon}$, и был модифицирован в~\cite{Su2010}--\cite{Su2014} применительно к оператору $\widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon}$.

Пусть $\mathcal{H}_0 = - \Delta$. Ясно, что оценка~(\ref{intro_exp_B_est}) равносильна неравенству
\begin{equation}
\label{intro_exp_B_est_2}
\| ( e^{-is \widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon}} - e^{-is \widehat{\mathcal{B}}^0}) (\mathcal{H}_0 + I )^{-3/2} \|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \le C (1 + |s|)\varepsilon.
\end{equation}
Иначе говоря, надо домножить разность операторных экспонент на \textquotedblleft сглаживающий множитель\textquotedblright \  $(\mathcal{H}_0 + I )^{-3/2}$ и рассматривать операторную норму произведения в $L_2$. Далее, масштабное преобразование позволяет вывести оценку~(\ref{intro_exp_B_est_2}) из неравенства 
\begin{equation*}
\| ( e^{-is \varepsilon^{-2} \widehat{\mathcal{B}} (\varepsilon) } - e^{-is \varepsilon^{-2}  \widehat{\mathcal{B}}^0 (\varepsilon) }) \varepsilon^{3}  (\mathcal{H}_0 + \varepsilon^{2}I )^{-3/2} \|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \le C (1 + |s|) \varepsilon.
\end{equation*}
Оператор 
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal{B}}(\varepsilon) = b(\mathbf{D})^* g(\mathbf{x}) b(\mathbf{D}) + \varepsilon \sum_{j=1}^{d} \left( a_j(\mathbf{x}) D_j   + D_j (a_j(\mathbf{x}))^*  \right) + \varepsilon^2 (\mathcal{Q}(\mathbf{x})  + \lambda  \mathcal{Q}_0(\mathbf{x}))
\end{equation*}
действует в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и зависит от параметра $\varepsilon$. Его коэффициенты зависят от $\mathbf{x}$ (а не от $\varepsilon^{-1} \mathbf{x}$). Аналогично определяется оператор $\widehat{\mathcal{B}}^0 (\varepsilon)$ с эффективными коэффициентами.
Затем с помощью унитарного преобразования Гельфанда оператор~$\widehat{\mathcal{B}}(\varepsilon)$ раскладывается в прямой интеграл по операторам $\widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon)$, действующим в пространстве $L_2 (\Omega; \mathbb{C}^n)$ (где $\Omega$~--- ячейка решётки $\Gamma$). Оператор $\widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon)$ задаётся выражением
\begin{equation*}
b(\mathbf{D} + \mathbf{k})^* g(\mathbf{x}) b(\mathbf{D} + \mathbf{k}) + \varepsilon \sum_{j=1}^{d} \left( a_j(\mathbf{x}) (D_j + k_j)   + (D_j + k_j) a_j(\mathbf{x})^*  \right) + \varepsilon^2 (\mathcal{Q}(\mathbf{x})  + \lambda  \mathcal{Q}_0(\mathbf{x}))
\end{equation*}
при периодических граничных условиях. Следуя~\cite{BSu2003}, мы выделяем одномерный параметр $t = |\mathbf{k}|$ и рассматриваем семейство $\widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon)$ как квадратичный пучок по отношению к параметрам $t$ и $\varepsilon$.

При этом значительную часть построений удаётся провести в рамках абстрактной теории операторов. Остановимся на этом подробнее. В абстрактной схеме изучается действующее в некотором гильбертовом пространстве $\mathfrak{H}$ операторное семейство 
\begin{equation*}
\mathfrak{B} (t, \varepsilon) = A(t) + \varepsilon(Y_2^* Y(t) + Y(t)^*Y_2) + \varepsilon^2 Q + \lambda \varepsilon^2 Q_0.
\end{equation*}
Предполагается, что оператор $A(t)$ допускает факторизацию вида $A(t) = X(t)^* X(t)$, где $X(t) = X_0 + t X_1$. Основное условие состоит в том, что точка $\lambda_0 = 0$ является собственным значением конечной кратности $n$ для оператора $A(0)$. Обозначим $\mathfrak{N} = \Ker A(0)$. На операторы $Y(t) = Y_0 + t Y_1$, $Y_2$, $Q$ накладываются некоторые условия подчинённости старшей части.

Следуя~\cite{Su2010,Su2013}, мы вводим одномерный параметр $\tau = (|\mathbf{k}|^2 + \varepsilon^2)^{1/2}$ и изучаем семейство операторов~$\mathfrak{B}(\tau, \vartheta) \coloneqq \mathfrak{B}(t, \varepsilon)$, где $\vartheta = (t\tau^{-1}, \varepsilon\tau^{-1}) \in \mathbb{S}^1$, методами аналитической теории возмущений относительно параметра $\tau$. Тогда у возмущённого оператора $\mathfrak{B}(\tau, \vartheta)$ при $|\tau| \le \tau^0$ на промежутке $[0, \delta]$ имеется ровно $n$ собственных значений с учётом кратности (числа $\delta$ и $\tau^0$ контролируются явно). Эти собственные значения и отвечающие им собственные векторы аналитичны по $\tau$. Коэффициенты степенных разложений для них мы называем пороговыми характеристиками оператора на краю спектра. Выделяется оператор $\EuScript{S}(\vartheta)$ конечного ранга (так называемый \emph{спектральный росток} операторного семейства $\mathfrak{B}(t,\varepsilon)$, см. определение в п.~\ref{abstr_scrS_section} ниже), действующий в пространстве $\mathfrak{N}$. Спектральный росток несёт информацию о пороговых характеристиках старшего порядка. Пусть $F(\tau, \vartheta)$~--- спектральный проектор оператора $\mathfrak{B}(\tau, \vartheta)$ для промежутка $[0, \delta]$. Мы опираемся на пороговые аппроксимации для проектора $F(\tau, \vartheta)$ и для оператора $\mathfrak{B}(\tau, \vartheta)F(\tau, \vartheta)$, полученные в работах~\cite[гл.~1]{Su2010} и~\cite{Su2013}. Проектор $F(\tau, \vartheta)$ приближался проектором $P$ на подпространство $\mathfrak{N}$, а оператор $\mathfrak{B}(\tau, \vartheta)F(\tau, \vartheta)$ приближался оператором $\tau^2 \EuScript{S}(\vartheta) P$.

В терминах спектрального ростка удаётся получить аппроксимации для операторной экспоненты $e^{- i s \varepsilon^{-2} \mathfrak{B}(t, \varepsilon)}$, домноженного на подходящий \textquotedblleft сглаживающий множитель\textquotedblright. Применение абстрактных результатов приводит к искомым оценкам для дифференциальных операторов.

Для доказательства точности оценки~(\ref{intro_exp_B_est}) мы рассматриваем операторный пучок $\mathfrak{B} (\varkappa) \coloneqq \mathfrak{B}(t,\varepsilon)$ при $t=c \varkappa^2$, $t= \varkappa^3$ и пользуемся методами аналитической теории возмущений относительно одномерного параметра $\varkappa$. 

\subsection{Обозначения}
Пусть $\mathfrak{H}$ и $\mathfrak{H}_{*}$ --- сепарабельные гильбертовы пространства. Символы $(\cdot, \cdot)_{\mathfrak{H}}$ и $ \| \cdot \|_{\mathfrak{H}}$ означают, соответственно, скалярное произведение и норму в $\mathfrak{H}$. Символ $\| \cdot \|_{\mathfrak{H} \to \mathfrak{H}_*}$ означает норму ограниченного оператора из $\mathfrak{H}$ в $\mathfrak{H}_{*}$. Иногда мы опускаем индексы, если это не ведёт к смешениям. Через $I = I_{\mathfrak{H}}$ обозначается тождественный оператор в $\mathfrak{H}$. Если $A \colon \mathfrak{H} \to \mathfrak{H}_*$ --- линейный оператор, то через $\Dom A$ и $\Ker A$ обозначаются область определения и ядро $A$, соответственно. Если $\mathfrak{N}$ --- подпространство в $\mathfrak{H}$, то $\mathfrak{N}^{\perp} \coloneqq \mathfrak{H} \ominus \mathfrak{N}$. Если $P$~--- ортогональный проектор пространства $\mathfrak{H}$ на $\mathfrak{N}$, то $P^{\perp}$ --- ортогональный проектор $\mathfrak{H}$ на $\mathfrak{N}^{\perp}$. 

Символы $\left< \cdot, \cdot \right>$ и $| \cdot |$ означают, соответственно, стандартные скалярное произведение и норму в $\mathbb{C}^n$; $\boldsymbol{1}_n$ --- единичная ($n \times n$)-матрица. Для $z \in \mathbb{C}$ через $z^*$ обозначается комплексно-сопряжённое число; мы используем такое нестандартное обозначение, поскольку знак верхней черты зарезервирован под обозначение среднего значения периодической функции. Нижняя черта означает взятие среднего гармонического значения. 

Далее, $\mathbf{x} = (x_1, \ldots , x_d) \in \mathbb{R}^d$, $i D_j = \frac{\partial}{\partial x_j}$, $j = 1,\ldots, d$, $\nabla = \operatorname{grad} = (\partial_1, \ldots, \partial_d)$, $\mathbf{D} = -i \nabla = (D_1, \ldots, D_d)$. 

Классы $L_p$ функций cо значениями в $\mathbb{C}^n$, заданных в области $\mathcal{O} \subset \mathbb{R}^d$, обозначаются через $L_p (\mathcal{O}; \mathbb{C}^n)$, $1 \le p \le \infty$. Классы Соболева $\mathbb{C}^n$-значных функций в области $\mathcal{O} \subset \mathbb{R}^d$ порядка $s$ с индексом суммирования $p$ обозначаются $W^s_p (\mathcal{O}; \mathbb{C}^n)$. При $p=2$ используем обозначения $H^s (\mathcal{O}; \mathbb{C}^n)$, $s \in \mathbb{R}$. При $n=1$ пишем просто $L_p (\mathcal{O})$, $W^s_p (\mathcal{O})$, $H^s (\mathcal{O})$ и т.д., но иногда мы применяем такие упрощённые обозначения и для пространств векторнозначных и матричнозначных функций.

Через $C$, $c$, $\mathcal{C}$, $\mathfrak{C}$ (возможно, с индексами и значками) обозначаются различные оценочные постоянные.

\subsection{Благодарности}
Автор выражает благодарность Т.~А.~Суслиной за полезные обсуждения, ценные советы и внимательное чтение рукописи.

\section{Абстрактная теоретико-операторная схема}
\label{abstr_section}

\subsection{Квадратичные двупараметрические операторные семейства}

Мы изучаем семейство операторов $\mathfrak{B} (t, \varepsilon)$, зависящих от двух вещественных параметров $\varepsilon$ и $t$,
\begin{equation*}
%\label{abstr_eps_t}
0 \le \varepsilon \le 1, \quad t \in \mathbb{R}.
\end{equation*}
В этом пункте мы кратко описываем результаты, полученные в~\cite{Su2010, Su2013}.

\subsubsection{Операторы $X(t)$ и $A(t)$}  
\label{abstr_X_A_section}

Пусть $\mathfrak{H}$ и $\mathfrak{H}_{*}$~--- комплексные сепарабельные гильбертовы пространства. Предположим, что $X_{0} \colon \mathfrak{H} \to \mathfrak{H}_{*}$~--- плотно определённый и замкнутый оператор, а $X_{1} \colon \mathfrak{H} \to \mathfrak{H}_{*}$~--- ограниченный оператор. Введём замкнутый на $\Dom X_0$ оператор $X(t) \coloneqq X_0 + t X_1 \colon \mathfrak{H} \to \mathfrak{H}_{*}$, где $t \in \mathbb{R}$. Рассмотрим семейство самосопряжённых операторов $A(t) \coloneqq X(t)^*  X(t)$ в $\mathfrak{H}$. Оператор $A(t)$ порождается замкнутой квадратичной формой $\| X(t) u \|^{2}_{\mathfrak{H}_*}$, $u \in \Dom X_0$. Введём обозначения $A_0 \coloneqq A(0)$, $\mathfrak{N} \coloneqq \Ker  A_0 = \Ker X_0$, $\mathfrak{N}_{*} \coloneqq \Ker X^*_0$.


Предполагается выполненным следующее условие.
\begin{condition}
    Точка $\lambda_0 = 0$~--- изолированная точка спектра оператора $A_0$ и $0 < n \coloneqq \dim \mathfrak{N} < \infty$, $n \le n_* \coloneqq \dim  \mathfrak{N}_* \le \infty$.
\end{condition}

Обозначим через $d^0$ \emph{расстояние от точки $\lambda_0 = 0$ до остального спектра оператора $A_0$}. Через $P$ и $P_*$ обозначаются ортопроекторы в $\mathfrak{H}$ на $\mathfrak{N}$ и в  $\mathfrak{H}_*$ на  $\mathfrak{N}_*$, соответственно.

Операторное семейство $A(t)$ подробно изучалось в работах~\cite[гл.~1]{BSu2003}, \cite{BSu2005}, \cite[гл.~1]{BSu2006}.

\subsubsection{Операторы $Y(t)$ и $Y_2$}
\label{abstr_Y_section}
Пусть $\widetilde{\mathfrak{H}}$~--- ещё одно сепарабельное гильбертово пространство.
Пусть $Y_0 \colon \mathfrak{H} \to \widetilde{ \mathfrak{H}}$~--- плотно определённый оператор такой, что $\Dom X_0 \subset \Dom Y_0$. Далее, пусть $Y_1$~--- ограниченный оператор в $\mathfrak{H}$. Введём $Y(t) \coloneqq Y_0 + t Y_1$, $ \Dom Y(t) = \Dom Y_0$. Предполагается выполненным следующее условие. 
\begin{condition}
	\label{abstr_Y(t)_cond}
	Для некоторого $c_1 > 0$ имеем
	\begin{equation}
	\label{abstr_Y(t)_cond_eq}
	\| Y(t)u \|_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \le c_1 \| X(t)u \|_{\mathfrak{H}_{*}}, \qquad  u \in \Dom X_0 , \; t \in \mathbb{R}.
	\end{equation}
\end{condition}
Из~(\ref{abstr_Y(t)_cond_eq}) при $t=0$ следует, что $\mathfrak{N} \subset \Ker Y_0$.

Пусть $Y_2 \colon \mathfrak{H} \to \widetilde{\mathfrak{H}}$~--- плотно определённый линейный оператор такой, что $\Dom X_0 \subset \Dom Y_2$. Предполагается, что оператор $Y_2$ сильно подчинён оператору $X(t)$, т.е. справедливо
\begin{condition}
	\label{abstr_Y2_cond}
	Для любого $\nu > 0$ существует число $C(\nu) > 0$ такое, что выполнено неравенство
	\begin{equation}
	\label{abstr_Y2_cond_eq}
	\| Y_2 u \|_{\widetilde{\mathfrak{H}}}^2 \le \nu \|X(t) u\|_{\mathfrak{H}_{*}}^2 + C(\nu) \|u\|_{\mathfrak{H}}^2, \qquad u \in \Dom X_0, \; t \in \mathbb{R}.
	\end{equation}
\end{condition}

\subsubsection{Форма $\mathfrak{q}$}
\label{abstr_q_section}
Пусть в пространстве $\mathfrak{H}$ задана плотно определённая эрмитова полуторалинейная форма $\mathfrak{q}[u, v]$, причём $\Dom X_0 \subset \Dom \mathfrak{q}$. На форму $\mathfrak{q}$ накладывается следующее условие.
\begin{condition}
	\label{abstr_q_cond}
	Существуют такие постоянные $0 < \kappa \le 1, c_0 \in \mathbb{R}, c_2 \ge 0, c_3 \ge 0$, что
	\begin{equation}
	\label{abstr_q_cond_eq}
	\begin{split}
	|\mathfrak{q} [u, v] | &\le \left( c_2 \| X(t) u \|_{\mathfrak{H}_*}^2 + c_3 \|u\|_{\mathfrak{H}}^2 \right)^{1/2} \left( c_2 \| X(t) v \|_{\mathfrak{H}_*}^2 + c_3 \|v\|_{\mathfrak{H}}^2 \right)^{1/2} ,
	\\
	\mathfrak{q}[u,u] &\ge  -(1-\kappa)\|X(t) u\|_{\mathfrak{H}_{*}}^2 - c_0 \|u\|_{\mathfrak{H}}^2, \qquad u, v \in \Dom X_0, \; t \in \mathbb{R}.
	\end{split}
	\end{equation} 
\end{condition}

\subsubsection{Оператор $\mathfrak{B}(t, \varepsilon)$}
\label{abstr_B_section}

В пространстве $\mathfrak{H}$ рассмотрим квадратичную форму 
\begin{equation}
\label{abstr_b(t,eps)}
\mathfrak{b} (t, \varepsilon) [u,u] = \| X(t) u \|^2_{\mathfrak{H}_*} + 2 \varepsilon \Re (Y(t)u, Y_2 u)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + \varepsilon^2 \mathfrak{q}[u,u] + \lambda \varepsilon^2 (Q_0 u, u)_{\mathfrak{H}}, \quad u \in \Dom X_0.
\end{equation}
Здесь $Q_0 \colon \mathfrak{H} \to \mathfrak{H}$~--- ограниченный положительно определённый оператор. \emph{На параметр $\lambda \in \mathbb{R}$ накладывается ограничение}:
\begin{equation}
\label{abstr_lambda}
\begin{aligned}
\lambda &> \| Q_0^{-1} \| (c_0 + c_4), & &\text{если} \; \lambda \ge 0, \\
\lambda &> \| Q_0 \|^{-1} (c_0 + c_4), & &\text{если} \; \lambda < 0 \; \text{и} \; c_0 + c_4 < 0,
\end{aligned}
\end{equation}
где $c_0$~--- постоянная из условия~\ref{abstr_q_cond}, а $c_4 = 4 \kappa^{-1} c_1^2 C(\nu)$ при $\nu = \kappa^2 (16 c_1^2)^{-1}$.

Используя~(\ref{abstr_Y(t)_cond_eq}), (\ref{abstr_Y2_cond_eq}), (\ref{abstr_q_cond_eq}), можно проверить (см.~\cite[п.~1.4]{Su2013}) справедливость следующих оценок:
\begin{align*}
\mathfrak{b}(t, \varepsilon) [u,u] &\le (2 + c_1^2 +c_2) \| X(t) u \|_{\mathfrak{H}_*}^2 + (C(1) + c_3 + | \lambda | \|Q_0 \|) \varepsilon^2 \|u\|_{\mathfrak{H}}^2, \\
\mathfrak{b}(t, \varepsilon)[u,u] &\ge \frac{\kappa}{2} \| X(t) u \|_{\mathfrak{H}_*}^2 + \beta \varepsilon^2 \| u \|_{\mathfrak{H}}^2, \qquad u \in \Dom X_0,
\end{align*}
где $\beta > 0$ определено по числу $\lambda$ следующим образом:
\begin{equation}
\label{abstr_beta}
\begin{aligned}
\beta &= \lambda \| Q_0^{-1} \|^{-1} - c_0 - c_4, & \text{если} \; \lambda &\ge 0, \\
\beta &= \lambda \| Q_0 \| - c_0 - c_4, & \text{если} \; \lambda &< 0 \; \text{и} \; c_0 + c_4 < 0.
\end{aligned}
\end{equation}
Таким образом, форма $\mathfrak{b}(t, \varepsilon) [u,u]$ замкнута и положительно определена.

\emph{Самосопряжённый оператор в пространстве $\mathfrak{H}$, порождённый формой}~(\ref{abstr_b(t,eps)}), обозначим через $\mathfrak{B} (t, \varepsilon)$. Формально можно записать
\begin{equation}
\label{abstr_B(t,eps)}
\mathfrak{B} (t, \varepsilon) = A(t) + \varepsilon(Y_2^* Y(t) + Y(t)^*Y_2) + \varepsilon^2 Q + \lambda \varepsilon^2 Q_0.
\end{equation}
Здесь $Q$~--- формальный объект, который мы сопоставляем форме $\mathfrak{q}$.

\subsubsection{Введение параметра $\tau$}
\label{abstr_tau_section}
Семейство $\mathfrak{B} (t, \varepsilon)$ аналитически зависит от параметров $t$ и $\varepsilon$. Если $t = 0$ и $\varepsilon = 0$, то $\mathfrak{B}(0,0) = A_0$ имеет изолированное собственное значение $\lambda_0 = 0$ кратности $n$. Мы хотим использовать аппарат аналитической теории возмущений. Однако, если $n > 1$, то аналитическая теория возмущений не работает, поскольку мы имеем дело с многомерным параметром и кратным собственным значением. Чтобы преодолеть эту трудность, мы, следуя \cite{Su2010},  вводим \emph{одномерный параметр} $\tau = \sqrt{t^2 + \varepsilon^2}$ и дополнительные параметры $\vartheta_1 = t \tau^{-1}$, $\vartheta_2 = \varepsilon \tau^{-1}, \vartheta = (\vartheta_1, \vartheta_2)$. Оператор $\mathfrak{B} (t, \varepsilon)$ будем обозначать через $\mathfrak{B} (\tau; \vartheta)$. Соответствующая квадратичная форма запишется в виде
\begin{multline*}
\mathfrak{b} (\tau; \vartheta) [u, u] = \|(X_0 + \tau \vartheta_1 X_1) u\|_{\mathfrak{H}_*}^2 + 2 \tau \vartheta_2 \Re (Y_0 u, Y_2 u)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \\
+ 2 \tau^2 \vartheta_1 \vartheta_2 \Re (Y_1 u, Y_2 u)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + \tau^2 \vartheta_2^2 (\mathfrak{q} [u, u] + \lambda (Q_0 u, u)_{\mathfrak{H}}), \qquad u \in \Dom X_0.
\end{multline*}
Отвечающий ей оператор формально можно записать в виде
\begin{multline}
\label{abstr_B(tau,theta)}
\mathfrak{B} (\tau; \vartheta) = (X^*_0 + \tau \vartheta_1 X^*_1) (X_0 + \tau \vartheta_1 X_1) + \tau \vartheta_2 (Y_2^* Y_0 + Y^*_0 Y_2) + \\ + \tau^2 \vartheta_1 \vartheta_2 (Y_2^* Y_1 + Y^*_1 Y_2) + \tau^2 \vartheta^2_2 (Q + \lambda Q_0).
\end{multline}

Мы изучаем оператор $\mathfrak{B} (\tau; \vartheta)$ как квадратичный пучок, соответствующий одномерному параметру $\tau$, средствами аналитической теории возмущений. В то же время мы должны следить за равномерностью оценок по $\vartheta$, принимая во внимание, что $\vartheta^2_1 + \vartheta^2_2 = 1$. В записи~(\ref{abstr_B(tau,theta)}) можно считать, что $\tau \in \mathbb{R}$.

Обозначим за $F(\tau ; \vartheta ; s)$ спектральный проектор оператора $ \mathfrak{B} (\tau; \vartheta)$ для интервала $[0, s]$ и положим $\mathfrak{F} (\tau ; \vartheta ; s) \coloneqq F(\tau ; \vartheta ; s) \mathfrak{H}$. Фиксируем число $\delta \in (0, \kappa d^0 / 13)$ и выберем $\tau^0 > 0$, такое что
\begin{equation}
\label{abstr_tau0}
\tau^0 \le \delta^{1/2} \left((2 + c_1^2 + c_2) \| X_1 \|^2 + C(1) + c_3 + |\lambda| \| Q_0 \| \right)^{-1/2}.
\end{equation}

В \cite[предложение~1.5]{Su2010} установлено следующее утверждение.
\begin{proposition}[\cite{Su2010}]
	\label{abstr_[0,delta]_spec_prop}
    При $| \tau | \le \tau^0$ выполнено
    \begin{equation*}
    F(\tau; \vartheta; \delta) = F(\tau; \vartheta; 3 \delta), \quad \rank F(\tau; \vartheta; \delta) = n.
    \end{equation*}
\end{proposition}

Далее мы часто будем писать $F(\tau; \vartheta)$ вместо $F(\tau; \vartheta; \delta)$ и $\mathfrak{F}(\tau; \vartheta)$ вместо $\mathfrak{F}(\tau; \vartheta; \delta)$.

\subsubsection{Операторы $Z$ и $\widetilde Z$}
\label{abstr_Z_section}
Следуя \cite{Su2010, Su2013}, введём операторы, которые возникают при рассмотрениях в духе теории возмущений.

Обозначим $\EuScript{D} \coloneqq \Dom X_0 \cap \mathfrak{N}^{\perp}$. Так как $\lambda_0 = 0$~--- изолированное собственное значение в спектре $A_0$, то форма $(X_0 \varphi, X_0 \zeta), \varphi, \zeta \in \EuScript{D}$, определяет скалярное произведение в $\EuScript{D}$, превращая $\EuScript{D}$ в гильбертово пространство. Пусть $\omega \in \mathfrak{N}$. Рассмотрим уравнение на $\phi \in \EuScript{D}$:
\begin{equation*}
%\label{abstr_Z_eq}
X^*_0 (X_0 \phi + X_1 \omega) = 0,
\end{equation*}
которое понимается в слабом смысле:
\begin{equation*}
(X_0 \phi, X_0 \zeta )_{\mathfrak{H}_*} = -(X_1 \omega, X_0 \zeta )_{\mathfrak{H}_*}, \qquad \forall \zeta \in \EuScript{D}.
\end{equation*} 
Правая часть~--- антилинейный непрерывный функционал над $\zeta \in \EuScript{D}$, поэтому по теореме Рисса существует единственное решение $\phi = \phi (\omega)$. Кроме того, оно удовлетворяет оценке 
\begin{equation}
\label{abstr_X0_phi_est}
\| X_0 \phi (\omega) \|_{\mathfrak{H}_*} \le \| X_1 \omega \|_{\mathfrak{H}_*}.
\end{equation}
Поскольку 
\begin{equation}
\label{abstr_X0_Nperp_est}
\| X_0 \zeta \|_{\mathfrak{H}_*}^2 \ge d^0 \| \zeta \|_{\mathfrak{H}}^2 \ge 13 \delta \kappa^{-1} \| \zeta \|_{\mathfrak{H}}^2, \qquad \forall \zeta \in \EuScript{D}, 
\end{equation}
то в силу~(\ref{abstr_X0_phi_est})
\begin{equation}
\label{abstr_phi_est}
\| \phi (\omega) \|_{\mathfrak{H}} \le \kappa^{1/2} (13 \delta)^{-1/2} \| X_1 \omega \|_{\mathfrak{H}_*}.
\end{equation}

Введём оператор $Z \colon \mathfrak{H} \to \mathfrak{H}$ формулой
\begin{equation*}
Zu = \phi (P u), \qquad u \in \mathfrak{H}.
\end{equation*}
Из~(\ref{abstr_X0_phi_est}) и~(\ref{abstr_phi_est}) прямо вытекают оценки
\begin{gather}
\label{abstr_X0_Z_est}
\| X_0 Z \|_{\mathfrak{H} \to \mathfrak{H}_*} \le \|X_1\|, \\
\label{abstr_Z_est}
\| Z \|_{\mathfrak{H} \to \mathfrak{H}} \le \kappa^{1/2} (13 \delta)^{-1/2} \|X_1\|.
\end{gather}

Аналогично, рассмотрим уравнение на $\psi \in \EuScript{D}$ для заданного $\omega \in \mathfrak{N}$ :
\begin{equation*}
%\label{abstr_Z_tilde_eq}
X^*_0 X_0 \psi + Y^*_0 Y_2 \omega = 0, 
\end{equation*}
которое понимается в слабом смысле:
\begin{equation*}
(X_0 \psi, X_0 \zeta )_{\mathfrak{H}_*} = -(Y_2 \omega, Y_0 \zeta )_{\widetilde{\mathfrak{H}}}, \qquad \forall \zeta \in \EuScript{D}.
\end{equation*} 
В силу условия~(\ref{abstr_Y(t)_cond_eq}) правая часть~--- антилинейный непрерывный функционал от $\zeta \in \EuScript{D}$, поэтому по теореме Рисса существует единственное решение $\psi = \psi (\omega)$. Кроме того, оно удовлетворяет оценке 
\begin{equation}
\label{abstr_X0_psi_est}
\| X_0 \psi \|_{\mathfrak{H}_*} \le c_1 \|Y_2 \omega \|_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \le c_1 C(1)^{1/2} \| \omega \|_{\mathfrak{H}}.
\end{equation}
Последнее неравенство следует из~(\ref{abstr_Y2_cond_eq}) при $t = 0$ с $\nu = 1$. С учётом~(\ref{abstr_X0_Nperp_est}) отсюда вытекает неравенство
\begin{equation}
\label{abstr_psi_est}
\| \psi (\omega) \|_{\mathfrak{H}} \le c_1 (\kappa C(1))^{1/2} (13 \delta)^{-1/2} \| \omega \|_{\mathfrak{H}}.
\end{equation}
Введём оператор $\widetilde Z \colon \mathfrak{H} \to \mathfrak{H}$ формулой
\begin{equation*}
\widetilde Z u = \psi (P u), \qquad u \in \mathfrak{H}.
\end{equation*}
Из~(\ref{abstr_X0_psi_est}),~(\ref{abstr_psi_est}) прямо вытекают оценки
\begin{gather}
\label{abstr_X0_tildeZ_est}
\| X_0 \widetilde{Z} \|_{\mathfrak{H} \to \mathfrak{H}_*} \le c_1 C(1)^{1/2}, \\
\label{abstr_tildeZ_est}
\| \widetilde{Z} \|_{\mathfrak{H} \to \mathfrak{H}} \le c_1(\kappa C(1))^{1/2} (13 \delta)^{-1/2}.
\end{gather} 

\subsubsection{Операторы $R$ и $S$}
\label{abstr_R_S_section}

Определим оператор
\begin{equation}
\label{abstr_R}
R \coloneqq X_0 Z + X_1 \colon \mathfrak{N}  \to \mathfrak{N}_*.
\end{equation} 
Как было показано в \cite[гл.~1, п.~1.2]{BSu2003}, оператор $R$ также может быть определён формулой $R= P_*X_1 |_{\mathfrak{N}}.$
Следуя \cite[гл.~1, п.~1.3]{BSu2003}, назовём оператор $S \coloneqq R^* R \colon \mathfrak{N} \to \mathfrak{N}$ \emph{спектральным ростком} семейства $A(t)$ при $t=0$. Для ростка справедливо также представление
\begin{equation}
\label{abstr_S}
S = P X^*_1 P_* X_1 |_{\mathfrak{N}},
\end{equation}
откуда вытекает оценка
\begin{equation}
\label{abstr_S_est}
\| S \| \le \| X_1 \|^2.
\end{equation}

\subsubsection{Ветви собственных значений и собственных векторов оператора $\mathfrak{B} (\tau; \vartheta)$. Спектральный росток оператора $\mathfrak{B} (\tau; \vartheta)$}
\label{abstr_scrS_section}
Согласно общей аналитической теории возмущений (см. \cite{K}), при $| \tau | \le \tau^0$ существуют вещественно-аналитические (по $\tau$) функции $\lambda_l (\tau; \vartheta)$ (ветви собственных значений) и вещественно-аналитические $\mathfrak{H}$-значные функции $\varphi_l (\tau; \vartheta)$ (ветви собственных векторов), такие что
\begin{equation*}
%    \label{abstr_B_eigenvalues}
    \mathfrak{B} (\tau; \vartheta) \varphi_l (\tau; \vartheta) = \lambda_l (\tau; \vartheta) \varphi_l (\tau; \vartheta), \quad | \tau | \le \tau^0, \quad l = 1, \ldots , n,
\end{equation*}
причём $\varphi_l (\tau; \vartheta)$, $l = 1, \ldots , n$, образуют ортонормированный базис в $\mathfrak{F}(\tau; \vartheta)$. Для достаточно малого $\tau_*(\vartheta) \le \tau^0$ справедливы сходящиеся степенные разложения:
\begin{align}
    \label{abstr_B_eigenvalues_series}
    \qquad \quad \lambda_l (\tau; \vartheta) &= \gamma_l (\vartheta) \tau^2 + \mu_l (\vartheta) \tau^3 + \ldots , & &\gamma_l (\vartheta) > 0, \; | \tau | \le \tau_*(\vartheta), \qquad \qquad  \\
    \label{abstr_B_eigenvectors_series}
    \varphi_l (\tau; \vartheta) &= \omega_l (\vartheta)+ \tau \varphi^{(1)}_l (\vartheta) +  \ldots, & &| \tau | \le \tau_*(\vartheta).
\end{align}
Векторы $\omega_l (\vartheta)$, $l=1, \ldots ,n$, образуют ортонормированный базис в $\mathfrak{N}$.

Следуя \cite{Su2010}, введём оператор
\begin{multline*}
    \EuScript{S} (\vartheta) = \vartheta^2_1 S - \vartheta_1 \vartheta_2 (X_0 Z)^* (X_0 \widetilde Z)|_{\mathfrak{N}} - \vartheta_1 \vartheta_2 (X_0 \widetilde Z)^* (X_0 Z)|_{\mathfrak{N}} - \\
    - \vartheta^2_2 (X_0 \widetilde Z)^* (X_0 \widetilde Z)|_{\mathfrak{N}} + \vartheta_1 \vartheta_2 P (Y_2^* Y_1 + Y^*_1 Y_2) |_{\mathfrak{N}} + 
    \vartheta^2_2 (Q_\mathfrak{N} + \lambda Q_{0 \mathfrak{N}}),
\end{multline*}
который называется \emph{спектральным ростком семейства $\mathfrak{B} (\tau; \vartheta)$ при $\tau = 0$}. Здесь $Q_\mathfrak{N}$~--- самосопряжённый оператор, порождённый квадратичной формой $\mathfrak{q}[\omega, \omega]$, $\omega \in \mathfrak{N}$, а $Q_{0 \mathfrak{N}} \coloneqq P Q_0 |_{\mathfrak{N}}$.

Как показано в \cite[предложение~1.6]{Su2010}, числа $\gamma_l (\vartheta)$ и векторы $\omega_l (\vartheta)$ являются собственными для $\EuScript{S} (\vartheta)$:
\begin{equation}
%    \label{abstr_S_eigenvalues}
    \EuScript{S} (\vartheta) \omega_l (\vartheta) = \gamma_l (\vartheta) \omega_l (\vartheta), \qquad l = 1, \ldots , n.
\end{equation}
Имеют место представления
\begin{gather}
\label{abstr_P_repr}
P = \sum_{l=1}^{n} (\cdot, \omega_l (\vartheta))_\mathfrak{H}\omega_l (\vartheta),
\\
\label{abstr_scrSP_repr}
\EuScript{S} (\vartheta) P = \sum_{l=1}^{n} \gamma_l (\vartheta) (\cdot, \omega_l (\vartheta))_\mathfrak{H}\omega_l (\vartheta).
\end{gather}

Оценим норму оператора $\EuScript{S} (\vartheta)$, используя~(\ref{abstr_X0_Z_est}),~(\ref{abstr_X0_tildeZ_est}),~(\ref{abstr_S_est}),~(\ref{abstr_Y2_cond_eq}) при $t = 0$ и $\nu = 1$, а также~(\ref{abstr_q_cond_eq}) при $t = 0$:
\begin{equation}
    \label{abstr_scrS_est}
    \| \EuScript{S} (\vartheta) \|_{\mathfrak{N} \to \mathfrak{N}} \le \| X_1 \|^2 + 2 c_1 C(1)^{1/2} \| X_1 \| + c_1^2 C(1) + 2 C(1)^{1/2} \| Y_1 \| + c_3 + | \lambda | \| Q_0 \| \eqqcolon C_\EuScript{S}.
\end{equation}

В заключение этого пункта введём оператор
\begin{multline}
\label{abstr_L(t,eps)}
L(t, \varepsilon) \coloneqq \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta) = t^2 S - t \varepsilon \left( (X_0 Z)^* (X_0 \widetilde Z) |_{\mathfrak{N}} +  (X_0 \widetilde Z)^* (X_0 Z)|_{\mathfrak{N}} \right) + \\ + t \varepsilon P (Y_2^* Y_1 + Y^*_1 Y_2) |_{\mathfrak{N}} + 
\varepsilon^2 \left( - (X_0 \widetilde Z)^* (X_0 \widetilde Z)|_{\mathfrak{N}} + Q_\mathfrak{N} + \lambda Q_{0 \mathfrak{N}} \right).
\end{multline}

\subsubsection{Пороговые аппроксимации}

Спектральный проектор $F( \tau ; \vartheta)$ и оператор $\mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta) F( \tau ; \vartheta)$ являются вещественно аналитическими оператор-функциями при $|\tau| \le \tau^0$. При $|\tau| \le \tau^0$ можно записать
\begingroup
\allowdisplaybreaks
\begin{gather*}
    F( \tau ; \vartheta) = \sum_{l=1}^{n} (\cdot, \varphi_l (\tau; \vartheta))\varphi_l (\tau; \vartheta), \\
    \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta) F( \tau ; \vartheta) = \sum_{l=1}^{n} \lambda_l (\tau; \vartheta)  (\cdot, \varphi_l (\tau; \vartheta))\varphi_l (\tau; \vartheta).
\end{gather*}
\endgroup
С учётом~(\ref{abstr_B_eigenvalues_series})--(\ref{abstr_scrSP_repr}) отсюда следуют степенные разложения $F( \tau ; \vartheta) = P + \tau F_1(\vartheta) + \ldots$, $\mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta) F( \tau ; \vartheta) = \tau^2 \EuScript{S}(\vartheta)  P + \tau^3 \mathcal{K} (\vartheta) + \ldots$ , сходящиеся при $|\tau| \le \tau_*(\vartheta)$. Однако, нам нужны не разложения, а лишь аппроксимации (с одним или несколькими первыми членами), но с оценками погрешности на контролируемом промежутке $|\tau| \le \tau^0$.

Следующее утверждение было получено в~\cite[теорема~2.2]{Su2010}. Договоримся ниже через $\beta_j$ обозначать абсолютные константы (значения которых допускают явный контроль), причём считаем $\beta_j \ge 1$.
\begin{thrm}[\cite{Su2010}]
Справедливы оценки
\begin{align}
    \label{abstr_F_threshold}
    F( \tau ; \vartheta) - P &= \Phi( \tau ; \vartheta), & \| \Phi( \tau ; \vartheta) \| &\le C_1 | \tau |, & | \tau | &\le  \tau^0; \\
    \label{abstr_B_threshold_1}
    \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta) F( \tau ; \vartheta) - \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta) P &= \Psi( \tau ; \vartheta), & \| \Psi( \tau ; \vartheta) \| &\le C_2 | \tau |^3, & | \tau | &\le  \tau^0.
\end{align}
Константы $C_1$, $C_2$ имеют вид:
\begin{equation}
    \label{abstr_C1_C2}
    \begin{split}
        C_1 &= \beta_1 \kappa^{-1/2} C'_3, \\
        C_2 &= \beta_2 \delta \kappa^{-1/2} \left( (C'_1)^2 C'_3   + C'_1 C'_2  + C'_2 C'_3 \right),
    \end{split}	
\end{equation}
где
\begin{align*}
C'_1 &= \max\{2 + c_1^2, (\| X_1 \|^2 + C(1)) \delta^{-1} \},\\
C'_2 &= \max \{c_2 + 1, (\| X_1 \|^2 + \| Y_1 \|^2 + C(1) + c_3 + |\lambda| \|Q_0\| ) \delta^{-1} \},\\ C'_3 &= C'_1 + \tau^0 C'_2.
\end{align*} 
\end{thrm}

Нам понадобится также более точная аппроксимация, найденная в~\cite[теорема~3.3]{Su2013}.
\begin{thrm}[\cite{Su2013}] 
	Справедливы представление
    \begin{equation}
        \label{abstr_B_threshold_2}
        \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta) F( \tau ; \vartheta) = \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta) P + \tau^3 K (\vartheta) + \Psi_2 ( \tau ; \vartheta), \qquad |\tau| \le \tau^0,
    \end{equation}
    и оценка
    \begin{equation}
    \label{abstr_Psi2_est}
        \| \Psi_2 ( \tau ; \vartheta) \| \le C_3 \tau^4,\qquad |\tau| \le \tau^0. 
    \end{equation}
    Оператор $K(\vartheta)$ определён ниже соотношениями~\emph{(\ref{abstr_K_K0_N})--(\ref{abstr_N22})}. Постоянная $C_3$ имеет вид
    \begin{equation*}
 %   \label{abstr_C3}
    C_3 = \beta_3 \delta \kappa^{-1/2} \left( (C'_1)^3 C'_3 + (C'_1)^2 C'_2 + C'_1 C'_2 C'_3 + (C'_2)^2 \right).
    \end{equation*}
\end{thrm}
Как показано в~\cite[п.~3.4]{Su2013} 
\begin{equation}
    \label{abstr_K_K0_N}
    K(\vartheta) = K_0(\vartheta) + N(\vartheta),
\end{equation}
где $K_0(\vartheta)$ переводит $\mathfrak{N}$ в $\mathfrak{N}^{\perp}$ и $\mathfrak{N}^{\perp}$ в $\mathfrak{N}$, а $N(\vartheta)$ переводит $\mathfrak{N}$ в себя и $\mathfrak{N}^{\perp}$ в $\{ 0 \}$. В терминах коэффициентов степенных разложений операторы $K_0(\vartheta)$ и $N(\vartheta)$ имеют вид
\begin{gather*}
    K_0(\vartheta) = \sum_{l=1}^{n} \gamma_l(\vartheta) \left( (\cdot, \omega_l (\vartheta)) (\vartheta_1 Z \omega_l (\vartheta) + \vartheta_2 \widetilde{Z} \omega_l (\vartheta)) + (\cdot, \vartheta_1 Z \omega_l (\vartheta) + \vartheta_2 \widetilde{Z} \omega_l (\vartheta))  \omega_l(\vartheta) \right), \\
    N(\vartheta) = \sum_{l=1}^{n} \mu_l(\vartheta) (\cdot, \omega_l(\vartheta)) \omega_l(\vartheta) + \sum_{l=1}^{n} \gamma_l(\vartheta) \bigl( (\cdot, \widetilde{\omega}_l(\vartheta)) \omega_l(\vartheta) + (\cdot, \omega_l(\vartheta)) \widetilde{\omega}_l(\vartheta)\bigr),
\end{gather*}
где $\widetilde{\omega}_l(\vartheta) = P \varphi^{(1)}_l (\vartheta)$.
В инвариантных терминах справедливы представления
\begin{equation}
    \label{abstr_F1_K0_N_invar}
    \begin{aligned}
        K_0(\vartheta) = \vartheta_1 \bigl(Z \EuScript{S}(\vartheta) P + \EuScript{S}(\vartheta) P Z^*\bigl) &+ \vartheta_2 \bigl( \widetilde{Z} \EuScript{S}(\vartheta) P + \EuScript{S}(\vartheta) P \widetilde{Z}^* \bigr), \\
        N(\vartheta) = \vartheta_1^3 N_{11} + \vartheta_1^2 \vartheta_2 N_{12} &+ \vartheta_1 \vartheta_2^2 N_{21} +\vartheta_2^3 N_{22},
    \end{aligned}
\end{equation}
где
\begin{align}
\label{abstr_N11}
&N_{11} = (X_1 Z)^* R P + (R P)^* X_1 Z,
\\
&%\label{abstr_N_12}
\begin{aligned}
N_{12} = (X_1 \widetilde{Z})^* R P + (R P)^* X_1 \widetilde{Z} &+ (X_1 Z)^* X_0 \widetilde{Z} + \\ + (X_0 \widetilde{Z})^* X_1 Z + (Y_2 &Z)^* Y_0 Z + (Y_0 Z)^* Y_2 Z + \\ + (Y_2 Z)^* &Y_1 P + (Y_1 P)^* Y_2 Z + (Y_2 P)^* Y_1 Z + (Y_1 Z)^* Y_2 P,
\end{aligned}
\\
\label{abstr_N21}
&\begin{aligned}
N_{21} = (X_0 \widetilde{Z})^* X_1 \widetilde{Z} + (X_1 \widetilde{Z})^* X_0 \widetilde{Z} + &(Y_2 Z)^* Y_0 \widetilde{Z} + \\ + (Y_0 \widetilde{Z})^* Y_2 Z + (Y_2 \widetilde{Z})^* Y_0 &Z + (Y_0 Z)^* Y_2 \widetilde{Z} + (Y_2 \widetilde{Z})^* Y_1 P + \\ + (Y_1 P)^* Y_2 \widetilde{Z} + &(Y_1 \widetilde{Z})^* Y_2 P + (Y_2 P)^* Y_1 \widetilde{Z} + \\ + &Z^* Q P + P Q Z + \lambda (Z^* Q_0 P + P Q_0 Z),
\end{aligned}
\\
\label{abstr_N22}
 &N_{22} = (Y_0 \widetilde{Z})^* Y_2 \widetilde{Z} + (Y_2 \widetilde{Z})^* Y_0 \widetilde{Z} + \widetilde{Z}^* Q P + P Q \widetilde{Z} + \lambda (\widetilde{Z}^* Q_0 P + P Q_0 \widetilde{Z}).
\end{align}
Поясним, что в~(\ref{abstr_N21}) под формальной записью $Z^*QP + PQZ$ подразумевается ограниченный самосопряжённый оператор в $\mathfrak{H}$, порождённый формой
\begin{equation*}
\mathfrak{q}[Pu,Zu] + \mathfrak{q}[Zu,Pu], \qquad u \in \mathfrak{H}.
\end{equation*}
Аналогично в~(\ref{abstr_N22}) под $\widetilde{Z}^*QP + PQ\widetilde{Z}$ понимается  ограниченный самосопряжённый оператор в $\mathfrak{H}$, порождённый формой
\begin{equation*}
\mathfrak{q}[Pu,\widetilde{Z}u] + \mathfrak{q}[\widetilde{Z}u,Pu], \qquad u \in \mathfrak{H}.
\end{equation*} 

Отметим также оценки (см.~\cite[п.~3.5]{Su2013})
\begin{align}
	\label{abstr_N11_est}
    &\begin{aligned}
    \|N_{11}\| \le 2 \kappa^{1/2} (13 \delta)^{-1/2} \|X_1\|^3,
    \end{aligned}
    \\
    &\begin{aligned}
    \|N_{12}\| \le 2 (\kappa C(1))^{1/2} (13 \delta)^{-1/2} \|X_1\| (2 &c_1 \|X_1\| + \|Y_1\|) + \\ &+ 2(1 + \kappa(13 \delta)^{-1} C(1))^{1/2} \|X_1\|(c_1 \|X_1\| + \|Y_1\|),
    \end{aligned}
    \\
    &\begin{aligned}
    \|N_{21}\| \le 2 \kappa^{1/2} (13 \delta)^{-1/2} (c_1^2 C(1) \|X_1\| + c_1 C(1) \|Y_1\| + |\lambda| \|&Q_0\| \|X_1\|) + \\ +
    2 (1 + \kappa (13 \delta)^{-1} C(1))^{1/2} c_1 &C(1)^{1/2} (2c_1 \|X_1\| + \|Y_1\|) + \\ &+ 2c_3^{1/2} \|X_1\| (c_2 + c_3 \kappa (13 \delta)^{-1})^{1/2},
    \end{aligned}
    \\
    \label{abstr_N22_est}
    &\begin{aligned}
    \|N_{22}\| \le 2 c_1^3 C(1) (1 + \kappa (13 \delta)^{-1} C(1) )^{1/2} +  2 c_3^{1/2} c_1 C(1)^{1/2} (&c_2 + c_3 \kappa (13 \delta)^{-1})^{1/2} + \\ &+ 2 c_1 (\kappa C(1))^{1/2} (13 \delta)^{-1/2} |\lambda| \|Q_0\|.
    \end{aligned}
\end{align}
В дальнейшем главную роль будет играть оператор $N_{11}$.

\subsection{Пороговые аппроксимации для оператора $e^{-i s \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)} P$}
\subsubsection{Приближение для экспоненты $e^{-i s \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)} P$}

Наша цель в этом пункте~--- приблизить оператор $e^{-i s \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)}$ при $s \in \mathbb{R}$ оператором $e^{-i s \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta)P} P$, считая, что $|\tau| \le \tau^0$. 

Рассмотрим оператор
\begin{equation}
\label{abstr_E}
E (\tau; \vartheta; s) \coloneqq e^{-i s \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)} P - e^{-i s \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta)P} P.
\end{equation}
Имеем
\begin{gather}
\label{abstr_E_E1_E2}    
E (\tau; \vartheta; s) = E_1 (\tau; \vartheta; s) + E_2 (\tau; \vartheta; s), \\
\label{abstr_E1}
E_1 (\tau; \vartheta; s) = e^{-i s \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)} F(\tau; \vartheta)^{\perp} P - F(\tau; \vartheta)^{\perp} e^{-i s \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta) P} P, \\
\label{abstr_E2}
E_2 (\tau; \vartheta; s) = e^{-i s \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)} F(\tau; \vartheta) P - F(\tau; \vartheta) e^{-i s \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta) P} P.
\end{gather}
Поскольку $F(\tau; \vartheta)^{\perp} P = (P - F(\tau; \vartheta))P$, то из~(\ref{abstr_F_threshold}) вытекает оценка оператора~(\ref{abstr_E1}):
\begin{equation}
\label{abstr_E1_est}
\| E_1 (\tau; \vartheta; s) \| \le 2 C_1 |\tau|, \qquad |\tau| \le \tau^0.
\end{equation}

Перейдём к рассмотрению оператора~(\ref{abstr_E2}), который запишем как
\begin{gather}
\label{abstr_E2_Sigma}
E_2 (\tau; \vartheta; s) = e^{-i s \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)} \Sigma (\tau; \vartheta; s), \\
\notag
\Sigma (\tau; \vartheta; s) \coloneqq F(\tau; \vartheta) P - e^{i s \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)} F(\tau; \vartheta) e^{-i s \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta)P} P.
\end{gather}
Видно, что $\Sigma (\tau; \vartheta; 0) = 0$ и
\begin{equation}
\label{abstr_Sigma'}
\Sigma'(\tau; \vartheta; s) \coloneqq 	\frac {d \Sigma} {d s} (\tau; \vartheta; s) = -i e^{i s \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)} F(\tau; \vartheta) \left( \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta) F(\tau; \vartheta) - \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta) P \right) e^{-i s \tau^2 \EuScript{S}  (\vartheta) P} P.
\end{equation}
Поскольку $\Sigma (\tau; \vartheta; s) = \int_{0}^{s} \Sigma'(\tau; \vartheta; \tilde{s}) \, d \tilde{s}$, из~(\ref{abstr_B_threshold_1}) и~(\ref{abstr_Sigma'}) следует оценка
\begin{equation}
\label{abstr_Sigma_est}
\| \Sigma (\tau; \vartheta; s) \| \le C_2 |s| |\tau|^3, \qquad |\tau| \le \tau^0.
\end{equation}

Соотношения~(\ref{abstr_E}),~(\ref{abstr_E_E1_E2}),~(\ref{abstr_E1_est}),~(\ref{abstr_E2_Sigma}) и~(\ref{abstr_Sigma_est}) влекут следующий результат.
\begin{thrm}
    \label{abstr_exp_thrm1_wo_eps}
    При $s \in \mathbb{R}$ справедлива оценка
    \begin{equation}
    \label{abstr_exp_thrm1_wo_eps_est}
    \| e^{-i s \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)} P - e^{-i s \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta)P} P \| \le 2 C_1 |\tau| + C_2 |s| |\tau|^3, \qquad |\tau| \le \tau^0.
    \end{equation}
    Число $\tau^0$ подчинено~\emph{(\ref{abstr_tau0})}, а постоянные $C_1$, $C_2$ определены в~\emph{(\ref{abstr_C1_C2})}.
\end{thrm}

Мы проведём более кропотливые рассмотрения, которые позволят нам усилить результат при дополнительных предположениях. Подставляя~(\ref{abstr_B_threshold_2}) в~(\ref{abstr_Sigma'}), получаем
\begin{equation}
\label{abstr_Sigma}
\Sigma (\tau; \vartheta; s) = -i \int\limits_0^{s} e^{i \tilde{s} \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)} F(\tau; \vartheta) ( \tau^3 K (\vartheta) + \Psi_2 ( \tau ; \vartheta))  e^{-i \tilde{s} \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta)P} P \, d \tilde{s}.
\end{equation}
Учитывая~(\ref{abstr_K_K0_N}), (\ref{abstr_F1_K0_N_invar}), а также соотношения $Z^* P = 0$ и $\widetilde{Z}^* P = 0$, запишем оператор~(\ref{abstr_Sigma}) в виде
\begin{gather}
\label{abstr_Sigma_tildeSigma_hatSigma}
\Sigma (\tau; \vartheta; s) = \widetilde{\Sigma} (\tau; \vartheta; s) + \widehat{\Sigma} (\tau; \vartheta; s),\\
\label{abstr_tildeSigma}
\widetilde{\Sigma} (\tau; \vartheta; s) = -i \int\limits_0^{s} e^{i \tilde{s} \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)} F(\tau; \vartheta) ( \tau^3 \vartheta_1 Z \EuScript{S}(\vartheta) + \tau^3 \vartheta_2  \widetilde{Z} \EuScript{S}(\vartheta)  + \Psi_2 ( \tau ; \vartheta))  e^{-i \tilde{s} \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta)P} P \, d \tilde{s}, \\
\notag
\widehat{\Sigma} (\tau; \vartheta; s) =  -i \tau^3 \int\limits_0^{s} e^{i \tilde{s} \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)} F(\tau; \vartheta) ( \vartheta_1^3 N_{11} + \vartheta_1^2 \vartheta_2 N_{12} + \vartheta_1 \vartheta_2^2 N_{21} +\vartheta_2^3 N_{22})  e^{-i \tilde{s} \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta)P} P \, d \tilde{s}.
\end{gather}
Поскольку $P Z = 0$ и $P \widetilde{Z} = 0$, то 
\begin{equation*}
F(\tau; \vartheta) Z \EuScript{S}(\vartheta) P = (F(\tau; \vartheta) - P ) Z \EuScript{S}(\vartheta) P, \quad F(\tau; \vartheta) \widetilde{Z} \EuScript{S}(\vartheta) P = (F(\tau; \vartheta) - P ) \widetilde{Z} \EuScript{S}(\vartheta) P.
\end{equation*}
Тогда из~(\ref{abstr_Z_est}), (\ref{abstr_tildeZ_est}), (\ref{abstr_scrS_est}), (\ref{abstr_F_threshold}), (\ref{abstr_Psi2_est}) следует оценка для оператора~(\ref{abstr_tildeSigma}):
\begin{equation}
\label{abstr_tildeSigma_est}
\| \widetilde{\Sigma} (\tau; \vartheta; s)\| \le C_4 | s | \tau^4, \qquad |\tau| \le \tau^0,
\end{equation}
с постоянной
\begin{equation}
\label{abstr_C4}
C_4 = \kappa^{1/2} (13 \delta)^{-1/2} \left( \|X_1\| + c_1 C(1)^{1/2} \right) C_1 C_\EuScript{S} + C_3.
\end{equation}


Теперь из~(\ref{abstr_E2_Sigma}) и~(\ref{abstr_Sigma_tildeSigma_hatSigma}) вытекает представление
\begin{equation}
\label{abstr_E2_tildeE2_hatE2}
E_2 (\tau; \vartheta; s) = \widetilde{E}_2 (\tau; \vartheta; s) + \widehat{E}_2 (\tau; \vartheta; s),
\end{equation}
где $\widetilde{E}_2 (\tau; \vartheta; s) = e^{-i s \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)} \widetilde{\Sigma} (\tau; \vartheta; s)$, $\widehat{E}_2(\tau; \vartheta; s) = e^{-i s \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)} \widehat{\Sigma} (\tau; \vartheta; s)$. В силу (\ref{abstr_tildeSigma_est})
\begin{equation}
\label{abstr_tildeE2_est}
\| \widetilde{E}_2(\tau; \vartheta; s) \| \le C_4 | s | \tau^4, \qquad |\tau| \le \tau^0.
\end{equation}

В итоге соотношения~(\ref{abstr_E}), (\ref{abstr_E_E1_E2}), (\ref{abstr_E1_est}), (\ref{abstr_E2_tildeE2_hatE2}), (\ref{abstr_tildeE2_est}) приводят к следующему результату.
\begin{thrm}
    \label{abstr_exp_thrm2_wo_eps}
    При $s \in \mathbb{R}$ и $|\tau| \le \tau^0$ справедливо представление
    \begin{equation*}
    e^{-i s \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)} P - e^{-i s \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta)P} P = E_1 (\tau; \vartheta; s) + \widetilde{E}_2(\tau; \vartheta; s) + \widehat{E}_2(\tau; \vartheta; s),
    \end{equation*}
    где первые два слагаемых допускают оценки~\emph{(\ref{abstr_E1_est})} и~\emph{(\ref{abstr_tildeE2_est})} соответственно. Третий член допускает представление
    \begin{multline*}
%    \label{hatE2}
    \widehat{E}_2 (\tau; \vartheta; s) = \\ = -i \tau^3 e^{-i s \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)} \int\limits_0^{s} e^{i \tilde{s} \mathfrak{B} ( \tau ; \vartheta)} F(\tau; \vartheta) ( \vartheta_1^3 N_{11} + \vartheta_1^2 \vartheta_2 N_{12} + \vartheta_1 \vartheta_2^2 N_{21} +\vartheta_2^3 N_{22})  e^{-i \tilde{s} \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta)P} P \, d \tilde{s},
    \end{multline*}
    где операторы $N_{11}$, $N_{12}$, $N_{21}$, $N_{22}$ определены в~\emph{(\ref{abstr_N11})}--\emph{(\ref{abstr_N22})}.
\end{thrm}

\subsection{Приближение для оператора $e^{-i s \varepsilon^{-2} \mathfrak{B}(t, \varepsilon)}$}
\label{abstr_exp_thrm_section}
\subsubsection{Аппроксимация оператора $e^{-i s \varepsilon^{-2} \mathfrak{B}(t, \varepsilon)}P$ в общем случае}

Исследуем поведение оператора $e^{-i s \varepsilon^{-2} \mathfrak{B} ( \tau, \vartheta)}$ при малом $\varepsilon$. Домножим этот оператор на \textquotedblleft сглаживающий множитель\textquotedblright \ $\varepsilon^r (t^2 + \varepsilon^2)^{-r/2}P$, где $r > 0$. (Термин объясняется тем, что в приложениях к дифференциальным операторам такое домножение переходит в сглаживание.) Наша цель~--- получить аппроксимацию сглаженного оператора с оценкой погрешности порядка $O (\varepsilon)$ при минимально возможном $r$.

Пусть $|\tau| \le \tau^0$. Применим теорему~\ref{abstr_exp_thrm1_wo_eps}. В силу~(\ref{abstr_exp_thrm1_wo_eps_est}) (с заменой $s$ на $\varepsilon^{-2} s$) имеем
\begin{multline}
\| e^{-i s \varepsilon^{-2} \mathfrak{B} ( t , \varepsilon)} P - e^{-i s \varepsilon^{-2} L( t , \varepsilon)P} P\| \varepsilon^3 (t^2 + \varepsilon^2)^{-3/2} \le \\ \le (2C_{1}|\tau| + C_{2} \varepsilon^{-2}  |s| |\tau|^3) \varepsilon^3 |\tau|^{-3} \le (2C_{1} + C_{2}|s|) \varepsilon.
\end{multline}
Здесь пришлось взять $r = 3$. Мы приходим к следующему результату.

\begin{thrm}
	\label{abstr_exp_general_thrm}
	При $s \in \mathbb{R}$ и $|\tau| \le \tau^0$ справедлива оценка
	\begin{equation*}
	\| e^{-i s \varepsilon^{-2} \mathfrak{B} ( t , \varepsilon)} P - e^{-i s \varepsilon^{-2} L( t , \varepsilon)P} P\| \varepsilon^3 (t^2 + \varepsilon^2)^{-3/2} \le  (2C_{1} + C_{2}|s|) \varepsilon.
	\end{equation*}
	Число $\tau^0$ подчинено~\emph{(\ref{abstr_tau0})}, а постоянные $C_{1}$, $C_{2}$ определены в~\emph{(\ref{abstr_C1_C2})}.
\end{thrm}

\subsubsection{Улучшение аппроксимации оператора $e^{-i s \varepsilon^{-2} \mathfrak{B}(t, \varepsilon)}P$  при дополнительных предположениях}

Теорема~\ref{abstr_exp_thrm2_wo_eps} позволяет усилить результат теоремы~\ref{abstr_exp_general_thrm} в случае, когда $N_{11} = 0$.
\begin{thrm}
	\label{abstr_exp_enchcd_thrm}
	Пусть оператор $N_{11}$, определённый в~\emph{(\ref{abstr_N11})}, равен нулю\emph{:} $N_{11} = 0$. Тогда при $s \in \mathbb{R}$ и $|\tau| \le \tau^0$ справедлива оценка
	\begin{equation} 
	\label{abstr_exp_enchcd_thrm_est}    
	\| e^{-i s \varepsilon^{-2} \mathfrak{B} ( t, \varepsilon)} P - e^{-i s \varepsilon^{-2} L( t, \varepsilon)P} P \| \varepsilon^{2} (t^2 + \varepsilon^2)^{-1} \le  (2C_1 + C_6|s|) \varepsilon. 
	\end{equation}    
	Здесь $C_6 =  2C_4 + \frac{5}{2} C_5$, а постоянные $C_{4}$ и $C_{5}$ определены в~\emph{(\ref{abstr_C4})}, \emph{(\ref{abstr_C5})}.
\end{thrm}
\begin{proof}
	Заметим, что при $|t| \ge \sqrt{\varepsilon}$ выполнено $\varepsilon^{2} (t^2 + \varepsilon^2)^{-1} \le \varepsilon$. Поэтому левая часть в~(\ref{abstr_exp_enchcd_thrm_est}) не превосходит $2 \varepsilon$.
	Таким образом, достаточно считать, что $|t| < \sqrt{\varepsilon}$. Воспользуемся теоремой~\ref{abstr_exp_thrm2_wo_eps} с заменой $s$ на $\varepsilon^{-2} s$. Тогда при $|t| < \sqrt{\varepsilon}$ имеет место оценка
	\begin{multline*}
	\| e^{-i s \varepsilon^{-2} \mathfrak{B} ( t, \varepsilon)} P - e^{-i s \varepsilon^{-2} L( t, \varepsilon)P} P\| \varepsilon^2 (t^2 + \varepsilon^2)^{-1} \le \\ \le \left( 2 C_{1}|\tau| + C_{4} \varepsilon^{-2} |s| \tau^4 + C_5 \varepsilon^{-2} |s| (t^2 \varepsilon + |t| \varepsilon^2 + \varepsilon^3) \right) \varepsilon^{2} (t^2 + \varepsilon^2)^{-1} \le \\ \le \left(2C_{1} + 2C_{4} |s| + \tfrac{5}{2} C_5 |s|\right) \varepsilon
	\end{multline*}
	с константой
	\begin{equation}
	 \label{abstr_C5}
	   C_5 = \max\{\|N_{12}\|,\|N_{21}\|,\|N_{22}\|\}.
	\end{equation}
	
	Отсюда вытекает утверждение теоремы.
\end{proof}

\begin{remark}
	\label{abstr_problem_data_remark}
	Мы отследили зависимость констант $C_1$, $C_2$, $C_6$ от параметров задачи в теоремах~\emph{\ref{abstr_exp_general_thrm}} и~\emph{\ref{abstr_exp_enchcd_thrm}}. Они оцениваются многочленами от $\delta$, $\delta^{-1/2}$, $\kappa^{1/2}$, $\kappa^{-1/2}$, $\|X_1\|$, $\|Y_1\|$, $c_1$, $C(1)^{1/2}$, $c_2^{1/2}$, $c_3^{1/2}$, $|\lambda| \|Q_0\|$ и $\tau^0$. Коэффициенты многочленов~--- некоторые абсолютные положительные константы.  
\end{remark}

\subsection{Подтверждение точности результата}

\subsubsection{Параметр $\varkappa$}

Рассмотрим операторный пучок~(\ref{abstr_B(t,eps)}) при наличии связи между параметрами $t = c \varepsilon^{2/3}$, $c > 0$. Введём параметр $\varkappa = \varepsilon^{1/3}$. Оператор $\mathfrak{B}(t,\varepsilon)$ будем обозначать $\mathfrak{B}(\varkappa)$. Формальная структура оператора $\mathfrak{B}(\varkappa)$ такова:
\begin{multline*}
%\label{abstr_B(kappa)}
\mathfrak{B} (\varkappa) = X^*_0 X_0 + c \varkappa^2 (X_0^* X_1 + X_1^* X_0)+ c^2 \varkappa^4 X_1^* X_1 + \varkappa^3 (Y_2^* Y_0 + Y^*_0 Y_2) + \\ + c \varkappa^5 (Y_2^* Y_1 + Y^*_1 Y_2) + \varkappa^6 (Q + \lambda Q_0).
\end{multline*}
 Заметим, что согласно своему определению параметр $\varkappa$ неотрицателен, но оператор $\mathfrak{B}(\varkappa)$ можно рассматривать при всех $\varkappa \in \mathbb{R}$, что и подразумевается ниже. Выберем число $\varkappa_0 = \varkappa_0(c) > 0$, так что $\sqrt{c^2 \varkappa_0^4 + \varkappa_0^6} < \tau^0$. Тогда согласно общей аналитической теории возмущений при $|\varkappa| \le \varkappa_0$ существуют вещественно-аналитические функции $\lambda_l (\varkappa)$ (ветви собственных значений) и вещественно-аналитические $\mathfrak{H}$-значные функции $\varphi_l (\varkappa)$ (ветви собственных векторов), такие что
\begin{equation}
\label{abstr_B_kappa_eigenvalues_eigenvectors}
\mathfrak{B} (\varkappa) \varphi_l (\varkappa) = \lambda_l (\varkappa) \varphi_l (\varkappa), \quad | \varkappa | \le \varkappa_0, \quad l = 1, \ldots , n,
\end{equation}
причём $\varphi_l (\varkappa)$,  $l = 1, \ldots , n$, образуют ортонормированный базис в $F(\varkappa) \mathfrak{H}$. Здесь мы обозначили через $F(\varkappa)$ спектральный проектор оператора $ \mathfrak{B} (\varkappa)$ для интервала $[0, \delta]$. Для достаточно малого $\varkappa_* = \varkappa_*(c) \le \varkappa_0$ справедливы сходящиеся степенные разложения:
\begin{align}
\label{abstr_B_kappa_eigenvalues_series}
 \lambda_l (\varkappa) &= \lambda_l^{(2)} \varkappa^2 + \lambda_l^{(3)} \varkappa^3 + \lambda_l^{(4)} \varkappa^4 + \lambda_l^{(5)} \varkappa^5 + \lambda_l^{(6)} \varkappa^6  + \ldots , & &| \varkappa | \le \varkappa_*,   \\
\label{abstr_B_kappa_eigenvectors_series}
\varphi_l (\varkappa) &= \omega_l + \varkappa \varphi_l^{(1)} + \varkappa^2 \varphi_l^{(2)} + \varkappa^3 \varphi_l^{(3)} + \varkappa^4 \varphi_l^{(4)} + \varkappa^5 \varphi_l^{(5)} + \ldots, & &| \varkappa | \le \varkappa_*.
\end{align}
Векторы $\omega_l$, $l=1,  \ldots ,n$, образуют ортонормированный базис в $\mathfrak{N}$.

Запишем~(\ref{abstr_B_kappa_eigenvalues_eigenvectors}) как тождество для форм:
\begin{multline*}
(X_0 \varphi_l (\varkappa), X_0 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} + c \varkappa^2 \bigl( (X_0 \varphi_l (\varkappa), X_1 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} + (X_1 \varphi_l (\varkappa), X_0 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} \bigr) + c^2 \varkappa^4 (X_1 \varphi_l (\varkappa), X_1 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} +\\ + \varkappa^3 \bigl( (Y_0 \varphi_l (\varkappa), Y_2 \zeta)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_2 \varphi_l (\varkappa), Y_0 \zeta)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \bigr) +   c \varkappa^5 \bigl( (Y_1 \varphi_l (\varkappa), Y_2 \zeta)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_2 \varphi_l (\varkappa), Y_1 \zeta)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \big) +\\ + \varkappa^6 \bigl( \mathfrak{q}[\varphi_l (\varkappa), \zeta] + \lambda (Q_0\varphi_l (\varkappa), \zeta)_{\mathfrak{H}}  \bigr) = \lambda_l (\varkappa) (\varphi_l (\varkappa), \zeta)_{\mathfrak{H}}, \qquad \forall \zeta \in \Dom X_0.
\end{multline*}
Подставим сюда  ряды~(\ref{abstr_B_kappa_eigenvalues_series}),  (\ref{abstr_B_kappa_eigenvectors_series}) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $\varkappa$. Имеем:
\begin{flalign}
	\label{abstr_kappa^0_eq}
	&\varkappa^0:  & &(X_0 \omega_l, X_0 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} = 0, \qquad  \zeta \in \Dom X_0, &\\
	\label{abstr_kappa^1_eq}
	&\varkappa^1: & &(X_0 \varphi_l^{(1)}, X_0 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} = 0, \qquad  \zeta \in \Dom X_0. &	
\end{flalign}
Равенство~(\ref{abstr_kappa^0_eq}) обеспечено включением $\omega_l \in \mathfrak{N}$. Подставляя $\zeta = \varphi_l^{(1)}$ в равенство~(\ref{abstr_kappa^1_eq}), получаем, что $\varphi_l^{(1)} \in \mathfrak{N}$. Можно записать
\begin{equation}
\label{abstr_kappa_phi_l^(1)}
\varphi_l^{(1)} = \sum_{k=1}^{n} c^{(1)}_{lk} \omega_k, \qquad l =1, \ldots, n.
\end{equation}
 Далее, учитывая $X_0 \omega_l = X_0 \varphi_l^{(1)} = 0$  и $Y_0 \omega_l = 0$, имеем
\begin{flalign}
\label{abstr_kappa^2_eq}
&\varkappa^2:  & &(X_0 \varphi_l^{(2)}, X_0 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} + c (X_1 \omega_l, X_0 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} = \lambda_l^{(2)} (\omega_l, \zeta)_{\mathfrak{H}}, \qquad \zeta \in \Dom X_0,   & \\
\label{abstr_kappa^3_eq}
&\varkappa^3:  & &\begin{multlined}
(X_0 \varphi_l^{(3)}, X_0 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} + c (X_1 \varphi_l^{(1)}, X_0 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} + (Y_2 \omega_l, Y_0 \zeta)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} = \lambda_l^{(2)} (\varphi_l^{(1)}, \zeta)_{\mathfrak{H}} + \lambda_l^{(3)} (\omega_l, \zeta)_{\mathfrak{H}},\\ \zeta \in \Dom X_0.
\end{multlined}  & 
\end{flalign}
Подставляя $\zeta = \omega_l$ в~(\ref{abstr_kappa^2_eq}), (\ref{abstr_kappa^3_eq}), получаем, что $\lambda_l^{(2)} = \lambda_l^{(3)} = 0$. В терминах операторов $Z$ и $\widetilde{Z}$ решения уравнений~(\ref{abstr_kappa^2_eq}), (\ref{abstr_kappa^3_eq}) можно записать в виде
\begin{align}
\label{abstr_kappa_phi_l^(2)}
\qquad\qquad\qquad \varphi_l^{(2)} &= c Z \omega_l + \widetilde{\varphi}_l^{(2)}, & \widetilde{\varphi}_l^{(2)} &\in \mathfrak{N},\qquad\qquad\qquad \\
\label{abstr_kappa_phi_l^(3)}
\qquad\qquad\qquad \varphi_l^{(3)} &= c Z \varphi_l^{(1)} + \widetilde{Z} \omega_l + \widetilde{\varphi}_l^{(3)}, & \widetilde{\varphi}_l^{(3)} &\in \mathfrak{N}.\qquad\qquad\qquad
\end{align}

Приравнивая коэффициенты при $\varkappa^4$, получаем
\begin{flalign}
\label{abstr_kappa^4_eq}
&\varkappa^4:  & &
\begin{aligned}
(X_0 \varphi_l^{(4)}, X_0 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} + c \bigl((X_0 &\varphi_l^{(2)}, X_1 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} + (X_1 \varphi_l^{(2)}, X_0 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} \bigr) + \\&+ c^2 (X_1 \omega_l, X_1 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} + (Y_2 \varphi_l^{(1)}, Y_0 \zeta)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} = \lambda_l^{(4)} (\omega_l, \zeta)_{\mathfrak{H}}, \; \; \zeta \in \Dom X_0.
\end{aligned}   & 
\end{flalign}
С учётом~(\ref{abstr_R}) и~(\ref{abstr_kappa_phi_l^(2)}) при $\zeta \in \mathfrak{N}$ соотношение~(\ref{abstr_kappa^4_eq}) принимает вид 
\begin{equation*}
c^2 ( R \omega_l, X_1 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} = \lambda_l^{(4)} (\omega_l, \zeta)_{\mathfrak{H}}, \qquad \zeta \in \mathfrak{N}.
\end{equation*}
В силу~(\ref{abstr_S}) это означает, что
\begin{equation}
\label{abstr_kappa_S}
c^2 (S \omega_l, \zeta)_{\mathfrak{H}} = \lambda_l^{(4)} (\omega_l, \zeta)_{\mathfrak{H}}, \qquad \zeta \in \mathfrak{N},
\end{equation}
т.е., числа $\lambda_l^{(4)}$ и векторы $\omega_l$ являются собственными для оператора $c^2 S$:
\begin{equation}
\label{abstr_kappa_S_eigenvalues}
c^2 S \omega_l = \lambda_l^{(4)} \omega_l.
\end{equation}
(В дальнейшем для определённости будем считать, что $\lambda_l^{(4)}$ занумерованы в порядке неубывания.)
Если все собственные числа оператора $S$ простые, то из~(\ref{abstr_kappa_S_eigenvalues}) определяются (с точностью до фазового множителя) векторы $\omega_l$.
\begin{remark}
	\label{abstr_kappa_lambda^(4)_renum_rem}
	Нам также будет удобно пользоваться другими обозначениями, отслеживая кратности собственных значений. Обозначим количество различных собственных значений оператора $c^2S$ через $p$ и обозначим их кратности через $k_1, \ldots, k_{p}$ \emph{(}разумеется, $k_1 + \cdots + k_{p} = n$\emph{)}. Переобозначим различные собственные значения через $\lambda^{\circ,(4)}_j$, $j = 1, \ldots, p$. Тогда 
	\begin{equation*}
	\lambda^{\circ,(4)}_1 \coloneqq \lambda^{(4)}_1 = \ldots = \lambda^{(4)}_{k_1} <  \lambda^{\circ,(4)}_2 \coloneqq \lambda^{(4)}_{k_1 + 1} = \ldots = \lambda^{(4)}_{k_1 + k_2} < \ldots < \lambda^{\circ,(4)}_{p} \coloneqq \lambda^{(4)}_{n-k_{p}+1} = \ldots = \lambda^{(4)}_n.
	\end{equation*}
	Введём обозначения для собственных подпространств: $\mathfrak{N}_j = \Ker(c^2 S - \lambda^{\circ,(4)}_j I_\mathfrak{N})$, $j = 1 ,\ldots, p$. Тогда
	\begin{equation*}
	\mathfrak{N} = \sum_{j=1}^{p} \oplus \mathfrak{N}_j.
	\end{equation*}
	Пусть $P_j$~--- ортопроектор пространства $\mathfrak{H}$ на $\mathfrak{N}_j$. Тогда
	\begin{equation*}
%	\label{abstr_P_Pj}
	P = \sum_{j=1}^{p} P_j, \qquad P_j P_l = 0 \quad \text{при} \; j \ne l.
	\end{equation*}
\end{remark}


Равенство коэффициентов при $\varkappa^5$ даёт
\begin{flalign*}
%\label{abstr_kappa^5_eq}
&\varkappa^5:  & &
\begin{aligned}
(X_0 \varphi_l^{(5)}, X_0 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} + c &\bigl((X_0 \varphi_l^{(3)}, X_1 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} + (X_1 \varphi_l^{(3)}, X_0 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} \bigr) + \\+ c^2 (X_1 \varphi_l^{(1)}, X_1 &\zeta)_{\mathfrak{H}_*} + (Y_0 \varphi_l^{(2)}, Y_2 \zeta)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_2 \varphi_l^{(2)}, Y_0 \zeta)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + \\ + c \bigl( (Y_1 \omega_l, &Y_2 \zeta)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_2 \omega_l, Y_1 \zeta)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \bigr) = \lambda_l^{(5)} (\omega_l, \zeta)_{\mathfrak{H}} + \lambda_l^{(4)} (\varphi_l^{(1)}, \zeta)_{\mathfrak{H}}, \quad \zeta \in \Dom X_0.
\end{aligned} & 
\end{flalign*}
Пусть $\zeta \in \mathfrak{N}$. Воспользуемся формулами~(\ref{abstr_kappa_phi_l^(2)}), (\ref{abstr_kappa_phi_l^(3)}), определениями операторов $R$ и $S$, а также тождествами
\begin{align}
\label{abstr_kappa_Z_rel}
(X_0 \widetilde{Z} \omega_l, X_1 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} &= - (X_0 \widetilde{Z} \omega_l, X_0 Z \zeta)_{\mathfrak{H}_*},
\\
\label{abstr_kappa_tildeZ_rel}
(Y_0 Z \omega_l, Y_2 \zeta)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} &= - (X_0 Z \omega_l, X_0 \widetilde{Z} \zeta)_{\mathfrak{H}_*},
\end{align}
следующими из определений операторов $Z$ и $\widetilde{Z}$.
Получаем
\begin{multline}
\label{abstr_kappa^5_eq}
c^2(S \varphi_l^{(1)}, \zeta)_{\mathfrak{H}} - c \bigl(  (X_0 \widetilde{Z} \omega_l, X_0 Z \zeta)_{\mathfrak{H}_*}  + (X_0 Z \omega_l, X_0 \widetilde{Z} \zeta)_{\mathfrak{H}_*} \bigr)  + \\ + c \left( (Y_1 \omega_l, Y_2 \zeta)_{\widetilde{\mathfrak{H}}}  + (Y_2 \omega_l, Y_1 \zeta)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \right) =  \lambda_l^{(5)} (\omega_l, \zeta)_{\mathfrak{H}} +  \lambda_l^{(4)} (\varphi_l^{(1)}, \zeta)_{\mathfrak{H}},  \qquad \zeta \in \mathfrak{N}.
\end{multline}
Подставляя $\zeta = \omega_l$ и используя~(\ref{abstr_kappa_S_eigenvalues}), находим 
\begin{equation}
\label{abstr_kappa_lambda_l^(5)}
\lambda_l^{(5)} = - c \bigl(  (X_0 \widetilde{Z} \omega_l, X_0 Z \omega_l)_{\mathfrak{H}_*}  + (X_0 Z \omega_l, X_0 \widetilde{Z} \omega_l)_{\mathfrak{H}_*} \bigr)  + c \left( (Y_1 \omega_l, Y_2 \omega_l)_{\widetilde{\mathfrak{H}}}  + (Y_2 \omega_l, Y_1 \omega_l)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \right).
\end{equation}
Далее, подставим~(\ref{abstr_kappa_phi_l^(1)}) в~(\ref{abstr_kappa^5_eq}). Перебирая $\zeta = \omega_k$, $k = 1, \ldots, n$, получаем выражения для $c_{lk}^{(1)}$ с индексами $\{(l,k) \colon \lambda_l^{(4)} \ne \lambda_k^{(4)} \}$:
\begin{equation}
\label{abstr_kappa_c^(1)_lk}
(\lambda_l^{(4)} - \lambda_k^{(4)} ) c_{lk}^{(1)} =  -c \bigl(  (X_0 \widetilde{Z} \omega_l, X_0 Z \omega_k)_{\mathfrak{H}_*}  + (X_0 Z \omega_l, X_0 \widetilde{Z} \omega_k)_{\mathfrak{H}_*} \bigr)  + c \left( (Y_1 \omega_l, Y_2 \omega_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}}  + (Y_2 \omega_l, Y_1 \omega_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \right).
\end{equation}
Пусть $\lambda_q^{\circ,(4)}$~--- собственное число задачи~(\ref{abstr_kappa_S_eigenvalues}) кратности $k_q$ (т.е. $\lambda_i^{(4)} = \ldots = \lambda_{i+k_q-1}^{(4)}$, $i = i(q) = k_1+\ldots+k_{q-1}+1$). Мы получаем следующие соотношения: 
\begin{multline}
\label{abstr_kappa_mult_rel_1}
-(X_0 \widetilde{Z} \omega_l, X_0 Z \omega_k)_{\mathfrak{H}_*}  - (X_0 Z \omega_l, X_0 \widetilde{Z} \omega_k)_{\mathfrak{H}_*}  +   (Y_1 \omega_l, Y_2 \omega_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}}  + (Y_2 \omega_l, Y_1 \omega_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} = 0,\\ l,k = i, \ldots, i+k_q-1, \; l \ne k.
\end{multline} 

Равенства~(\ref{abstr_kappa_lambda_l^(5)}) с $l = i, \ldots, i+k_q-1$ и~(\ref{abstr_kappa_mult_rel_1}) можно трактовать как задачу на собственные числа
\begin{equation}
\label{abstr_kappa_Y^(q)_eigenvalues}
c \mathscr{Y}^{(q)} \omega_l = \lambda_l^{(5)} \omega_l, \qquad l = i, \ldots, i+k_q-1,
\end{equation}
для самосопряжённого оператора
\begin{equation*}
\mathscr{Y}^{(q)} =  P_q \bigl( - (X_0 Z)^* X_0 \widetilde{Z}  - (X_0 \widetilde{Z})^* X_0 Z  + Y_2^* Y_1   + Y_1^* Y_2 \bigr) \bigr|_{\mathfrak{N}_q}.
\end{equation*}
Если все собственные числа задачи~(\ref{abstr_kappa_Y^(q)_eigenvalues}) простые, то тогда векторы $\omega_l$, $l=i, \ldots, i+k_q-1$, определяются с точностью до фазового множителя. 

\begin{remark}
	\label{abstr_kappa_lambda^(5)_renum_rem}	
	Введём также и другие обозначения по аналогии с замечанием~\emph{\ref{abstr_kappa_lambda^(4)_renum_rem}}. Будем считать, что $\lambda_l^{(5)}$, $l = i, \ldots, i+k_q-1$, занумерованы в порядке неубывания. Обозначим количество различных собственных значений оператора $c\mathscr{Y}^{(q)}$ через $p'(q)$ и обозначим их кратности через $k_{1,q}, \ldots, k_{p'(q),q}$ \emph{(}разумеется, $k_{1,q} + \ldots + k_{p'(q),q} = k_q$\emph{)}. Переобозначим различные собственные значения через $\lambda^{\circ,(5)}_{j,q}$, $j = 1, \ldots, p'(q)$. Тогда 
	\begin{multline*}
	\lambda^{\circ,(5)}_{1,q} \coloneqq \lambda^{(5)}_i = \ldots = \lambda^{(5)}_{i+k_{1,q}-1} <  \lambda^{\circ,(5)}_{2,q} \coloneqq \lambda^{(5)}_{i + k_{1,q}} = \ldots = \lambda^{(5)}_{i + k_{1,q} + k_{2,q} - 1} < \ldots \\ \ldots < \lambda^{\circ,(5)}_{p'(q),q} \coloneqq \lambda^{(5)}_{i+k_q-k_{p'(q),q}} = \ldots = \lambda^{(5)}_{i+k_q-1}.
	\end{multline*}
	Введём обозначения для собственных подпространств: $\mathfrak{N}_{j,q} = \Ker(c\mathscr{Y}^{(q)} - \lambda^{\circ,(5)}_{j,q} I_{\mathfrak{N}_q})$, $j = 1 ,\ldots, p'(q)$. Тогда $\mathfrak{N}_q = \sum_{j=1}^{p'(q)} \oplus \mathfrak{N}_{j,q}$. Пусть $P_{j,q}$~--- ортопроектор пространства $\mathfrak{H}$ на $\mathfrak{N}_{j,q}$. Тогда $P_q = \sum_{j=1}^{p'(q)} P_{j,q}$ и $P_{j,q} P_{l,q} = 0$  при $j \ne l$.
\end{remark}



\begin{remark}
	\label{abstr_kappa_c_remark}
	Отметим, что $\lambda^{(4)}_l \sim c^2$, $\lambda^{(5)}_l \sim c$, $l = 1, \ldots, n$.
\end{remark}

Далее, рассмотрим соотношение $(\varphi_l (\varkappa), \varphi_k (\varkappa))_{\mathfrak{H}} = \delta_{lk}$. Подставляя в него ряды~(\ref{abstr_B_kappa_eigenvectors_series}) и приравнивая коэффициенты при степенях $\varkappa$, получаем равенства:
\begin{flalign}
\notag
&\varkappa^0:  & &(\omega_l, \omega_k)_{\mathfrak{H}} = \delta_{lk}, &\\
\label{abstr_kappa^1_orth_eq}
&\varkappa^1: & &(\omega_l, \varphi_k^{(1)})_{\mathfrak{H}} + (\varphi_l^{(1)}, \omega_k)_{\mathfrak{H}} = 0, &\\
\label{abstr_kappa^2_orth_eq}
&\varkappa^2: & &(\omega_l, \varphi_k^{(2)})_{\mathfrak{H}} + (\varphi_l^{(1)}, \varphi_k^{(1)})_{\mathfrak{H}} + (\varphi_l^{(2)}, \omega_k)_{\mathfrak{H}} = 0. &	
\end{flalign}
Из~(\ref{abstr_kappa_phi_l^(2)}) и~(\ref{abstr_kappa^2_orth_eq}) следуют равенства
\begin{equation}
\label{abstr_kappa^2_orth_eq_1}
(\omega_l, \widetilde{\varphi}^{(2)}_k)_{\mathfrak{H}} + (\varphi_l^{(1)}, \varphi_k^{(1)})_{\mathfrak{H}} + (\widetilde{\varphi}^{(2)}_l, \omega_k)_{\mathfrak{H}} = 0.
\end{equation}



Далее нам будет удобно воспользоваться соотношением $(\mathfrak{B} (\varkappa) \varphi_l (\varkappa), \varphi_k (\varkappa))_{\mathfrak{H}} = \lambda_l(\varkappa) \delta_{lk}$. 
Равенство коэффициентов при $\varkappa^6$ даёт
\begin{flalign}
\label{abstr_kappa^6_eq}
&\varkappa^6:  & &\begin{aligned}
(X_0 \varphi^{(2)}_l, X_0 \varphi^{(4)}_k)_{\mathfrak{H}_*} &+ (X_0 \varphi^{(3)}_l, X_0 \varphi^{(3)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + (X_0 \varphi^{(4)}_l, X_0 \varphi^{(2)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + \\ + c \bigl( (X_0 \varphi^{(4)}_l, &X_1 \omega_k)_{\mathfrak{H}_*} + (X_0 \varphi^{(3)}_l, X_1 \varphi^{(1)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + (X_0 \varphi^{(2)}_l, X_1 \varphi^{(2)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + \\ + (X_1 &\omega_l, X_0 \varphi^{(4)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + (X_1 \varphi^{(1)}_l, X_0 \varphi^{(3)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + (X_1 \varphi^{(2)}_l, X_0 \varphi^{(2)}_k)_{\mathfrak{H}_*} \bigr) + \\ &+ c^2 \bigl( (X_1 \varphi^{(2)}_l, X_1 \omega_k)_{\mathfrak{H}_*} + (X_1 \varphi^{(1)}_l, X_1 \varphi^{(1)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + (X_1 \omega_l, X_1 \varphi^{(2)}_k)_{\mathfrak{H}_*} \bigr) + \\ + (Y_0 \varphi^{(3)}_l, &Y_2 \omega_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_0 \varphi^{(2)}_l, Y_2 \varphi^{(1)}_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_2 \varphi^{(1)}_l, Y_0 \varphi^{(2)}_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_2 \omega_l, Y_0 \varphi^{(3)}_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} +  \\ + c \bigl( &(Y_1 \omega_l, Y_2 \varphi^{(1)}_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_1 \varphi^{(1)}_l, Y_2 \omega_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_2 \omega_l, Y_1 \varphi^{(1)}_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_2 \varphi^{(1)}_l, Y_1 \omega_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \bigr) + \\ &+ \mathfrak{q}[\omega_l, \omega_k] + \lambda (Q_0 \omega_l, \omega_k)_{\mathfrak{H}} = \lambda^{(6)}_l \delta_{lk}.
\end{aligned}
\end{flalign}
В силу~(\ref{abstr_kappa_phi_l^(2)}) и определений операторов $R$ и $S$ имеем
\begin{multline*}
c(X_0 \varphi^{(2)}_l, X_1 \varphi^{(2)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + c^2 (X_1 \omega_l, X_1 \varphi^{(2)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + c(X_1 \varphi^{(2)}_l, X_0 \varphi^{(2)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + c^2 (X_1 \varphi^{(2)}_l, X_1 \omega_k)_{\mathfrak{H}_*}  = \\ = c^2 (  R\omega_l , X_1 \varphi^{(2)}_k )_{\mathfrak{H}_*} + c^2  ( X_1 \varphi^{(2)}_l ,   R\omega_k )_{\mathfrak{H}_*} = c^3 (Z^* X_1^* R P \omega_l, \omega_k)_{\mathfrak{H}} + c^3 ( (R P)^* X_1 Z \omega_l, \omega_k)_{\mathfrak{H}}  + \\ + c^2 (S \omega_l, \widetilde{\varphi}^{(2)}_k)_{\mathfrak{H}} + c^2 (S \widetilde{\varphi}^{(2)}_l, \omega_k)_{\mathfrak{H}}.
\end{multline*}
Далее, из~(\ref{abstr_kappa_phi_l^(2)}) и тождества $(X_1 \omega_l, X_0 \zeta)_{\mathfrak{H}_*} = - (X_0 Z \omega_l, X_0 \zeta)_{\mathfrak{H}_*}$ (см. определение оператора $Z$) следует, что
\begin{equation*}
(X_0 \varphi^{(2)}_l, X_0 \varphi^{(4)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + c (X_1 \omega_l, X_0 \varphi^{(4)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + (X_0 \varphi^{(4)}_l, X_0 \varphi^{(2)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + c (X_0 \varphi^{(4)}_l, X_1 \omega_k)_{\mathfrak{H}_*} = 0.
\end{equation*}
Затем воспользуемся~(\ref{abstr_kappa^3_eq}) при $\zeta = \varphi^{(3)}_k$:
\begin{equation*}
(X_0 \varphi^{(3)}_l, X_0 \varphi^{(3)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + c (X_1 \varphi^{(1)}_l, X_0 \varphi^{(3)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + (Y_2 \omega_l, Y_0 \varphi^{(3)}_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} = 0.
\end{equation*}
Наконец, в силу~(\ref{abstr_kappa_phi_l^(2)}), (\ref{abstr_kappa_phi_l^(3)}), (\ref{abstr_kappa_Z_rel}),  (\ref{abstr_kappa_tildeZ_rel}) и тождества $(Y_0 \widetilde{Z} \omega_l, Y_2 \zeta)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} = - (X_0 \widetilde{Z} \omega_l, X_0 \widetilde{Z} \zeta)_{\mathfrak{H}_*}$ (см. определение оператора $\widetilde{Z}$),
\begin{multline*}
c(X_0 \varphi^{(3)}_l, X_1 \varphi^{(1)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + c^2 (X_1 \varphi^{(1)}_l, X_1 \varphi^{(1)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + (Y_0 \varphi^{(3)}_l, Y_2 \omega_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + \\ +  (Y_0 \varphi^{(2)}_l, Y_2 \varphi^{(1)}_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_2 \varphi^{(1)}_l, Y_0 \varphi^{(2)}_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} =   c^2 (S \varphi^{(1)}_l, \varphi^{(1)}_k)_{\mathfrak{H}} - \\  -  c \left( (X_0 \widetilde{Z} \omega_l, X_0 Z \varphi^{(1)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + (X_0 Z \varphi^{(1)}_l, X_0 \widetilde{Z} \omega_k)_{\mathfrak{H}_*} +   (X_0 Z \omega_l, X_0 \widetilde{Z} \varphi^{(1)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + (X_0 \widetilde{Z} \varphi^{(1)}_l, X_0 Z \omega_k)_{\mathfrak{H}_*}   \right) - \\-  (X_0 \widetilde{Z} \omega_l, X_0 \widetilde{Z} \omega_k)_{\mathfrak{H}_*}.
\end{multline*}
В итоге, с учётом~(\ref{abstr_N11}) равенство~(\ref{abstr_kappa^6_eq}) принимает следующий вид:
\begin{flalign}
\label{abstr_kappa^6_eq_1}
&\varkappa^6:  & &\begin{multlined}
c^3 (N_{11} \omega_l, \omega_k)_{\mathfrak{H}} +  c^2 (S \omega_l, \widetilde{\varphi}^{(2)}_k)_{\mathfrak{H}} + c^2 (S \varphi^{(1)}_l, \varphi^{(1)}_k)_{\mathfrak{H}} +  c^2 (S \widetilde{\varphi}^{(2)}_l, \omega_k)_{\mathfrak{H}} - \\ - c  \bigl( (X_0 \widetilde{Z} \varphi^{(1)}_l, X_0 Z \omega_k)_{\mathfrak{H}_*} + (X_0 \widetilde{Z} \omega_l, X_0 Z \varphi^{(1)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + \\ + (X_0 Z \varphi^{(1)}_l, X_0 \widetilde{Z} \omega_k)_{\mathfrak{H}_*}  + (X_0 Z \omega_l, X_0 \widetilde{Z} \varphi^{(1)}_k)_{\mathfrak{H}_*} \bigr) -    (X_0 \widetilde{Z} \omega_l, X_0 \widetilde{Z} \omega_k)_{\mathfrak{H}_*} +\\  + c \bigl( (Y_1 \omega_l, Y_2 \varphi^{(1)}_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_1 \varphi^{(1)}_l, Y_2 \omega_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}}  +   (Y_2 \omega_l, Y_1 \varphi^{(1)}_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_2 \varphi^{(1)}_l, Y_1 \omega_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \bigr) + \\ + \mathfrak{q}[\omega_l, \omega_k] + \lambda (Q_0 \omega_l, \omega_k)_{\mathfrak{H}} = \lambda^{(6)}_l \delta_{lk}.
\end{multlined}
\end{flalign}
Пусть $\lambda_q^{\circ,(4)}$~--- собственное число задачи~(\ref{abstr_kappa_S_eigenvalues}) кратности $k_q$ (т.е. $\lambda_i^{(4)} = \ldots = \lambda_{i+k_q-1}^{(4)}$, $i= i(q) = k_1+\ldots+k_{q-1}+1$).
Пусть $l, k = i, \ldots, i+k_q-1$. Используя~(\ref{abstr_kappa_phi_l^(1)}), (\ref{abstr_kappa_S_eigenvalues}) и (\ref{abstr_kappa^2_orth_eq_1}), получаем
\begin{multline}
\label{abstr_kappa_mult_rel_2}
c^2 (S \omega_l, \widetilde{\varphi}^{(2)}_k)_{\mathfrak{H}} + c^2 (S \varphi^{(1)}_l, \varphi^{(1)}_k)_{\mathfrak{H}} +  c^2 (S \widetilde{\varphi}^{(2)}_l, \omega_k)_{\mathfrak{H}} = c^2 (S \varphi^{(1)}_l, \varphi^{(1)}_k)_{\mathfrak{H}} - \lambda^{\circ,(4)}_q (\varphi^{(1)}_l, \varphi^{(1)}_k)_{\mathfrak{H}} =\\ = \sum_{r'=1}^{n} (\lambda^{(4)}_{r'} - \lambda^{\circ,(4)}_q) c^{(1)}_{lr'} \overline{c^{(1)}_{kr'}}, \qquad l, k = i, \ldots, i+k_q-1.
\end{multline}
Далее, в силу~(\ref{abstr_kappa_phi_l^(1)}), (\ref{abstr_kappa_lambda_l^(5)}) и (\ref{abstr_kappa_c^(1)_lk}) имеем
\begin{multline}
\label{abstr_kappa_mult_rel_3}
c \left( - (X_0 \widetilde{Z} \varphi^{(1)}_l, X_0 Z \omega_k)_{\mathfrak{H}_*} -  (X_0 Z \varphi^{(1)}_l, X_0 \widetilde{Z} \omega_k)_{\mathfrak{H}_*} + (Y_1 \varphi^{(1)}_l, Y_2 \omega_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_2 \varphi^{(1)}_l, Y_1 \omega_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}}\right)  = \\ = c \sum_{r'=1}^{n} c^{(1)}_{lr'} \left( -(X_0 \widetilde{Z} \omega_{r'}, X_0 Z \omega_k)_{\mathfrak{H}_*} -  (X_0 Z \omega_{r'}, X_0 \widetilde{Z} \omega_k)_{\mathfrak{H}_*} + (Y_1 \omega_{r'}, Y_2 \omega_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_2 \omega_{r'}, Y_1 \omega_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \right) = \\ = \sum_{r'=1}^{n} c^{(1)}_{lr'} \left( (\lambda^{(4)}_{r'} - \lambda^{\circ,(4)}_q) c^{(1)}_{r'k} + \lambda^{(5)}_{r'} \delta_{r'k} \right), \qquad l, k = i, \ldots, i+k_q-1. 
\end{multline}
Аналогично, используя~(\ref{abstr_kappa_phi_l^(1)}), (\ref{abstr_kappa_lambda_l^(5)}) и (\ref{abstr_kappa_c^(1)_lk}), получаем 
\begin{multline}
\label{abstr_kappa_mult_rel_4}
c\left( -  (X_0 \widetilde{Z} \omega_l, X_0 Z \varphi^{(1)}_k)_{\mathfrak{H}_*} - (X_0 Z \omega_l, X_0 \widetilde{Z} \varphi^{(1)}_k)_{\mathfrak{H}_*}   + (Y_1 \omega_l, Y_2 \varphi^{(1)}_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} +  (Y_2 \omega_l, Y_1 \varphi^{(1)}_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}}\right)  = \\ = c \sum_{r'=1}^{n} \overline{c^{(1)}_{kr'}} \left( -(X_0 \widetilde{Z} \omega_l, X_0 Z \omega_{r'})_{\mathfrak{H}_*} -  (X_0 Z \omega_l, X_0 \widetilde{Z} \omega_{r'})_{\mathfrak{H}_*} + (Y_1 \omega_l, Y_2 \omega_{r'})_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_2 \omega_l, Y_1 \omega_{r'})_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \right) = \\  = 
\sum_{r'=1}^{n} \overline{c^{(1)}_{kr'}} \left( (\lambda^{\circ,(4)}_q - \lambda^{(4)}_{r'}) c^{(1)}_{lr'} + \lambda^{(5)}_{r'} \delta_{lr'} \right),\qquad l, k = i, \ldots, i+k_q-1.
\end{multline}
Таким образом, учитывая~(\ref{abstr_kappa_lambda_l^(5)}), (\ref{abstr_kappa_c^(1)_lk}), (\ref{abstr_kappa_mult_rel_2})--(\ref{abstr_kappa_mult_rel_4}) и равенство $c^{(1)}_{lk} = - \overline{c^{(1)}_{kl}}$ (следующее из~(\ref{abstr_kappa^1_orth_eq})), мы можем записать~(\ref{abstr_kappa^6_eq_1}) для $l, k = i, \ldots, i+k_q-1$ следующим образом:
\begin{multline}
\label{abstr_kappa^6_eq_2}
c^{3} (N_{11} \omega_l, \omega_k)_{\mathfrak{H}} + c^{(1)}_{lk} (\lambda^{(5)}_k - \lambda^{(5)}_l) + \check{\mathfrak{y}}^{(q)}[\omega_l, \omega_k] - \\ - (X_0 \widetilde{Z} \omega_l, X_0 \widetilde{Z} \omega_k)_{\mathfrak{H}_*} + \mathfrak{q}[\omega_l, \omega_k] + \lambda (Q_0 \omega_l, \omega_k)_{\mathfrak{H}} = \lambda^{(6)}_l \delta_{lk}, \qquad l, k = i, \ldots, i+k_q-1,
\end{multline}
где
\begin{multline*}
\check{\mathfrak{y}}^{(q)}[\omega_l, \omega_k]  = \sum_{r'=1}^{n} c^{(1)}_{lr'}  (\lambda^{(4)}_{r'} - \lambda^{\circ,(4)}_q) c^{(1)}_{r'k}  = \\ =  c^2 \sum_{\substack{r'\in\{1,\ldots,n\}\\
		r' \ne i, \ldots, i+k_q-1}} \left( (X_0 \widetilde{Z} \omega_l, X_0 Z \omega_{r'})_{\mathfrak{H}_*} +  (X_0 Z \omega_l, X_0 \widetilde{Z} \omega_{r'})_{\mathfrak{H}_*} - (Y_1 \omega_l, Y_2 \omega_{r'})_{\widetilde{\mathfrak{H}}} - (Y_2 \omega_l, Y_1 \omega_{r'})_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \right) \times \\ \times \frac{ (X_0 \widetilde{Z} \omega_{r'}, X_0 Z \omega_k)_{\mathfrak{H}_*} +  (X_0 Z \omega_{r'}, X_0 \widetilde{Z} \omega_k)_{\mathfrak{H}_*} - (Y_1 \omega_{r'}, Y_2 \omega_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} - (Y_2 \omega_{r'}, Y_1 \omega_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} }{\lambda^{\circ,(4)}_q - \lambda^{(4)}_{r'}} = \\ = 
	\sum_{\substack{q'\in\{1,\ldots,p\}\\
			q' \ne q}} \frac{c^2}{\lambda^{\circ,(4)}_q - \lambda^{\circ,(4)}_{q'}} \Bigl( P_{q'} \bigl(  (X_0 Z)^* X_0 \widetilde{Z}  + (X_0 \widetilde{Z})^* X_0 Z  - Y_2^* Y_1   - Y_1^* Y_2\bigr)  \omega_l, \\ \bigl( (X_0 Z)^* X_0 \widetilde{Z}  + (X_0 \widetilde{Z})^* X_0 Z  - Y_2^* Y_1   - Y_1^* Y_2\bigr)  \omega_k \Bigr)_{\mathfrak{H}}.
\end{multline*}
Отметим, что форма $\check{\mathfrak{y}}^{(q)}$ не зависит от $c$ в силу замечания~\ref{abstr_kappa_c_remark}.


Пусть $\lambda^{\circ,(5)}_{q',q}$~--- $k_{q',q}$-кратное собственное число задачи~(\ref{abstr_kappa_Y^(q)_eigenvalues}): $\lambda^{(5)}_j = \ldots = \lambda^{(5)}_{j+k_{q',q}-1}$, где $j = j(q',q) =i(q)+k_{1,q}+\ldots+k_{q'-1,q}$.
Равенства~(\ref{abstr_kappa^6_eq_2}) c $l, k = j, \ldots, j+ k_{q',q}-1$ образуют следующую систему:
\begin{multline*}
%\label{abstr_kappa^6_eq_3}
c^{3} (N_{11} \omega_l, \omega_k)_{\mathfrak{H}} +  \check{\mathfrak{y}}^{(q)}[\omega_l, \omega_k] - (X_0 \widetilde{Z} \omega_l, X_0 \widetilde{Z} \omega_k)_{\mathfrak{H}_*} + \mathfrak{q}[\omega_l, \omega_k] + \lambda (Q_0 \omega_l, \omega_k)_{\mathfrak{H}} = \lambda^{(6)}_l \delta_{lk}, \\ \qquad l, k = j, \ldots, j+k_{q',q}-1.
\end{multline*}
Эти уравнения можно трактовать как задачу на собственные числа:
\begin{equation}
\label{abstr_kappa_Y^(q',q)_eigenvalues}
\mathscr{Y}^{(q',q)} (c)  \omega_l = \lambda_l^{(6)} \omega_l, \qquad l = j, \ldots, j+k_{q',q}-1,
\end{equation}
для самосопряжённого оператора 
\begin{equation*}
\mathscr{Y}^{(q',q)} (c) = c^3 P_{q',q} N_{11} |_{\mathfrak{N}_{q',q}} +  \Upsilon^{(q',q)}, 
\end{equation*}
где $\Upsilon^{(q',q)} =  P_{q',q} \check{Y}^{(q)} |_{\mathfrak{N}_{q',q}} + P_{q',q} \left.  \left( - (X_0 \widetilde{Z})^* X_0 \widetilde{Z} + Q_{\mathfrak{N}} + \lambda Q_{0\mathfrak{N}} \right) \right|_{\mathfrak{N}_{q',q}} $, а $\check{Y}^{(q)}$~--- оператор, отвечающий форме $\check{\mathfrak{y}}^{(q)}$.
\begin{remark}
	Векторы $\omega_l$, $l=j, \ldots, j+k_{q',q}-1$, вообще говоря, зависят от $c$. Если при каком-то значении параметра $c$ у задачи~\emph{(\ref{abstr_kappa_Y^(q',q)_eigenvalues})} имеется кратное собственное значение, то~\emph{(\ref{abstr_kappa_Y^(q',q)_eigenvalues})} недостаточно для определения базиса в соответствующем собственном подпространстве.
\end{remark}

Выпишем получившееся выражение для $\lambda^{(6)}_l$:
\begin{multline}
\label{abstr_kappa^6_lambda^(6)}
c^{3} (N_{11} \omega_l, \omega_l)_{\mathfrak{H}} +  \check{\mathfrak{y}}^{(q)}[\omega_l, \omega_l] - (X_0 \widetilde{Z} \omega_l, X_0 \widetilde{Z} \omega_l)_{\mathfrak{H}_*} + \mathfrak{q}[\omega_l, \omega_l] + \lambda (Q_0 \omega_l, \omega_l)_{\mathfrak{H}} = \lambda^{(6)}_l, \\ \qquad l = 1, \ldots, n.
\end{multline}
Здесь $q$~--- номер, такой что $\lambda^{\circ,(4)}_q = \lambda^{(4)}_l$.

Проведём аналогичные рассмотрения для оператора $L(\varkappa)$, который получается из~(\ref{abstr_L(t,eps)}) при $t=c \varkappa^2$, $\varepsilon = \varkappa^3$:
\begin{multline*}
%\label{abstr_L(kappa)}
L(\varkappa) =  c^2 \varkappa^4 S - c \varkappa^5 \left( (X_0 Z)^* (X_0 \widetilde Z) |_{\mathfrak{N}} +  (X_0 \widetilde Z)^* (X_0 Z)|_{\mathfrak{N}} \right) + \\ + c \varkappa^5 P (Y_2^* Y_1 + Y^*_1 Y_2) |_{\mathfrak{N}} + 
\varkappa^6 \left( - (X_0 \widetilde Z)^* (X_0 \widetilde Z)|_{\mathfrak{N}} + Q_\mathfrak{N} + \lambda Q_{0 \mathfrak{N}} \right).
\end{multline*}
Согласно общей аналитической теории возмущений при $|\varkappa| \le \varkappa_0$ существуют вещественно-аналитические функции $\lambda^0_l (\varkappa)$ (ветви собственных значений) и вещественно-аналитические $\mathfrak{H}$-значные функции $\varphi^0_l (\varkappa)$ (ветви собственных векторов), такие что
\begin{equation*}
%\label{abstr_L_kappa_eigenvalues_eigenvectors}
L (\varkappa) \varphi^0_l (\varkappa) = \lambda^0_l (\varkappa) \varphi^0_l (\varkappa), \qquad | \varkappa | \le \varkappa_0, \qquad l = 1, \ldots , n,
\end{equation*}
причём $\varphi^0_l (\varkappa)$,  $l = 1, \ldots , n$, образуют ортонормированный базис в $\mathfrak{N}$. Для достаточно малого $\varkappa_* \le \varkappa_0$ справедливы сходящиеся степенные разложения:
\begin{align}
\label{abstr_L_kappa_eigenvalues_series}
\lambda^0_l (\varkappa) &= \lambda^{0,(4)}_l \varkappa^4 + \lambda^{0,(5)}_l \varkappa^5 + \lambda^{0,(6)}_l \varkappa^6  + \ldots , & &| \varkappa | \le \varkappa_*,   \\
\label{abstr_L_kappa_eigenvectors_series}
\varphi^0_l (\varkappa) &= \omega^0_l + \varkappa \varphi^{0,(1)}_l + \varkappa^2 \varphi^{0,(2)}_l + \varkappa^3 \varphi^{0,(3)}_l + \varkappa^4 \varphi^{0,(4)}_l + \varkappa^5 \varphi^{0,(5)}_l +  \ldots, & &| \varkappa | \le \varkappa_*.
\end{align}
Векторы $\omega^0_l$, $l=1,  \ldots ,n$, образуют ортонормированный базис в $\mathfrak{N}$.
Можно записать
\begin{equation*}
%\label{abstr_kappa_phi0r_l}
\varphi^{0,(r)}_l = \sum_{k=1}^{n} c^{0,(r)}_{lk} \omega^0_k, \qquad l =1, \ldots, n.
\end{equation*}


Аналоги уравнений~(\ref{abstr_kappa_S}), (\ref{abstr_kappa^5_eq}), (\ref{abstr_kappa^6_eq_1}) для $L(\varkappa)$ выглядят следующим образом:
\begin{flalign}
\label{abstr_kappa^4_eq_0}
&\varkappa^4:  & & c^2 (S \omega^0_l, \zeta)_{\mathfrak{H}} = \lambda^{0,(4)}_l (\omega^0_l, \zeta)_{\mathfrak{H}}, \qquad \zeta \in \mathfrak{N}, &\\
\label{abstr_kappa^5_eq_0}
&\varkappa^5:  & & \begin{multlined}
c^2(S \varphi^{0,(1)}_l, \zeta)_{\mathfrak{H}} - c \bigl(  (X_0 \widetilde{Z} \omega^0_l, X_0 Z \zeta)_{\mathfrak{H}_*}  + (X_0 Z \omega^0_l, X_0 \widetilde{Z} \zeta)_{\mathfrak{H}_*} \bigr)  + \\ + c \left( (Y_1 \omega^0_l, Y_2 \zeta)_{\widetilde{\mathfrak{H}}}  + (Y_2 \omega^0_l, Y_1 \zeta)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \right) = \lambda^{0,(5)}_l (\omega^0_l, \zeta)_{\mathfrak{H}} + \lambda^{0,(4)}_l (\varphi^{0,(1)}_l, \zeta)_{\mathfrak{H}},  \qquad \zeta \in \mathfrak{N},
\end{multlined} &
\\
\notag
%\label{abstr_kappa^6_eq_0}
&\varkappa^6:  & & \begin{multlined}
c^2 (S \omega^0_l, \varphi^{0,(2)}_k)_{\mathfrak{H}} + c^2 (S \varphi^{0,(1)}_l, \varphi^{0,(1)}_k)_{\mathfrak{H}} +  c^2 (S \varphi^{0,(2)}_l, \omega^0_k)_{\mathfrak{H}} - \\ - c  \bigl( (X_0 \widetilde{Z} \varphi^{0,(1)}_l, X_0 Z \omega^0_k)_{\mathfrak{H}_*} + (X_0 \widetilde{Z} \omega^0_l, X_0 Z \varphi^{0,(1)}_k)_{\mathfrak{H}_*} + \\ + (X_0 Z \varphi^{0,(1)}_l, X_0 \widetilde{Z} \omega^0_k)_{\mathfrak{H}_*} + (X_0 Z \omega^0_l, X_0 \widetilde{Z} \varphi^{0,(1)}_k)_{\mathfrak{H}_*} \bigr) -   (X_0 \widetilde{Z} \omega^0_l, X_0 \widetilde{Z} \omega^0_k)_{\mathfrak{H}_*} + \\ + c \bigl( (Y_1 \omega^0_l, Y_2 \varphi^{0,(1)}_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_1 \varphi^{0,(1)}_l, Y_2 \omega^0_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_2 \omega^0_l, Y_1 \varphi^{0,(1)}_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + (Y_2 \varphi^{0,(1)}_l, Y_1 \omega^0_k)_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \bigr) + \\ + \mathfrak{q}[\omega^0_l, \omega^0_k] + \lambda (Q_0 \omega^0_l, \omega^0_k)_{\mathfrak{H}} = \lambda^{0,(6)}_l \delta_{lk}.
\end{multlined} &
\end{flalign}
Равенства~(\ref{abstr_kappa^4_eq_0}), (\ref{abstr_kappa^5_eq_0}) совпадают с~(\ref{abstr_kappa_S}), (\ref{abstr_kappa^5_eq}), поэтому аналоги уравнений~(\ref{abstr_kappa_S_eigenvalues}) и~(\ref{abstr_kappa_Y^(q)_eigenvalues}) для $L(\varkappa)$ выглядят также и мы можем выбрать $\lambda^{0,(4)}_l = \lambda^{(4)}_l$, $\lambda^{0,(5)}_l = \lambda^{(5)}_l$, $l=1, \ldots, n$.  Если $\lambda^{(4)}_l$~--- простое собственное число задачи~(\ref{abstr_kappa_S_eigenvalues}), то можно положить $\omega^0_l = \omega_l$. Далее, если среди собственных чисел задачи~(\ref{abstr_kappa_S_eigenvalues}) есть собственное число $\lambda^{\circ,(4)}_q$ кратности $k_q > 1$, но $\lambda_l^{(5)}$~--- простое собственное значение задачи~(\ref{abstr_kappa_Y^(q)_eigenvalues}), тогда мы также можем выбрать $\omega^0_l = \omega_l$. Но, если среди собственных чисел задачи~(\ref{abstr_kappa_Y^(q)_eigenvalues}) есть $k_{q',q}$-кратное ($k_{q',q}~>~1$) собственное число $\lambda^{\circ,(5)}_{q',q}$, то в общем случае нельзя положить $\omega^0_l = \omega_l$, $l=j, \ldots, j+k_{q',q}-1$, где $j=j(q',q) = i(q)+k_{1,q}+\ldots+k_{q'-1,q}$.
Аналог уравнения~(\ref{abstr_kappa_Y^(q',q)_eigenvalues}) для $L(\varkappa)$ выглядит следующим образом: 
\begin{equation}
\label{abstr_kappa^6_eq_2_0}
\Upsilon^{(q',q)}  \omega^{0}_l = \lambda_l^{0,(6)} \omega^{0}_l, \qquad l = j, \ldots, j+k_{q',q}-1.
\end{equation}
Отметим также, что если у задачи~(\ref{abstr_kappa^6_eq_2_0}) имеется кратное собственное значение, то~(\ref{abstr_kappa^6_eq_2_0}) недостаточно для определения базиса в соответствующем собственном подпространстве.

В заключение выпишем выражение для $\lambda^{0,(6)}_l$:
\begin{equation}
\label{abstr_kappa^6_lambda^0,(6)}
\check{\mathfrak{y}}^{(q)}[\omega^0_l, \omega^0_l] - (X_0 \widetilde{Z} \omega^0_l, X_0 \widetilde{Z} \omega^0_l)_{\mathfrak{H}_*} + \mathfrak{q}[\omega^0_l, \omega^0_l] + \lambda (Q_0 \omega^0_l, \omega^0_l)_{\mathfrak{H}} = \lambda^{0,(6)}_l, \qquad l = 1, \ldots, n,
\end{equation}
где $q$~--- номер, такой что $\lambda^{\circ,(4)}_q = \lambda^{(4)}_l$.

\subsubsection{Теорема о подтверждении точности}
Сейчас мы докажем, что результат теоремы~\ref{abstr_exp_general_thrm} является точным.
\begin{thrm}
	\label{abstr_sharpness_thrm}
	Пусть $P_{q',q} N_{11} P_{q',q}  \ne 0$ для некоторых $q \in \{1,\ldots, p\}$, $q' \in \{1,\ldots, p'(q)\}$. Пусть $s \ne 0$ и $0 \le r < 3$. Тогда не существует такой константы $C(s) >0$, чтобы оценка
	\begin{equation}
	\label{abstr_sharpness_est}
	\| e^{-i s \varepsilon^{-2} \mathfrak{B} ( t ; \varepsilon)} P - e^{-i s \varepsilon^{-2} L( t ; \varepsilon)P} P\| \varepsilon^r (t^2 + \varepsilon^2)^{-r/2} \le  C(s) \varepsilon
	\end{equation}
	выполнялась для всех достаточно малых $|t|$ и $\varepsilon$.
\end{thrm}
\begin{proof}
	Достаточно считать, что $2 \le r < 3$. Начнём с предварительного замечания. Поскольку $F(t,\varepsilon)^{\perp}P = (P - F(t,\varepsilon))P$, то из~(\ref{abstr_F_threshold}) вытекает оценка
	\begin{equation}
	\label{abstr_shrp_exp_Fperp_est}
	\| e^{-i s \varepsilon^{-2} \mathfrak{B} ( t ; \varepsilon)} F(t, \varepsilon)^{\perp} P \| \varepsilon (t^2 + \varepsilon^2)^{-1/2} \le C_1 \varepsilon, \qquad |\tau| \le \tau^0.
	\end{equation}
	
	Фиксируем $0 \ne s \in \mathbb{R}$. Будем рассуждать от противного. Предположим, что для некоторого $2 \le r < 3$ существует такая постоянная $C(s) > 0$, что выполнено~(\ref{abstr_sharpness_est}) при всех достаточно малых $|t|$ и $\varepsilon$. В силу оценки~(\ref{abstr_shrp_exp_Fperp_est}) это предположение равносильно существованию постоянной $\widetilde{C} (s)$, такой что
	\begin{equation}
	\label{abstr_shrp_f1}
	\left\| \left( e^{-i s \varepsilon^{-2} \mathfrak{B} ( t ; \varepsilon)} F(t, \varepsilon) - e^{-i s \varepsilon^{-2} L( t ; \varepsilon)P} P \right)  P \right\| \varepsilon^{r} (t^2 + \varepsilon^2)^{-r/2} \le \widetilde{C} (s) \varepsilon
	\end{equation}
	при всех достаточно малых $|t|$ и $\varepsilon$. Положим $t=c\varepsilon^{2/3}$, где константу $c > 0$ выберем позже.
	
	При $|\varkappa| < \varkappa_*$ имеют место сходящиеся степенные разложения~(\ref{abstr_B_kappa_eigenvalues_series}), (\ref{abstr_B_kappa_eigenvectors_series}), (\ref{abstr_L_kappa_eigenvalues_series}), (\ref{abstr_L_kappa_eigenvectors_series}). При $ |\varkappa| \le \varkappa_0$ имеем:
	\begin{align}
	e^{-i s \varepsilon^{-2} \mathfrak{B} (\varkappa)} F(\varkappa) &= \sum_{k=1}^{n} 	e^{-i s \varepsilon^{-2} \lambda_k(\varkappa)} (\cdot,\varphi_k(\varkappa))\varphi_k(\varkappa),\\
	e^{-i s \varepsilon^{-2} L (\varkappa) P} P &= \sum_{k=1}^{n} 	e^{-i s \varepsilon^{-2} \lambda^0_k(\varkappa)} (\cdot,\varphi^0_k(\varkappa))\varphi^0_k(\varkappa).	
	\end{align}
	Из сходимости рядов~(\ref{abstr_B_kappa_eigenvectors_series}), (\ref{abstr_L_kappa_eigenvectors_series}) следует, что
	\begin{align}
	\| \varphi_k(\varkappa) - \omega_k \| &\le c_1 |\varkappa|, \qquad |\varkappa| \le \varkappa_*, \qquad k = 1,\ldots,n,\\
	\label{abstr_shrp_phi-omega_est}	
	\| \varphi^0_k(\varkappa) - \omega^0_k \| &\le c_1 |\varkappa|, \qquad |\varkappa| \le \varkappa_*, \qquad k = 1,\ldots,n.
	\end{align}
В силу~(\ref{abstr_shrp_f1})--(\ref{abstr_shrp_phi-omega_est}) существует постоянная $\widehat{C} (s)$, такая что
	\begin{multline}
	\label{abstr_shrp_f2}
	\left\| \sum_{j'=1}^{n} \left( e^{-i s \varepsilon^{-2} \lambda_{j'}(\varkappa)} (\cdot,\omega_{j'})\omega_{j'} - e^{-i s \varepsilon^{-2} \lambda^0_{j'}(\varkappa)} (\cdot,\omega^0_{j'})\omega^0_{j'} \right)   \right\| \varepsilon^{r} (t^2 + \varepsilon^2)^{-r/2} \le \widehat{C} (s) \varepsilon, \\ t=c\varepsilon^{2/3} = c \varkappa^2,
	\end{multline}
	при всех достаточно малых $\varkappa$. Рассмотрим блок оператора под знаком нормы в~(\ref{abstr_shrp_f2}) в подпространстве $\mathfrak{N}_{q',q}$. Справедлива оценка
 \begin{multline}
 \label{abstr_shrp_f3}
 \left\| \sum_{j'=j}^{j+k_{q',q} - 1} \left( e^{-i s \varepsilon^{-2} \lambda_{j'}(\varkappa)} (\cdot,\omega_{j'})\omega_{j'} - e^{-i s \varepsilon^{-2} \lambda^0_{j'}(\varkappa)} (\cdot,\omega^0_{j'})\omega^0_{j'} \right)   \right\| \varepsilon^{r} (t^2 + \varepsilon^2)^{-r/2} \le \widehat{C} (s) \varepsilon, \\ t=c\varepsilon^{2/3} = c \varkappa^2,
 \end{multline}
 при всех достаточно малых $\varkappa$, где $j=k_1 + \ldots + k_{q-1} + k_{1,q} + \ldots + k_{q'-1,q} +1$. Используя сходящиеся степенные ряды~(\ref{abstr_B_kappa_eigenvalues_series}) и (\ref{abstr_L_kappa_eigenvalues_series}), мы можем записать
 \begin{align}
 e^{-i s \varepsilon^{-2} \lambda_{j'}(\varkappa)} &= e^{-i s ( \varkappa^{-2} \lambda^{\circ,(4)}_{q} + \varkappa^{-1} \lambda^{\circ,(5)}_{q',q} ) } e^{-i s ( \lambda^{(6)}_{j'} + O(\varkappa))}, & j' &= j, \ldots, j+k_{q',q} - 1,\\
 e^{-i s \varepsilon^{-2} \lambda^0_{j'}(\varkappa)} &= e^{-i s ( \varkappa^{-2} \lambda^{\circ,(4)}_{q} + \varkappa^{-1} \lambda^{\circ,(5)}_{q',q} ) } e^{-i s ( \lambda^{0,(6)}_{j'} + O(\varkappa))}, & j' &= j, \ldots, j+k_{q',q} - 1.
 \end{align}
 Очевидно,
 \begin{multline}
 \label{abstr_shrp_f4}
\left| e^{-i s ( \lambda^{(6)}_{j'} + O(\varkappa))} - e^{-i s \lambda^{(6)}_{j'} } \right| = O(\varkappa), \qquad
\left| e^{-i s ( \lambda^{0,(6)}_{j'} + O(\varkappa))} - e^{-i s \lambda^{0б(6)}_{j'} } \right| = O(\varkappa), \\j' = j, \ldots, j+k_{q',q} - 1.
 \end{multline}
 Из~(\ref{abstr_shrp_f3})--(\ref{abstr_shrp_f4}) следует, что 
справедлива оценка
\begin{multline}
\label{abstr_shrp_f5}
\left\| \sum_{j'=j}^{j+k_{q',q} - 1} \left( e^{-i s  \lambda^{(6)}_{j'}} (\cdot,\omega_{j'})\omega_{j'} - e^{-i s   \lambda^{0,(6)}_{j'}} (\cdot,\omega^0_{j'})\omega^0_{j'} \right)   \right\| \varepsilon^{r} (t^2 + \varepsilon^2)^{-r/2} \le \widehat{C} (s) \varepsilon, \\ t=c\varepsilon^{2/3},
\end{multline}
при всех достаточно малых $\varepsilon = \varkappa^3$.

Предположим, что $\dim \mathfrak{N}_{q',q} = 1$. Тогда $\omega_j = \omega^0_j$ и из~(\ref{abstr_shrp_f5}) следует, что
\begin{equation}
\label{abstr_shrp_f6}
\left| e^{-i s  \lambda^{(6)}_{j}} - e^{-i s   \lambda^{0,(6)}_{j}} \right| \varepsilon^{r} (t^2 + \varepsilon^2)^{-r/2} \le \widehat{C} (s) \varepsilon, \qquad t=c\varepsilon^{2/3},
\end{equation}
при всех достаточно малых $\varepsilon$. Левая часть неравенства~(\ref{abstr_shrp_f6}) может быть записана как $2 \left| \sin \left( \frac{1}{2} s (\lambda^{(6)}_{j} - \lambda^{0,(6)}_{j})\right) \right| \varepsilon^{r} (t^2 + \varepsilon^2)^{-r/2}$. Пользуясь формулами~(\ref{abstr_kappa^6_lambda^(6)}) и~(\ref{abstr_kappa^6_lambda^0,(6)}), получаем равенство $\lambda^{(6)}_j - \lambda^{0,(6)}_j = c^3 (N_{11} \omega_j, \omega_j)$. Выберем $c=\pi^{1/3} |s(N_{11}\omega_j,\omega_j)|^{-1/3}$. Тогда 
\begin{equation*}
2 \left| \sin \left(  \frac{1}{2} s (\lambda^{(6)}_{j} - \lambda^{0,(6)}_{j})\right) \right| = 2.
\end{equation*} 
Отсюда и из~(\ref{abstr_shrp_f6}) следует, что функция $\varepsilon^{r/3-1}(c^2 +  \varepsilon^{2/3})^{-r/2}$ равномерно ограничена при малых $\varepsilon$. Но это неверно, если $r < 3$. Мы приходим к противоречию.

Теперь пусть $\dim \mathfrak{N}_{q',q} > 1$. В силу~(\ref{abstr_kappa_Y^(q',q)_eigenvalues}), (\ref{abstr_kappa^6_eq_2_0}) выражение под знаком нормы допускает инвариантную запись:
\begin{equation}
\label{abstr_shrp_invar_repr}
\sum_{j'=j}^{j+k_{q',q} - 1} \left( e^{-i s  \lambda^{(6)}_{j'}} (\cdot,\omega_{j'})\omega_{j'} - e^{-i s   \lambda^{0,(6)}_{j'}} (\cdot,\omega^0_{j'})\omega^0_{j'} \right) =   e^{-is (c^3 P_{q',q}N_{11}|_{\mathfrak{N}_{q'q}} + \Upsilon^{(q',q)})} - e^{-is \Upsilon^{(q',q)}}.
\end{equation}

Будем считать, что параметр $c$ большой. Положим $\upsilon = c^{-3}$ и рассмотрим операторный пучок $P_{q',q}N_{11}|_{\mathfrak{N}_{q'q}} + \upsilon \Upsilon^{(q',q)}$. Cогласно общей аналитической теории возмущений при достаточно малом $\upsilon$ существуют вещественно-аналитические функции $\widetilde{\lambda}^{(6)}_{j'} (\upsilon)$ (ветви собственных значений) и вещест\-венно-аналитичес\-кие $\mathfrak{N}_{q',q}$-знач\-ные функции $\widetilde{\omega}_{j'} (\upsilon)$ (ветви собственных векторов), такие что
\begin{equation*}
%\label{abstr_kappa_c_eigenvalues_eigenvectors}
P_{q',q}(N_{11} + \upsilon \Upsilon^{(q',q)}) \widetilde{\omega}_{j'}(\upsilon) = \widetilde{\lambda}^{(6)}_{j'} (\upsilon) \widetilde{\omega}_{j'}(\upsilon), \qquad j' = j, \ldots, j+k_{q',q}-1,
\end{equation*}
причём $\widetilde{\omega}_{j'}(\upsilon)$,  $j' = j, \ldots, j+k_{q',q}-1 $, образуют ортонормированный базис в $\mathfrak{N}_{q',q}$. Для достаточно малого $\upsilon_*$ справедливы сходящиеся степенные разложения:
\begin{align}
\label{abstr_kappa_c_eigenvalues_series}
\widetilde{\lambda}^{(6)}_{j'} (\upsilon) &= \chi_{j'} + \widetilde{\lambda}^{(1,6)}_{j'} \upsilon + \ldots, & &| \upsilon | \le \upsilon_*,   \\
\label{abstr_kappa_c_eigenvectors_series}
\widetilde{\omega}_{j'}(\upsilon) &= \varpi_{j'} + \upsilon \widetilde{\omega}^{(1)}_{j'} + \ldots, & &| \upsilon | \le \upsilon_*,
\end{align} 
Здесь $\chi_{j'}$ и $\varpi_{j'}$~--- собственные числа и собственные векторы оператора $P_{q',q} N_{11}|_{\mathfrak{N}_{q',q}}$:
\begin{equation}
\label{abstr_kappa_N11_block_eigenvalues}
P_{q',q} N_{11} \varpi_{j'} = \chi_{j'} \varpi_{j'}, \qquad j' = j, \ldots, j+k_{q',q}-1.
\end{equation}
Векторы $\varpi_{j'}$,  $j' = j, \ldots, j+k_{q',q}-1$, образуют ортонормированный базис в $\mathfrak{N}_{q',q}$. 

Далее, пусть $\widetilde{\omega}^0_{j'}$, $j'=j, \ldots, j+k_{q',q}-1$,~--- ортонормированные собственные векторы оператора $\Upsilon^{(q',q)}$:
\begin{equation*}
\Upsilon^{(q',q)} \widetilde{\omega}^0_{j'} = \lambda^{0,(6)}_{j'} \widetilde{\omega}^0_{j'}, \qquad j' = j, \ldots, j+k_{q',q}-1.
\end{equation*} 
Векторы $\widetilde{\omega}^0_{j'}$,  $j' = j, \ldots, j+k_{q',q}-1$, образуют ортонормированный базис в $\mathfrak{N}_{q',q}$.
Справедливо следующее равенство:
\begin{multline}
\label{abstr_shrp_omega_tilde_repr}
  e^{-is (c^3 P_{q',q}N_{11}|_{\mathfrak{N}_{q'q}} + \Upsilon^{(q',q)})} - e^{-is \Upsilon^{(q',q)}} =\\= \sum_{j'=j}^{j+k_{q',q} - 1} \left( e^{-i s  \lambda^{(6)}_{j'}(c)} (\cdot,\widetilde{\omega}_{j'}(c^{-3}))\widetilde{\omega}_{j'}(c^{-3}) - e^{-i s   \lambda^{0,(6)}_{j'}} (\cdot,\widetilde{\omega}^0_{j'})\widetilde{\omega}^0_{j'} \right),
\end{multline}
где $\lambda^{(6)}_{j'} (c) = c^3\widetilde{\lambda}^{(6)}_{j'} (c^{-3})$.

По условию $P_{q',q} N_{11} P_{q',q}  \ne 0$. Тогда в силу~(\ref{abstr_kappa_N11_block_eigenvalues}) найдётся номер $l$ такой, что $\chi_l \ne 0$. Применим оператор~(\ref{abstr_shrp_omega_tilde_repr}) к элементу $\widetilde{\omega}_l (c^{-3})$:
 \begin{multline}
 \label{abstr_shrp_p3_appld}
 e^{-i s \lambda^{(6)}_{l}(c)} \widetilde{\omega}_{l} (c^{-3}) - \sum_{j'=j}^{j+k_{q',q}-1} e^{-i s \lambda^{0,(6)}_{j'}} (\widetilde{\omega}_{l} (c^{-3}),\widetilde{\omega}^0_{j'}) \widetilde{\omega}^0_{j'} = \\ = \sum_{j'=j}^{j+k_{q',q}-1} \left( e^{-i s \lambda^{(6)}_l(c)} - e^{-i s \lambda^{0,(6)}_{j'}} \right) (\widetilde{\omega}_{l} (c^{-3}),\widetilde{\omega}^0_{j'})\widetilde{\omega}^0_{j'}.
 \end{multline}
 Из~(\ref{abstr_kappa_c_eigenvectors_series}) следует оценка
 \begin{equation}
 \label{abstr_kappa_omega(c)_est}
\left\| \widetilde{\omega}_{j'}(c^{-3}) - \varpi_{j'} \right\| = O\left( \frac{1}{c^3} \right), \qquad j' = j, \ldots, j+k_{q',q}-1, 
\end{equation}
при больших $c$. Ясно, что найдётся номер $k$ такой, что $(\varpi_l, \widetilde{\omega}^{0}_k) \ne 0$, а значит, в силу~(\ref{abstr_kappa_omega(c)_est}) $(\widetilde{\omega}_l(c^{-3}), \widetilde{\omega}^{0}_k) \ne 0$ при достаточно больших $c$.
 Очевидно, 
\begin{equation*}
\left|  e^{-i s \lambda^{(6)}_{l}(c)} - e^{-i s \lambda^{0,(6)}_{k}} \right| = 2 \left| \sin \left( \frac{1}{2} s (\lambda^{(6)}_{l}(c) - \lambda^{0,(6)}_{k}) \right)\right|.
\end{equation*}
Воспользуемся рядами~(\ref{abstr_kappa_c_eigenvalues_series}). Имеем при больших $c$:
\begin{equation*}
\lambda^{(6)}_l (c) - \lambda^{0,(6)}_k = c^3 \chi_l + \widetilde{\lambda}^{(1,6)}_l - \lambda^{0,(6)}_k + O\left(\frac{1}{c^3}\right).
\end{equation*}
Выберем $c$ так, чтобы число $s (\lambda^{(6)}_l (c) - \lambda^{0,(6)}_k)$ попало в $\frac{\pi}{2}$-окрестность одной из точек множества $\pi + 2\pi \mathbb{Z}$. Тогда 
\begin{equation*}
2 \left| \sin \left( \frac{1}{2} s (\lambda^{(6)}_{l}(c) - \lambda^{0,(6)}_{k}) \right)\right| \ge \sqrt{2}.
\end{equation*}

Таким образом, из~(\ref{abstr_shrp_f5}), (\ref{abstr_shrp_invar_repr}), (\ref{abstr_shrp_omega_tilde_repr}) и~(\ref{abstr_shrp_p3_appld}) следует, что справедлива оценка
\begin{equation}
\label{abstr_shrp_f7}
\left|  e^{-i s \lambda^{(6)}_l(c)} - e^{-i s \lambda^{0,(6)}_{k}} \right|  |(\widetilde{\omega}_{l} (c^{-3}),\widetilde{\omega}^0_{k})| \varepsilon^{r} (t^2 + \varepsilon^2)^{-r/2} \le \widehat{C} (s) \varepsilon, \qquad t=c\varepsilon^{2/3},
\end{equation}
при всех достаточно малых $\varepsilon$, причём модули в левой части~(\ref{abstr_shrp_f7}) не равны нулю. Поэтому функция $\varepsilon^{r/3-1}(c^2 +  \varepsilon^{2/3})^{-r/2}$ равномерно ограничена при малых $\varepsilon$, что неверно, если $r < 3$. Полученное противоречие завершает доказательство.
\end{proof}



\subsection{Пороговые аппроксимации в случае семейства \\ $\mathfrak{B}(\tau; \vartheta) = M^* \widehat{\mathfrak{B}}(\tau; \vartheta) M$}
\label{abstr_sndw_section}

\subsubsection{Операторное семейство вида $A(t) = M^* \widehat{A} (t) M$}
\label{abstr_sndwA_section}
Наряду с пространством $\mathfrak{H}$ рассмотрим ещё одно сепарабельное гильбертово пространство $\widehat{\mathfrak{H}}$. Пусть $\widehat{X} (t) = \widehat{X}_0 + t \widehat{X}_1 \colon \widehat{\mathfrak{H}} \to \mathfrak{H}_* $~--- семейство операторов того же вида, что и $X(t)$, причём для $\widehat{X} (t)$ выполнены предположения п.~\ref{abstr_X_A_section}. При этом пространство $\mathfrak{H}_*$ остаётся прежним. Пусть $M \colon \mathfrak{H} \to \widehat{\mathfrak{H}}$~--- изоморфизм. Предположим, что
\begin{equation}
    \label{abstr_M_dom_X0}
    M \Dom X_0 = \Dom \widehat{X}_0, \; X(t) = \widehat{X} (t) M,
\end{equation}
а тогда и $X_0 = \widehat{X}_0 M$, $X_1 = \widehat{X}_1 M$. В $\widehat{\mathfrak{H}}$ введём семейство самосопряжённых операторов $\widehat{A} (t) = \widehat{X} (t)^* \widehat{X} (t)$. Тогда, очевидно,
\begin{equation*}
    A(t) = M^* \widehat{A} (t) M.
\end{equation*} 
Все объекты, отвечающие семейству $\widehat{A}(t)$, далее помечаются значком \textquotedblleft$\widehat{\phantom{m}}$\textquotedblright. Отметим, что $\widehat{\mathfrak{N}} = M \mathfrak{N}$, $\widehat{n} = n$, $\widehat{\mathfrak{N}}_* = M \mathfrak{N}_*$, $\widehat{n}_* = n_*$, $\widehat{P}_* = P_*$.

В пространстве $\widehat{\mathfrak{H}}$ рассмотрим положительно определённый оператор
\begin{equation}
    \label{abstr_frakQ}
    \mathfrak{Q} \coloneqq (M M^*)^{-1} \colon \widehat{\mathfrak{H}} \to \widehat{\mathfrak{H}}.
\end{equation}
Пусть $\mathfrak{Q}_{\widehat{\mathfrak{N}}}$~--- блок оператора $\mathfrak{Q}$ в подпространстве $\widehat{\mathfrak{N}}$, т.е.
\begin{equation*}
    \mathfrak{Q}_{\widehat{\mathfrak{N}}} = \widehat{P} \mathfrak{Q}|_{\widehat{\mathfrak{N}}} \colon \widehat{\mathfrak{N}} \to \widehat{\mathfrak{N}}. 
\end{equation*}
Очевидно, $\mathfrak{Q}_{\widehat{\mathfrak{N}}}$~--- изоморфизм в $\widehat{\mathfrak{N}}$.

Как показано в \cite[предложение~1.2]{Su2007}, ортопроектор $P$ в $\mathfrak{H}$ на $\mathfrak{N}$ и ортопроектор $\widehat{P}$ в $\widehat{\mathfrak{H}}$ на $\widehat{\mathfrak{N}}$ связаны соотношением
\begin{equation}
    \label{abstr_P_Phat}
    P = M^{-1} (\mathfrak{Q}_{\widehat{\mathfrak{N}}})^{-1} \widehat{P} (M^*)^{-1}. 
\end{equation}
Пусть $\widehat{S} \colon \widehat{\mathfrak{N}} \to \widehat{\mathfrak{N}}$~--- спектральный росток семейства $\widehat{A} (t)$ при $t = 0$,
а $S$~--- росток семейства $A (t)$. В \cite[гл.~1, п.~1.5] {BSu2003} установлено следующее тождество:
\begin{equation}
	\label{abstr_S_Shat}
    S = P M^* \widehat{S} M |_\mathfrak{N}.
\end{equation}

\subsubsection{Операторное семейство $\mathfrak{B}(\tau; \vartheta) = M^* \widehat{\mathfrak{B}} (\tau; \vartheta) M$}
\label{abstr_sndw_B_section}
Пусть $\widehat{Y} (t) = \widehat{Y}_0 + t \widehat{Y}_1 \colon \widehat{\mathfrak{H}} \to \widetilde{\mathfrak{H}} $~--- семейство операторов того же вида, что и $Y(t)$, причём для $\widehat{Y} (t)$ выполнены предположения п.~\ref{abstr_Y_section}. Пространство $\widetilde{\mathfrak{H}}$ при этом остаётся прежним.
Положим $Y (t) = \widehat{Y} (t) M$, $M \Dom Y_0 = \Dom  \widehat{Y}_0$, а тогда и $Y_0 = \widehat{Y}_0 M$, $Y_1 = \widehat{Y}_1 M$. Поскольку $\Dom \widehat{X}_0 \subset \Dom \widehat{Y}_0$ и выполнено~(\ref{abstr_M_dom_X0}), то справедливо $\Dom X_0 \subset \Dom Y_0$. В силу наших предположений $\widehat{X} (t)$ и $\widehat{Y} (t)$ удовлетворяют условию~\ref{abstr_Y(t)_cond} с некоторой константой $\widehat{c}_1$:
\begin{equation*}
    \| \widehat{Y}(t)u \|_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \le \widehat{c}_1 \| \widehat{X}(t)u \|_{\mathfrak{H}_{*}}, \qquad  u \in \Dom \widehat{X}_0 , \; t \in \mathbb{R}.
\end{equation*}
Тогда для $Y(t)$ условие~\ref{abstr_Y(t)_cond} выполнено с той же константой $c_1 = \widehat{c}_1$:
\begin{equation*}
    \| Y(t)u \|_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \le c_1 \| X(t)u \|_{\mathfrak{H}_{*}}, \qquad  u \in \Dom X_0 , \; t \in \mathbb{R}.
\end{equation*}

Теперь, пусть $\widehat{Y}_2 \colon  \widehat{\mathfrak{H}} \to \widetilde{\mathfrak{H}}$~--- оператор, удовлетворяющий требованиям п.~\ref{abstr_Y_section}. Положим $Y_2 = \widehat{Y}_2 M$, $M \Dom Y_2 = \Dom  \widehat{Y}_2$. Поскольку $\Dom \widehat{X}_0 \subset \Dom \widehat{Y}_2$ и выполнено~(\ref{abstr_M_dom_X0}), то справедливо $\Dom X_0 \subset \Dom Y_2$. Пусть условие сильной подчинённости~\ref{abstr_Y2_cond} для $\widehat{Y}_2$ выполнено с некоторой константой $\widehat{C}(\nu) > 0$. Тогда для $Y_2$ выполнено
\begin{equation*}
    \| Y_2 u \|_{\widetilde{\mathfrak{H}}}^2 \le \nu \|X(t) u\|_{\mathfrak{H}_{*}}^2 + C(\nu) \|u\|_{\mathfrak{H}}^2, \qquad  u \in \Dom X_0, \; t \in \mathbb{R},
\end{equation*}
для любого $\nu > 0$ c константой $C(\nu) = \widehat{C}(\nu) \| M \|^2 > 0$.

Далее, пусть $\widehat{\mathfrak{q}} [u, v]$~--- форма, заданная на пространстве $\widehat{\mathfrak{H}}$, для которой выполнено условие~\ref{abstr_q_cond} с постоянными $\widehat{\kappa}$, $\widehat{c}_0$, $\widehat{c}_2$, $\widehat{c}_3$. Введём в рассмотрение форму $\mathfrak{q} [u, v] = \widehat{\mathfrak{q}} [M u, M v]$, $M \Dom \mathfrak{q} = \Dom \widehat{\mathfrak{q}}$. Условие~\ref{abstr_q_cond} для формы $\mathfrak{q}$ выполнено с константами
\begin{equation}
\label{abstr_sndw_q_consts}
\begin{gathered}
c_0 = \| M \|^2 \widehat{c}_0, \quad \text{если} \; \widehat{c}_0 \ge 0, \qquad c_0 = \| M^{-1} \|^{-2} \widehat{c}_0, \quad \text{если} \; \widehat{c}_0 < 0, \\
\kappa = \widehat{\kappa}, \qquad c_2 =  \widehat{c}_2, \qquad c_3 = \| M \|^2 \widehat{c}_3.
\end{gathered}
\end{equation} 
Постоянную $c_4$ можно выбрать следующим образом:
\begin{equation}
\label{abstr_sndw_c4}
c_4 = \| M \|^2 \widehat{c}_4,
\end{equation}
где $\widehat{c}_4 = 4 \widehat{\kappa}^{-1} \widehat{c}_1^2 \widehat{C}(\nu)$ при $\nu = \widehat{\kappa}^2 (16 \widehat{c}_1^2)^{-1}$.

Наконец, если $\widehat{Q}_0$~--- ограниченный положительно определённый оператор в $\widehat{\mathfrak{H}}$, то $Q_0 = M^* \widehat{Q}_0 M$~--- ограниченный положительно определённый оператор в $\mathfrak{H}$.

Рассмотрим операторные пучки вида
\begin{gather}
	\label{abstr_sndw_Bhat}
    \widehat{\mathfrak{B}} (t, \varepsilon) = \widehat{A}(t) + \varepsilon (\widehat{Y}_2^* \widehat{Y}(t) + \widehat{Y}(t)^* \widehat{Y}_2) + \varepsilon^2 \widehat{Q} + \lambda \varepsilon^2 \widehat{Q}_0, \\
    \label{abstr_sndw_B}
    \mathfrak{B} (t, \varepsilon) = A(t) + \varepsilon (Y_2^* Y(t) + Y(t)^* Y_2) + \varepsilon^2 Q + \lambda \varepsilon^2 Q_0. 
\end{gather}
Они связаны соотношением 
\begin{equation}
    \label{abstr_sndw_B_and_Bhat}
    \mathfrak{B} (t, \varepsilon) = M^* \widehat{\mathfrak{B}} (t, \varepsilon) M.
\end{equation}
Параметр $\lambda$ выберем так, чтобы выполнялось условие~(\ref{abstr_lambda}) для пучка $\mathfrak{B} (t, \varepsilon)$. В силу~(\ref{abstr_sndw_q_consts}), (\ref{abstr_sndw_c4}) и связи $Q_0 = M^* \widehat{Q}_0 M$, получаем, что условие~(\ref{abstr_lambda}) выполнено и для пучка $\widehat{\mathfrak{B}} (t, \varepsilon)$. 

Отметим, что для оператора $\widehat{\mathfrak{B}} (t, \varepsilon)$ соотношения~(\ref{abstr_beta}) имеют вид
\begin{align*}
        \qquad \qquad \qquad \widehat{\beta} &= \lambda \| \widehat{Q}_0^{-1} \|^{-1} - \widehat{c}_0 - \widehat{c}_4, & &\text{если} \; \lambda \ge 0, \qquad \qquad \qquad \\
         \qquad\qquad \qquad \widehat{\beta} &= \lambda \| \widehat{Q}_0 \| - \widehat{c}_0 - \widehat{c}_4, & &\text{если} \; \lambda < 0 \; \text{и} \; \widehat{c}_0 + \widehat{c}_4 < 0. \qquad \qquad\qquad 
\end{align*}
Тогда из~(\ref{abstr_sndw_q_consts}), (\ref{abstr_sndw_c4}) вытекает оценка
\begin{align*}
\qquad \qquad \qquad \beta &\le \|M\|^2 \widehat{\beta}, & &\text{если} \; \lambda \ge 0, \qquad \qquad \qquad \\
\qquad \qquad \qquad \beta &\le \|M^{-1}\|^{-2} \widehat{\beta}, & &\text{если} \; \lambda < 0. \qquad \qquad \qquad
\end{align*}

В \cite[лемма~1.7]{M2013} были установлены следующие равенства:
\begin{equation}
\label{abstr_sndw_M2013_lemma1.7}
\widehat{X}_0 \widehat{Z} M |_{\mathfrak{N}} = X_0 Z|_{\mathfrak{N}}, \qquad \widehat{X}_0 \widehat{\widetilde{Z}} M |_{\mathfrak{N}} = X_0 \widetilde{Z}|_{\mathfrak{N}}.
\end{equation}
Пусть $\widehat{\EuScript{S}} (\vartheta) \colon \widehat{\mathfrak{N}} \to \widehat{\mathfrak{N}}$~--- спектральный росток семейства $\widehat{\mathfrak{B}} (t, \varepsilon)$,
а $\EuScript{S} (\vartheta)$~--- росток семейства $\mathfrak{B} (t, \varepsilon)$. Из~(\ref{abstr_S_Shat}), (\ref{abstr_sndw_M2013_lemma1.7}) и равенств $PM^* = PM^* \widehat{P}$, $Y_1 = \widehat{Y}_1 M$, $Y_2 = \widehat{Y}_2 M$, $Q = M^* \widehat{Q} M$, $Q_0 = M^* \widehat{Q}_0 M$ следует следующее тождество:
\begin{equation}
    \label{abstr_scrS_scrShat}
    \EuScript{S} (\vartheta) = P M^* \widehat{\EuScript{S}} (\vartheta) M |_\mathfrak{N}.
\end{equation}

\subsubsection{Операторы $\widehat{Z}_{\mathfrak{Q}}$ и $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}}$}
\label{abstr_Z_Qhat_N_Qhat_section}
Для операторного семейства $\widehat{A} (t)$ введём оператор $\widehat{Z}_{\mathfrak{Q}}$, действующий в $\widehat{\mathfrak{H}}$ и сопоставляющий элементу $\widehat{u} \in \widehat{\mathfrak{H}}$ решение  $\widehat{\phi}_{\mathfrak{Q}}$ задачи

\begin{equation*}
\widehat{X}^*_0 (\widehat{X}_0 \widehat{\phi}_\mathfrak{Q} + \widehat{X}_1 \widehat{\omega}) = 0, \quad {\mathfrak{Q}} \widehat{\phi}_{\mathfrak{Q}} \perp \widehat{\mathfrak{N}},
\end{equation*}
где $\widehat{\omega} = \widehat{P} \widehat{u}$. Как показано в~\cite[лемма~6.1]{BSu2005}, оператор $Z$ для семейства $A(t)$ и введённый оператор $\widehat{Z}_{\mathfrak{Q}}$ связаны соотношением 
\begin{equation*}
%\label{abstr_Z_and_hatZ_Q_relat}
\widehat{Z}_{\mathfrak{Q}} =M Z M^{-1} \widehat{P}.
\end{equation*}
Введём оператор
\begin{equation}
\label{abstr_N_Qhat}
\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}} \coloneqq \widehat{Z}_{\mathfrak{Q}}^* \widehat{X}_1^* \widehat{R} \widehat{P} + (\widehat{R} \widehat{P})^* \widehat{X}_1  \widehat{Z}_{\mathfrak{Q}}.
\end{equation}
Согласно~\cite[лемма~6.2]{BSu2005}, оператор $N_{11}$ для семейства $A(t)$ и введённый оператор~(\ref{abstr_N_Qhat}) связаны соотношением
\begin{equation}
\label{abstr_N_and_hatN_Q_relat}
\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}} = \widehat{P} (M^*)^{-1} N_{11} M^{-1} \widehat{P}.
\end{equation}

Справедлива следующая лемма, доказанная в~\cite[лемма~5.1]{Su2017}.
\begin{lemma}[\cite{Su2017}]
	\label{abstr_N_Nhat_lemma}
	Пусть оператор $N_{11}$ определён в~\emph{(\ref{abstr_N11})}, а оператор $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}}$ определён в~\emph{(\ref{abstr_N_Qhat})}. Тогда условие $N_{11} = 0$ равносильно равенству $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}} = 0$.
\end{lemma}

\subsubsection{Аппроксимация окаймлённой операторной экспоненты}
\label{abstr_sndw_exp_section}
В этом пункте мы находим аппроксимацию для операторной экспоненты $e^{-i s \varepsilon^{-2} \mathfrak{B}(t,\varepsilon)}$ семейства вида~(\ref{abstr_sndw_B_and_Bhat}) в терминах оператора $\widehat{L}(t, \varepsilon)$, отвечающего семейству~(\ref{abstr_sndw_Bhat}), и изоморфизма $M$. При этом оказывается удобным окаймить экспоненту подходящими множителями.

Положим 
\begin{equation}
\label{abstr_M0}
M_0 \coloneqq (\mathfrak{Q}_{\widehat{\mathfrak{N}}})^{-1/2}.
\end{equation}
Следующее утверждение является аналогом предложения~3.1 из~\cite{BSu2008}.
\begin{proposition}
	Справедливо равенство
	\begin{equation}
	\label{abstr_sndw_exp_scrS_relation}
	M e^{ - is \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta) P} P M^* = M_0 e^{ - is \tau^2 M_0 \widehat{\EuScript{S}}  (\vartheta) M_0} M_0 \widehat{P}.
	\end{equation}	
\end{proposition}

\begin{proof}
	Пусть $\phi \in \mathfrak{H}$. Рассмотрим задачу Коши
	\begin{equation}
	\label{abstr_sndw_exp_scrS_relation_proof1}
	\left\{
		\begin{aligned}
		i\frac{d}{d s} &U(s) = \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta) U(s), \\
		&U(0) = PM^* \phi.
		\end{aligned}
		 \right.
	\end{equation}
	Очевидно, $U(s) = e^{ - is \tau^2 \EuScript{S} (\vartheta) P} P M^* \phi$~--- решение этой задачи. Используя соотношение~(\ref{abstr_scrS_scrShat}) и принимая во внимание равенство $PM^* = M^{-1} M_0^2 \widehat{P}$ (которое следует из~(\ref{abstr_P_Phat}) и~(\ref{abstr_M0})), получаем, что задача~(\ref{abstr_sndw_exp_scrS_relation_proof1}) эквивалентна следующей задаче:
	\begin{equation*}
	\left\{
	\begin{aligned}
	i\frac{d}{d s} &U(s) =  \tau^2 M^{-1} M_0^2 \widehat{\EuScript{S}} (\vartheta) M_0^2 (M^*)^{-1} U(s), \\
	&U(0) = M^{-1} M_0^2 \widehat{P} \phi.
	\end{aligned}
	\right.
	\end{equation*}
	Сделаем замену $\widehat{U} (s) = M_0^{-1} M U(s)$. Учитывая~(\ref{abstr_frakQ}) и~(\ref{abstr_M0}), получаем, что $\widehat{U} (s)$ является решением задачи
	\begin{equation*}
	\left\{
	\begin{aligned}
	i \frac{d }{d s} &\widehat{U}(s) =  \tau^2  M_0 \widehat{\EuScript{S}} (\vartheta) M_0 \widehat{U}(s), \\
	&\widehat{U}(0) =  M_0 \widehat{P} \phi.
	\end{aligned}
	\right.
	\end{equation*}
	Её решение: $\widehat{U} (s) = e^{ - is \tau^2 M_0 \widehat{\EuScript{S}}  (\vartheta) M_0} M_0 \widehat{P} \phi$. Из равенства $ M_0 \widehat{U} (s) =  M U(s)$ следует~(\ref{abstr_sndw_exp_scrS_relation}).
\end{proof}

Введём обозначение
\begin{equation}
\label{abstr_J}
J(t; \varepsilon; s) = M e^{-i s \mathfrak{B}(t, \varepsilon)} M^{-1} \widehat{P} -  M_0 e^{-i s M_0 \widehat{L} (t, \varepsilon) M_0} M_0^{-1} \widehat{P}.
\end{equation}
Следующая лемма является аналогом~\cite[лемма~5.3]{Su2017}.
\begin{lemma}
	В предположениях пп.~\emph{\ref{abstr_sndwA_section}}, \emph{\ref{abstr_sndw_B_section}} справедливы оценки
	\begin{gather}
	\label{abstr_sndw_exp_est}
	\| J(t; \varepsilon; s)\|_{\widehat{\mathfrak{H}} \to \widehat{\mathfrak{H}}} \le \| M \|^2 \| M^{-1} \|^2 \| e^{-i s \mathfrak{B}(t; \varepsilon)} P -  e^{-i s L(t; \varepsilon) P} P \|_{\mathfrak{H} \to \mathfrak{H}}, \\
	\label{abstr_sndw_exp_inv_est}
	\| e^{-i s \mathfrak{B}(t; \varepsilon)} P -  e^{-i s L(t, \varepsilon) P} P \|_{\mathfrak{H} \to \mathfrak{H}} \le \| M \|^2 \| M^{-1} \|^2 \| J(t; \varepsilon; s)\|_{\widehat{\mathfrak{H}} \to \widehat{\mathfrak{H}}}.
	\end{gather}
\end{lemma}

\begin{proof} С учётом равенства $M_0 = (Q_{\widehat{\mathfrak{N}}})^{-1/2}$ имеем
	\begin{equation*}
	\| J(t; \varepsilon; s)\|_{\widehat{\mathfrak{H}} \to \widehat{\mathfrak{H}}} = \left\| \left(  M e^{-i s \mathfrak{B}(t, \varepsilon)} M^{-1} Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}^{-1} \widehat{P} -  M_0 e^{-i s M_0 \widehat{L}(t, \varepsilon) M_0} M_0 \widehat{P} \right) Q_{\widehat{\mathfrak{N}}} \widehat{P}  \right\|_{\widehat{\mathfrak{H}} \to \widehat{\mathfrak{H}}}.
	\end{equation*}
	Воспользуемся соотношением $M^{-1} Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}^{-1} \widehat{P} = P M^*$ (см.~(\ref{abstr_P_Phat})), (\ref{abstr_L(t,eps)}) и тождеством~(\ref{abstr_sndw_exp_scrS_relation}). Тогда
	\begin{equation*}
	\| J(t; \varepsilon; s)\|_{\widehat{\mathfrak{H}} \to \widehat{\mathfrak{H}}} = \left\| \left(  M e^{-i s \mathfrak{B}(t, \varepsilon)} P M^* -  M e^{-i s L(t, \varepsilon) P} P M^* \right) Q_{\widehat{\mathfrak{N}}} \widehat{P}  \right\|_{\widehat{\mathfrak{H}} \to \widehat{\mathfrak{H}}}.
	\end{equation*}
	Отсюда следует, что
	\begin{equation*}
	\| J(t; \varepsilon; s)\|_{\widehat{\mathfrak{H}} \to \widehat{\mathfrak{H}}} \le \| M \|^2 \| Q_{\widehat{\mathfrak{N}}} \widehat{P}\| \| e^{-i s \mathfrak{B}(t, \varepsilon)} P - e^{-i s L(t, \varepsilon) P} P \|_{\mathfrak{H} \to \mathfrak{H}}.
	\end{equation*}
	Учитывая, что $\|Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}\| \le \|Q\| = \|M^{-1}\|^2$, приходим к оценке~(\ref{abstr_sndw_exp_est}).
	
	Оценка~(\ref{abstr_sndw_exp_inv_est}) проверяется аналогичными рассуждениями \textquotedblleft обратным ходом\textquotedblright. Очевидно,
	\begin{equation*}
	\| e^{-i s \mathfrak{B}(t, \varepsilon)} P - e^{-i s L(t, \varepsilon) P} P \|_{\mathfrak{H} \to \mathfrak{H}}  \le \| M^{-1} \|^2 \|M e^{-i s \mathfrak{B}(t, \varepsilon)} PM^* -  M e^{-i s L(t, \varepsilon) P} P M^* \|_{\widehat{\mathfrak{H}} \to \widehat{\mathfrak{H}}}.
	\end{equation*}
	Учитывая $P M^* = M^{-1} Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}^{-1} \widehat{P}$, (\ref{abstr_L(t,eps)}) и тождество~(\ref{abstr_sndw_exp_scrS_relation}), получаем
	\begin{equation*}
	\| M^{-1} \|^2 \|M e^{-i s \mathfrak{B}(t, \varepsilon)} PM^* -  M e^{-i s L(t, \varepsilon) P} P M^* \|_{\widehat{\mathfrak{H}} \to \widehat{\mathfrak{H}}} = \| M^{-1} \|^2 \|J(t; \varepsilon; s) Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}^{-1} \widehat{P}\|_{\widehat{\mathfrak{H}} \to \widehat{\mathfrak{H}}}.
	\end{equation*}
	Отсюда и из неравенства $\| Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}^{-1} \widehat{P}\| \le \| M \|^2$ (которое вытекает из тождества $Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}^{-1} \widehat{P} = M P M^*$), получаем~(\ref{abstr_sndw_exp_inv_est}).
\end{proof}

Применяя неравенство~(\ref{abstr_sndw_exp_est}) и принимая во внимание лемму~\ref{abstr_N_Nhat_lemma}, из теорем~\ref{abstr_exp_general_thrm}, \ref{abstr_exp_enchcd_thrm} получаем следующие результаты. Здесь используется обозначение~(\ref{abstr_J}).
\begin{thrm}
	\label{abstr_sndw_exp_general_thrm}
	В предположениях пп.~\emph{\ref{abstr_sndwA_section}}, \emph{\ref{abstr_sndw_B_section}} при $s \in \mathbb{R}$, $\varepsilon > 0$ и $|\tau| \le \tau^0$ выполнена оценка
	\begin{equation*}
%	\label{abstr_sndw_exp_general_est}
	\| J(t; \varepsilon; \varepsilon^{-2} s) \|_{\widehat{\mathfrak{H}} \to \widehat{\mathfrak{H}}} \varepsilon^3 (t^2 + \varepsilon^2)^{-3/2} \le \|M\|^2 \|M^{-1}\|^2 (2C_1  + C_2 |s| ) \varepsilon. 
	\end{equation*}
	Число $\tau^0$ подчинено~\emph{(\ref{abstr_tau0})}, а постоянные $C_1$, $C_2$ определены в теореме~\emph{\ref{abstr_exp_general_thrm}}.
\end{thrm}

\begin{thrm}
	\label{abstr_sndw_exp_enchcd_thrm}
	Пусть выполнены предположения пп.~\emph{\ref{abstr_sndwA_section}}, \emph{\ref{abstr_sndw_B_section}} и пусть оператор $\widehat{N}_{11, \mathfrak{Q}}$, определённый в~\emph{(\ref{abstr_N_Qhat})}, равен нулю: $\widehat{N}_{11, \mathfrak{Q}} = 0$. Тогда при $s \in \mathbb{R}$, $\varepsilon > 0$ и $|\tau| \le \tau^0$ выполнена оценка
	\begin{equation*}
	\| J(t; \varepsilon; \varepsilon^{-2} s) \|_{\widehat{\mathfrak{H}} \to \widehat{\mathfrak{H}}} \varepsilon^{2} (t^2 + \varepsilon^2)^{-1} \le \|M\|^2 \|M^{-1}\|^2 (2 C_1  + C_6 |s| ) \varepsilon.
	\end{equation*}
	Число $\tau^0$ подчинено~\emph{(\ref{abstr_tau0})}, а постоянные $C_1$, $C_6$ определены в теореме~\emph{\ref{abstr_exp_enchcd_thrm}}.
\end{thrm}

\subsubsection{Подтверждение точности результата}
\label{abstr_sndw_shrp_section}
Укажем связь коэффициентов $\lambda^{(4)}_l$, $\omega_l$, $l = 1, \ldots, n$, степенных разложений~(\ref{abstr_B_kappa_eigenvalues_series}), (\ref{abstr_B_kappa_eigenvectors_series}) при $c=1$ и операторов $\widehat{S}$ и $\mathfrak{Q}_{\widehat{\mathfrak{N}}}$. Положим $\zeta_l \coloneqq M \omega_l \in \widehat{\mathfrak{N}}$, $l = 1, \ldots, n$. Тогда из~(\ref{abstr_kappa_S_eigenvalues}) и~(\ref{abstr_P_Phat}), (\ref{abstr_S_Shat}) видно, что
\begin{equation}
\label{abstr_hatS_gener_spec_problem}
\widehat{S} \zeta_l  = \lambda^{(4)}_l \mathfrak{Q}_{\widehat{\mathfrak{N}}} \zeta_l, \qquad l = 1, \ldots, n. 
\end{equation}
Набор $\zeta_1, \ldots, \zeta_n$ образует базис в $\widehat{\mathfrak{N}}$, ортонормированный с весом $\mathfrak{Q}_{\widehat{\mathfrak{N}}}$:
\begin{equation*}
(\mathfrak{Q}_{\widehat{\mathfrak{N}}} \zeta_l, \zeta_k)_{\widehat{\mathfrak{H}}} = \delta_{lk}, \qquad l,k = 1,\ldots,n.
\end{equation*}

Перейдём теперь к обозначениям, принятым в замечании~\ref{abstr_kappa_lambda^(4)_renum_rem}. Напомним, что различные собственные значения оператора $S$ обозначаются через $\lambda^{\circ,(4)}_q$, $q = 1,\ldots,p$, а соответствующие собственные подпространства через $\mathfrak{N}_q$. Векторы $\omega_l$, $l = i(q),\ldots, i(q)+k_q-1$, где $i(q) = k_1+\ldots+k_{q-1}+1$, образуют ортонормированный базис в $\mathfrak{N}_q$. Тогда те же числа $\lambda^{\circ,(4)}_q$, $q = 1,\ldots,p$,~--- это различные собственные значения задачи~(\ref{abstr_hatS_gener_spec_problem}), а $M \mathfrak{N}_q$~--- соответствующие собственные подпространства. Векторы $\zeta_l = M\omega_l$, $l = i(q),\ldots, i(q) + k_q -1$, образуют базис в $M \mathfrak{N}_q$, ортонормированный с весом $\mathfrak{Q}_{\widehat{\mathfrak{N}}}$.

Далее, свяжем собственные числа и собственные векторы задачи~(\ref{abstr_kappa_Y^(q)_eigenvalues}) при $c=1$ и оператор
\begin{equation*}
\widehat{\mathscr{Y}}_M^{(q)} =  \widehat{P}_{M \mathfrak{N}_q} \bigl( - (\widehat{X}_0 \widehat{Z})^* \widehat{X}_0 \widehat{\widetilde{Z}}  - (\widehat{X}_0 \widehat{\widetilde{Z}})^* \widehat{X}_0 \widehat{Z}  + \widehat{Y}_2^* \widehat{Y}_1   + \widehat{Y}_1^* \widehat{Y}_2 \bigr) \bigr|_{M \mathfrak{N}_q},
\end{equation*}
где $\widehat{P}_{M \mathfrak{N}_q}$~--- ортопроектор на подпространство $M \mathfrak{N}_q$. Из~(\ref{abstr_sndw_M2013_lemma1.7}) и равенств $Y_1 = \widehat{Y}_1 M$, $Y_2 = \widehat{Y}_2 M$ видно, что
\begin{equation}
\label{abstr_Yhat_M^(q)_gener_spec_problem}
\widehat{\mathscr{Y}}_M^{(q)} \zeta_l = \lambda_l^{(5)} \mathfrak{Q}_{M \mathfrak{N}_q} \zeta_l, \qquad l = i(q), \ldots, i(q)+k_q-1,
\end{equation}
где $\mathfrak{Q}_{M \mathfrak{N}_q} = \widehat{P}_{M \mathfrak{N}_q} \mathfrak{Q}_{\widehat{\mathfrak{N}}}|_{M\mathfrak{N}_q}$.

Перейдём к обозначениям, принятым в замечании~\ref{abstr_kappa_lambda^(5)_renum_rem}. Различные собственные значения оператора $\mathscr{Y}^{(q)}$ обозначаются через $\lambda^{\circ,(5)}_{q',q}$, $q' = 1, \ldots, p'(q)$, а соответствующие собственные подпространства через $\mathfrak{N}_{q',q}$. Векторы $\omega_l$, $l = j(q',q),\ldots, j(q',q)+k_{q',q}-1$, где $j(q',q) = k_1 + \ldots + k_{q-1} + k_{1,q} + \ldots + k_{q'-1,q} +1$, образуют ортонормированный базис в $\mathfrak{N}_{q',q}$. Тогда те же числа $\lambda^{\circ,(5)}_{q',q}$, $q' = 1, \ldots, p'(q)$,~--- это различные собственные значения задачи~(\ref{abstr_Yhat_M^(q)_gener_spec_problem}), а $M \mathfrak{N}_{q',q}$~--- соответствующие собственные подпространства. Векторы $\zeta_l = M\omega_l$, $l = j(q',q),\ldots, j(q',q) + k_{q',q} -1$, образуют базис в $M \mathfrak{N}_{q',q}$.
Через $\mathcal{P}_{q',q}$ обозначим \textquotedblleft косой\textquotedblright \ проектор на $M \mathfrak{N}_{q',q}$, ортогональный относительно скалярного произведения $(\mathfrak{Q}_{\widehat{\mathfrak{N}}} \cdot, \cdot)_{\widehat{\mathfrak{H}}}$, т.е.
\begin{equation*}
\mathcal{P}_{q',q} = \sum_{l=j(q',q)}^{j(q',q) + k_{q',q} -1} (\cdot, \mathfrak{Q}_{\widehat{\mathfrak{N}}} \zeta_l)_{\widehat{\mathfrak{H}}} \zeta_l, \qquad q = 1, \ldots, p, \quad q' = 1, \ldots, p'(q).
\end{equation*}
Легко видеть, что 
\begin{equation}
\label{abstr_sndw_P_q'q_rel}
\mathcal{P}_{q',q} =M P_{q',q} M^{-1} \widehat{P}.
\end{equation}

\begin{lemma}
	\label{abstr_N_Nhat_blocks_lemma}
	Пусть оператор $N_{11}$ определён в~\emph{(\ref{abstr_N11})}, а оператор $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}}$ определён в~\emph{(\ref{abstr_N_Qhat})}. Тогда условие $P_{q',q}N_{11}P_{q',q} = 0$ равносильно равенству $\mathcal{P}_{q',q}^* \widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}} \mathcal{P}_{q',q} = 0$.
\end{lemma}
\begin{proof}
	В силу~(\ref{abstr_N_and_hatN_Q_relat}) условие $P_{q',q}N_{11}P_{q',q} = 0$ влечёт $\mathcal{P}_{q',q}^* \widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}} \mathcal{P}_{q',q} = 0$. Обратно, пусть $\mathcal{P}_{q',q}^* \widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}} \mathcal{P}_{q',q} = 0$. Тогда из~(\ref{abstr_N_and_hatN_Q_relat}) и~(\ref{abstr_sndw_P_q'q_rel}) следует, что 
	\begin{equation*}
	\widehat{P} (M^*)^{-1} P_{q',q} N_{11} P_{q',q} M^{-1} \widehat{\omega} = 0, \qquad \forall\widehat{\omega} \in \widehat{\mathfrak{N}}.
	\end{equation*}
	 Поскольку $M^{-1}$~--- изоморфизм $\widehat{\mathfrak{N}}$ на $\mathfrak{N}$, то $\widehat{P} (M^*)^{-1} P_{q',q} N_{11} P_{q',q} \omega = 0$ при любом $\omega \in \mathfrak{N}$. Домножая последнее равенство скалярно на $\widehat{\eta} \in  \widehat{\mathfrak{N}}$, получаем, что
	 \begin{equation*}
	 (P_{q',q} N_{11} P_{q',q} \omega, M^{-1} \widehat{\eta})_{\mathfrak{H}} = 0, \qquad  \forall \widehat{\eta} \in  \widehat{\mathfrak{N}}.
	 \end{equation*} 
	  Снова используя свойство $M^{-1} \widehat{\mathfrak{N}} = \mathfrak{N}$, заключаем, что оператор $P_{q',q} N_{11} P_{q',q}$ равен нулю.
\end{proof}

Используя теорему~\ref{abstr_sharpness_thrm}, лемму~\ref{abstr_N_Nhat_blocks_lemma} и оценку~(\ref{abstr_sndw_exp_inv_est}), мы подтверждаем точность теоремы~\ref{abstr_sndw_exp_general_thrm}.
\begin{thrm}
	\label{abstr_sndw_sharpness_thrm}
	Пусть оператор $\widehat{N}_{11, \mathfrak{Q}}$ определён в~\emph{(\ref{abstr_N_Qhat})}. Пусть
	$\mathcal{P}_{q',q}^* \widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}} \mathcal{P}_{q',q} \ne 0$
	для некоторых $q \in \{1,\ldots, p\}$, $q' \in \{1,\ldots, p'(q)\}$. Пусть $s \ne 0$ и $0 \le r < 3$. Тогда не существует такой константы $C(s) >0$, чтобы оценка
	\begin{equation}
	\label{abstr_sndw_est_shrp}
	\| J(t; \varepsilon; \varepsilon^{-2} s) \|_{\widehat{\mathfrak{H}} \to \widehat{\mathfrak{H}}} \varepsilon^r (t^2 + \varepsilon^2)^{-r/2} \le  C(s) \varepsilon
	\end{equation}
	выполнялась для всех достаточно малых $|t|$ и $\varepsilon$.
\end{thrm}
\begin{proof}
	В силу леммы~\ref{abstr_N_Nhat_blocks_lemma} из условий теоремы следует, что $P_{q',q} N_{11} P_{q',q} \ne 0$. Рассуждаем от противного. Фиксируем $s \ne 0$. Пусть для некоторого $0 \le r < 3$ существует такая постоянная $C (s) > 0$, что выполнено~(\ref{abstr_sndw_est_shrp}) при всех достаточно малых $|t|$ и $\varepsilon$. В силу оценки~(\ref{abstr_sndw_exp_inv_est}) это означает, что выполнено также неравенство вида~(\ref{abstr_sharpness_est}) (с другой константой). Но это противоречит утверждению теоремы~\ref{abstr_sharpness_thrm}.
\end{proof}


\section{Усреднение периодических дифференциальных операторов в $L_2(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$}

\subsection{Предварительные сведения}

\subsubsection{Решётки $\Gamma$ и $\widetilde \Gamma$}

Пусть $\Gamma$~--- решётка в $\mathbb{R}^d$, порождённая базисом $\mathbf{a}_1, \ldots , \mathbf{a}_d$:
\begin{equation*}
    \Gamma = \left\{ \mathbf{a} \in \mathbb{R}^d \colon \mathbf{a} = \sum_{j=1}^{d} n^j \mathbf{a}_j, \; n^j \in \mathbb{Z} \right\},
\end{equation*}
и пусть $\Omega$~--- элементарная ячейка решётки $\Gamma$:
\begin{equation*}
    \Omega \coloneqq \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d \colon \mathbf{x} = \sum_{j=1}^{d} \xi^j \mathbf{a}_j, \; 0 < \xi^j < 1 \right\}. 
\end{equation*}
Базис $\mathbf{b}^1, \ldots , \mathbf{b}^d$ , двойственный по отношению к $\mathbf{a}_1, \ldots , \mathbf{a}_d$, определяется из соотношений $\left< \mathbf{b}^l, \mathbf{a}_j \right> = 2 \pi \delta^l_j$. Этот базис порождает решётку $\widetilde \Gamma$, \emph{двойственную} к решётке $\Gamma$:
\begin{equation*}
    \widetilde \Gamma = \left\{ \mathbf{b} \in \mathbb{R}^d \colon \mathbf{b} = \sum_{j=1}^{d} m_j \mathbf{b}^j, \; m_j \in \mathbb{Z} \right\}.
\end{equation*}
Обозначим через $\widetilde \Omega$  \emph{зону Бриллюэна} решётки $ \widetilde \Gamma $:
\begin{equation}
    \label{Brillouin_zone}
    \widetilde \Omega = \left\{ \mathbf{k} \in \mathbb{R}^d \colon | \mathbf{k} | < | \mathbf{k} - \mathbf{b} |, \; 0 \ne \mathbf{b} \in \widetilde \Gamma \right\}.
\end{equation}
Будем пользоваться обозначениями $| \Omega | = \meas \Omega$, $| \widetilde \Omega | = \meas \widetilde \Omega$ и отметим, что $| \Omega |  | \widetilde \Omega | = (2 \pi)^d$. Пусть $r_0$~--- радиус шара, \emph{вписанного} в $\clos \widetilde \Omega$. Отметим, что
\begin{equation}
    \label{r0}
    2 r_0 = \min|\mathbf{b}|,  \quad 0 \ne \mathbf{b} \in \widetilde \Gamma.
\end{equation}
С решёткой $ \Gamma $ связано дискретное преобразование Фурье
\begin{equation}
    \label{Fourier}
    \mathbf{u}(\mathbf{x}) = | \Omega |^{-1/2} \sum_{\mathbf{b} \in \widetilde \Gamma} \hat{\mathbf{u}}_{\mathbf{b}} e^{i \left<\mathbf{b}, \mathbf{x} \right>}, \qquad \mathbf{x} \in \Omega,
\end{equation}
которое унитарно отображает $l_2 (\widetilde \Gamma; \mathbb{C}^n) $ на $L_2 (\Omega; \mathbb{C}^n)$:
\begin{equation}
    \label{Fourier_unitarity}
    \| \mathbf{u} \|_{L_2 (\Omega)}^2 = \sum_{\mathbf{b} \in \widetilde \Gamma} | \hat{\mathbf{u}}_{\mathbf{b}} |^2.
\end{equation}

\textit{Через $\widetilde H^\sigma(\Omega; \mathbb{C}^n)$ обозначается подпространство тех функций  из $ H^\sigma(\Omega; \mathbb{C}^n)$,  $\Gamma$-перио\-ди\-ческое продолжение которых на $\mathbb{R}^d$ принадлежит $H^\sigma_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$}. Имеет место равенство
\begin{equation}
    \label{D_and_fourier}
    \int_{\Omega} |(\mathbf{D} + \mathbf{k}) \mathbf{u}|^2\, d\mathbf{x} = \sum_{\mathbf{b} \in \widetilde{\Gamma}} |\mathbf{b} + \mathbf{k} |^2 |\hat{\mathbf{u}}_{\mathbf{b}}|^2, \qquad \mathbf{u} \in \widetilde{H}^1(\Omega; \mathbb{C}^n), \; \mathbf{k} \in \mathbb{R}^d,
\end{equation} 
причём сходимость ряда в правой части~(\ref{D_and_fourier}) равносильна включению $\mathbf{u} \in \widetilde{H}^1(\Omega; \mathbb{C}^n)$. Из~(\ref{Brillouin_zone}),~(\ref{Fourier_unitarity}) и~(\ref{D_and_fourier}) следует оценка
\begin{equation}
    \label{(D+k)u_est}
    \int_{\Omega} |(\mathbf{D} + \mathbf{k}) \mathbf{u}|^2\, d\mathbf{x} \ge \sum_{\mathbf{b} \in \widetilde{\Gamma}} | \mathbf{k} |^2 |\hat{\mathbf{u}}_{\mathbf{b}}|^2 = | \mathbf{k} |^2 \int_{\Omega} |\mathbf{u}|^2\, d\mathbf{x}, \qquad \mathbf{u} \in \widetilde{H}^1(\Omega; \mathbb{C}^n), \; \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}.
\end{equation}  


\subsubsection{Преобразование Гельфанда}

Преобразование Гельфанда $\mathscr{U}$ первоначально определяется на функциях из класса Шварца $\mathbf{v} \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ формулой:
\begin{equation*}
    \tilde{\mathbf{v}} ( \mathbf{k}, \mathbf{x}) = (\mathscr{U} \- \mathbf{v}) (\mathbf{k}, \mathbf{x}) = | \widetilde \Omega |^{-1/2} \sum_{\mathbf{a} \in \Gamma} e^{- i \left< \mathbf{k}, \mathbf{x} + \mathbf{a} \right>} \mathbf{v} ( \mathbf{x} + \mathbf{a}), \qquad
    \mathbf{v} \in \mathcal{S} (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), \; \mathbf{x} \in \Omega, \; \mathbf{k} \in \widetilde \Omega.
\end{equation*}
При этом 
\begin{equation*}
    \int_{\widetilde \Omega} \int_{\Omega} | \tilde{\mathbf{v}} ( \mathbf{k}, \mathbf{x}) |^2 d  \mathbf{x} \, d  \mathbf{k} = \int\limits_{\mathbb{R}^d} | \mathbf{v} ( \mathbf{x} ) |^2 d \mathbf{x}
\end{equation*}
и $\mathscr{U}$ продолжается по непрерывности до унитарного отображения:
\begin{equation*}
    \mathscr{U} \colon L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n) \to \int_{\widetilde \Omega} \oplus  L_2 (\Omega; \mathbb{C}^n) \, d \mathbf{k} \eqqcolon \mathcal{K}.
\end{equation*}
Включение $\mathbf{v} \in H^1 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ равносильно тому, что $\tilde{\mathbf{v}} (\mathbf{k}, \cdot) \in \widetilde H^1 (\Omega; \mathbb{C}^n)$ при п.в. $\mathbf{k} \in \widetilde \Omega $ и
\begin{equation*}
    \int_{\widetilde \Omega} \int_{\Omega} \left( | (\mathbf{D} + \mathbf{k}) \tilde{\mathbf{v}} (\mathbf{k}, \mathbf{x}) |^2 + | \tilde{\mathbf{v}} (\mathbf{k}, \mathbf{x}) |^2 \right) \, d \mathbf{x} \,  d \mathbf{k} < \infty.
\end{equation*}
Оператор умножения на ограниченную периодическую функцию в $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ под действием $\mathscr{U}$ переходит в умножение на ту же функцию в слоях прямого интеграла $\mathcal{K}$. Действие оператора $b(\mathbf{D})$ на $\mathbf{v} \in H^1 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ переходит в послойное действие оператора $b(\mathbf{D} + \mathbf{k})$ на $\tilde{\mathbf{v}} (\mathbf{k}, \cdot) \in \widetilde H^1 (\Omega; \mathbb{C}^n)$.

\subsection{Периодические дифференциальные операторы в $L_2(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$}
%\label{B(eps)_B(k,eps)_section}

\subsubsection{Факторизованные операторы $\mathcal{A}$ второго порядка}
\label{A_section}

Пусть $b (\mathbf{D}) \colon L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n) \to L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^m)$~--- однородный дифференциальный оператор первого порядка с постоянными коэффициентами. \emph{Предполагается, что $m \ge n$}. Символ $b(\boldsymbol{\xi})$~--- ($ m \times n $)-матричнозначная линейная однородная функция от $ \boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^d $. 

\emph{Предположим, что} $\rank b( \boldsymbol{\xi} ) = n$, $0 \ne  \boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^d$. Это равносильно тому, что для некоторых $\alpha_0, \alpha_1 > 0$ выполнены неравенства:
\begin{equation}
    \label{alpha0_alpha1}
    \alpha_0 \mathbf{1}_n \le b( \boldsymbol{\theta} )^* b( \boldsymbol{\theta} ) \le \alpha_1 \mathbf{1}_n, \quad  \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}, \quad 0 < \alpha_0 \le \alpha_1 < \infty.
\end{equation}

Пусть $f(\mathbf{x})$, $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d$,~--- $\Gamma$-периодическая  ($n \times n$)-матричнозначная функция и $h(\mathbf{x})$, $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d$,~--- $\Gamma$-периодическая  ($m \times m$)-матричнозначная функция, такие что
\begin{equation}
    \label{h_f_Linfty}
    f, f^{-1} \in L_{\infty} (\mathbb{R}^d); \quad h, h^{-1} \in L_{\infty} (\mathbb{R}^d).
\end{equation}

Рассмотрим ДО
\begin{equation*}
    \mathcal{X} = h b( \mathbf{D} ) f \colon  L_2 (\mathbb{R}^d ; \mathbb{C}^n) \to  L_2 (\mathbb{R}^d ; \mathbb{C}^m), \quad \Dom \mathcal{X} = \left\lbrace \mathbf{u} \in L_2 (\mathbb{R}^d ; \mathbb{C}^n) \colon f \mathbf{u} \in H^1  (\mathbb{R}^d ; \mathbb{C}^n) \right\rbrace.
\end{equation*}

Оператор $\mathcal{X}$ замкнут. Самосопряжённый оператор $\mathcal{A} = \mathcal{X}^* \mathcal{X}$ в $L_2 (\mathbb{R}^d ; \mathbb{C}^n)$ порождается замкнутой квадратичной формой $\mathfrak{a}[\mathbf{u}, \mathbf{u}] = \| \mathcal{X} \mathbf{u} \|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}$, $ \mathbf{u} \in \Dom \mathcal{X}$. Формально, 
\begin{equation*}
\mathcal{A} = f (\mathbf{x})^* b( \mathbf{D} )^* g( \mathbf{x} )  b( \mathbf{D} ) f(\mathbf{x}),
\end{equation*}
где $g( \mathbf{x} ) = h( \mathbf{x} )^*  h( \mathbf{x} )$. Используя преобразование Фурье и~(\ref{alpha0_alpha1}),~(\ref{h_f_Linfty}), можно показать
\begin{equation}
    \label{a_ests}
    \alpha_0 \| g^{-1} \|_{L_{\infty}}^{-1} \| \mathbf{D} (f \mathbf{u}) \|_{L_2(\mathbb{R}^d)}^2 \le \mathfrak{a}[\mathbf{u}, \mathbf{u}] \le \alpha_1 \| g \|_{L_{\infty}} \| \mathbf{D} (f \mathbf{u}) \|_{L_2(\mathbb{R}^d)}^2, \qquad \mathbf{u} \in \Dom \mathcal{X}.
\end{equation}

\subsubsection{Операторы $\mathcal{Y}$ и $\mathcal{Y}_2$}
\label{Y_Y_2_section}

Рассмотрим замкнутый оператор $\mathcal{Y} \colon L_2 (\mathbb{R}^d ; \mathbb{C}^n) \to L_2 (\mathbb{R}^d ; \mathbb{C}^{dn})$, действующий по формуле
\begin{equation*}
    \mathcal{Y} \mathbf{u} = \mathbf{D}(f \mathbf{u}) = \left\lbrace D_1 (f \mathbf{u}), \ldots, D_d (f \mathbf{u}) \right\rbrace^{\mathrm{T}}.
\end{equation*}
Нижняя оценка~(\ref{a_ests}) означает, что
\begin{equation}
    \label{Y_subord}
    \| \mathcal{Y} \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \le c_1 \| \mathcal{X} \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}, \qquad \mathbf{u} \in  \Dom \mathcal{X},
\end{equation}
где 
\begin{equation}
    \label{c1}
    c_1 = \alpha_0^{-1/2} \| g^{-1} \|_{L_{\infty}}^{1/2}.
\end{equation}

Пусть в $\mathbb{R}^d$ заданы $\Gamma$-периодические ($n \times n$)-матричнозначные функции $a_j (\mathbf{x})$, $j=1, \ldots,  d$, такие, что
\begin{equation}
    \label{a_j_Lrho}
    a_j \in L_{\rho} (\Omega), \qquad \rho = 2 \, \text{ при } \, d = 1, \quad \rho > d \, \text{ при } \, d \ge 2; \quad j = 1, \ldots, d.
\end{equation}
Рассмотрим\;\;оператор\;\;$\mathcal{Y}_2 \colon L_2 (\mathbb{R}^d ; \mathbb{C}^n)\;\to\;L_2 (\mathbb{R}^d ; \mathbb{C}^{dn})$,\;\;действующий\;\;как\;\;умножение\;\;на ($dn \times n$)-матричнозначную функцию, составленную из матриц $a_j^*$, $j=1, \ldots,  d$. Иначе говоря, 
\begin{equation*}
    \mathcal{Y}_2 \mathbf{u} = \{ a_1^* f \mathbf{u}, \ldots, a_d^* f \mathbf{u} \}^{\mathrm{T}}, \qquad \Dom \mathcal{Y}_2 = \Dom \mathcal{X}.
\end{equation*}
Формально можно записать
\begin{equation*}
    (\mathcal{Y}_2^* \mathcal{Y} + \mathcal{Y}^* \mathcal{Y}_2) \mathbf{u} = \sum_{j=1}^{d} \bigl( f^* a_j D_j (f \mathbf{u}) + f^* D_j (a_j^* f \mathbf{u}) \bigr).
\end{equation*}

Используя неравенство Гёльдера,~(\ref{a_ests}),~(\ref{a_j_Lrho}), компактность вложения $H^1 (\Omega)~\hookrightarrow~L_p (\Omega)$ при $ p = 2 \rho / (\rho - 2)$, можно показать (см.~\cite[п.~5.2]{Su2010}), что для любого $\nu > 0$ существует постоянная $C (\nu) > 0$ такая, что 
\begin{equation}
    \label{Y2_subord}
    \| \mathcal{Y}_2 \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2 \le \nu \| \mathcal{X} \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2 + C (\nu) \| \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2, \qquad \mathbf{u} \in \Dom \mathcal{X}.
\end{equation}
При фиксированном $\nu$ постоянная $C (\nu)$ зависит лишь от норм $\| a_j \|_{L_\rho (\Omega)}$, $j=1,\ldots,d$, от $\| g^{-1} \|_{L_{\infty}}$, $\| f \|_{L_{\infty}}$, $\alpha_0$, $d$, $\rho$ и от параметров решётки $\Gamma$.
\begin{remark}
    Отметим, что если $a_j \in L_\infty$, $j = 1, \ldots, d$, то~\emph{(\ref{Y2_subord})} выполнено при $\nu = 0$, $C (0) = \sum_{j=1}^{d} \| a_j \|_{L_\infty}^2 \| f \|_{L_\infty}^2$.
\end{remark}

\subsubsection{Форма $q [\mathbf{u},\mathbf{u}]$}
\label{q_section}

Пусть в $\mathbb{R}^d$ задана $\Gamma$-периодическая  борелевская $\sigma$-конечная мера $d\mu(\mathbf{x})= \{ d \mu_{jl} (\mathbf{x}) \}$, $j, l = 1, \ldots, n$, со значениями в классе эрмитовых ($n \times n$)-матриц. Предположим, что мера $d \mu$ такова, что функция $|u(\mathbf{x})|^2$ суммируема по каждой мере $d \mu_{jl}$ для любой функции $u \in H^1 (\mathbb{R}^d)$.

В $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ рассмотрим полуторалинейную форму
\begin{equation*}
%    \label{q_form}
    q [\mathbf{u}, \mathbf{v}] = \int_{\mathbb{R}^d}\left\langle d \mu (\mathbf{x})  \mathbf{u},  \mathbf{v}\right\rangle, \qquad \mathbf{u}, \mathbf{v} \in H^1 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n).
\end{equation*}
На меру $d \mu$ накладывается следующее \emph{условие}:
\begin{condition}
	\label{q_cond}
	Для любых $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in H^1 (\Omega, \mathbb{C}^n)$ существуют постоянные $\widehat{c}_0 \in \mathbb{R}, \widetilde{c}_2 \ge 0$, $\widehat{c}_3 \ge 0$, $0 \le \widetilde{c} < \alpha_0 \| g^{-1} \|_{L_\infty}^{-1}$, такие что справедливы оценки
	\begin{align*}
	\left| \int_{\Omega} \left\langle d \mu (\mathbf{x}) \mathbf{u}, \mathbf{v}\right\rangle \right| &\le \left( \widetilde{c}_2 \| \mathbf{D} \mathbf{u} \|_{L_2 (\Omega)}^2 + \widehat{c}_3 \| \mathbf{u} \|_{L_2 (\Omega)}^2 \right)^{1/2} \left( \widetilde{c}_2 \| \mathbf{D} \mathbf{v} \|_{L_2 (\Omega)}^2 + \widehat{c}_3 \| \mathbf{v} \|_{L_2 (\Omega)}^2 \right)^{1/2}, \\
	\int_{\Omega} \left\langle d \mu (\mathbf{x}) \mathbf{u}, \mathbf{u}\right\rangle &\ge - \widetilde{c} \| \mathbf{D} \mathbf{u} \|_{L_2 (\Omega)}^2 - \widehat{c}_0 \| \mathbf{u} \|_{L_2 (\Omega)}^2, \qquad \mathbf{u}, \mathbf{v} \in H^1 (\Omega, \mathbb{C}^n).
	\end{align*}
\end{condition}

Из условия~\ref{q_cond} вытекают оценки
\begin{equation}
\label{q_cond_1}
\begin{aligned}
\left| \int_{\Omega} \left\langle d \mu (\mathbf{x}) f \mathbf{u}, f \mathbf{v}\right\rangle \right| &\le \left( \widetilde{c}_2 \| \mathbf{D} (f\mathbf{u}) \|_{L_2 (\Omega)}^2 + c_3 \| \mathbf{u} \|_{L_2 (\Omega)}^2 \right)^{1/2} \left( \widetilde{c}_2 \| \mathbf{D} (f\mathbf{v}) \|_{L_2 (\Omega)}^2 + c_3 \| \mathbf{v} \|_{L_2 (\Omega)}^2 \right)^{1/2}, \\
\int_{\Omega} \left\langle d \mu (\mathbf{x}) f \mathbf{u}, f \mathbf{u}\right\rangle &\ge - \widetilde{c} \, \| \mathbf{D} (f \mathbf{u} )\|_{L_2 (\Omega)}^2 - c_0 \| \mathbf{u} \|_{L_2 (\Omega)}^2, \qquad \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \Dom \mathcal{X}
\end{aligned}
\end{equation}
с постоянными $c_0 = \widehat{c}_0 \| f \|_{L_\infty}^2$, если $\widehat{c}_0 \ge 0$, $c_0 = \widehat{c}_0 \| f^{-1} \|_{L_\infty}^{-2}$, если $\widehat{c}_0 < 0$;  $c_3 = \widehat{c}_3 \| f \|_{L_\infty}^2$. Запишем неравенства~(\ref{q_cond_1}) по сдвинутым ячейкам $\Omega + \mathbf{a}$, $\mathbf{a} \in \Gamma$, и просуммируем. Тогда получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\left| \int_{\mathbb{R}^d} \left\langle d \mu (\mathbf{x}) f \mathbf{u}, f \mathbf{v}\right\rangle \right| &\le \left( \widetilde{c}_2 \| \mathbf{D} (f\mathbf{u}) \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2 + c_3 \| \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2 \right)^{1/2} \left( \widetilde{c}_2 \| \mathbf{D} (f\mathbf{v}) \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2 + c_3 \| \mathbf{v} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2 \right)^{1/2}, \\
\int_{\mathbb{R}^d} \left\langle d \mu (\mathbf{x}) f \mathbf{u}, f \mathbf{u}\right\rangle &\ge - \widetilde{c} \, \| \mathbf{D} (f \mathbf{u} )\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2 - c_0 \| \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2, \qquad \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \Dom \mathcal{X}.
\end{aligned}
\end{equation*}
С учётом~(\ref{a_ests}) отсюда вытекают оценки
\begin{equation}
\label{q_est}
\begin{aligned}
\left| \int_{\mathbb{R}^d} \left\langle d \mu (\mathbf{x}) f \mathbf{u}, f \mathbf{v}\right\rangle \right| &\le \left( c_2 \| \mathcal{X} \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2 + c_3 \| \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2 \right)^{1/2} \left( c_2 \| \mathcal{X} \mathbf{v} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2 + c_3 \| \mathbf{v} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2 \right)^{1/2}, \\
\int_{\mathbb{R}^d} \left\langle d \mu (\mathbf{x}) f \mathbf{u}, f \mathbf{u}\right\rangle &\ge - (1- \kappa) \| \mathcal{X} \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2 - c_0 \| \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2, \qquad \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \Dom \mathcal{X},
\end{aligned}
\end{equation}
где 
\begin{equation}
	\label{c2_kappa}
    c_2 = \widetilde{c}_2 \alpha_0^{-1} \| g^{-1} \|_{L_\infty}, \quad \kappa = 1 - \widetilde{c} \alpha_0^{-1} \| g^{-1} \|_{L_\infty}, \quad 0 < \kappa \le 1.
\end{equation}

Примеры форм, заведомо удовлетворяющих условию~\ref{q_cond}, приведены в~\cite[п.~5.5]{Su2010}. Приведём один пример.
\begin{example}
	\label{q_example}
	Предположим, что мера $d \mu$ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, т.е. $d \mu(\mathbf{x}) = \mathcal{Q}(\mathbf{x}) d \mathbf{x}$, где $\mathcal{Q}(\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодическая эрмитова ($n \times n$)-матричнозначная функция в $\mathbb{R}^d$ такая, что
	\begin{equation}
	\label{q_example_Q_cond}
	\mathcal{Q} \in L_s(\Omega), \qquad s = 1 \text{ при } d=1, \quad s > \frac{d}{2} \text{ при } d \ge 2.
	\end{equation}
	Тогда $q [\mathbf{u}, \mathbf{v}] = \int_{\mathbb{R}^d} \left\langle \mathcal{Q}(\mathbf{x}) \mathbf{u}, \mathbf{v} \right\rangle d \mathbf{x}$, $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in H^1(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$. При условии~(\ref{q_example_Q_cond}) в силу теорем вложения для любого $\nu > 0$ существует положительная постоянная $C_{\mathcal{Q}}(\nu)$ такая, что
	\begin{equation*}
	\int_{\Omega} |\mathcal{Q}(\mathbf{x})| |\mathbf{u}|^2 d \mathbf{x} \le \nu \int_{\Omega} |\mathbf{D} \mathbf{u}|^2 d \mathbf{x} + C_{\mathcal{Q}} (\nu) \int_{\Omega} | \mathbf{u}|^2 d \mathbf{x}, \qquad \mathbf{u} \in H^1(\Omega; \mathbb{C}^n).
	\end{equation*}
	Отсюда следует, что условие~\ref{q_cond} выполнено, причём постоянные можно выбирать следующим образом: $\widetilde{c}_2 =1$, $c_3 = C_{\mathcal{Q}}(1)$, $\widetilde{c} = \nu$ и $c_0 = C_{\mathcal{Q}}(\nu)$ при $2 \nu = \alpha_0 \|g^{-1}\|_{L_\infty}^{-1}$. Тогда неравенства~(\ref{q_est}) выполнены при $\kappa = 1/2$, $c_2 = \alpha_0^{-1} \|g^{-1}\|_{L_\infty}$. Постоянная $c_3$ контролируется через $d$, $s$, норму $\|\mathcal{Q}\|_{L_s(\Omega)}$ и параметры решётки, а $c_0$~--- через $d$, $s$, $\alpha_0$, $\|g^{-1}\|_{L_\infty}$, $\|\mathcal{Q}\|_{L_s(\Omega)}$ и параметры решётки. 
\end{example}

\subsubsection{Операторный пучок $\mathcal{B} (\varepsilon)$}
\label{B(eps)_section}

В $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ рассмотрим квадратичную форму
\begin{equation}
    \label{b(eps)}
    \mathfrak{b} (\varepsilon) [\mathbf{u}, \mathbf{u}] = \mathfrak{a} [\mathbf{u}, \mathbf{u}] + 2 \varepsilon \Re (\mathcal{Y} \mathbf{u}, \mathcal{Y}_2 \mathbf{u})_{L_2 (\mathbb{R}^d)} + \varepsilon^2 q [f\mathbf{u}, f\mathbf{u}] + \varepsilon^2 \lambda (\mathcal{Q}_0 f \mathbf{u}, f \mathbf{u})_{L_2 (\mathbb{R}^d)}, \quad \mathbf{u} \in \Dom \mathcal{X},
\end{equation}
где $0 \le \varepsilon \le 1$, а $\mathcal{Q}_0$~--- оператор в $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$, действующий как умножение на $\mathcal{Q}_0 (\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодическую положительно-определённую и ограниченную ($n \times n$)-матричнозначную функцию. Ограничение на $\lambda$ наложим позже. 

Оценим форму~(\ref{b(eps)}) снизу. В силу~(\ref{Y_subord})
\begin{multline}
    \label{f1}
    2 \varepsilon |\Re (\mathcal{Y} \mathbf{u}, \mathcal{Y}_2 \mathbf{u})_{L_2 (\mathbb{R}^d)}| \le 2 c_1 \varepsilon \| \mathcal{X} \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \| \mathcal{Y}_2 \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \\
    \le \frac{\kappa}{4} \| \mathcal{X} \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2 + \frac{4 c_1^2}{\kappa} \varepsilon^2 \| \mathcal{Y}_2 \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2, \qquad \mathbf{u} \in \Dom \mathcal{X}.
\end{multline}
Положим 
\begin{equation}
    \label{c4}
    c_4 = 4 \kappa^{-1} c_1^2 C(\nu) \; \text{при} \; \nu = \kappa^2 (16 c_1^2)^{-1}.
\end{equation} 
Тогда из~(\ref{Y2_subord}),~(\ref{f1}),~(\ref{c4}) следует, что
\begin{equation}
    \label{f2}
    2 \varepsilon |\Re (\mathcal{Y} \mathbf{u}, \mathcal{Y}_2 \mathbf{u})_{L_2 (\mathbb{R}^d)}| \le \frac{\kappa}{2} \| \mathcal{X} \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2 + c_4 \varepsilon^2 \| \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2, \qquad \mathbf{u} \in \Dom \mathcal{X}.
\end{equation}
Чтобы форма~(\ref{b(eps)}) была положительной, наложим на $\lambda$ следующее ограничение:
\begin{equation}
    \label{lambda}
    \begin{aligned}
         \lambda &> \| (f^* \mathcal{Q}_0 f)^{-1} \|_{L_\infty} (c_0 + c_4), & &\text{если} \; \lambda \ge 0,  \\
         \lambda &> \| f^* \mathcal{Q}_0 f\|_{L_\infty}^{-1} (c_0 + c_4), & &\text{если} \; \lambda < 0 \; \text{и} \; c_0 + c_4 < 0, 
    \end{aligned}
\end{equation}
которое обеспечивает выполнение неравенства
\begin{equation}
    \label{Q0_form_est}
    \lambda (\mathcal{Q}_0 f \mathbf{u}, f \mathbf{u})_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \ge (c_0 + c_4 + \beta) \|\mathbf{u}\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2, \qquad \mathbf{u} \in L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n),
\end{equation}
где $\beta > 0$ определено по числу $\lambda$ следующим образом:
\begin{equation*}
    \begin{aligned}
        \beta &= \lambda \| (f^* \mathcal{Q}_0 f)^{-1} \|_{L_\infty}^{-1} - c_0 - c_4, & &\text{если} \; \lambda \ge 0, \\
        \beta &= \lambda \| f^* \mathcal{Q}_0 f \|_{L_\infty} - c_0 - c_4, & &\text{если} \; \lambda < 0 \; \text{и} \; c_0 + c_4 < 0.
    \end{aligned}
\end{equation*}
Теперь из нижней оценки~(\ref{q_est}),~(\ref{f2}) и~(\ref{Q0_form_est}) c учётом $0 \le \varepsilon \le 1$ вытекает оценка
\begin{equation}
    \label{b(eps)_positive}
    \mathfrak{b} (\varepsilon) [\mathbf{u}, \mathbf{u}] \ge \frac{\kappa}{2} \mathfrak{a} [\mathbf{u}, \mathbf{u}] + \beta \varepsilon^2 \| \mathbf{u} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)}^2, \qquad \mathbf{u} \in \Dom \mathcal{X}.  
\end{equation}

Далее, из~(\ref{a_ests}),~(\ref{Y_subord}),~(\ref{Y2_subord}) (при $\nu = 1$) и верхней оценки~(\ref{q_est}) следует верхняя оценка для квадратичной формы~(\ref{b(eps)}):
\begin{multline}
\label{b(eps)_est}
\mathfrak{b} (\varepsilon) [\mathbf{u}, \mathbf{u}] \le (2 + c_1^2 + c_2) \mathfrak{a} [\mathbf{u}, \mathbf{u}] + (C(1) + c_3 + |\lambda| \| \mathcal{Q}_0 \|_{L_\infty} \| f \|_{L_\infty}^2) \varepsilon^2 \| \mathbf{u} \|_{L_2(\mathbb{R}^d)}^2 \le \\
\le (2 + c_1^2 + c_2) \alpha_1 \| g \|_{L_\infty} \| \mathbf{D} (f \mathbf{u}) \|_{L_2(\mathbb{R}^d)}^2 + (C(1) + c_3 + |\lambda| \| \mathcal{Q}_0 \|_{L_\infty} \| f \|_{L_\infty}^2) \varepsilon^2 \| \mathbf{u} \|_{L_2(\mathbb{R}^d)}^2, \\
\mathbf{u} \in \Dom \mathcal{X}.
\end{multline}

Оценки~(\ref{b(eps)_positive}), (\ref{b(eps)_est}) показывают, что форма~(\ref{b(eps)}) замкнута и положительно определена. \emph{Через $\mathfrak{B} (\varepsilon)$ обозначим оператор в пространстве $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ порождённый этой формой.} Формально можно записать
\begin{multline}
    \label{B(eps)}
    \mathcal{B} (\varepsilon) = \mathcal{A} + \varepsilon (\mathcal{Y}_2^* \mathcal{Y} + \mathcal{Y}^* \mathcal{Y}_2) + \varepsilon^2 f^*\mathcal{Q}f + \varepsilon^2 \lambda f^* \mathcal{Q}_0 f= \\
    = f(\mathbf{x})^* b (\mathbf{D})^* g(\mathbf{x}) b (\mathbf{D}) f(\mathbf{x}) + \varepsilon \sum_{j = 1}^{d} f(\mathbf{x})^* (a_j (\mathbf{x}) D_j + D_j a_j (\mathbf{x})^*) f(\mathbf{x}) + \\ + \varepsilon^2  f(\mathbf{x})^* \mathcal{Q} (\mathbf{x}) f(\mathbf{x}) + \varepsilon^2 \lambda f(\mathbf{x})^* \mathcal{Q}_0 (\mathbf{x})f(\mathbf{x}),
\end{multline}
где $\mathcal{Q} (\mathbf{x})$ следует интерпретировать как обобщённый матричный потенциал, порождённый мерой $d \mu(\mathbf{x}) $. 



\emph{Для удобства дальнейших ссылок будем называть \textquotedblleft исходными данными\textquotedblright \ следующие величины:}
\begin{equation}
\label{problem_data}
\begin{aligned}
&d, m, n, \rho; \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_{\infty}}, \|f^{-1}\|_{L_{\infty}}, \|a_j\|_{L_\rho(\Omega)}, \; j=1, \ldots, d; \\
&\widetilde{c}, \widehat{c}_0, \widetilde{c}_2, \widehat{c}_3 \; \text{из условия~\ref{q_cond}};\\
&\lambda, \|\mathcal{Q}_0\|_{L_\infty},  \|\mathcal{Q}_0^{-1}\|_{L_\infty}; \;  \text{параметры решётки} \, \Gamma.
\end{aligned}
\end{equation}

\subsubsection{Операторы $\mathcal{A}(\mathbf{k})$}

Положим
\begin{equation}
    \label{Spaces_H}
    \mathfrak{H} = L_2 (\Omega; \mathbb{C}^n), \quad \mathfrak{H}_* = L_2 (\Omega; \mathbb{C}^m), \quad \widetilde{\mathfrak{H}} = L_2 (\Omega; \mathbb{C}^{dn})
\end{equation}
и рассмотрим замкнутый оператор $\mathcal{X} (\mathbf{k}) \colon \mathfrak{H} \to \mathfrak{H}_*$, $ \mathbf{k} \in \mathbb{R}^d$, заданный соотношениями
\begin{equation*}
    \mathcal{X} (\mathbf{k}) = hb(\mathbf{D} + \mathbf{k})f, \qquad \Dom \mathcal{X} (\mathbf{k}) = \left\lbrace \mathbf{u} \in \mathfrak{H} \colon   f \mathbf{u} \in \widetilde{H}^1 (\Omega; \mathbb{C}^n)\right\rbrace .
\end{equation*}
Самосопряжённый оператор
\begin{equation*}
    \mathcal{A} (\mathbf{k}) =\mathcal{X} (\mathbf{k})^* \mathcal{X} (\mathbf{k}) \colon \mathfrak{H} \to \mathfrak{H}
\end{equation*}
порождается квадратичной формой
\begin{equation*}
    \mathfrak{a}(\mathbf{k})[\mathbf{u}, \mathbf{u}] = \| \mathcal{X}(\mathbf{k}) \mathbf{u} \|_{\mathfrak{H}_*}^2, \qquad \mathbf{u} \in \Dom \mathcal{X} (\mathbf{k}).
\end{equation*}
Используя разложение функции $\mathbf{u}$ в ряд Фурье~(\ref{Fourier}) и условия~(\ref{alpha0_alpha1}),~(\ref{h_f_Linfty}), легко проверить, что
\begin{equation}
    \label{a(k)_est}
    \alpha_0 \|g^{-1} \|_{L_\infty}^{-1} \|(\mathbf{D} + \mathbf{k}) f \mathbf{u} \|_{\widetilde{\mathfrak{H}}}^2 \le \mathfrak{a}(\mathbf{k})[\mathbf{u}, \mathbf{u}] \le \alpha_1 \|g \|_{L_\infty} \|(\mathbf{D} + \mathbf{k}) f \mathbf{u} \|_{\widetilde{\mathfrak{H}}}^2, \quad \mathbf{u} \in \Dom \mathcal{X} (\mathbf{k}).
\end{equation}

Из нижней оценки~(\ref{a(k)_est}) и из~(\ref{(D+k)u_est}) вытекает, что
\begin{equation}
    \label{A(k)_est}	
    \mathcal{A} (\mathbf{k}) \ge c_* |\mathbf{k}|^2 I, \qquad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}, \; c_* = \alpha_0\|f^{-1} \|_{L_\infty}^{-2} \|g^{-1} \|_{L_\infty}^{-1} .
\end{equation}

Положим
\begin{equation}
    \label{frakN_1}
    \mathfrak{N} \coloneqq \Ker \mathcal{A} (0) = \Ker \mathcal{X} (0).
\end{equation}
Соотношения~(\ref{a(k)_est}) при $\mathbf{k} = 0$ показывают, что
\begin{equation}
    \label{frakN_2}
    \mathfrak{N} = \left\lbrace \mathbf{u} \in L_2 (\Omega; \mathbb{C}^n) \colon f \mathbf{u} = \mathbf{c} \in \mathbb{C}^n \right\rbrace, \qquad \dim \mathfrak{N} = n. 
\end{equation}

Как видно из~(\ref{r0}) и~(\ref{D_and_fourier}) при $\mathbf{k} = 0$ для функции $\mathbf{v} \in \widetilde{H}^1 (\Omega; \mathbb{C}^n)$ такой, что $\int_{\Omega} \mathbf{v} \, d \mathbf{x} = 0$, т.е. $\hat{\mathbf{v}}_0 = 0$, выполнено
\begin{equation}
    \label{f3}
    \| \mathbf{D} \mathbf{v} \|_{\widetilde{\mathfrak{H}}}^2 \ge 4 r_0^2 \| \mathbf{v} \|_{\mathfrak{H}}^2, \qquad \mathbf{v} \in \widetilde{H}^1 (\Omega; \mathbb{C}^n), \; \int_{\Omega} \mathbf{v} \, d \mathbf{x} = 0.
\end{equation} 
Из~(\ref{f3}) и из нижней оценки~(\ref{a(k)_est}) при $\mathbf{k} = 0$ следует, что расстояние $d^0$ от точки $\lambda_0 = 0$ до остального спектра оператора $\mathcal{A}(0)$ подчинено оценке
\begin{equation}
    \label{d0_est}
    d^0 \ge 4 c_* r_0^2.
\end{equation}

\subsubsection{Операторы $\mathcal{Y} (\mathbf{k})$ и $Y_2$}

Рассмотрим оператор $\mathcal{Y} (\mathbf{k}) \colon \mathfrak{H} \to \widetilde{\mathfrak{H}}$, действующий по формуле 
\begin{equation}
    \label{Y(k)}
    \mathcal{Y} (\mathbf{k}) \mathbf{u} = (\mathbf{D} + \mathbf{k}) f \mathbf{u} = \{ (D_1 + k_1) f \mathbf{u}, \ldots,  (D_d + k_d) f \mathbf{u}\}^{\mathrm{T}}, \quad \Dom \mathcal{Y} (\mathbf{k}) = \Dom \mathcal{X} (\mathbf{k}).
\end{equation}
Используя нижнюю оценку~(\ref{a(k)_est}), убеждаемся, что
\begin{equation}
    \label{Y(k)_subord}
    \| \mathcal{Y} (\mathbf{k}) \mathbf{u} \|_{\widetilde{\mathfrak{H}}} \le c_1 \| \mathcal{X} (\mathbf{k}) \mathbf{u} \|_{\mathfrak{H_*}}, \qquad \mathbf{u} \in \Dom \mathcal{X} (\mathbf{k}), 	
\end{equation}
где постоянная $c_1$ определена в~(\ref{c1}).

Рассмотрим оператор $Y_2  \colon \mathfrak{H} \to \widetilde{\mathfrak{H}}$, действующий по формуле 
\begin{equation}
    \label{Y2}
    Y_2 \mathbf{u} = \{ a_1 (\mathbf{x})^* f \mathbf{u}, \ldots,  a_d (\mathbf{x})^* f \mathbf{u}\}^{\mathrm{T}}, \qquad \Dom Y_2 = \Dom \mathcal{X} (\mathbf{k}).
\end{equation}
Как показано в~\cite[п.~5.7]{Su2010}, для любого $\nu > 0$ существуют постоянные $C_j (\nu) >0$, $j = 1, \ldots, d$, такие, что 
\begin{equation*}
    \| a_j^* \mathbf{v} \|_{\mathfrak{H}}^2 \le \nu \| (\mathbf{D} + \mathbf{k}) \mathbf{v} \|_{\widetilde{ \mathfrak{H}}}^2 + C_j (\nu) \| \mathbf{v} \|_{\mathfrak{H}}^2, \qquad \mathbf{v} \in \widetilde{H}^1 (\Omega; \mathbb{C}^n), \; \mathbf{k} \in \mathbb{R}^d, \; j = 1, \ldots, d. 
\end{equation*}
Подставим $\mathbf{v} = f \mathbf{u}$, $\mathbf{u} \in \Dom \mathcal{X} (\mathbf{k})$, просуммируем по $j$ и, учитывая нижнюю оценку~(\ref{a(k)_est}), получим, что для любого $\nu > 0$ найдётся постоянная $C (\nu) >0$ (та же, что и в~(\ref{Y2_subord})) такая, что
\begin{equation}
    \label{Y2_subord_k}
    \| Y_2 \mathbf{u} \|_{\widetilde{\mathfrak{H}}}^2 \le \nu \| \mathcal{X} (\mathbf{k}) \mathbf{u} \|_{\mathfrak{H}_*}^2 + C(\nu) \| \mathbf{u} \|_{\mathfrak{H}}^2, \qquad \mathbf{u} \in \Dom \mathcal{X} (\mathbf{k}), \; \mathbf{k} \in \mathbb{R}^d.
\end{equation}

\subsubsection{Форма $q_{\Omega} [\mathbf{u}, \mathbf{u}]$}

В пространстве $\mathfrak{H}$ рассмотрим полуторалинейную форму
\begin{equation}
    \label{q_Omega}
    q_{\Omega} [\mathbf{u}, \mathbf{v}] = \int_{\Omega} \left\langle d \mu (\mathbf{x} )\mathbf{u}, \mathbf{v} \right\rangle, \qquad \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \widetilde{H}^1 (\Omega; \mathbb{C}^n).
\end{equation}

Заменяя в~(\ref{q_cond_1}) $f(\mathbf{x}) \mathbf{u} (\mathbf{x})$ и $f(\mathbf{x}) \mathbf{v} (\mathbf{x})$  на $f(\mathbf{x}) \mathbf{u} (\mathbf{x}) \exp(i \left\langle \mathbf{k}, \mathbf{x} \right\rangle )$ и $f(\mathbf{x}) \mathbf{v} (\mathbf{x}) \exp(i \left\langle \mathbf{k}, \mathbf{x} \right\rangle )$ соответственно (эти функции принадлежат $H^1 (\Omega; \mathbb{C}^n)$ одновременно) и используя~(\ref{a(k)_est}), получаем, что выполнены оценки
\begin{equation}
\label{q_Omega_est}
\begin{aligned}
\left| q_\Omega [f\mathbf{u}, f\mathbf{v}] \right| &\le \left( c_2 \| \mathcal{X} (\mathbf{k}) \mathbf{u} \|_{\mathfrak{H}_*}^2 + c_3 \| \mathbf{u} \|_{\mathfrak{H}}^2 \right)^{1/2} \left( c_2 \| \mathcal{X} (\mathbf{k}) \mathbf{v} \|_{\mathfrak{H}_*}^2 + c_3 \| \mathbf{v} \|_{\mathfrak{H}}^2 \right)^{1/2}, \\
q_\Omega [f\mathbf{u}, f\mathbf{u}] &\ge - (1- \kappa) \| \mathcal{X} (\mathbf{k}) \mathbf{u} \|_{\mathfrak{H}_*}^2 - c_0 \| \mathbf{u} \|_{\mathfrak{H}}^2, \qquad \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \Dom \mathcal{X}(\mathbf{k}),
\end{aligned}
\end{equation}
где постоянные $\kappa$, $c_0$,  $c_2$, $c_3$~--- те же, что в~(\ref{q_est}).

\subsubsection{Операторный пучок $\mathcal{B} (\mathbf{k}, \varepsilon)$}

В пространстве $\mathfrak{H}$ рассмотрим квадратичную форму
\begin{multline}
    \label{b(k,eps)}
    \mathfrak{b} (\mathbf{k},\varepsilon) [\mathbf{u}, \mathbf{u}] = \mathfrak{a} (\mathbf{k}) [\mathbf{u}, \mathbf{u}] + 2 \varepsilon \Re (\mathcal{Y} (\mathbf{k}) \mathbf{u}, Y_2 \mathbf{u})_{\widetilde{\mathfrak{H}}} + \varepsilon^2 q_\Omega [f\mathbf{u}, f\mathbf{u}] + \varepsilon^2 \lambda (\mathcal{Q}_0 f \mathbf{u}, f \mathbf{u})_{\mathfrak{H}}, \\\mathbf{u} \in \Dom \mathcal{X} (\mathbf{k}),
\end{multline}
где $0 \le \varepsilon \le 1$, а $\mathcal{Q}_0$~--- оператор в $\mathfrak{H}$, действующий как умножение на функцию $\mathcal{Q}_0 (\mathbf{x})$.

Оценим форму~(\ref{b(k,eps)}) снизу.
Условие~(\ref{lambda}) обеспечивает выполнение неравенства
\begin{equation}
    \label{Q0_Omega_form_est}
    \lambda (\mathcal{Q}_0 f \mathbf{u}, f \mathbf{u})_{\mathfrak{H}} \ge (c_0 + c_4 + \beta) \| \mathbf{u} \|_{\mathfrak{H}}^2, \qquad \mathbf{u} \in \mathfrak{H}.
\end{equation}

Используя~(\ref{Y(k)_subord}),~(\ref{Y2_subord_k}),~(\ref{q_Omega_est}),~(\ref{Q0_Omega_form_est}), нетрудно проверить, что выполнена оценка
\begin{equation}
    \label{b(k,eps)_positive}
    \mathfrak{b} (\mathbf{k}, \varepsilon) [\mathbf{u}, \mathbf{u}] \ge \frac{\kappa}{2} \mathfrak{a} (\mathbf{k}) [\mathbf{u}, \mathbf{u}] + \beta \varepsilon^2 \| \mathbf{u} \|_{\mathfrak{H}}^2, \qquad \mathbf{u} \in \Dom \mathcal{X} (\mathbf{k}).  
\end{equation}
Из~(\ref{a(k)_est}),~(\ref{Y(k)_subord}),~(\ref{Y2_subord_k}) (при $\nu = 1$) и верхней оценки~(\ref{q_Omega_est}) следует верхняя оценка для квадратичной формы~(\ref{b(k,eps)}):
\begin{multline}
\label{b(k,eps)_est}
\mathfrak{b} (\mathbf{k}, \varepsilon) [\mathbf{u}, \mathbf{u}] \le (2 + c_1^2 + c_2) \mathfrak{a} (\mathbf{k}) [\mathbf{u}, \mathbf{u}] + (C(1) + c_3 + |\lambda| \| \mathcal{Q}_0 \|_{L_\infty} \| f \|_{L_\infty}^2) \varepsilon^2 \| \mathbf{u} \|_{\mathfrak{H}}^2 \le \\
\le (2 + c_1^2 + c_2) \alpha_1 \| g \|_{L_\infty} \| (\mathbf{D} + \mathbf{k}) f \mathbf{u} \|_{\widetilde{ \mathfrak{H}}}^2 + (C(1) + c_3 + |\lambda| \| \mathcal{Q}_0 \|_{L_\infty} \| f \|_{L_\infty}^2) \varepsilon^2 \| \mathbf{u} \|_{\mathfrak{H}}^2, \\
\mathbf{u} \in \Dom \mathcal{X} (\mathbf{k}).
\end{multline}

Оценки~(\ref{b(k,eps)_positive}), (\ref{b(k,eps)_est}) показывают, что форма~(\ref{b(k,eps)}) замкнута и положительно определена. Через $\mathfrak{B} (\mathbf{k}, \varepsilon)$ обозначим оператор в пространстве $\mathfrak{H}$, порождённый этой формой. Формально можно записать
\begin{multline*}
    \mathcal{B} (\mathbf{k}, \varepsilon) = \mathcal{A} (\mathbf{k}) + \varepsilon (Y_2^* \mathcal{Y} (\mathbf{k}) + \mathcal{Y}(\mathbf{k})^* Y_2) + \varepsilon^2 f^* \mathcal{Q} f + \varepsilon^2 \lambda f^*\mathcal{Q}_0f = \\
    = f(\mathbf{x})^* b (\mathbf{D} + \mathbf{k})^* g(\mathbf{x}) b (\mathbf{D} + \mathbf{k}) f(\mathbf{x}) + \varepsilon \sum_{j = 1}^{d} f(\mathbf{x})^* (a_j (\mathbf{x}) (D_j + k_j) + (D_j + k_j) a_j (\mathbf{x})^*) f(\mathbf{x}) + \\ + \varepsilon^2 f(\mathbf{x})^*\mathcal{Q} (\mathbf{x})f(\mathbf{x}) + \varepsilon^2 \lambda f(\mathbf{x})^* \mathcal{Q}_0 (\mathbf{x})f(\mathbf{x}).
\end{multline*}

\subsubsection{Прямой интеграл для оператора $\mathcal{B} (\varepsilon)$}
Под действием преобразования Гельфанда $\mathscr{U}$ оператор $\mathcal{B} (\varepsilon)$ раскладывается в прямой интеграл по операторам  $\mathcal{B} (\mathbf{k}, \varepsilon)$:
\begin{equation}
    \label{B(eps)_B(k,eps)_Gelfand}
    \mathscr{U} \mathcal{B} (\varepsilon) \mathscr{U}^{-1} = \int_{\widetilde \Omega} \oplus \mathcal{B} (\mathbf{k}, \varepsilon) \, d \mathbf{k}.
\end{equation}
Говоря подробнее, имеется ввиду следующее. Пусть $\mathbf{v} \in  \Dom \mathcal{X}$, тогда
\begin{gather}
    \label{B(eps)_B(k,eps)_Gelfand_1}
    \tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k}, \cdot) \in \Dom \mathcal{X}(\mathbf{k}) \qquad \text{при п.в.} \; \mathbf{k} \in \widetilde \Omega, \\
    \label{B(eps)_B(k,eps)_Gelfand_2}
    \mathfrak{b}(\varepsilon)[\mathbf{v}, \mathbf{v}] = \int_{\widetilde{\Omega}} \mathfrak{b}(\mathbf{k}, \varepsilon) [\tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k}, \cdot), \tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k}, \cdot)] \, d \mathbf{k} .
\end{gather}
Обратно, если для $\tilde{\mathbf{v}} \in \mathcal{K}$ выполнено~(\ref{B(eps)_B(k,eps)_Gelfand_1}) и интеграл в~(\ref{B(eps)_B(k,eps)_Gelfand_2}) конечен, тогда $\mathbf{v} \in  \Dom \mathcal{X}$ и выполнено~(\ref{B(eps)_B(k,eps)_Gelfand_2}).

\subsubsection{Включение операторов $\mathcal{B} (\mathbf{k}, \varepsilon)$ в абстрактную схему}
\label{abstr_sch_incorp_section}
Если $ d > 1 $, то операторы  $\mathcal{B} (\mathbf{k}, \varepsilon)$ зависят от многомерного параметра $\mathbf{k}$. Следуя \cite[гл.~2]{BSu2003}, введём одномерный параметр $t = | \mathbf{k}|$. Будем использовать схему главы~\ref{abstr_section}. При этом все построения будут зависеть от дополнительного параметра $\boldsymbol{\theta} = \mathbf{k} / | \mathbf{k}| \in \mathbb{S}^{d-1}$ и мы должны следить за равномерностью оценок по $\boldsymbol{\theta}$. Пространства $\mathfrak{H}$, $\mathfrak{H}_*$ и $\widetilde{\mathfrak{H}}$ определены в~(\ref{Spaces_H}). Положим $X(t) = X(t; \boldsymbol{\theta}) \coloneqq \mathcal{X}(t \boldsymbol{\theta})$. При этом выполнено $X(t; \boldsymbol{\theta}) = X_0 + t  X_1 (\boldsymbol{\theta})$, где $X_0 = h(\mathbf{x}) b (\mathbf{D}) f(\mathbf{x})$, $\Dom X_0 = \Dom \mathcal{X} (\mathbf{k})$, а $ X_1 (\boldsymbol{\theta})$  --- ограниченный оператор умножения на матрицу $h(\mathbf{x}) b(\boldsymbol{\theta}) f(\mathbf{x})$. Далее, положим $A(t) = A(t; \boldsymbol{\theta}) \coloneqq \mathcal{A}(t \boldsymbol{\theta})$. Согласно~(\ref{frakN_1}),~(\ref{frakN_2}), $\mathfrak{N} = \Ker X_0 = \Ker \mathcal{A} (0)$, $\dim \mathfrak{N} = n$. Число $d^0$ удовлетворяет оценке~(\ref{d0_est}). Как было показано в \cite[гл.~2,~\S3]{BSu2003}, условие $n \le n_* = \dim \Ker X^*_0$ также выполнено. Более того, либо $n_* = n$ (если $m = n$), либо $n_* = \infty$ (если $m > n$).

Роль $Y(t)$ играет оператор $Y(t; \boldsymbol{\theta}) \coloneqq \mathcal{Y} (t \boldsymbol{\theta})$. В силу~(\ref{Y(k)}) имеет место равенство $ Y(t; \boldsymbol{\theta}) = Y_0 + t Y_1 (\boldsymbol{\theta})$, где
\begin{equation}
    \label{Y0_Y1_realization}
    \begin{split}
        Y_0 \mathbf{u} = \mathbf{D} (f \mathbf{u}) &= \{ D_1 f\mathbf{u}, \ldots,  D_d f\mathbf{u}\}^{\mathrm{T}}, \quad \Dom Y_0  = \Dom \mathcal{X} (\mathbf{k}), \\
        Y_1 (\boldsymbol{\theta}) \mathbf{u} &= \{ \theta_1 f\mathbf{u}, \ldots,  \theta_d f\mathbf{u}\}^{\mathrm{T}}.
    \end{split}
\end{equation}
Условие~\ref{abstr_Y(t)_cond} выполнено благодаря оценке~(\ref{Y(k)_subord}). Оператор $Y_2$ определён в~(\ref{Y2}). Условие~\ref{abstr_Y2_cond} выполнено в силу~(\ref{Y2_subord_k}).
Роль формы $\mathfrak{q}$ из п.~\ref{abstr_q_section} играет форма $q_\Omega[f\cdot,f\cdot]$, определённая в~(\ref{q_Omega}). Условие~\ref{abstr_q_cond} выполнено благодаря оценкам~(\ref{q_Omega_est}).

Наконец, роль операторного пучка $\mathfrak{B}(t, \varepsilon)$ играет семейство $\mathfrak{B}(t, \varepsilon; \boldsymbol{\theta}) \coloneqq \mathcal{B} (t \boldsymbol{\theta}, \varepsilon)$. Роль \;\;оператора\;\;$Q_0$\;\;из\;\;п.\;\;\ref{abstr_B_section}\;\;играет\;\;оператор\;\;умножения\;\;\;на\;\;\;матричнозначную\;функцию $f(\mathbf{x})^*\mathcal{Q}_0 (\mathbf{x})f(\mathbf{x})$. Ограничение~(\ref{abstr_lambda}) на параметр $\lambda$ выполнено благодаря~(\ref{lambda}). 

Следуя пункту~\ref{abstr_tau_section}, мы должны фиксировать число $\delta >0$, такое что $\delta < \kappa d^0/13$. Учитывая~(\ref{A(k)_est}) и~(\ref{d0_est}), положим
\begin{equation}
	\label{delta}
    \delta = \frac{1}{4} \kappa c_* r^2_0 = \frac{1}{4} \kappa \alpha_0\|f^{-1} \|_{L_\infty}^{-2} \|g^{-1} \|_{L_\infty}^{-1} r^2_0.
\end{equation}  
Отметим, что в силу~(\ref{alpha0_alpha1}),~(\ref{h_f_Linfty}) и~(\ref{Y0_Y1_realization})
\begin{equation}
	\label{X1_Y1_norm}
    \| X_1 (\boldsymbol{\theta}) \| \le  \alpha^{1/2}_1 \| g \|^{1/2}_{L_{\infty}} \| f \|_{L_{\infty}}, \quad \| Y_1 (\boldsymbol{\theta}) \| \le \|f\|_{L_{\infty}}, \qquad \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}.
\end{equation}
Для $\tau^0$ (см.~(\ref{abstr_tau0})) примем следующее значение:
\begin{equation}
	\label{tau0}
    \tau^0 = \delta^{1/2} ( (2 + c_1^2 + c_2) \alpha_1 \| g \|_{L_{\infty}} \|f\|_{L_{\infty}}^2  + C(1) + c_3 + | \lambda | \|f\|_{L_{\infty}}^2 \|\mathcal{Q}_0\|_{L_{\infty}}^2)^{-1/2},
\end{equation}
которое подходит при всех $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$.

\subsection{Эффективные характеристики}
\subsubsection{Случай $f = \mathbf{1}_n$}
Приведём в этом пункте эффективные характеристики для случая $f = \mathbf{1}_n$, которые были построены в \cite[пп.~6.3,~6.4,~7.1]{Su2010}.

\emph{Все объекты, отвечающие случаю $f = \mathbf{1}_n$, далее помечаются значком \textquotedblleft$ \widehat{\phantom{m}}$\textquotedblright}. В частности, для оператора
\begin{multline}
\label{Bhat(eps)}
\widehat{\mathcal{B}} (\varepsilon) = \widehat{\mathcal{A}} + \varepsilon (\widehat{\mathcal{Y}}_2^* \widehat{\mathcal{Y}} + \widehat{\mathcal{Y}}^* \widehat{\mathcal{Y}}_2) + \varepsilon^2 \mathcal{Q} + \varepsilon^2 \lambda \mathcal{Q}_0 = \\
= b (\mathbf{D})^* g(\mathbf{x}) b (\mathbf{D}) + \varepsilon \sum_{j = 1}^{d} (a_j (\mathbf{x}) D_j + D_j a_j (\mathbf{x})^*) +  \varepsilon^2  \mathcal{Q} (\mathbf{x}) + \varepsilon^2 \lambda \mathcal{Q}_0 (\mathbf{x})
\end{multline}
соответствующее операторное семейство $\widehat{\mathcal{B}} (\mathbf{k}, \varepsilon)$ обозначается $\widehat{\mathfrak{B}} (t, \varepsilon; \boldsymbol{\theta})$.

Имеем:
\begingroup
\allowdisplaybreaks
\begin{align}
	\notag
    &\widehat{\mathfrak{H}} & &= \mathfrak{H} = L_2 (\Omega; \mathbb{C}^n), \\
    \notag
    &\widehat{X}_0 & &= h(\mathbf{x}) b (\mathbf{D}), \quad \Dom \widehat{X}_0 = \widetilde{H}^1 (\Omega; \mathbb{C}^n), \\
    \notag
    &\widehat{X}_1 (\boldsymbol{\theta}) & &\text{~--- ограниченный оператор умножения на матрицу } h(\mathbf{x}) b(\boldsymbol{\theta}), \\
    \label{hat_frakN}
    &\widehat{\mathfrak{N}} & &= \left\lbrace \mathbf{u} \in \widehat{\mathfrak{H}} \colon \mathbf{u} = \mathbf{c} \in \mathbb{C}^n \right\rbrace, \quad \dim \widehat{\mathfrak{N}} = n, \\
    \notag
    &\widehat{P} \mathbf{u} & &= |\Omega|^{-1} \int_{\Omega} \mathbf{u} (\mathbf{x}) \, d\mathbf{x} \text{~--- ортопроектор на } \widehat{\mathfrak{N}}, \\
    \notag
    &\widehat{Y}_0 \mathbf{u} & &= \mathbf{D} (\mathbf{u}) = \{ D_1 \mathbf{u}, \ldots,  D_d \mathbf{u}\}^{\mathrm{T}}, \quad \Dom \widehat{Y}_0  = \widetilde{H}^1 (\Omega; \mathbb{C}^n), \\
    \notag
    &\widehat{Y}_1 (\boldsymbol{\theta}) \mathbf{u} & &= \{ \theta_1 \mathbf{u}, \ldots,  \theta_d \mathbf{u}\}^{\mathrm{T}},\\
    \notag
    &\widehat{Y}_2 \mathbf{u}  & &= \{ a_1 (\mathbf{x})^* \mathbf{u}, \ldots, a_d (\mathbf{x})^*  \mathbf{u} \}^{\mathrm{T}}, \quad \Dom \widehat{Y}_2 = \widetilde{H}^1 (\Omega; \mathbb{C}^n).
\end{align}
\endgroup

Согласно п.~\ref{abstr_Z_section} введём операторы $\widehat{Z}$ и $\widehat{\widetilde{Z}}$. Оператор $\widehat{Z}$ зависит от $\boldsymbol{\theta}$.  Как показано в~\cite[п.~4.1]{BSu2005-2}, $\widehat{Z}( \boldsymbol{\theta}) = \Lambda b(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}$, где $\Lambda (\mathbf{x})$~--- периодическая ($n \times m$)-матричнозначная функция, удовлетворяющая уравнению
\begin{equation}
\label{Lambda_eq}
b(\mathbf{D})^* g(\mathbf{x}) (b(\mathbf{D}) \Lambda (\mathbf{x}) + \mathbf{1}_m) = 0, \qquad \int_{\Omega} \Lambda (\mathbf{x}) \, d \mathbf{x} = 0.
\end{equation}

В соответствии с~\cite[п.~6.3]{Su2010} $\widehat{\widetilde{Z}} = \widetilde{\Lambda} \widehat{P}$, где $\widetilde{\Lambda} (\mathbf{x})$~--- периодическая ($n \times n$)-матричнознач\-ная функция, удовлетворяющая уравнению
\begin{equation}
    \label{Lambda_tilde_equation}
    b(\mathbf{D})^* g(\mathbf{x}) b(\mathbf{D}) \widetilde{\Lambda} (\mathbf{x}) + \sum_{j=1}^d D_j a_j (\mathbf{x})^*  = 0, \qquad \int_{\Omega} \widetilde{\Lambda} (\mathbf{x}) \, d \mathbf{x} = 0.
\end{equation}

Оператор $\widehat{S}$, определённый в п.~\ref{abstr_R_S_section}, теперь зависит от $\boldsymbol{\theta}$. Согласно \cite[гл.~3, \S1]{BSu2003}, оператор $\widehat{S}(\boldsymbol{\theta}) \colon \widehat{\mathfrak{N}} \to \widehat{\mathfrak{N}}$ действует как умножение на матрицу $\widehat{S}(\boldsymbol{\theta}) = b(\boldsymbol{\theta})^* g^0 b(\boldsymbol{\theta})$. Здесь $g^0$~--- постоянная положительная ($m \times m$)-матрица, называемая \emph{эффективной} матрицей. Эффективная матрица $g^0$ может быть определена в терминах матрицы $\Lambda (\mathbf{x})$:
\begin{gather}
	\label{g_tilde}
	\widetilde{g}(\mathbf{x}) \coloneqq g(\mathbf{x})( b(\mathbf{D}) \Lambda (\mathbf{x}) + \mathbf{1}_m), \\
	\label{g0}
    g^0 = | \Omega |^{-1} \int_{\Omega} \widetilde{g}(\mathbf{x}) \, d \mathbf{x}.
\end{gather}

Введём в соответствии с~\cite[(7.2),~(7.3)]{Su2010} постоянные матрицы:
\begin{gather}
    \label{V}
    V \coloneqq | \Omega |^{-1} \int_{\Omega} (b( \mathbf{D}) \Lambda(\mathbf{x}))^* g(\mathbf{x}) (b( \mathbf{D}) \widetilde \Lambda(\mathbf{x})) \, d \mathbf{x},
    \\
    \label{W}
    W \coloneqq | \Omega |^{-1} \int_{\Omega} (b( \mathbf{D}) \widetilde \Lambda(\mathbf{x}))^* g(\mathbf{x}) (b( \mathbf{D}) \widetilde \Lambda(\mathbf{x})) \, d \mathbf{x}.
\end{gather}

Оператор $\widehat{L}(t, \varepsilon)$, определённый в~(\ref{abstr_L(t,eps)}), теперь зависит от $\boldsymbol{\theta}$. Для него справедливо представление~(см.~\cite[(7.8)]{Su2010}):
\begin{multline*}
    \widehat{L}(t, \varepsilon; \boldsymbol{\theta}) \eqqcolon \widehat{L}(\mathbf{k}, \varepsilon) = b(\mathbf{k})^* g^0 b(\mathbf{k}) + \varepsilon \left( -b(\mathbf{k})^* V - V^* b(\mathbf{k}) + \sum_{j=1}^{d} (\overline{a_j + a_j^*}) k_j \right)+ \\
    + \varepsilon^2 (-W + \overline{\mathcal{Q}} + \lambda \overline{\mathcal{Q}_0}),
\end{multline*}
где используются обозначения 
\begin{equation*}
\overline{\mathcal{Q}} = | \Omega |^{-1} \int_{\Omega} \, d \mu(\mathbf{x}), \quad \overline{\mathcal{Q}_0} = | \Omega |^{-1} \int_{\Omega} \mathcal{Q}_0(\mathbf{x}) \, d \mathbf{x}, \quad \overline{a_j + a^*_j} = | \Omega |^{-1} \int_{\Omega} (a_j(\mathbf{x}) + a^*_j(\mathbf{x})) \, d \mathbf{x}.
\end{equation*}

В $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$ рассмотрим оператор
\begin{multline*}
    \widehat{\mathcal{B}}^0(\mathbf{k}, \varepsilon) = b(\mathbf{D} + \mathbf{k})^* g^0  b(\mathbf{D} + \mathbf{k}) + \\ + \varepsilon \left( - b(\mathbf{D} + \mathbf{k})^* V - V^* b(\mathbf{D} + \mathbf{k}) + \sum_{j=1}^d (\overline{a_j + a_j^*}) (D_j + k_j) \right)  + \varepsilon^2 (-W + \overline{\mathcal{Q}} + \lambda \overline{\mathcal{Q}_0})
\end{multline*}
при периодических граничных условиях. Имеет место равенство
\begin{equation}
    \label{L(k,eps)_B0(k,eps)}
    \widehat{L}(\mathbf{k}, \varepsilon) \widehat{P} = \widehat{\mathcal{B}}^0(\mathbf{k}, \varepsilon) \widehat{P}.
\end{equation}

\subsubsection{Свойства эффективной матрицы}

Следующие свойства $g^0$ были проверены в~\cite[гл.~3, теорема~1.5]{BSu2003}.
\begin{proposition}
	Для эффективной матрицы справедливы оценки
	\begin{equation}
	\label{Voigt_Reuss}
	\underline{g} \le g^0 \le \overline{g},
	\end{equation}
	где 
	\begin{equation*}
	\overline{g} \coloneqq | \Omega |^{-1} \int_{\Omega} g (\mathbf{x}) \, d \mathbf{x}, \quad \underline{g} \coloneqq \left( | \Omega |^{-1} \int_{\Omega} g (\mathbf{x})^{-1} \, d \mathbf{x}\right)^{-1}.
	\end{equation*}
	В случае $m = n$ всегда выполнено $g^0 = \underline{g}$.
\end{proposition}
Оценки~(\ref{Voigt_Reuss}) известны в теории усреднений для конкретных ДО как вилка Фойгта--Рейсса. Теперь выделим условия, при которых реализуется верхняя или нижняя грань в~(\ref{Voigt_Reuss}). Следующие утверждения были проверены в~\cite[гл.~3, предложения~1.6, 1.7]{BSu2003}.
\begin{proposition}
	Равенство $g^0 = \overline{g}$ равносильно соотношениям
	\begin{equation}
	\label{g0=overline_g}
	b(\mathbf{D})^* \mathbf{g}_k (\mathbf{x}) = 0, \quad k = 1, \ldots, m,
	\end{equation}
	где $\mathbf{g}_k (\mathbf{x})$, $k = 1, \ldots,m$~--- столбцы матрицы $g (\mathbf{x})$.
\end{proposition}
\begin{proposition}
	Равенство $g^0 = \underline{g}$ равносильно представлениям
	\begin{equation}
	\label{g0=underline_g}
	\mathbf{l}_k (\mathbf{x}) = \mathbf{l}^0_k + b(\mathbf{D}) \mathbf{w}_k(\mathbf{x}), \quad \mathbf{l}^0_k \in \mathbb{C}^m, \quad \mathbf{w}_k \in \widetilde{H}^1 (\Omega; \mathbb{C}^n), \quad k = 1, \ldots,m,
	\end{equation}
	где $\mathbf{l}_k (\mathbf{x})$, $k = 1, \ldots,m$~--- столбцы матрицы $g (\mathbf{x})^{-1}$.
\end{proposition}

\subsubsection{Оператор $\widehat{N}_{11}(\boldsymbol{\theta})$}

Нам понадобится описать оператор $N_{11}$ (в абстрактных терминах определённый в~(\ref{abstr_N11})). Как проверено в~\cite[п.~4.2]{BSu2005-2}, для семейства $\widehat{\mathcal{B}} (t, \boldsymbol{\theta})$ этот оператор принимает вид
\begin{equation}
\label{hatN11(theta)}
\widehat{N}_{11} (\boldsymbol{\theta}) = b(\boldsymbol{\theta})^* L(\boldsymbol{\theta}) b(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P},
\end{equation}
где $L (\boldsymbol{\theta})$~--- ($m \times m$)-матричнозначная функция, заданная соотношением
\begin{equation}
\label{L(theta)}
L (\boldsymbol{\theta}) = | \Omega |^{-1} \int_{\Omega} (\Lambda (\mathbf{x})^* b(\boldsymbol{\theta})^* \widetilde{g}(\mathbf{x}) + \widetilde{g}(\mathbf{x})^* b(\boldsymbol{\theta}) \Lambda (\mathbf{x}) ) \, d \mathbf{x}.
\end{equation}
Здесь $\Lambda (\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодическое решение задачи~(\ref{Lambda_eq}), а $\widetilde{g}(\mathbf{x})$~--- матрица-функция~(\ref{g_tilde}).

В~\cite[следствие~4.4 и предложение~4.5]{BSu2005-2} указаны некоторые достаточные условия, при которых оператор~(\ref{hatN11(theta)}) обращается в ноль.
\begin{proposition}
	\label{hatN11(theta)=0_prop}
	Пусть выполнено хотя бы одно из следующих предположений:
	\begin{enumerate}[label=\arabic*$^{\circ}.$, ref=\arabic*$^{\circ}$]
		\item \label{N11=0_proposit_p1} Оператор $\widehat{\mathcal{A}}$ имеет вид $\widehat{\mathcal{A}} = \mathbf{D}^* g(\mathbf{x}) \mathbf{D}$, где $g(\mathbf{x})$~--- симметричная матрица с вещественными элементами.
		\item Выполнены соотношения~\emph{(\ref{g0=overline_g})}, т. е. $g^0 = \overline{g}$.
		\item Выполнены соотношения~\emph{(\ref{g0=underline_g})}, т. е. $g^0 = \underline{g}$. \emph{(}В частности, это автоматически выполнено, если $m = n$.\emph{)} 
	\end{enumerate}
	Тогда $\widehat{N}_{11} (\boldsymbol{\theta}) = 0$ при всех $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$.
\end{proposition}

\subsection{Аппроксимация оператора $e^{-i s\varepsilon^{-2}  \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}, \varepsilon)}$}
\subsubsection{Аппроксимация сглаженного оператора $e^{-i s\varepsilon^{-2} \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}, \varepsilon)}$ в общем случае}

Рассмотрим оператор $\mathcal{H}_0 = -\Delta$ в $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$. При разложении в прямой интеграл оператору $\mathcal{H}_0$ отвечает семейство операторов $\mathcal{H}_0 (\mathbf{k})$, действующих в $L_2 (\Omega; \mathbb{C}^n)$. Оператор $\mathcal{H}_0 (\mathbf{k})$ задаётся дифференциальным выражением $| \mathbf{D} + \mathbf{k} |^2$ на области $\widetilde{H}^2  (\Omega; \mathbb{C}^n)$. Введём обозначение
\begin{equation}
\label{R(k, eps)}
\mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon) \coloneqq \varepsilon^2 (\mathcal{H}_0 (\mathbf{k}) + \varepsilon^2 I)^{-1}.
\end{equation}
Очевидно,
\begin{equation}
\label{R(k, eps)_hatP}
\mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon)^{r/2}\widehat{P} = \varepsilon^r (t^2 + \varepsilon^2)^{-r/2} \widehat{P}, \qquad r > 0.
\end{equation}

Отметим, что при $\sqrt{|\mathbf{k}|^2 + \varepsilon^2} > \widehat{\tau}^0$ выполнено
\begin{equation}
\label{R(k, eps)_hatP_|k|>t0_est}
\| \mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon)^{1/2} \widehat{P} \|_{L_2 (\Omega) \to L_2 (\Omega)} \le (\widehat{\tau}^0)^{-1} \varepsilon, \qquad \varepsilon > 0, \; \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}, \;  \sqrt{|\mathbf{k}|^2 + \varepsilon^2} > \widehat{\tau}^0.
\end{equation}
Далее, используя разложение в ряд Фурье, получаем
\begin{equation}
\label{R(k,eps)(I-hatP)_est}
\| \mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon)^{r/2} (I - \widehat{P}) \|_{L_2(\Omega) \to L_2 (\Omega) }  \le \sup_{0 \ne \mathbf{b} \in \widetilde{\Gamma}} \varepsilon^r (|\mathbf{b} + \mathbf{k}|^2 + \varepsilon^2)^{-r/2} \le r_0^{-r} \varepsilon^r, \qquad
\varepsilon > 0, \; \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}.
\end{equation}

Обозначим 
\begin{equation}
\label{Jhat(k,eps)}
\widehat{J} (\mathbf{k}, \varepsilon; s) \coloneqq e^{-is \varepsilon^{-2} \widehat{\mathcal{B}} (\mathbf{k}, \varepsilon)} - e^{-is \varepsilon^{-2} \widehat{\mathcal{B}}^0 (\mathbf{k}, \varepsilon)}.
\end{equation}

Мы применим к оператору $\widehat{\mathfrak{B}}(t, \varepsilon; \boldsymbol{\theta}) = \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}, \varepsilon)$ теоремы из~п.~\ref{abstr_exp_thrm_section}. Согласно замечанию~\ref{abstr_problem_data_remark}, мы можем отследить зависимость постоянных в оценках от исходных данных. Отметим что $\widehat{c}_1$, $\widehat{c}_2$, $\widehat{\kappa}$, $\widehat{C}(1)$, $\widehat{\delta}$ и $\widehat{\tau}^ 0$ не зависят от $\boldsymbol{\theta}$ (см. (\ref{c1}), (\ref{Y2_subord}), (\ref{c2_kappa}), (\ref{delta}), (\ref{tau0}) при $f = \mathbf{1}_n$). Согласно~(\ref{X1_Y1_norm}) (при $f = \mathbf{1}_n$) норму $\| \widehat{X}_1 (\boldsymbol{\theta}) \|$ можно заменить на $\alpha_1^{1/2} \| g \|_{L_{\infty}}^{1/2}$ и подставить $\|\widehat{Y}_1(\boldsymbol{\theta})\| = 1$. Поэтому постоянные в теоремах~\ref{abstr_exp_general_thrm} и~\ref{abstr_exp_enchcd_thrm} (применённых к оператору $\widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}, \varepsilon)$) не будут зависеть от $\boldsymbol{\theta}$. Они будут зависеть только от 
\begin{equation}
\label{problem_data_hat}
\begin{aligned}
&d, m, n, \rho; \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|a_j\|_{L_\rho(\Omega)}, \; j=1, \ldots, d; \\
&\widetilde{c}, \widehat{c}_0, \widetilde{c}_2, \widehat{c}_3 \; \text{из условия~\ref{q_cond}};\\
&\lambda, \|Q_0\|_{L_\infty},  \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty} \quad  \text{и параметров решётки} \, \Gamma.
\end{aligned}
\end{equation}

Применяя теорему~\ref{abstr_exp_general_thrm} с учётом~(\ref{R(k, eps)_hatP}), (\ref{R(k, eps)_hatP_|k|>t0_est}), (\ref{R(k,eps)(I-hatP)_est}) и очевидного неравенства 
\begin{equation}
\label{R(k,eps)_le_1}
\| \mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon) \| \le 1,
\end{equation}
приходим к следующему утверждению.
\begin{thrm}
	\label{hatB(k,eps)_exp_general_thrm}
	При $s \in \mathbb{R}$, $\varepsilon > 0$ и $\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}$ выполнена оценка
	\begin{equation*}
	\| \widehat{J} (\mathbf{k}, \varepsilon; s) \mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon)^{3/2}\|_{L_2(\Omega) \to L_2 (\Omega) }  \le \widehat{\mathcal{C}}_1 (1 + |s|) \varepsilon,
	\end{equation*}
	где константа $\widehat{\mathcal{C}}_1$ зависит только от данных задачи \emph{(\ref{problem_data_hat})}.
\end{thrm}

\subsubsection{Улучшение аппроксимации сглаженной экспоненты $e^{-i s\varepsilon^{-2} \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}, \varepsilon)}$ при условии $\widehat{N}_{11}(\boldsymbol{\theta})~=~0$}
Применим теперь теорему~\ref{abstr_exp_enchcd_thrm}, предполагая, что $\widehat{N}_{11}(\boldsymbol{\theta}) = 0$ при всех $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$. С учётом~(\ref{R(k, eps)_hatP}), (\ref{R(k, eps)_hatP_|k|>t0_est}), (\ref{R(k,eps)(I-hatP)_est}) и~(\ref{R(k,eps)_le_1}) это влечёт следующий результат.
\begin{thrm}
	\label{hatB(k,eps)_exp_enchcd_thrm}
	Пусть оператор $\widehat{N}_{11}(\boldsymbol{\theta})$ определён в~\emph{(\ref{hatN11(theta)})}. Пусть $\widehat{N}_{11}(\boldsymbol{\theta})~=~0$ при всех $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$. Тогда при $s \in \mathbb{R}$, $\varepsilon > 0$ и $\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}$ выполнена оценка
	\begin{equation*}
	\| \widehat{J}(\mathbf{k}, \varepsilon; s) \mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon)\|_{L_2(\Omega) \to L_2 (\Omega) }  \le \widehat{\mathcal{C}}_2 (1+ |s|) \varepsilon,
	\end{equation*}
	где константа $\widehat{\mathcal{C}}_2$ зависит только от данных задачи \emph{(\ref{problem_data_hat})}.
\end{thrm}
Напомним, что некоторые достаточные условия, гарантирующие равенство $\widehat{N}_{11}(\boldsymbol{\theta}) = 0$ при всех $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$, указаны в предложении~\ref{hatN11(theta)=0_prop}.

\subsubsection{Подтверждение точности результата}
\label{hatB(k,eps)_shrp_section}
Перейдём к обозначениям, принятым в замечаниях~\ref{abstr_kappa_lambda^(4)_renum_rem}, \ref{abstr_kappa_lambda^(5)_renum_rem}. Вообще говоря, количество $p(\boldsymbol{\theta})$ различных собственных значений $\widehat{\lambda}^{\circ,(4)}_1 (\boldsymbol{\theta}), \ldots, \widehat{\lambda}^{\circ,(4)}_{p(\boldsymbol{\theta})} (\boldsymbol{\theta})$ оператора $ \widehat{S}(\boldsymbol{\theta})$ и их кратности $k_1 (\boldsymbol{\theta}), \ldots, k_{p(\boldsymbol{\theta})} (\boldsymbol{\theta})$ зависят от параметра $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$. При каждом фиксированном $\boldsymbol{\theta}$ через $\widehat{P}_q (\boldsymbol{\theta})$ обозначим ортопроектор в $L_2 (\Omega; \mathbb{C}^n)$ на собственное подпространство $\widehat{\mathfrak{N}}_q(\boldsymbol{\theta})$ оператора $ \widehat{S}(\boldsymbol{\theta})$, отвечающее собственному значению $\widehat{\lambda}^{\circ,(4)}_q (\boldsymbol{\theta})$.

Далее, количество $p'(q, \boldsymbol{\theta})$ различных собственных значений $\widehat{\lambda}^{\circ,(5)}_{1,q} (\boldsymbol{\theta}), \ldots, \widehat{\lambda}^{\circ,(5)}_{p'(q, \boldsymbol{\theta}),q} (\boldsymbol{\theta})$ оператора 
\begin{equation}
\label{hatY^(q)}
\widehat{\mathscr{Y}}^{(q)}(\boldsymbol{\theta}) = \widehat{P}_q(\boldsymbol{\theta}) \left. \left( -b(\boldsymbol{\theta})^* V - V^* b(\boldsymbol{\theta}) + \sum_{j=1}^{d} (\overline{a_j + a^*_j}) \theta_j \right)\right|_{\widehat{\mathfrak{N}}_q(\boldsymbol{\theta})}
\end{equation} 
и их кратности $k_{1,q} (\boldsymbol{\theta}), \ldots, k_{p'(\boldsymbol{\theta}),q} (\boldsymbol{\theta})$ также зависят от параметра $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$. При каждом фиксированном $\boldsymbol{\theta}$ через $\widehat{P}_{q',q} (\boldsymbol{\theta})$ обозначим ортопроектор в $L_2 (\Omega; \mathbb{C}^n)$ на собственное подпространство $\widehat{\mathfrak{N}}_{q',q}(\boldsymbol{\theta})$ оператора $\widehat{\mathscr{Y}}^{(q)} (\boldsymbol{\theta})$, отвечающее собственному значению $\widehat{\lambda}^{\circ,(5)}_{q',q} (\boldsymbol{\theta})$.
\begin{thrm}
	\label{hatB(k,eps)_sharpness_thrm}
Пусть оператор $\widehat{N}_{11}(\boldsymbol{\theta})$ определён в~\emph{(\ref{hatN11(theta)})}.	Пусть хотя бы в одной точке $\boldsymbol{\theta}_0 \in \mathbb{S}^{d-1}$ имеет место 
\begin{equation*}
\widehat{P}_{q',q}(\boldsymbol{\theta}_0) \widehat{N}_{11}(\boldsymbol{\theta}_0) \widehat{P}_{q',q}(\boldsymbol{\theta}_0)  \ne 0
\end{equation*}
для некоторых $q \in \{1,\ldots, p(\boldsymbol{\theta}_0)\}$, $q' \in \{1,\ldots, p'(q, \boldsymbol{\theta}_0)\}$. Пусть $s \ne 0$ и $0 \le r < 3$. Тогда не существует такой константы $\mathcal{C}(s) >0$, чтобы оценка
	\begin{equation}
	\label{hatB(k,eps)_est_shrp}
	\left\| \left( e^{-i s \varepsilon^{-2} \widehat{\mathcal{B}} ( \mathbf{k}, \varepsilon)}  - e^{-i s \varepsilon^{-2} \widehat{\mathcal{B}}^0 ( \mathbf{k}, \varepsilon)}  \right) \mathcal{R} ( \mathbf{k}, \varepsilon)^{r/2} \right\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \le  \mathcal{C}(s) \varepsilon
	\end{equation}
	выполнялась при почти всех $\mathbf{k} = t \boldsymbol{\theta} \in \widetilde{\Omega}$ и достаточно малом $\varepsilon > 0$.
\end{thrm}

Для доказательства нам понадобится следующая лемма, аналогичная~\cite[лемма~9.10]{Su2017}.

\begin{lemma}
	\label{hat_Lipschitz_lemma}
	Пусть $\widehat{F} (\mathbf{k}, \varepsilon) = \widehat{F} (\tau, \boldsymbol{\theta})$~--- спектральный проектор оператора $\widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}, \varepsilon)$ для промежутка $[0, \widehat{\delta}]$. Тогда при $\sqrt{|\mathbf{k}|^2 + \varepsilon^2} \le \widehat{\tau}^0$, $\sqrt{|\mathbf{k}_0|^2 + \varepsilon^2} \le \widehat{\tau}^0$ справедливы оценки
	\begin{align}
	\label{hatF(k,eps) - hatF(k_0,eps)}
	\| \widehat{F} (\mathbf{k}, \varepsilon) - \widehat{F} (\mathbf{k}_0, \varepsilon)\|_{L_2(\Omega) \to L_2 (\Omega) } &\le \widehat{C}' | \mathbf{k} - \mathbf{k}_0|, \\
	\label{hatB(k,eps) - hatB(k_0,eps)}
	\| \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}, \varepsilon) \widehat{F} (\mathbf{k}, \varepsilon) - \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}_0, \varepsilon) \widehat{F} (\mathbf{k}_0, \varepsilon)\|_{L_2(\Omega) \to L_2 (\Omega) } &\le \widehat{C}'' | \mathbf{k} - \mathbf{k}_0|, \\
	\label{exp_hatB(k,eps) - exp_hatB(k_0,eps)}
	\| e^{-is \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}, \varepsilon)} \widehat{F} (\mathbf{k}, \varepsilon) - e^{-is \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}_0, \varepsilon)} \widehat{F} (\mathbf{k}_0, \varepsilon)\|_{L_2(\Omega) \to L_2 (\Omega) } &\le (2 \widehat{C}' + \widehat{C}''|s|) | \mathbf{k} - \mathbf{k}_0|.
	\end{align}
\end{lemma}
\begin{proof}
	Рассмотрим  разность полуторалинейных форм операторов $\widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon)$ и $\widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}_0,\varepsilon)$ на элементах $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \widetilde{H}^1 (\Omega; \mathbb{C}^n)$:
	\begin{multline*}
	\widehat{\mathfrak{b}} (\mathbf{k},\varepsilon) [\mathbf{u}, \mathbf{v}] - \widehat{\mathfrak{b}} (\mathbf{k}_0,\varepsilon) [\mathbf{u}, \mathbf{v}] = \\ =
	( g b(\mathbf{k} - \mathbf{k}_0) \mathbf{u}, b(\mathbf{D} + \mathbf{k}_0) \mathbf{v} )_{L_2 (\Omega)} + ( g b(\mathbf{D} + \mathbf{k}) \mathbf{u}, b(\mathbf{k} - \mathbf{k}_0) \mathbf{v})_{L_2 (\Omega)} + \\ + \varepsilon ((\mathbf{k}-\mathbf{k}_0) \mathbf{u}, \widehat{Y}_2 \mathbf{v})_{L_2 (\Omega)}  + \varepsilon (\widehat{Y}_2 \mathbf{u}, (\mathbf{k}-\mathbf{k}_0) \mathbf{v})_{L_2 (\Omega)}.
	\end{multline*} 
	Применяя~(\ref{alpha0_alpha1}) и~(\ref{Y2_subord_k}) при $\nu =1$, легко получить оценку
	\begin{multline}
	\label{Lipschitz_lemma_forms_est}
	|\widehat{\mathfrak{b}} (\mathbf{k}, \varepsilon) [\mathbf{u}, \mathbf{v}] - \widehat{\mathfrak{b}} (\mathbf{k}_0, \varepsilon) [\mathbf{u}, \mathbf{v}]| \le  \alpha_1^{1/2} \| g \|_{L_\infty}^{1/2}  |\mathbf{k}-\mathbf{k}_0| \| \mathbf{u} \|_{L_2}  \| \widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k}_0)^{1/2} \mathbf{v} \|_{L_2}  + \\ + 
	\alpha_1^{1/2} \| g \|_{L_\infty}^{1/2}  |\mathbf{k}-\mathbf{k}_0| \| \widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})^{1/2} \mathbf{u} \|_{L_2}  \|\mathbf{v} \|_{L_2} + \widehat{\tau}^0 \| \mathbf{u} \|_{L_2}  |\mathbf{k}-\mathbf{k}_0| (\|\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k}_0)^{1/2} \mathbf{v} \|_{L_2} + \widehat{C}(1)^{1/2} \|\mathbf{v} \|_{L_2}) +\\ + \widehat{\tau}^0 \| \mathbf{v} \|_{L_2}  |\mathbf{k}-\mathbf{k}_0| (\|\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})^{1/2} \mathbf{u} \|_{L_2} + \widehat{C}(1)^{1/2} \|\mathbf{u} \|_{L_2}). 
	\end{multline}  
	Далее, пользуясь~(\ref{b(k,eps)_positive}), получаем неравенство
	\begin{equation}
	\label{Lipschitz_lemma_Asqrt_est}
	\| \widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})^{1/2} \mathbf{u} \|_{L_2} \le 2^{1/2}\kappa^{-1/2} \| \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2} \mathbf{u} \|_{L_2}.  
	\end{equation}
	
	Согласно предложению~\ref{abstr_[0,delta]_spec_prop} при $\sqrt{|\mathbf{k}|^2 + \varepsilon^2} \le \widehat{\tau}^0$ первые $n$ собственных значений оператора $\widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon)$ находятся в отрезке $[0, \widehat{\delta}]$, а остальной спектр лежит на полуоси $[3 \widehat{\delta}, \infty)$. Рассмотрим контур $\Gamma_{\widehat{\delta}} \subset \mathbb{C}$ охватывающий отрезок $[0, \widehat{\delta}]$ эквидистантно на расстоянии $\widehat{\delta}$. Пусть $z \in \Gamma_{\widehat{\delta}}$. Подставим $\mathbf{u} = ( \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon) - zI)^{-1} \boldsymbol{\varphi}$ и $\mathbf{v} = ( \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}_0,\varepsilon) - z^*I)^{-1} \boldsymbol{\psi}$, где $\boldsymbol{\varphi}, \boldsymbol{\psi} \in L_2 (\Omega; \mathbb{C}^n)$.
	В силу оценок
	\begin{align*}
	\|( \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon) - zI)^{-1} \boldsymbol{\varphi}\|_{L_2} &\le \widehat{\delta}^{-1} \|\boldsymbol{\varphi}\|_{L_2}, & \|\widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}( \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon) - zI)^{-1} \boldsymbol{\varphi}\|_{L_2} &\le \sqrt{3} \widehat{\delta}^{-1/2} \|\boldsymbol{\varphi}\|_{L_2}, \\
	\|( \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}_0,\varepsilon) - z^*I)^{-1} \boldsymbol{\psi}\|_{L_2} &\le \widehat{\delta}^{-1} \|\boldsymbol{\psi}\|_{L_2}, & \|\widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}_0,\varepsilon)^{1/2}( \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}_0,\varepsilon) - z^*I)^{-1} \boldsymbol{\psi}\|_{L_2} &\le \sqrt{3} \widehat{\delta}^{-1/2} \|\boldsymbol{\psi}\|_{L_2},	
	\end{align*}
	из~(\ref{Lipschitz_lemma_forms_est}) и~(\ref{Lipschitz_lemma_Asqrt_est}) следует оценка
	\begin{equation}
	\label{Lipschitz_lemma_resolv_est}
	\| ( \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon) - zI)^{-1} - ( \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}_0,\varepsilon) - zI)^{-1} \|_{L_2 (\Omega) \to L_2 (\Omega)} \le C |\mathbf{k} - \mathbf{k}_0|
	\end{equation} 
	при  $z \in \Gamma_{\widehat{\delta}}$ и $\sqrt{|\mathbf{k}|^2 + \varepsilon^2} \le \widehat{\tau}^0$, $\sqrt{|\mathbf{k}_0|^2 + \varepsilon^2} \le \widehat{\tau}^0$.
	
	Из представления
	\begin{equation*}
	\widehat{F}(\mathbf{k}, \varepsilon) =  \frac{1}{2 \pi i} \ointctrclockwise_{\Gamma_{\widehat{\delta}}} ( \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon) - zI)^{-1} dz
	\end{equation*}
	(записанного в точках $\mathbf{k}$ и $\mathbf{k}_0$) и~(\ref{Lipschitz_lemma_resolv_est}) следует оценка~(\ref{hatF(k,eps) - hatF(k_0,eps)}).
	
	Неравенство~(\ref{hatB(k,eps) - hatB(k_0,eps)}) вытекает из представления
	\begin{equation*}
	\widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon) F(\mathbf{k}, \varepsilon) = \frac{1}{2 \pi i} \ointctrclockwise_{\Gamma_{\widehat{\delta}}} z ( \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon) - zI)^{-1} dz
	\end{equation*}
	(записанного в точках $\mathbf{k}$ и $\mathbf{k}_0$) и~(\ref{Lipschitz_lemma_resolv_est}).
	
	Докажем третье неравенство. Имеем:
	\begin{multline}
	\label{Lipschitz_lemma_exp_eq}
	e^{-i s \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon)} \widehat{F} (\mathbf{k}, \varepsilon) - e^{-i s \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}_0,\varepsilon)} \widehat{F} (\mathbf{k}_0, \varepsilon) = e^{-i s \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon)} \widehat{F} (\mathbf{k},\varepsilon) (\widehat{F} (\mathbf{k},\varepsilon) - \widehat{F} (\mathbf{k}_0,\varepsilon)) + \\ + (\widehat{F} (\mathbf{k},\varepsilon) - \widehat{F} (\mathbf{k}_0,\varepsilon)) e^{-i s \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}_0,\varepsilon)} \widehat{F} (\mathbf{k}_0,\varepsilon) + \Xi (s, \mathbf{k}, \mathbf{k}_0, \varepsilon),
	\end{multline}
	где
	\begin{equation*}
	\Xi (s, \mathbf{k}, \mathbf{k}_0, \varepsilon) = e^{-i s \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon)} \widehat{F} (\mathbf{k},\varepsilon) \widehat{F} (\mathbf{k}_0,\varepsilon) - \widehat{F} (\mathbf{k},\varepsilon) e^{-i s \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}_0,\varepsilon)} \widehat{F} (\mathbf{k}_0,\varepsilon).
	\end{equation*}
	Сумма первых двух слагаемых в~(\ref{Lipschitz_lemma_exp_eq}) оценивается через $2 \widehat{C}' | \mathbf{k}- \mathbf{k}_0|$ ввиду~(\ref{hatF(k,eps) - hatF(k_0,eps)}). Третье слагаемое запишем в виде
	\begin{align*}
	\Xi (s, \mathbf{k}, \mathbf{k}_0, \varepsilon) &= e^{-i s \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon)} \Sigma(s, \mathbf{k}, \mathbf{k}_0, \varepsilon),\\
	\Sigma(s, \mathbf{k}, \mathbf{k}_0, \varepsilon) &= \widehat{F} (\mathbf{k},\varepsilon) \widehat{F} (\mathbf{k}_0,\varepsilon) - e^{i s \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon)} \widehat{F} (\mathbf{k},\varepsilon) e^{-i s \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}_0,\varepsilon)} \widehat{F}(\mathbf{k}_0,\varepsilon).
	\end{align*}
	Имеем $\Sigma(0, \mathbf{k}, \mathbf{k}_0, \varepsilon) = 0$,
	\begin{equation*}
	\frac{d \Sigma(s, \mathbf{k}, \mathbf{k}_0, \varepsilon)}{d s} =- i \widehat{F} (\mathbf{k},\varepsilon) e^{i s \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon)} \left( \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k},\varepsilon) \widehat{F} (\mathbf{k},\varepsilon) - \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}_0,\varepsilon) \widehat{F} (\mathbf{k_0},\varepsilon)\right)  e^{-i s \widehat{\mathcal{B}}(\mathbf{k}_0,\varepsilon)} \widehat{F} (\mathbf{k_0},\varepsilon).
	\end{equation*}
	Отсюда интегрированием по промежутку $[0, s]$ с учётом оценки~(\ref{hatB(k,eps) - hatB(k_0,eps)}) получаем
	\begin{equation*}
	\| \Xi (s, \mathbf{k}, \mathbf{k}_0, \varepsilon) \|_{L_2(\Omega) \to L_2 (\Omega) } = \|\Sigma(s, \mathbf{k}, \mathbf{k}_0, \varepsilon)\|_{L_2(\Omega) \to L_2 (\Omega) } \le \widehat{C}'' |s| | \mathbf{k} - \mathbf{k}_0|.
	\end{equation*}
	Вместе со сказанным выше это влечёт~(\ref{exp_hatB(k,eps) - exp_hatB(k_0,eps)}).
\end{proof}

\begin{proof}[Доказательство теоремы~\emph{\ref{hatB(k,eps)_sharpness_thrm}}]
	Достаточно считать $1 \le r < 3$. Рассуждаем от противного. Фиксируем $s \ne 0$. Предположим, что для некоторого $1 \le r < 3$ найдётся постоянная $\mathcal{C}(s) > 0$ такая, что выполнена оценка~(\ref{hatB(k,eps)_est_shrp}) при почти всех $\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}$ и достаточно малом $\varepsilon > 0$. С учётом~(\ref{R(k, eps)_hatP_|k|>t0_est}) и~(\ref{R(k,eps)(I-hatP)_est}) отсюда следует, что найдётся постоянная $\widetilde{\mathcal{C}}(s) > 0$ такая, что выполнена оценка
	\begin{equation}
	\label{hat_s<3_proof_f1}
	\left\| \left( e^{-i s \varepsilon^{-2} \widehat{\mathcal{B}} ( \mathbf{k}, \varepsilon)}  - e^{-i s \varepsilon^{-2} \widehat{\mathcal{B}}^0 ( \mathbf{k}, \varepsilon)}  \right) \widehat{P} \right\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \varepsilon^r (|\mathbf{k}|^2 + \varepsilon^2)^{-r/2}  \le \widetilde{\mathcal{C}}(s) \varepsilon
	\end{equation}
	при почти всех $\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}$ и достаточно малом $\varepsilon \in \left( 0, \widehat{\tau}^0/\sqrt{2}\right] $.
	
	Рассмотрим теперь значения $\mathbf{k}$ в шаре $|\mathbf{k}| \le \widehat{\tau}^0/\sqrt{2}$. В силу (\ref{abstr_F_threshold})
	\begin{equation}
	\label{hat_s<3_proof_f2}
	\| \widehat{F} (\mathbf{k},\varepsilon) - \widehat{P} \|_{L_2 (\Omega) \to L_2 (\Omega)} \le \widehat{C}_1 (|\mathbf{k}|^2 + \varepsilon^2)^{1/2}, \qquad |\mathbf{k}| \le \widehat{\tau}^0/\sqrt{2}, \; 0 < \varepsilon \le \widehat{\tau}^0/\sqrt{2}.
	\end{equation}
	Из~(\ref{hat_s<3_proof_f1}) и~(\ref{hat_s<3_proof_f2}) вытекает справедливость неравенства
	\begin{equation}
	\label{hat_s<2_proof_f3}
	\|  e^{-i s \varepsilon^{-2} \widehat{\mathcal{B}} ( \mathbf{k}, \varepsilon)} \widehat{F} (\mathbf{k},\varepsilon)  - e^{-i s \varepsilon^{-2} \widehat{\mathcal{B}}^0 ( \mathbf{k}, \varepsilon)} \widehat{P} \|_{L_2(\Omega) \to L_2 (\Omega) } \varepsilon^r (|\mathbf{k}|^2 + \varepsilon^2)^{-r/2}  \le \check{\mathcal{C}}(s) \varepsilon
	\end{equation}
	при почти всех $\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}$ в шаре $|\mathbf{k}| \le \widehat{\tau}^0/\sqrt{2}$ и достаточно малом $\varepsilon \in \left( 0, \widehat{\tau}^0/\sqrt{2}\right] $ c некоторой константой $\check{\mathcal{C}}(s)$.
	
	Заметим, что проектор $\widehat{P}$ является спектральным проектором оператора $\widehat{\mathcal{B}}^0 ( \mathbf{k}, \varepsilon)$ для промежутка $[0, \widehat{\delta}]$. Поэтому из леммы~\ref{hat_Lipschitz_lemma} (в применении к $\widehat{\mathcal{B}} (\mathbf{k}, \varepsilon)$ и $\widehat{\mathcal{B}}^0 (\mathbf{k}, \varepsilon)$) следует, что при фиксированных $s$ и $\varepsilon$ оператор, стоящий под знаком нормы в~(\ref{hat_s<2_proof_f3}), непрерывен по $\mathbf{k}$ в шаре $|\mathbf{k}| \le \widehat{\tau}^0/\sqrt{2}$. Следовательно, оценка~(\ref{hat_s<2_proof_f3}) справедлива при всех значениях $\mathbf{k}$ из данного шара. В частности, она верна в точке $\mathbf{k} = t\boldsymbol{\theta}_0$, если $t \le \widehat{\tau}^0/\sqrt{2}$. Применяя снова неравенство~(\ref{hat_s<3_proof_f2}), получаем, что справедливо неравенство
		\begin{equation}
	\label{hat_s<3_proof_f4}
	\left\| \left( e^{-i s \varepsilon^{-2} \widehat{\mathcal{B}} ( t \boldsymbol{\theta}_0, \varepsilon)}  - e^{-i s \varepsilon^{-2} \widehat{\mathcal{B}}^0 ( t \boldsymbol{\theta}_0, \varepsilon)}  \right) \widehat{P} \right\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \varepsilon^r (|\mathbf{k}|^2 + \varepsilon^2)^{-r/2}  \le \check{\mathcal{C}}'(s) \varepsilon
	\end{equation}
	при всех $t \le \widehat{\tau}^0/\sqrt{2}$ и достаточно малом $\varepsilon \in \left( 0, \widehat{\tau}^0/\sqrt{2}\right]$.
	
	Оценка~(\ref{hat_s<3_proof_f4}) в абстрактных терминах соответствует оценке~(\ref{abstr_sharpness_est}). Поскольку по условию выполнено $\widehat{P}_{q',q}(\boldsymbol{\theta}_0) \widehat{N}_{11}(\boldsymbol{\theta}_0) \widehat{P}_{q',q}(\boldsymbol{\theta}_0)  \ne 0$, то применение теоремы~\ref{abstr_sharpness_thrm} приводит нас к противоречию.
\end{proof}

\subsection{Операторное семейство $\mathcal{B} (\mathbf{k}, \varepsilon)$. Применение схемы п.~\ref{abstr_sndw_section}}
\label{sndw_section}
\subsubsection{Случай $f \ne \mathbf{1}_n$}

Возвращаемся к рассмотрению операторов $\mathcal{B} (\varepsilon)$ общего вида~(\ref{B(eps)}) и соответствующих семейств $\mathfrak{B}(t, \varepsilon; \boldsymbol{\theta})$ из п.~\ref{abstr_sch_incorp_section}.

Будем использовать схему из раздела~\ref{abstr_sndw_section}. У нас $\widehat{\mathfrak{H}} = \mathfrak{H} = L_2 (\Omega; \mathbb{C}^n)$, а роль изоморфизма $M$ играет оператор умножения на $f(\mathbf{x})$. В качестве оператора $\mathfrak{Q}$ (см.~(\ref{abstr_frakQ})) выступает оператор умножения на матричнозначную функцию $\mathfrak{Q}(\mathbf{x}) \coloneqq (f(\mathbf{x}) f(\mathbf{x})^*)^{-1}$. Блок $\mathfrak{Q}$ в ядре $\widehat{\mathfrak{N}}$~--- оператор умножения на постоянную матрицу $\overline{\mathfrak{Q}} = |\Omega|^{-1} \int_{\Omega} (f(\mathbf{x}) f(\mathbf{x})^*)^{-1} d\mathbf{x}$. Роль оператора $M_0$ (см.~(\ref{abstr_M0})) играет оператор умножения на постоянную матрицу 
\begin{equation}
\label{f0}
f_0 \coloneqq (\overline{\mathfrak{Q}})^{-1/2} = \left( |\Omega|^{-1} \int_{\Omega} (f(\mathbf{x}) f(\mathbf{x})^*)^{-1} d\mathbf{x} \right)^{-1/2}.
\end{equation}
Отметим, что
\begin{equation}
    |f_0| \le \|f\|_{L_\infty}, \qquad |f_0^{-1}| \le \|f^{-1}\|_{L_\infty}.
\end{equation}

В $L_2(\Omega; \mathbb{C}^n)$ определим оператор
\begin{equation*}
\mathcal{B}^0(\mathbf{k},\varepsilon) \coloneqq f_0 \widehat{\mathcal{B}}^0(\mathbf{k},\varepsilon) f_0.
\end{equation*}
Согласно~(\ref{hat_frakN}), (\ref{L(k,eps)_B0(k,eps)}) справедливо равенство
\begin{equation*}
f_0 \widehat{L} (\mathbf{k}, \varepsilon) f_0 \widehat{P} = \mathcal{B}^0(\mathbf{k},\varepsilon) \widehat{P}. 
\end{equation*}

\subsubsection{Оператор $\widehat{N}_{11, \mathfrak{Q}} (\boldsymbol{\theta})$}
\label{hatN11Q_section}
Нам понадобится описать оператор $\widehat{N}_{11, \mathfrak{Q}}$ (определённый в абстрактных терминах в п.~\ref{abstr_Z_Qhat_N_Qhat_section}). Для этого введём $\Gamma$-периодическое решение $\Lambda_{\mathfrak{Q}}(\mathbf{x})$ задачи
\begin{equation*}
%\label{equation_for_Lambda_Q}
b(\mathbf{D})^* g(\mathbf{x}) (b(\mathbf{D}) \Lambda_{\mathfrak{Q}}(\mathbf{x}) + \mathbf{1}_m) = 0, \qquad \int_{\Omega} \mathfrak{Q}(\mathbf{x}) \Lambda_{\mathfrak{Q}}(\mathbf{x}) \, d \mathbf{x} = 0.
\end{equation*}

Ясно, что $\Lambda_{\mathfrak{Q}}(\mathbf{x})$ отличается от периодического решения $\Lambda(\mathbf{x})$ задачи~(\ref{Lambda_eq}) на постоянное слагаемое:
\begin{equation}
\label{LambdaQ=Lambda+LambdaQ0}
\Lambda_{\mathfrak{Q}}(\mathbf{x}) = \Lambda(\mathbf{x}) + \Lambda_{\mathfrak{Q}}^0, \qquad \Lambda_{\mathfrak{Q}}^0 = -(\overline{\mathfrak{Q}})^{-1} (\overline{\mathfrak{Q} \Lambda}).
\end{equation}

Как проверено в~\cite[п.~5.3]{BSu2005-2}, оператор $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}} (\boldsymbol{\theta})$ сейчас принимает вид
\begin{equation}
\label{hatN11Q(theta)}
\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}} (\boldsymbol{\theta}) = b(\boldsymbol{\theta})^* L_{\mathfrak{Q}} (\boldsymbol{\theta}) b(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P},
\end{equation}
где $L_{\mathfrak{Q}} (\boldsymbol{\theta})$~--- ($m \times m$)-матрица, заданная соотношением
\begin{equation}
\label{L_Q(theta)}
L_{\mathfrak{Q}} (\boldsymbol{\theta}) = | \Omega |^{-1} \int_{\Omega} (\Lambda_{\mathfrak{Q}}(\mathbf{x})^*b(\boldsymbol{\theta})^* \widetilde{g} (\mathbf{x}) + \widetilde{g} (\mathbf{x})^* b(\boldsymbol{\theta}) \Lambda_{\mathfrak{Q}}(\mathbf{x}))\, d \mathbf{x}.
\end{equation}
Сопоставляя~(\ref{LambdaQ=Lambda+LambdaQ0}), (\ref{L_Q(theta)}) с~(\ref{L(theta)}), убеждаемся, что справедливо равенство

\begin{equation*}
L_{\mathfrak{Q}} (\boldsymbol{\theta}) = L (\boldsymbol{\theta}) + L_{\mathfrak{Q}}^0 (\boldsymbol{\theta}), \qquad L_{\mathfrak{Q}}^0 (\boldsymbol{\theta}) = (\Lambda_{\mathfrak{Q}}^0)^* b(\boldsymbol{\theta})^* g^0 + g^0 b(\boldsymbol{\theta}) \Lambda_{\mathfrak{Q}}^0.
\end{equation*}

В~\cite[п.~5.4]{BSu2005-2} указаны некоторые достаточные условия, при которых оператор~(\ref{hatN11Q(theta)}) обращается в ноль.
\begin{proposition}
	\label{hatN11Q(theta)=0_prop}
	Пусть выполнено хотя бы одно из следующих предположений:
	\begin{enumerate}[label=\arabic*$^{\circ}.$, ref=\arabic*$^{\circ}$]
		\item \label{N11Q=0_proposit_p1} Оператор $\mathcal{A}$ имеет вид $\mathcal{A} = f(\mathbf{x})^*\mathbf{D}^* g(\mathbf{x}) \mathbf{D}f(\mathbf{x})$, где $g(\mathbf{x})$~--- симметричная матрица с вещественными элементами.
		\item Выполнены соотношения~\emph{(\ref{g0=overline_g})}, т. е. $g^0 = \overline{g}$.
	\end{enumerate}
	Тогда $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}} (\boldsymbol{\theta}) = 0$ при всех $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$.
\end{proposition}

\subsection{Аппроксимация окаймлённого оператора $e^{-is\varepsilon^{-2} \mathcal{B}(\mathbf{k},\varepsilon)}$}
Обозначим 
\begin{equation}
\label{J(k,eps)}
J (\mathbf{k}, \varepsilon; s) \coloneqq f e^{-is \varepsilon^{-2} \mathcal{B} (\mathbf{k}, \varepsilon)} f^{-1} - f_0 e^{-is \varepsilon^{-2} \mathcal{B}^0 (\mathbf{k}, \varepsilon)} f_0^{-1}.
\end{equation}

Мы применим к оператору $\mathfrak{B}(t, \varepsilon; \boldsymbol{\theta}) = \mathcal{B}(\mathbf{k}, \varepsilon)$ теоремы из~п.~\ref{abstr_sndw_exp_section}. Согласно замечанию~\ref{abstr_problem_data_remark}, мы можем отследить зависимость постоянных в оценках от исходных данных. Отметим что $c_1$, $c_2$, $\kappa$, $C(1)$, $\delta$ и $\tau^ 0$ не зависят от $\boldsymbol{\theta}$ (см. (\ref{c1}), (\ref{Y2_subord}), (\ref{c2_kappa}), (\ref{delta}), (\ref{tau0})). Согласно~(\ref{X1_Y1_norm}) норму $\| X_1 (\boldsymbol{\theta}) \|$ можно заменить на $\alpha_1^{1/2} \| g \|_{L_{\infty}}^{1/2} \|f\|_{L_\infty}$, а норму $\|Y_1(\boldsymbol{\theta})\|$~--- на $\|f\|_{L_\infty}$. Поэтому постоянные в теоремах~\ref{abstr_sndw_exp_general_thrm} и~\ref{abstr_sndw_exp_enchcd_thrm} (применённых к оператору $\mathcal{B}(\mathbf{k}, \varepsilon)$) не будут зависеть от $\boldsymbol{\theta}$. Они будут зависеть только от данных задачи~(\ref{problem_data}).

Применяя теорему~\ref{abstr_sndw_exp_general_thrm} с учётом~(\ref{R(k, eps)_hatP}), (\ref{R(k, eps)_hatP_|k|>t0_est}), (\ref{R(k,eps)(I-hatP)_est}) и~(\ref{R(k,eps)_le_1}), приходим к следующему утверждению.
\begin{thrm}
	\label{sndw_B(k,eps)_exp_general_thrm}
	При $\tau \in \mathbb{R}$, $\varepsilon > 0$ и $\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}$ выполнена оценка
	\begin{equation*}
	\| J (\mathbf{k}, \varepsilon; s) \mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon)^{3/2}\|_{L_2(\Omega) \to L_2 (\Omega) }  \le \mathcal{C}_1 (1 + |s|) \varepsilon,
	\end{equation*}
	где константа $\mathcal{C}_1$ зависит только от данных задачи \emph{(\ref{problem_data})}.
\end{thrm}

\subsubsection{Улучшение аппроксимации сглаженной окаймлённой экспоненты при условии $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}}(\boldsymbol{\theta}) = 0$}
Применим теперь теорему~\ref{abstr_sndw_exp_enchcd_thrm}, предполагая, что $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}}(\boldsymbol{\theta}) = 0$ при всех $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$. С учётом~(\ref{R(k, eps)_hatP}), (\ref{R(k, eps)_hatP_|k|>t0_est}), (\ref{R(k,eps)(I-hatP)_est}) и~(\ref{R(k,eps)_le_1}) это влечёт следующий результат.
\begin{thrm}
	\label{sndw_B(k,eps)_exp_enchcd_thrm}
	Пусть оператор $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}}(\boldsymbol{\theta})$ определён в~\emph{(\ref{hatN11Q(theta)})}. Пусть $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}}(\boldsymbol{\theta})~=~0$ при всех $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$. Тогда при $s \in \mathbb{R}$, $\varepsilon > 0$ и $\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}$ выполнена оценка
	\begin{equation*}
	\| J (\mathbf{k}, \varepsilon; s) \mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon)\|_{L_2(\Omega) \to L_2 (\Omega) }  \le \mathcal{C}_2 (1+ |s|) \varepsilon,
	\end{equation*}
	где константа $\mathcal{C}_2$ зависит только от данных задачи \emph{(\ref{problem_data})}.
\end{thrm}
Напомним, что в предложении~\ref{hatN11Q(theta)=0_prop} указаны некоторые достаточные условия, гарантирующие равенство $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}}(\boldsymbol{\theta}) = 0$ при всех $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$.

\subsubsection{Подтверждение точности результата}

Коэффициенты $\lambda^{(4)}_l (\boldsymbol{\theta})$ и $\omega_l (\boldsymbol{\theta})$, $l = 1, \ldots, n$,  являются собственными для оператора $S(\boldsymbol{\theta})$. Однако, удобнее перейти к обобщённой спектральной задаче для $\widehat{S}(\boldsymbol{\theta})$. Согласно~(\ref{abstr_hatS_gener_spec_problem}) числа $\lambda^{(4)}_l (\boldsymbol{\theta})$ и элементы $\zeta_l (\boldsymbol{\theta}) = f \omega_l (\boldsymbol{\theta})$, $l = 1, \ldots, n$, являются собственными значениями и собственными элементами следующей обобщённой спектральной задачи:
\begin{equation}
\label{hatS_gener_spec_problem}
b(\boldsymbol{\theta})^* g^0 b(\boldsymbol{\theta}) \zeta_l (\boldsymbol{\theta}) = \lambda^{(4)}_l (\boldsymbol{\theta}) \overline{\mathfrak{Q}} \zeta_l (\boldsymbol{\theta}), \qquad l = 1, \ldots, n.
\end{equation}
При этом а векторы $\zeta_l (\boldsymbol{\theta})$, $l = 1, \ldots, n$, образуют базис в $\widehat{\mathfrak{N}}$, ортонормированный с весом:
$(\overline{\mathfrak{Q}} \zeta_l (\boldsymbol{\theta}), \zeta_j (\boldsymbol{\theta})) = \delta_{jl}$, $j, l = 1, \ldots,n$.

Перейдём к обозначениям, принятым в замечании~\ref{abstr_kappa_lambda^(4)_renum_rem}, следя за кратностями собственных значений спектрального ростка $S (\boldsymbol{\theta})$. В силу сказанного в п.~\ref{abstr_sndw_shrp_section} эти же значения являются собственными числами обобщённой задачи~(\ref{hatS_gener_spec_problem}). Вообще говоря, количество $p(\boldsymbol{\theta})$ различных собственных значений $\lambda^{\circ,(4)}_1 (\boldsymbol{\theta}), \ldots, \lambda^{\circ,(4)}_{p(\boldsymbol{\theta})} (\boldsymbol{\theta})$ оператора $S(\boldsymbol{\theta})$ и их кратности $k_1 (\boldsymbol{\theta}), \ldots, k_{p(\boldsymbol{\theta})} (\boldsymbol{\theta})$ зависят от параметра $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$. При каждом фиксированном $\boldsymbol{\theta}$ через $\mathfrak{N}_q (\boldsymbol{\theta})$ обозначим собственное подпространство оператора $S (\boldsymbol{\theta})$, отвечающее собственному значению $\lambda^{\circ,(4)}_q (\boldsymbol{\theta})$. Тогда $f \mathfrak{N}_q (\boldsymbol{\theta})$~--- собственное подпространство задачи~(\ref{hatS_gener_spec_problem}), отвечающее тому же значению $\lambda^{\circ,(4)}_q (\boldsymbol{\theta})$.

Далее, коэффициенты $\lambda^{(5)}_l (\boldsymbol{\theta})$ и $\omega_l (\boldsymbol{\theta})$, $l = i(q,\boldsymbol{\theta}),\ldots, i(q,\boldsymbol{\theta})+k_q(\boldsymbol{\theta})-1$, где $i(q,\boldsymbol{\theta}) = k_1(\boldsymbol{\theta})+\ldots+k_{q-1}(\boldsymbol{\theta})+1$,  являются собственными для оператора $\mathscr{Y}^{(q)} (\boldsymbol{\theta})$ (см.~(\ref{abstr_kappa_Y^(q)_eigenvalues})). Согласно~(\ref{abstr_Yhat_M^(q)_gener_spec_problem}) числа $\lambda^{(5)}_l (\boldsymbol{\theta})$ и элементы $\zeta_l (\boldsymbol{\theta})$, $l = 1, \ldots, n$, являются собственными значениями и собственными элементами следующей обобщённой спектральной задачи:
\begin{multline}
\label{hatY_gener_spec_problem}
\widehat{P}_{f \mathfrak{N}_q(\boldsymbol{\theta})}  \left( -b(\boldsymbol{\theta})^* V - V^* b(\boldsymbol{\theta}) + \sum_{j=1}^{d} (\overline{a_j + a^*_j}) \theta_j \right) \zeta_l (\boldsymbol{\theta})  = \lambda^{(5)}_l (\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}_{f \mathfrak{N}_q(\boldsymbol{\theta})} \overline{\mathfrak{Q}} \zeta_l (\boldsymbol{\theta}), \\ l = i(q,\boldsymbol{\theta}),\ldots, i(q,\boldsymbol{\theta})+k_q(\boldsymbol{\theta})-1,
\end{multline} 
где $\widehat{P}_{f \mathfrak{N}_q(\boldsymbol{\theta})}$~---  ортопроектор на $f \mathfrak{N}_q (\boldsymbol{\theta})$.

Количество $p'(q, \boldsymbol{\theta})$ различных собственных чисел $\lambda^{\circ,(5)}_{1,q} (\boldsymbol{\theta}), \ldots, \lambda^{\circ,(5)}_{p'(q, \boldsymbol{\theta}),q} (\boldsymbol{\theta})$ задачи~(\ref{hatY_gener_spec_problem}) 
и их кратности $k_{1,q} (\boldsymbol{\theta}), \ldots, k_{p'(\boldsymbol{\theta}),q} (\boldsymbol{\theta})$ также зависят от параметра $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$.
При каждом фиксированном $\boldsymbol{\theta}$ через $\mathfrak{N}_{q',q} (\boldsymbol{\theta})$ обозначим собственное подпространство оператора $\mathscr{Y}^{(q)} (\boldsymbol{\theta})$, отвечающее собственному значению $\lambda^{\circ,(5)}_{q',q} (\boldsymbol{\theta})$. Тогда $f \mathfrak{N}_{q',q} (\boldsymbol{\theta})$~--- собственное подпространство задачи~(\ref{hatY_gener_spec_problem}), отвечающее тому же значению $\lambda^{\circ,(5)}_{q',q} (\boldsymbol{\theta})$. Введём обозначение $\mathcal{P}_{q',q} (\boldsymbol{\theta})$ для \textquotedblleft косого\textquotedblright \ проектора пространства $L_2(\Omega; \mathbb{C}^n)$ на подпространство $f \mathfrak{N}_{q',q} (\boldsymbol{\theta})$; $\mathcal{P}_{q',q} (\boldsymbol{\theta})$ ортогонален относительно скалярного произведения с весом $\overline{\mathfrak{Q}}$.

Применение теоремы~\ref{abstr_sndw_sharpness_thrm} позволяет подтвердить точность результата теоремы~\ref{sndw_B(k,eps)_exp_general_thrm}.
\begin{thrm}
	\label{sndw_B(k,eps)_exp_sharpness_thrm}
	Пусть оператор $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}}(\boldsymbol{\theta})$ определён в~\emph{(\ref{hatN11Q(theta)})}. Пусть хотя бы в одной точке $\boldsymbol{\theta}_0 \in \mathbb{S}^{d-1}$ имеет место
	\begin{equation*}
	\mathcal{P}_{q',q}^*(\boldsymbol{\theta}_0) \widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}}(\boldsymbol{\theta}_0) \mathcal{P}_{q',q}(\boldsymbol{\theta}_0)  \ne 0
	\end{equation*} 
	для некоторых $q \in \{1,\ldots, p(\boldsymbol{\theta}_0)\}$, $q' \in \{1,\ldots, p'(q, \boldsymbol{\theta}_0)\}$. Пусть $s \ne 0$ и $0 \le r < 3$. Тогда не существует такой константы $\mathcal{C}(s) >0$, чтобы оценка
	\begin{equation}
	\label{sndw_B(k,eps)_est_shrp}
	\left\| \left(f e^{-is \varepsilon^{-2} \mathcal{B} (\mathbf{k}, \varepsilon)} f^{-1} - f_0 e^{-is \varepsilon^{-2} \mathcal{B}^0 (\mathbf{k}, \varepsilon)} f_0^{-1} \right) \mathcal{R} ( \mathbf{k}, \varepsilon)^{r/2} \right\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \le  \mathcal{C}(s) \varepsilon
	\end{equation}
	выполнялась при почти всех $\mathbf{k} = t \boldsymbol{\theta} \in \widetilde{\Omega}$ и достаточно малом $\varepsilon > 0$.
\end{thrm}

Для доказательства нам понадобится следующая лемма, которую легко проверить по аналогии с доказательством леммы~\ref{hat_Lipschitz_lemma}.
\begin{lemma}
	\label{Lipschitz_lemma}
	Пусть $F (\mathbf{k}, \varepsilon) = F (\tau, \boldsymbol{\theta})$~--- спектральный проектор оператора $\mathcal{B}(\mathbf{k}, \varepsilon)$ для промежутка $[0, \delta]$. Тогда при $\sqrt{|\mathbf{k}|^2 + \varepsilon^2} \le \tau^0$, $\sqrt{|\mathbf{k}_0|^2 + \varepsilon^2} \le  \tau^0$ справедливы оценки
	\begin{align*}
	\| F (\mathbf{k}, \varepsilon) - F (\mathbf{k}_0, \varepsilon)\|_{L_2(\Omega) \to L_2 (\Omega) } &\le C' | \mathbf{k} - \mathbf{k}_0|, \\
	\| \mathcal{B}(\mathbf{k}, \varepsilon) F (\mathbf{k}, \varepsilon) - \mathcal{B}(\mathbf{k}_0, \varepsilon) F (\mathbf{k}_0, \varepsilon)\|_{L_2(\Omega) \to L_2 (\Omega) } &\le C'' | \mathbf{k} - \mathbf{k}_0|, \\
	\| e^{-is \mathcal{B}(\mathbf{k}, \varepsilon)} F (\mathbf{k}, \varepsilon) - e^{-is \mathcal{B}(\mathbf{k}_0, \varepsilon)} F (\mathbf{k}_0, \varepsilon)\|_{L_2(\Omega) \to L_2 (\Omega)} &\le (2 C' + C''|s|) | \mathbf{k} - \mathbf{k}_0|.
	\end{align*}
\end{lemma}

\begin{proof}[Доказательство теоремы~\emph{\ref{sndw_B(k,eps)_exp_sharpness_thrm}}]
	Достаточно считать $1 \le r < 3$. Рассуждаем от противного. Фиксируем $s \ne 0$. Предположим, что для некоторого $1 \le r < 3$ найдётся постоянная $\mathcal{C}(s) > 0$ такая, что выполнена оценка~(\ref{sndw_B(k,eps)_est_shrp}) при почти всех $\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}$ и достаточно малом $\varepsilon > 0$. С учётом~(\ref{R(k, eps)_hatP}) и~(\ref{R(k,eps)(I-hatP)_est}) отсюда следует, что найдётся постоянная $\widetilde{\mathcal{C}}(s) > 0$ такая, что выполнена оценка
	\begin{equation}
	\label{r<3_proof_f1}
	\left\| \left( f e^{-is \varepsilon^{-2} \mathcal{B} (\mathbf{k}, \varepsilon)} f^{-1} - f_0 e^{-is \varepsilon^{-2} \mathcal{B}^0 (\mathbf{k}, \varepsilon)} f_0^{-1} \right) \widehat{P} \right\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \varepsilon^r (|\mathbf{k}|^2 + \varepsilon^2)^{-r/2}  \le \widetilde{\mathcal{C}}(s) \varepsilon
	\end{equation}
	при почти всех $\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}$ и достаточно малом $\varepsilon \in \left( 0, \tau^0/\sqrt{2}\right]$.
	
	В силу~(\ref{abstr_P_Phat}) справедливо тождество $f^{-1} \widehat{P} = P f^* \overline{\mathfrak{Q}}$, где $P$~--- ортогональный проектор пространства $L_2 (\Omega; \mathbb{C}^n)$ на подпространство~$\mathfrak{N}$ (см.~(\ref{frakN_2})). Тогда оператор под знаком нормы в~(\ref{r<3_proof_f1}) можно записать в виде $f e^{-is \varepsilon^{-2} \mathcal{B} (\mathbf{k}, \varepsilon)} P f^* \overline{\mathfrak{Q}} - f_0 e^{-is \varepsilon^{-2} \mathcal{B}^0 (\mathbf{k}, \varepsilon)} f_0^{-1} \widehat{P}$.
	
	Рассмотрим теперь значения $\mathbf{k}$ в шаре $|\mathbf{k}| \le \tau^0/\sqrt{2}$. В силу (\ref{abstr_F_threshold})
	\begin{equation}
	\label{r<3_proof_f2}
	\| F (\mathbf{k},\varepsilon) - P \|_{L_2 (\Omega) \to L_2 (\Omega)} \le C_1 (|\mathbf{k}|^2 + \varepsilon^2)^{1/2}, \qquad |\mathbf{k}| \le \tau^0/\sqrt{2}, \; 0 < \varepsilon \le \tau^0/\sqrt{2}.
	\end{equation}
	Из~(\ref{r<3_proof_f1}) и~(\ref{r<3_proof_f2}) вытекает справедливость неравенства
	\begin{equation}
	\label{r<3_proof_f3}
	\| f e^{-is \varepsilon^{-2} \mathcal{B} (\mathbf{k}, \varepsilon)} F (\mathbf{k},\varepsilon) f^* \overline{\mathfrak{Q}}   - f_0 e^{-is \varepsilon^{-2} \mathcal{B}^0 (\mathbf{k}, \varepsilon)} f_0^{-1} \widehat{P} \|_{L_2(\Omega) \to L_2 (\Omega) } \varepsilon^r (|\mathbf{k}|^2 + \varepsilon^2)^{-r/2}  \le \check{\mathcal{C}}(s) \varepsilon
	\end{equation}
	при почти всех $\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}$ в шаре $|\mathbf{k}| \le \tau^0/\sqrt{2}$ и достаточно малом $\varepsilon \in \left( 0, \tau^0/\sqrt{2}\right] $ c некоторой константой $\check{\mathcal{C}}(s)$.
	
	Заметим, что проектор $\widehat{P}$ является спектральным проектором оператора $\mathcal{B}^0 ( \mathbf{k}, \varepsilon)$ для промежутка $[0, \delta]$. Поэтому из леммы~\ref{Lipschitz_lemma} (в применении к $\mathcal{B} (\mathbf{k}, \varepsilon)$ и $\mathcal{B}^0 (\mathbf{k}, \varepsilon)$) следует, что при фиксированных $s$ и $\varepsilon$ оператор, стоящий под знаком нормы в~(\ref{r<3_proof_f3}), непрерывен по $\mathbf{k}$ в шаре $|\mathbf{k}| \le \tau^0/\sqrt{2}$. Следовательно, оценка~(\ref{r<3_proof_f3}) справедлива при всех значениях $\mathbf{k}$ из данного шара. В частности, она верна в точке $\mathbf{k} = t\boldsymbol{\theta}_0$, если $t \le \tau^0/\sqrt{2}$. Применяя снова неравенство~(\ref{r<3_proof_f2}) и тождество $P f^* \overline{\mathfrak{Q}} = f^{-1} \widehat{P}$, получаем, что справедливо неравенство
	\begin{equation}
	\label{r<3_proof_f4}
	\left\| \left( f e^{-is \varepsilon^{-2} \mathcal{B} (t \boldsymbol{\theta}_0, \varepsilon)} f^{-1} - f_0 e^{-is \varepsilon^{-2} \mathcal{B}^0 (t \boldsymbol{\theta}_0, \varepsilon)} f_0^{-1} \right) \widehat{P} \right\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \varepsilon^r (|\mathbf{k}|^2 + \varepsilon^2)^{-r/2}  \le \check{\mathcal{C}}'(s) \varepsilon
	\end{equation}
	при всех $t \le \tau^0/\sqrt{2}$ и достаточно малом $\varepsilon \in \left( 0, \tau^0/\sqrt{2}\right]$.
	
	Оценка~(\ref{r<3_proof_f4}) в абстрактных терминах соответствует оценке~(\ref{abstr_sndw_est_shrp}). Поскольку по условию выполнено $\mathcal{P}_{q',q}^*(\boldsymbol{\theta}_0) \widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}}(\boldsymbol{\theta}_0) \mathcal{P}_{q',q}(\boldsymbol{\theta}_0)  \ne 0$, то применение теоремы~\ref{abstr_sndw_sharpness_thrm} приводит нас к противоречию.
\end{proof}

\subsection{Аппроксимация сглаженного оператора $e^{-is\varepsilon^{-2} \widehat{\mathcal{B}}(\varepsilon)}$}

В $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ рассмотрим оператор~(\ref{Bhat(eps)}). Введём эффективный оператор с постоянными коэффициентами:
\begin{equation}
\label{hatB0(eps)}
\widehat{\mathcal{B}}^0 (\varepsilon) = b(\mathbf{D})^* g^0  b(\mathbf{D}) + \varepsilon \left( - b(\mathbf{D})^* V - V^* b(\mathbf{D}) + \sum_{j=1}^d (\overline{a_j + a_j^*}) D_j \right) + \varepsilon^2 (\overline{\mathcal{Q}} + \lambda \overline{Q_0} - W),
\end{equation}
где эффективная матрица $g^0$ определена в~(\ref{g0}), а матрицы $V$, $W$~--- в~(\ref{V}) и (\ref{W}).

Обозначим
\begin{equation*}
\widehat{J}(\varepsilon; s) \coloneqq e^{-is\varepsilon^{-2} \widehat{\mathcal{B}}(\varepsilon)} - e^{-is\varepsilon^{-2} \widehat{\mathcal{B}}^0(\varepsilon)}.
\end{equation*}
Напомним обозначение $\mathcal{H}_0 = - \Delta$ и положим
\begin{equation}
\label{R(epsilon)}
\mathcal{R} (\varepsilon) \coloneqq \varepsilon^2 (\mathcal{H}_0 + \varepsilon^2 I)^{-1}.
\end{equation}
Оператор $\mathcal{R} (\varepsilon)$ раскладывается в прямой интеграл по операторам~(\ref{R(k, eps)}):
\begin{equation*}
\mathcal{R} (\varepsilon) = \mathscr{U}^{-1} \left( \int_{\widetilde{\Omega}} \oplus  \mathcal{R} (\mathbf{k}, \varepsilon) \, d \mathbf{k}  \right) \mathscr{U}.
\end{equation*}

Напомним также обозначение (\ref{Jhat(k,eps)}). Из разложений вида~(\ref{B(eps)_B(k,eps)_Gelfand}) для $\widehat{\mathcal{B}}(\varepsilon)$ и $\widehat{\mathcal{B}}^0(\varepsilon)$ следует равенство
\begin{equation}
\label{hatB(eps)_exps_Gelfand}
\| \widehat{J}(\varepsilon; s) \mathcal{R}(\varepsilon)^{r/2} \|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} = \underset{\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}}{\esssup} \| \widehat{J}(\mathbf{k}, \varepsilon; s) \mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon)^{r/2} \|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}.
\end{equation}
Поэтому из теорем~\ref{hatB(k,eps)_exp_general_thrm}, \ref{hatB(k,eps)_exp_enchcd_thrm} прямо вытекают следующие утверждения.
\begin{thrm}
	\label{hatB(eps)_exp_general_thrm}
	Для $s \in \mathbb{R}$ и $\varepsilon > 0$ справедлива оценка
	\begin{equation*}
	\bigl\| \widehat{J}(\varepsilon; s) \mathcal{R}(\varepsilon)^{3/2} \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \le \widehat{\mathcal{C}}_1(1 + |s|) \varepsilon. 
	\end{equation*}
	Константа $\widehat{\mathcal{C}}_1$ зависит только от данных задачи \emph{(\ref{problem_data_hat})}.
\end{thrm}
\begin{thrm}
	\label{hatB(eps)_exp_enchcd_thrm}
	Пусть оператор $\widehat{N}_{11}(\boldsymbol{\theta})$ определён в~\emph{(\ref{hatN11(theta)})}. Пусть $\widehat{N}_{11}(\boldsymbol{\theta})=0$ при всех $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$. Тогда для $s \in \mathbb{R}$ и $\varepsilon > 0$ справедлива оценка
	\begin{equation*}
	\bigl\| \widehat{J}(\varepsilon; s) \mathcal{R}(\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \le \widehat{\mathcal{C}}_2(1 + |s|) \varepsilon.
	\end{equation*}
	Константа $\widehat{\mathcal{C}}_2$ зависит только от данных задачи \emph{(\ref{problem_data_hat})}.
\end{thrm}
Применение теоремы~\ref{hatB(k,eps)_sharpness_thrm} позволяет подтвердить точность результата теоремы~\ref{hatB(eps)_exp_general_thrm}.
\begin{thrm}
	\label{hatB(eps)_sharpness_thrm}
	Пусть оператор $\widehat{N}_{11}(\boldsymbol{\theta})$ определён в~\emph{(\ref{hatN11(theta)})}. Пусть хотя бы в одной точке $\boldsymbol{\theta}_0 \in \mathbb{S}^{d-1}$ имеет место 
	\begin{equation*}
	\widehat{P}_{q',q}(\boldsymbol{\theta}_0) \widehat{N}_{11}(\boldsymbol{\theta}_0) \widehat{P}_{q',q}(\boldsymbol{\theta}_0)  \ne 0
	\end{equation*}
	для некоторых $q \in \{1,\ldots, p(\boldsymbol{\theta}_0)\}$, $q' \in \{1,\ldots, p'(q, \boldsymbol{\theta}_0)\}$. Пусть $s \ne 0$ и $0 \le r < 3$. Тогда не существует такой константы $\mathcal{C}(s) >0$, чтобы оценка
	\begin{equation*}
	\bigl\| \widehat{J}(\varepsilon; s) \mathcal{R}(\varepsilon)^{r/2} \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \le \mathcal{C}(s) \varepsilon
	\end{equation*}
	выполнялась при всех достаточно малых $\varepsilon > 0$.
\end{thrm}

\subsection{Аппроксимация \textquotedblleft окаймлённого\textquotedblright \ оператора $e^{-i s \varepsilon^{-2} \mathcal{B}(\varepsilon)}$}

В $L_2(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ рассмотрим оператор~(\ref{B(eps)}). Пусть $f_0$~--- матрица~(\ref{f0}). Введём оператор $\mathcal{B}^0(\varepsilon) = f_0 \widehat{\mathcal{B}}^0(\varepsilon) f_0$. Обозначим
\begin{equation*}
J(\varepsilon; s) \coloneqq f e^{-is \varepsilon^{-2} \mathcal{B} (\varepsilon)} f^{-1} - f_0 e^{-is \varepsilon^{-2} \mathcal{B}^0 (\varepsilon)} f_0^{-1}.
\end{equation*}
Аналогично~(\ref{hatB(eps)_exps_Gelfand}) имеем
\begin{equation*}
%\label{norms_and_Gelfand_transf}
\| J(\varepsilon; s) \mathcal{R}(\varepsilon)^{r/2} \|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} = \underset{\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}}{\esssup} \| J(\mathbf{k}, \varepsilon; s) \mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon)^{r/2} \|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}.
\end{equation*}
Таким образом, из теорем~\ref{sndw_B(k,eps)_exp_general_thrm} и~\ref{sndw_B(k,eps)_exp_enchcd_thrm} получаем следующие результаты.
\begin{thrm}
	\label{sndw_B(eps)_exp_general_thrm}
	Для $s \in \mathbb{R}$ и $\varepsilon > 0$ справедлива оценка
	\begin{equation*}
	\bigl\| J(\varepsilon; s) \mathcal{R}(\varepsilon)^{3/2} \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \le \mathcal{C}_1(1 + |s|) \varepsilon. 
	\end{equation*}
	Константа $\mathcal{C}_1$ зависит только от данных задачи \emph{(\ref{problem_data})}.
\end{thrm}
\begin{thrm}
	\label{sndw_B(eps)_exp_enchcd_thrm}
	Пусть оператор $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}}(\boldsymbol{\theta})$ определён в~\emph{(\ref{hatN11Q(theta)})}. Пусть $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}}(\boldsymbol{\theta})=0$ при всех $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$. Тогда для $s \in \mathbb{R}$ и $\varepsilon > 0$ справедлива оценка
	\begin{equation*}
	\bigl\| J(\varepsilon; s) \mathcal{R}(\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \le \mathcal{C}_2(1 + |s|) \varepsilon.
	\end{equation*}
	Константа $\mathcal{C}_2$ зависит только от данных задачи \emph{(\ref{problem_data})}.
\end{thrm}
Используя теорему~\ref{sndw_B(k,eps)_exp_sharpness_thrm}, мы  подтверждаем точность результата теоремы~\ref{sndw_B(eps)_exp_general_thrm}.
\begin{thrm}
	\label{sndw_B(eps)_sharpness_thrm}
	Пусть оператор $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}}(\boldsymbol{\theta})$ определён в~\emph{(\ref{hatN11Q(theta)})}. Пусть хотя бы в одной точке $\boldsymbol{\theta}_0 \in \mathbb{S}^{d-1}$ имеет место 
	\begin{equation*}
\mathcal{P}_{q',q}^* (\boldsymbol{\theta}_0) \widehat{N}_{11, \mathfrak{Q}}(\boldsymbol{\theta}_0) \mathcal{P}_{q',q}(\boldsymbol{\theta}_0)  \ne 0
	\end{equation*} для некоторых $q \in \{1,\ldots, p(\boldsymbol{\theta}_0)\}$, $q' \in \{1,\ldots, p'(q, \boldsymbol{\theta}_0)\}$. Пусть $s \ne 0$ и $0 \le r < 3$. Тогда не существует такой константы $\mathcal{C}(s) >0$, чтобы оценка
	\begin{equation*}
	\bigl\| J(\varepsilon; s) \mathcal{R}(\varepsilon)^{r/2} \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \le \mathcal{C}(s) \varepsilon
	\end{equation*}
	выполнялась при всех достаточно малых $\varepsilon > 0$.
\end{thrm}


\section{Задачи усреднения для нестационарных уравнений \\ типа Шрёдингера}
\subsection{Усреднение оператора $e^{-is\mathcal{B}_\varepsilon}$}
\subsubsection{Операторы $\widehat{\mathcal{B}}_\varepsilon$, $\mathcal{B}_\varepsilon$. Постановка задачи.}

Если $\psi(\mathbf{x})$~--- измеримая $\Gamma$-периодическая функция в $\mathbb{R}^d$, условимся использовать обозначение $\psi^{\varepsilon}(\mathbf{x}) \coloneqq \psi(\varepsilon^{-1} \mathbf{x})$, $\varepsilon > 0$. \emph{Наши основные объекты}~--- операторы $\widehat{\mathcal{B}}_\varepsilon$, $\mathcal{B}_\varepsilon$, действующие в $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$, формально заданные выражениями
\begin{gather}
\label{hatB_eps}
\widehat{\mathcal{B}}_\varepsilon \coloneqq b (\mathbf{D})^* g^{\varepsilon}(\mathbf{x}) b (\mathbf{D}) + \sum_{j = 1}^{d} (a_j^{\varepsilon} (\mathbf{x}) D_j + D_j a_j^{\varepsilon} (\mathbf{x})^*) +  \mathcal{Q}^{\varepsilon} (\mathbf{x})  + \lambda  \mathcal{Q}_0^{\varepsilon} (\mathbf{x}), \\
\label{B_eps}
\mathcal{B}_\varepsilon \coloneqq f^{\varepsilon}(\mathbf{x})^* \widehat{\mathcal{B}}_\varepsilon f^{\varepsilon}(\mathbf{x}).
\end{gather}
Строгие определения даются через соответствующие квадратичные формы (ср.~п.~\ref{B(eps)_section}). Коэффициенты операторов~(\ref{hatB_eps}) и~(\ref{B_eps}) быстро осциллируют при $\varepsilon \to 0$.

Введём \emph{эффективный оператор} с постоянными коэффициентами:
\begin{equation}
\label{hatB0}
\widehat{\mathcal{B}}^0 = b(\mathbf{D})^* g^0  b(\mathbf{D}) +  \left( - b(\mathbf{D})^* V - V^* b(\mathbf{D}) + \sum_{j=1}^d (\overline{a_j + a_j^*}) D_j \right) + (\overline{\mathcal{Q}} + \lambda \overline{\mathcal{Q}_0} - W),
\end{equation}
а также оператор
\begin{equation}
\label{B0}
\mathcal{B}^0 = f_0 \widehat{\mathcal{B}}^0 f_0,
\end{equation}
где эффективная матрица $g^0$ определена в~(\ref{g0}), а матрицы $V$, $W$~--- в~(\ref{V}) и (\ref{W}). Матрица $f_0$ задана формулой~(\ref{f0}).

\emph{Наша цель}~--- получить аппроксимацию оператора $e^{-is\mathcal{B}_\varepsilon}$ при $\varepsilon \to 0$ и применить полученные результаты к усреднению задачи Коши для нестационарных уравнений типа Шрёдингера.

\subsubsection{Масштабное преобразование}
Пусть $T_{\varepsilon}$~--- \emph{унитарный в $L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ оператор масштабного преобразования}: 
\begin{equation*}
(T_{\varepsilon} \mathbf{u})(\mathbf{x}) = \varepsilon^{d/2} \mathbf{u} (\varepsilon \mathbf{x}), \qquad \varepsilon > 0.
\end{equation*}
Тогда справедливо тождество $\mathcal{B}_\varepsilon = \varepsilon^{-2}T_{\varepsilon}^* \mathcal{B} (\varepsilon) T_{\varepsilon}$. Следовательно,
\begin{equation}
\label{exp_scale_transform}
e^{-is\mathcal{B}_{\varepsilon}} = T_{\varepsilon}^* e^{-is\varepsilon^{-2} \mathcal{B}(\varepsilon)} T_{\varepsilon}.
\end{equation}

Применяя масштабное преобразование к резольвенте оператора $\mathcal{H}_0 = - \Delta$, получаем
\begin{equation}
\label{H0_resolv_scale_transform}
(\mathcal{H}_0 + I)^{-1} = \varepsilon^2 T_\varepsilon^* (\mathcal{H}_0 + \varepsilon^2 I)^{-1} T_\varepsilon = T_\varepsilon^* \mathcal{R} (\varepsilon) T_\varepsilon.
\end{equation}
Здесь использовано обозначение~(\ref{R(epsilon)}).

Наконец, если $\psi(\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодическая функция, то оператор $[\psi^{\varepsilon}]$ умножения на функцию $\psi^{\varepsilon} (\mathbf{x}) = \psi (\varepsilon^{-1} \mathbf{x})$ под действием масштабного преобразования перейдёт в оператор $[\psi]$ умножения на $\psi (\mathbf{x})$: $[\psi^{\varepsilon}] = T_\varepsilon^* [\psi] T_\varepsilon$.

\subsubsection{Усреднение оператора $e^{-is\widehat{\mathcal{B}}_\varepsilon}$}
Начнём с более простого оператора $\widehat{\mathcal{B}}_\varepsilon$. Пусть $\widehat{\mathcal{B}}^0$~--- эффективный оператор~(\ref{hatB0}). Применяя соотношения вида~(\ref{exp_scale_transform}) (для операторов $\widehat{\mathcal{B}}_\varepsilon$ и $\widehat{\mathcal{B}}^0$), а также~(\ref{H0_resolv_scale_transform}), получаем тождество
\begin{equation}
\label{hatB_eps_exps_scale_transform}
(e^{-is\widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon}} - e^{-is\widehat{\mathcal{B}}^0}) (\mathcal{H}_0 + I)^{-r/2} =  T_{\varepsilon}^* \widehat{J}(\varepsilon; s) \mathcal{R} (\varepsilon)^{r/2} T_{\varepsilon}, \qquad \varepsilon > 0.
\end{equation}

В общем случае справедлив следующий результат.
\begin{thrm}
	\label{hatB_eps_exp_general_thrm}  
	Пусть $\widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon}$~--- оператор~\emph{(\ref{hatB_eps})} и  $\widehat{\mathcal{B}}^0$~--- соответствующий эффективный оператор~\emph{(\ref{hatB0})}. Тогда при $0 \le r \le 3$ и $s \in \mathbb{R}$, $\varepsilon > 0$ справедливы оценки
	\begin{equation}
	\label{hatB_eps_exp_general_est}
	\| e^{-is\widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon}} - e^{-is\widehat{\mathcal{B}}^0} \|_{H^r (\mathbb{R}^d) \to L_2 (\mathbb{R}^d)} \le  \widehat{\mathfrak{C}}_1 (r; s) \varepsilon^{r/3},  
	\end{equation}
	где постоянная $\mathfrak{C}_1 (r; s)$ задана равенством
	\begin{equation}
	\label{hat_frakC_1}
	\widehat{\mathfrak{C}}_1 (r; s) = 2^{1-r/3} \widehat{\mathcal{C}}_1^{r/3} (1 +  |s|)^{r/3}.
	\end{equation}
	Константа $\widehat{\mathcal{C}}_1$ зависит только от данных задачи~\emph{(\ref{problem_data_hat})}. 
\end{thrm}
\begin{proof}
	Ввиду унитарности оператора $T_\varepsilon$ и~(\ref{hatB_eps_exps_scale_transform}) из теоремы~\ref{hatB(eps)_exp_general_thrm} следует оценка
	\begin{equation}
	\label{cos_est1_L2L2}
	\| (e^{-is\widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon}} - e^{-is\widehat{\mathcal{B}}^0}) (\mathcal{H}_0 + I)^{-3/2} \|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \le \widehat{\mathcal{C}}_1 (1+ |s|) \varepsilon,\qquad s \in \mathbb{R}, \;  \varepsilon > 0.
	\end{equation}
	Очевидно,
	\begin{equation}
	\label{cos-cos_le_2}
	\| e^{-is\widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon}} - e^{-is\widehat{\mathcal{B}}^0} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d) \to L_2 (\mathbb{R}^d)} \le 2, \qquad  s \in \mathbb{R}, \;  \varepsilon > 0.
	\end{equation}
	Интерполируя между~(\ref{cos_est1_L2L2}) и~(\ref{cos-cos_le_2}), при $ 0 \le r \le 3$ получаем
	\begin{multline}
	\label{cos_interp_1}
	\| (e^{-is\widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon}} - e^{-is\widehat{\mathcal{B}}^0}) (\mathcal{H}_0 + I)^{-r/2} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d) \to L_2 (\mathbb{R}^d)}
	\le 2^{1-r/3} \widehat{\mathcal{C}}_1^{r/3} (1 +  |s|)^{r/3} \varepsilon^{r/3}, \\  s \in \mathbb{R}, \;  \varepsilon > 0. 
	\end{multline}
	Оператор $(\mathcal{H}_0 + I)^{r/2}$ осуществляет изометрический изоморфизм пространства Соболева $H^r(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ на $L_2(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$, поскольку для $\mathbf{u} \in H^r(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$ выполнено
	\begin{equation*}
%	\label{H_L2_isometry}
	\| (\mathcal{H}_0 + I)^{r/2} \mathbf{u} \|^2_{L_2 (\mathbb{R}^d)} = \int\limits_{\mathbb{R}^d} ( 1 + |\boldsymbol{\xi}|^2)^r |\hat{\mathbf{u}} (\boldsymbol{\xi})|^2 d \boldsymbol{\xi} = \| \mathbf{u} \|^2_{ H^r(\mathbb{R}^d)},
	\end{equation*}
	где $\hat{\mathbf{u}} (\boldsymbol{\xi})$ --- Фурье-образ функции $\mathbf{u} (\mathbf{x})$.
	Поэтому оценка~(\ref{cos_interp_1}) эквивалентна~(\ref{hatB_eps_exp_general_est}).
\end{proof}

Этот результат может быть усилен при дополнительных предположениях. Применяя теорему~\ref{hatB(eps)_exp_enchcd_thrm}, получаем следующий результат.
\begin{thrm}
	\label{hatB_eps_exp_enchcd_thrm}
	Пусть выполнены условия теоремы~\emph{\ref{hatB_eps_exp_general_thrm}}. Пусть оператор $\widehat{N}_{11}(\boldsymbol{\theta})$ определён в~\emph{(\ref{hatN11(theta)})}. Предположим, что $\widehat{N}_{11}(\boldsymbol{\theta})=0$ при всех $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$. Тогда при $0 \le r \le 2$ и $s \in \mathbb{R}$, $\varepsilon > 0$ справедливы оценки
	\begin{equation*}
	\| e^{-is\widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon}} - e^{-is\widehat{\mathcal{B}}^0} \|_{H^r (\mathbb{R}^d) \to L_2 (\mathbb{R}^d)} \le  \widehat{\mathfrak{C}}_2 (r; s) \varepsilon^{r/2},  
	\end{equation*}
	где постоянная $\widehat{\mathfrak{C}}_2 (r; s)$ задана равенством
	\begin{equation}
	\label{hat_frakC_2}
	\widehat{\mathfrak{C}}_2 (r; s) = 2^{1-r/2} \widehat{\mathcal{C}}_2^{r/2} (1 +  |s|)^{r/2}.
	\end{equation}
	Константа $\widehat{\mathcal{C}}_2$ зависит только от данных задачи~\emph{(\ref{problem_data_hat})}.
\end{thrm}

Применение теоремы~\ref{hatB(eps)_sharpness_thrm} позволяет подтвердить точность результата теоремы~\ref{hatB_eps_exp_general_thrm}.
\begin{thrm}
	\label{hatB_eps_sharpness_thrm}
	Пусть оператор $\widehat{N}_{11}(\boldsymbol{\theta})$ определён в~\emph{(\ref{hatN11(theta)})}. Пусть хотя бы в одной точке $\boldsymbol{\theta}_0 \in \mathbb{S}^{d-1}$ имеет место 
	\begin{equation*}
	\widehat{P}_{q',q}(\boldsymbol{\theta}_0) \widehat{N}_{11}(\boldsymbol{\theta}_0) \widehat{P}_{q',q}(\boldsymbol{\theta}_0)  \ne 0
	\end{equation*}
	для некоторых $q \in \{1,\ldots, p(\boldsymbol{\theta}_0)\}$, $q' \in \{1,\ldots, p'(q, \boldsymbol{\theta}_0)\}$. Пусть $s \ne 0$ и $0 \le r < 3$. Тогда не существует такой константы $\mathcal{C}(s) >0$, чтобы оценка
	\begin{equation*}
	\bigl\| \bigl( e^{-is\widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon}} - e^{-is\widehat{\mathcal{B}}^0} \bigr) (\mathcal{H}_0 + I)^{-r/2} \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \le \mathcal{C}(s) \varepsilon
	\end{equation*}
	выполнялась при всех достаточно малых $\varepsilon > 0$.
\end{thrm}


\subsubsection{Усреднение окаймлённого оператора $e^{-is\mathcal{B}_\varepsilon}$}

Рассмотрим теперь более общий оператор $\mathcal{B}_{\varepsilon}$ (см.~(\ref{B_eps})).
Пусть оператор $\mathcal{B}^0$ определён в~(\ref{B0}). Применяя соотношения вида~(\ref{exp_scale_transform}) (для операторов $\mathcal{B}_\varepsilon$ и $\mathcal{B}^0$), а также~(\ref{H0_resolv_scale_transform}), получаем тождество
\begin{equation}
\label{sndw_exps_scale_transform}
(f^\varepsilon e^{-is \mathcal{B}_{\varepsilon}} (f^\varepsilon)^{-1} - f_0 e^{-is \mathcal{B}^0} f_0^{-1}) (\mathcal{H}_0 + I)^{-r/2} =  T_{\varepsilon}^* J(\varepsilon; s) \mathcal{R} (\varepsilon)^{r/2} T_{\varepsilon}, \qquad \varepsilon > 0.
\end{equation}

Из теоремы~\ref{sndw_B(eps)_exp_general_thrm}, тождества~(\ref{sndw_exps_scale_transform}) и очевидного равенства
\begin{equation*}
\| f^\varepsilon e^{-is \mathcal{B}_{\varepsilon}} (f^\varepsilon)^{-1} - f_0 e^{-is \mathcal{B}^0} f_0^{-1}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \le 2 \|f\|_{L_\infty} \|f^{-1}\|_{L_\infty}
\end{equation*}
вытекает следующий результат.

\begin{thrm}
	\label{sndw_B_eps_exp_general_thrm}
	Пусть $\mathcal{B}_{\varepsilon}$ и $\mathcal{B}^0$~--- операторы, определённые выражениями~\emph{(\ref{B_eps})} и~\emph{(\ref{B0})}. Тогда при $0 \le r \le 3$ и $s \in \mathbb{R}$, $\varepsilon > 0$ справедливы оценки
	\begin{equation*}
	\| f^\varepsilon e^{-is \mathcal{B}_{\varepsilon}} (f^\varepsilon)^{-1} - f_0 e^{-is \mathcal{B}^0} f_0^{-1} \|_{H^r (\mathbb{R}^d) \to L_2 (\mathbb{R}^d)} \le  \mathfrak{C}_1 (r; s) \varepsilon^{r/3},  
	\end{equation*}
	где постоянная $\mathfrak{C}_1 (r; s)$ задана равенством
	\begin{equation}
	\label{frakC_1}
	\mathfrak{C}_1 (r; s) = (2 \|f\|_{L_\infty} \|f^{-1}\|_{L_\infty})^{1-r/3} \mathcal{C}_1^{r/3} (1 +  |s|)^{r/3}.
	\end{equation}
	Константа $\mathcal{C}_1$ зависит только от данных задачи~\emph{(\ref{problem_data})}.
\end{thrm}

Этот результат может быть усилен при дополнительных предположениях. Теорема~\ref{sndw_B(eps)_exp_enchcd_thrm} позволяет получить следующий результат.

\begin{thrm}
	\label{sndw_B_eps_exp_enchcd_thrm}
	Пусть выполнены условия теоремы~\emph{\ref{sndw_B_eps_exp_general_thrm}}. Пусть оператор $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}}(\boldsymbol{\theta})$ определён в~\emph{(\ref{hatN11Q(theta)})}. Предположим, что $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}}(\boldsymbol{\theta})=0$ при всех $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$. Тогда при $0 \le r \le 2$ и  $s \in \mathbb{R}$ и $\varepsilon > 0$ справедлива оценка
	\begin{equation*}
	\| f^\varepsilon e^{-is \mathcal{B}_{\varepsilon}} (f^\varepsilon)^{-1} - f_0 e^{-is \mathcal{B}^0} f_0^{-1} \|_{H^r (\mathbb{R}^d) \to L_2 (\mathbb{R}^d)} \le  \mathfrak{C}_2 (r; s) \varepsilon^{r/2},  
	\end{equation*}
	где постоянная $\mathfrak{C}_2 (r; s)$ задана равенством
	\begin{equation}
	\label{frakC_2}
	\mathfrak{C}_2 (r; s) = (2 \|f\|_{L_\infty} \|f^{-1}\|_{L_\infty})^{1-r/2} \mathcal{C}_2^{r/2} (1 +  |s|)^{r/2}.
	\end{equation}
	Константа $\mathcal{C}_2$ зависит только от данных задачи~\emph{(\ref{problem_data})}.
\end{thrm}

Используя теорему~\ref{sndw_B(eps)_sharpness_thrm}, мы  подтверждаем точность результата теоремы~\ref{sndw_B_eps_exp_general_thrm}.
\begin{thrm}
	\label{sndw_B_eps_sharpness_thrm}
	Пусть оператор $\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q}}(\boldsymbol{\theta})$ определён в~\emph{(\ref{hatN11Q(theta)})}. Пусть хотя бы в одной точке $\boldsymbol{\theta}_0 \in \mathbb{S}^{d-1}$ имеет место 
	\begin{equation*}
	\mathcal{P}_{q',q}^* (\boldsymbol{\theta}_0) \widehat{N}_{11, \mathfrak{Q}}(\boldsymbol{\theta}_0) \mathcal{P}_{q',q}(\boldsymbol{\theta}_0)  \ne 0
	\end{equation*}
	для некоторых $q \in \{1,\ldots, p(\boldsymbol{\theta}_0)\}$, $q' \in \{1,\ldots, p'(q, \boldsymbol{\theta}_0)\}$. Пусть $s \ne 0$ и $0 \le r < 3$. Тогда не существует такой константы $\mathcal{C}(s) >0$, чтобы оценка
	\begin{equation*}
	\bigl\| \bigl( f^\varepsilon e^{-is \mathcal{B}_{\varepsilon}} (f^\varepsilon)^{-1} - f_0 e^{-is \mathcal{B}^0} f_0^{-1} \bigr) (\mathcal{H}_0 + I)^{-r/2} \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \le \mathcal{C}(s) \varepsilon
	\end{equation*}
	выполнялась при всех достаточно малых $\varepsilon > 0$.
\end{thrm}


\subsection{Усреднение задачи Коши для уравнения типа Шрёдингера}

\subsubsection{Задача Коши для уравнения с оператором $\widehat{\mathcal{B}}_\varepsilon$}
Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x}, s)$~--- решение следующей задачи Коши:
\begin{equation}
\label{Cauchy_hatB_eps}
\left\{
\begin{aligned}
&i\frac{\partial \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x}, s)}{\partial s} = (\widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon} \mathbf{u}_\varepsilon) (\mathbf{x}, s) + \mathbf{F} (\mathbf{x}, s), \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d, \; s \in \mathbb{R}, \\
& \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x}, 0) = \boldsymbol{\phi} (\mathbf{x}), \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d,
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
где $\boldsymbol{\phi} \in L_2 (\mathbb{R}^d, \mathbb{C}^n)$, $ \mathbf{F} \in L_{1, \mathrm{loc}} (\mathbb{R}; L_2 (\mathbb{R}^d, \mathbb{C}^n) )$~--- заданные функции. Для решения этой задачи справедливо представление 
\begin{equation*}
\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot, s) = e^{-is\widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon}} \boldsymbol{\phi} - i \int\limits_{0}^{s} e^{-i(s-\tilde{s})\widehat{\mathcal{B}}_{\varepsilon}} \mathbf{F} (\cdot, \tilde{s}) \, d \tilde{s}.
\end{equation*}
Пусть $\mathbf{u}_0 (\mathbf{x}, s)$~--- решение \textquotedblleft усреднённой\textquotedblright \ задачи:
\begin{equation}
\label{Cauchy_hatB0}
\left\{
\begin{aligned}
&i\frac{\partial \mathbf{u}_0 (\mathbf{x}, s)}{\partial s} = (\widehat{\mathcal{B}}^0 \mathbf{u}_0) (\mathbf{x}, s) + \mathbf{F} (\mathbf{x}, s), \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d, \; s \in \mathbb{R}, \\
& \mathbf{u}_0 (\mathbf{x}, 0) = \boldsymbol{\phi} (\mathbf{x}), \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
Тогда 
\begin{equation*}
\mathbf{u}_0 (\cdot, s) = e^{-is\widehat{\mathcal{B}}^0} \boldsymbol{\phi} - i\int\limits_{0}^{s} e^{-i(s-\tilde{s})\widehat{\mathcal{B}}^0} \mathbf{F} (\cdot, \tilde{s}) \, d \tilde{s}.
\end{equation*}


Из теоремы~\ref{hatB_eps_exp_general_thrm} непосредственно вытекает следующий результат.
\begin{thrm}
	\label{hatB_eps_Cauchy_general_thrm}
	Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon$~--- решение задачи~\emph{(\ref{Cauchy_hatB_eps})} и $\mathbf{u}_0$~--- решение задачи~\emph{(\ref{Cauchy_hatB0})}.
	\begin{enumerate}[label=\arabic*$^{\circ}.$, ref=\arabic*$^{\circ}$]
		\item \label{hatB_eps_Cauchy_general_thrm_it1} Если $\boldsymbol{\phi} \in H^r (\mathbb{R}^d, \mathbb{C}^n)$, $\mathbf{F} \in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}; H^r (\mathbb{R}^d, \mathbb{C}^n))$, где $0 \le r \le 3$, то при $s \in \mathbb{R}$ и $\varepsilon > 0$ выполнена оценка
		\begin{equation}
			\label{hatB_eps_Cauchy_general_est}
			\| \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot, s) - \mathbf{u}_0 (\cdot, s) \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \le \varepsilon^{r/3}  \widehat{\mathfrak{C}}_1 (r; s) \left(\| \boldsymbol{\phi} \|_{H^r(\mathbb{R}^d)} + \|\mathbf{F} \|_{L_1((0,s);H^r(\mathbb{R}^d))} \right).
		\end{equation}
		Величина $\widehat{\mathfrak{C}}_1 (r; s)$ определена в~\emph{(\ref{hat_frakC_1})}.
		\item \label{hatB_eps_Cauchy_general_thrm_it2} Если $\boldsymbol{\phi} \in L_2 (\mathbb{R}^d, \mathbb{C}^n)$ и $ \mathbf{F} \in L_{1, \mathrm{loc}} (\mathbb{R}; L_2 (\mathbb{R}^d, \mathbb{C}^n) )$, то
		\begin{equation*}
		\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \| \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot, s) - \mathbf{u}_0 (\cdot, s) \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} = 0, \qquad s \in \mathbb{R}.
		\end{equation*}
	\end{enumerate}
\end{thrm}

Утверждение~\ref{hatB_eps_Cauchy_general_thrm_it2} в силу теоремы Банаха--Штейнгауза прямо следует из~(\ref{hatB_eps_Cauchy_general_est}) и очевидной оценки
\begin{equation*}
\| \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot, s) - \mathbf{u}_0 (\cdot, s) \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \le 2 \| \boldsymbol{\phi} \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} + 2|s|\|\mathbf{F} \|_{L_1((0,s);L_2(\mathbb{R}^d))}.
\end{equation*}

Утверждение~\ref{hatB_eps_Cauchy_general_thrm_it1} можно усилить при дополнительных предположениях. Применяя теорему~\ref{hatB_eps_exp_enchcd_thrm}, получаем следующее утверждение.
\begin{thrm}
	\label{hatB_eps_Cauchy_enchcd_thrm}
	Пусть выполнены условия теоремы~\emph{\ref{hatB_eps_Cauchy_general_thrm}}. Пусть оператор  $\widehat{N}_{11} (\boldsymbol{\theta})$ определён в~\emph{(\ref{hatN11(theta)})}. Предположим, что $\widehat{N}_{11} (\boldsymbol{\theta}) = 0$ при всех $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$. Если $\boldsymbol{\phi} \in H^r (\mathbb{R}^d, \mathbb{C}^n)$, $\mathbf{F} \in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}; H^r (\mathbb{R}^d, \mathbb{C}^n))$, где $0 \le r \le 2$, то при $s \in \mathbb{R}$ и $\varepsilon > 0$ выполнена оценка
	\begin{equation*}
	\| \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot, s) - \mathbf{u}_0 (\cdot, s) \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \le \varepsilon^{r/2}  \widehat{\mathfrak{C}}_2 (r; s) \left(\| \boldsymbol{\phi} \|_{H^r(\mathbb{R}^d)} + \|\mathbf{F} \|_{L_1((0,s);H^r(\mathbb{R}^d))} \right).
	\end{equation*}
	Величина $\widehat{\mathfrak{C}}_2 (r; s)$ определена в~\emph{(\ref{hat_frakC_2})}.
\end{thrm}

\subsubsection{Задача Коши для уравнения с оператором $\mathcal{B}_\varepsilon$}
\label{Cauchy_B_eps_section}

Рассмотрим более общую задачу Коши для уравнения с оператором $\mathcal{B}_\varepsilon$:
\begin{equation}
\label{Cauchy_B_eps}
\left\{
\begin{aligned}
&i\frac{\partial \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x}, s)}{\partial s} = (\mathcal{B}_{\varepsilon} \mathbf{u}_\varepsilon) (\mathbf{x}, s) +  (f^\varepsilon (\mathbf{x}))^{-1} \mathbf{F} (\mathbf{x}, s), \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d, \; s \in \mathbb{R},\\
& f^\varepsilon (\mathbf{x}) \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x}, 0) = \boldsymbol{\phi}(\mathbf{x}), \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d,
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
где $\boldsymbol{\phi} \in L_2 (\mathbb{R}^d, \mathbb{C}^n)$, $ \mathbf{F} \in L_{1, \mathrm{loc}} (\mathbb{R}; L_2 (\mathbb{R}^d, \mathbb{C}^n) )$~--- заданные функции. Для решения этой задачи справедливо представление 
\begin{equation*}
\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot, s) = e^{-is\mathcal{B}_{\varepsilon}} (f^\varepsilon)^{-1} \boldsymbol{\phi} - i \int\limits_{0}^{s} e^{-i(s-\tilde{s})\mathcal{B}_{\varepsilon}} (f^\varepsilon)^{-1} \mathbf{F} (\cdot, \tilde{s}) \, d \tilde{s}.
\end{equation*}
Пусть $\mathbf{u}_0 (\mathbf{x}, s)$~--- решение \textquotedblleft усреднённой\textquotedblright \ задачи:
\begin{equation}
\label{Cauchy_B0}
\left\{
\begin{aligned}
&i\frac{\partial \mathbf{u}_0 (\mathbf{x}, s)}{\partial s} = (\mathcal{B}^0 \mathbf{u}_0) (\mathbf{x}, s) + f_0^{-1} \mathbf{F} (\mathbf{x}, s), \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d, \; s \in \mathbb{R},\\
& f_0 \mathbf{u}_0 (\mathbf{x}, 0) = \boldsymbol{\phi}(\mathbf{x}), \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
Тогда 
\begin{equation*}
\mathbf{u}_0 (\cdot, s) = e^{-is\mathcal{B}^0} f_0^{-1} \boldsymbol{\phi} - i \int\limits_{0}^{s} e^{-i(s-\tilde{s})\mathcal{B}^0} f_0^{-1} \mathbf{F} (\cdot, \tilde{s}) \, d \tilde{s}.
\end{equation*}

Из теоремы~\ref{sndw_B_eps_exp_general_thrm} непосредственно вытекает следующий результат.
\begin{thrm}
	\label{B_eps_Cauchy_general_thrm}
	Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon$~--- решение задачи~\emph{(\ref{Cauchy_B_eps})} и $\mathbf{u}_0$~--- решение задачи~\emph{(\ref{Cauchy_B0})}.
	\begin{enumerate}[label=\arabic*$^{\circ}.$, ref=\arabic*$^{\circ}$]
		\item \label{B_eps_Cauchy_general_thrm_it1} Если $\boldsymbol{\phi} \in H^r (\mathbb{R}^d, \mathbb{C}^n)$, $\mathbf{F} \in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}; H^r (\mathbb{R}^d, \mathbb{C}^n))$, где $0 \le r \le 3$, то при $s \in \mathbb{R}$ и $\varepsilon > 0$ выполнена оценка
		\begin{equation*}
		%\label{B_eps_Cauchy_general_thrm_est}
		\| f^\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot, s) - f_0 \mathbf{u}_0 (\cdot, s) \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \le \varepsilon^{r/3}  \mathfrak{C}_1 (r; s) \left(\| \boldsymbol{\phi} \|_{H^r(\mathbb{R}^d)} + \|\mathbf{F} \|_{L_1((0,s);H^r(\mathbb{R}^d))} \right).
		\end{equation*}
		Величина $\mathfrak{C}_1 (r; s)$ определена в~\emph{(\ref{frakC_1})}.
		\item  Если $\boldsymbol{\phi} \in L_2 (\mathbb{R}^d, \mathbb{C}^n)$ и $ \mathbf{F} \in L_{1, \mathrm{loc}} (\mathbb{R}; L_2 (\mathbb{R}^d, \mathbb{C}^n) )$, то
		\begin{equation*}
		\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \| f^\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot, s) - f_0 \mathbf{u}_0 (\cdot, s) \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} = 0, \qquad s \in \mathbb{R}.
		\end{equation*}
	\end{enumerate}
\end{thrm}

Утверждение~\ref{B_eps_Cauchy_general_thrm_it1} можно усилить при дополнительных предположениях. Применяя теорему~\ref{sndw_B_eps_exp_enchcd_thrm}, получаем следующее утверждение.
\begin{thrm}
	\label{B_eps_Cauchy_enchcd_thrm}
	Пусть выполнены условия теоремы~\emph{\ref{B_eps_Cauchy_general_thrm}}. Пусть оператор  $\widehat{N}_{11, \mathfrak{Q}} (\boldsymbol{\theta})$ определён~в~\emph{(\ref{hatN11Q(theta)})}. Предположим, что $\widehat{N}_{11, \mathfrak{Q}} (\boldsymbol{\theta}) = 0$ при всех $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}$. Если $\boldsymbol{\phi} \in H^r (\mathbb{R}^d, \mathbb{C}^n)$, $\mathbf{F} \in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}; H^r (\mathbb{R}^d, \mathbb{C}^n))$, где $0 \le r \le 2$, то при $s \in \mathbb{R}$ и $\varepsilon > 0$ выполнена оценка
	\begin{equation*}
	\|  f^\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot, s) - f_0 \mathbf{u}_0 (\cdot, s) \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \le \varepsilon^{r/2}  \mathfrak{C}_2 (r; s) \left(\| \boldsymbol{\phi} \|_{H^r(\mathbb{R}^d)} + \|\mathbf{F} \|_{L_1((0,s);H^r(\mathbb{R}^d))} \right).
	\end{equation*}
	Величина $\mathfrak{C}_2 (r; s)$ определена в~\emph{(\ref{frakC_2})}.
\end{thrm}


\section{Применение общих результатов: нестационарное уравнение Шрёдингера}
\subsection{Уравнение Шрёдингера с сингулярным потенциалом}
\label{appl_Schr_section}

В $L_2(\mathbb{R}^d)$ рассмотрим скалярный (т.е. $n=1$) оператор 
\begin{equation}
\label{appl_Schr_operator}
\mathcal{M}_\varepsilon = (\mathbf{D} - \mathbf{A}^\varepsilon (\mathbf{x}))^* g^\varepsilon(\mathbf{x}) (\mathbf{D} - \mathbf{A}^\varepsilon (\mathbf{x})) + \varepsilon^{-1} v^\varepsilon(\mathbf{x}) + \mathcal{V}^\varepsilon(\mathbf{x}).
\end{equation}
Здесь $g(\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодическая ограниченная и положительно определённая ($d \times d$)-матрица с вещественными элементами, $\mathbf{A}(\mathbf{x}) = \{A_1(\mathbf{x}), \ldots, A_d(\mathbf{x})\}^{\textrm{T}}$, где $A_j(\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодические вещественные функции, такие что
\begin{equation}
\label{appl_Schr_A_j}
A_j \in L_{\rho} (\Omega), \quad \rho = 2 \, \text{ при } \, d = 1, \quad \rho > d \, \text{ при } \, d \ge 2; \quad j = 1, \ldots, d.
\end{equation}  
Наконец, $v(\mathbf{x})$ и $\mathcal{V}(\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодические функции, причём
\begin{equation}
\label{appl_Schr_v_V_cond}
\begin{gathered}
v, \mathcal{V} \in L_s (\Omega), \qquad s = 1 \, \text{ при } \, d = 1, \quad s > \frac{d}{2} \, \text{ при } \, d \ge 2;\\
\int_{\Omega} v(\mathbf{x}) \, d\mathbf{x} = 0.\\
\end{gathered}
\end{equation}
Точное определение оператора $\mathcal{M}_\varepsilon$ даётся через квадратичную форму
\begin{multline}
\mathfrak{m}_\varepsilon [u,u] = \int_{\mathbb{R}^d} \left( \left\langle g^\varepsilon (\mathbf{x}) (\mathbf{D} - \mathbf{A}^\varepsilon (\mathbf{x}) ) u, (\mathbf{D} - \mathbf{A}^\varepsilon (\mathbf{x}) ) u  \right\rangle + (\varepsilon^{-1} v^\varepsilon (\mathbf{x}) + \mathcal{V}^\varepsilon (\mathbf{x})) |u|^2 \right) \, d\mathbf{x}, \\ u \in H^1(\mathbb{R}^d).
\end{multline}

Оператор~(\ref{appl_Schr_operator}) можно трактовать как периодический оператор Шрёдингера с метрикой $g^\varepsilon$, магнитным потенциалом $\mathbf{A}^\varepsilon$ и электрическим потенциалом $\varepsilon^{-1} v^\varepsilon(\mathbf{x}) + \mathcal{V}^\varepsilon(\mathbf{x})$, содержащим \textquotedblleft сингулярное\textquotedblright \ первое слагаемое.

В~\cite[п.~13.1]{Su2010}) показано, что оператор~(\ref{appl_Schr_operator}) можно представить в виде~(\ref{hatB_eps}). Обозначим $g (\mathbf{x}) \mathbf{A} (\mathbf{x}) \eqqcolon \boldsymbol{\eta}(\mathbf{x}) = \left\{ \eta_1 (\mathbf{x}), \ldots, \eta_d (\mathbf{x}) \right\}^{\mathrm{T}}$. Тогда первое слагаемое в~(\ref{appl_Schr_operator}) перепишется в виде
\begin{equation*}
(\mathbf{D} - \mathbf{A}^{\varepsilon})^* g^{\varepsilon} (\mathbf{D} - \mathbf{A}^{\varepsilon}) =  - \operatorname{div} g^{\varepsilon} \nabla + i \sum_{j=1}^d (\eta_j^{\varepsilon} \partial_j + \partial_j (\eta_j^{\varepsilon} \cdot)) + \left<g^{\varepsilon} \mathbf{A}^{\varepsilon}, \mathbf{A}^{\varepsilon} \right>.
\end{equation*}
Пусть $\Phi$ --- $\Gamma$-периодическое решение уравнения $\Delta \Phi(\mathbf{x}) = v(\mathbf{x})$, $\int_{\Omega} \Phi (\mathbf{x}) \, d \mathbf{x} = 0$. Определим функции $\zeta_j  = - \partial_j \Phi $. Тогда верно $v = - \sum_{j=1}^d \partial_j \zeta_j$.

Положим 
\begin{equation}
\label{appl_Schr_a_j}
a_j = - \eta_j  + i \zeta_j.
\end{equation}
Можно убедиться (подробнее см.~\cite[п.~13.1]{Su2010}), что функции~(\ref{appl_Schr_a_j}) удовлетворяют~(\ref{a_j_Lrho}) с подходящим показателем $\rho'$ (зависящим от $\rho$ и $s$); нормы $\|a_j\|_{L_{\rho'} (\Omega)}$ контролируются через $\|g\|_{L_\infty}$, $\| \mathbf{A} \|_{L_{\rho} (\Omega)}$, $\| v \|_{L_s (\Omega)}$ и параметры решётки $\Gamma$. Видно, что
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^d \left( a_j^{\varepsilon}  D_j + D_j (a_j^{\varepsilon} )^* \right) =  i \sum_{j=1}^d (\eta_j^{\varepsilon}  \partial_j + \partial_j (\eta_j^{\varepsilon}  \cdot)) + \varepsilon^{-1} v^{\varepsilon}.
\end{equation*}
Функция $\mathcal{Q} (\mathbf{x}) \coloneqq \mathcal{V} (\mathbf{x}) + \left< g (\mathbf{x}) \mathbf{A} (\mathbf{x}), \mathbf{A} (\mathbf{x}) \right>$ удовлетворяет условию~(\ref{q_example_Q_cond}) с подходящим показателем $s' = \min\{s, \rho/2\}$. Реализуется пример~\ref{q_example}. За счёт добавления слагаемого $\lambda \mathcal{Q}_0(\mathbf{x})$ будем считать, что оператор $\mathcal{M}_{\varepsilon}  + \lambda \mathcal{Q}^{\varepsilon}_0(\mathbf{x})$ положительно определён. Здесь $\mathcal{Q}_0(\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодическая положительно определённая и ограниченная функция, а параметр $\lambda$ подчинён ограничению~(\ref{lambda}) (при $f=1$). Таким образом, \emph{оператор $\mathcal{M}_{\varepsilon}  + \lambda \mathcal{Q}^{\varepsilon}_0(\mathbf{x})$ приведён к виду}~(\ref{hatB_eps}):
\begin{equation*}
\mathscr{M}_{\varepsilon} \coloneqq \mathcal{M}_{\varepsilon} + \lambda \mathcal{Q}^{\varepsilon}_0(\mathbf{x})  = - \operatorname{div} g^{\varepsilon} (\mathbf{x}) \nabla + \sum_{j=1}^d \left( a_j^{\varepsilon}(\mathbf{x})D_j + D_j a_j^{\varepsilon}(\mathbf{x})^* \right) + \mathcal{Q}^{\varepsilon}(\mathbf{x}) + \lambda \mathcal{Q}_0^{\varepsilon}(\mathbf{x}).
\end{equation*}
Исходные данные~(\ref{problem_data_hat}) сейчас сводятся к следующему набору: 
\begin{equation*}
%\label{appl_Schr_problem_data}
\begin{aligned}
&d, \rho, s; \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|\mathbf{A}\|_{L_\rho(\Omega)}, \|v\|_{L_s(\Omega)}, \|\mathcal{V}\|_{L_s(\Omega)}, \\
&\lambda, \|\mathcal{Q}_0\|_{L_\infty}, \|\mathcal{Q}_0^{-1}\|_{L_\infty}, \quad  \text{параметры решётки} \, \Gamma.
\end{aligned}
\end{equation*}

Построим эффективный оператор. Матрица $\Lambda(\mathbf{x})$ является матрицей-строкой $\Lambda(\mathbf{x}) = i (\psi_1(\mathbf{x}), \ldots, \psi_d(\mathbf{x}))$, где $\psi_j \in \widetilde{H}^1(\Omega)$~--- (слабое) решение задачи
\begin{equation*}
\operatorname{div} g(\mathbf{x}) (\nabla \psi_j (\mathbf{x}) + \mathbf{e}_j) = 0, \qquad \int_{\Omega} \psi_j (\mathbf{x}) \, d\mathbf{x} = 0.
\end{equation*}
Здесь $\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_d$~--- стандартные орты в $\mathbb{R}^d$. Матрица $\widetilde{g}(\mathbf{x})$~--- это ($d \times d$)-матрица со столбцами $g(\mathbf{x}) (\nabla \psi_j (\mathbf{x}) + \mathbf{e}_j)$. Эффективная матрица определяется стандартным образом: $g^0 = | \Omega |^{-1} \int_{\Omega} \widetilde{g}(\mathbf{x}) \, d \mathbf{x}$.
 
$\Gamma$-периодическая матричнозначная функция $\widetilde{\Lambda} (\mathbf{x})$, являющаяся решением задачи~(\ref{Lambda_tilde_equation}), представляется в виде
\begin{equation*}
\widetilde{\Lambda} (\mathbf{x}) = \widetilde{\Lambda}_1 (\mathbf{x}) + i \widetilde{\Lambda}_2 (\mathbf{x}),
\end{equation*}
где вещественные $\Gamma$-периодические функции $\widetilde{\Lambda}_1 (\mathbf{x})$, $\widetilde{\Lambda}_2 (\mathbf{x})$ являются решениями задач
\begin{align*}
- \operatorname{div} g(\mathbf{x}) \nabla \widetilde{\Lambda}_1 (\mathbf{x}) + v(\mathbf{x}) &= 0, \qquad  \int_{\Omega} \widetilde{\Lambda}_1 (\mathbf{x}) \, d \mathbf{x} = 0, \\
- \operatorname{div} g(\mathbf{x}) \nabla \widetilde{\Lambda}_2 (\mathbf{x}) + \operatorname{div} g (\mathbf{x}) \mathbf{A} (\mathbf{x}) &= 0, \qquad \int_{\Omega} \widetilde{\Lambda}_2 (\mathbf{x}) \, d \mathbf{x} = 0.
\end{align*}
Постоянные матрица-столбец $V$ и число $W$ определяются согласно~(\ref{V}) и~(\ref{W}). Имеем:
\begin{multline*}
- \mathbf{D}^* V u - V^* \mathbf{D} u + \sum_{j=1}^d ( \overline{a_j + a_j^*} ) D_j u = \\
= i \operatorname{div} (V_1 + i  V_2) u + (V_1^{\mathrm{T}} - i V_2^{\mathrm{T}}) i \nabla u + 2 i \sum_{j=1}^d \overline{\eta_j} \partial_j u = 2 i \left< \nabla u, V_1 + \overline{\boldsymbol{\eta}}\right>,
\end{multline*}
где $V_1 = \Re V, V_2 = \Im V$.
В итоге эффективный оператор $\mathscr{M}^0$ принимает вид
\begin{equation*}
\mathscr{M}^0 u = - \operatorname{div} g^0 \nabla u + 2i \left<\nabla u, V_1 + \overline{\boldsymbol{\eta}} \right> + (\overline{\mathcal{Q}}   + \lambda \overline{\mathcal{Q}_0} - W) u,
\end{equation*}
что можно записать в виде
\begin{equation}
\label{appl_magn_Schr_eff}
\mathscr{M}^0 u = (\mathbf{D} - \mathbf{A}^0)^* g^0 (\mathbf{D} - \mathbf{A}^0) u + \mathcal{V}^0 u.
\end{equation}
где
\begin{gather}
\mathbf{A}^0 = \left( g^0 \right)^{-1} (V_1 + \overline{g\mathbf{A}}), \qquad
\mathcal{V}^0 = \overline{\mathcal{V}} + \lambda \overline{\mathcal{Q}_0} + \overline{\left< g \mathbf{A}, \mathbf{A} \right>} - \left< g^0 \mathbf{A}^0, \mathbf{A}^0 \right> - W.
\end{gather}

Рассмотрим задачу Коши
\begin{equation}
\label{appl_magn_Schr_Cauchy_problem}
\left\{
	\begin{aligned}
	&i \frac{\partial u_{\varepsilon}(\mathbf{x}, s)}{\partial s}  = (\mathscr{M}_\varepsilon u_{\varepsilon}) (\mathbf{x}, s) + F(\mathbf{x}, s), \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d, \; s \in \mathbb{R}, \\
	&u_{\varepsilon} (\mathbf{x}, 0) = \phi(\mathbf{x}), \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d,
	\end{aligned}
	 \right.
\end{equation}
где $\phi \in L_2(\mathbb{R}^d)$, $F \in L_{1, \mathrm{loc}} (\mathbb{R}; L_2 (\mathbb{R}^d) )$, и соответствующую ей усреднённую задачу
\begin{equation}
\label{appl_magn_Schr_Cauchy_homog_problem}
\left\{
	\begin{aligned}
	&i \frac{\partial u_0 (\mathbf{x}, s)}{\partial s}  = (\mathscr{M}^0 u_0) (\mathbf{x}, s) + F(\mathbf{x}, s), \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d, \; s \in \mathbb{R}, \\
	&u_0 (\mathbf{x}, 0) = \phi(\mathbf{x}), \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d.
	\end{aligned}
	\right.
	\end{equation}
Сейчас выполнены условия предложения~\ref{hatN11(theta)=0_prop}(\ref{N11=0_proposit_p1}). Поэтому применима теорема~\ref{hatB_eps_Cauchy_enchcd_thrm}, которая даёт следующий результат.
\begin{thrm}
	Пусть $u_\varepsilon$~--- решение задачи~\emph{(\ref{appl_magn_Schr_Cauchy_problem})}  и пусть $u_0$~--- решение задачи~\emph{(\ref{appl_magn_Schr_Cauchy_homog_problem})}.
	\begin{enumerate}[label=\arabic*$^{\circ}.$, ref=\arabic*$^{\circ}$]
		\item Если $\phi \in H^r (\mathbb{R}^d)$, $F \in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}; H^r (\mathbb{R}^d))$, где $0 \le r \le 2$, то при $s \in \mathbb{R}$ и $\varepsilon > 0$ выполнена оценка
		\begin{equation*}
		\| u_\varepsilon (\cdot, s) - u_0 (\cdot, s) \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \le \varepsilon^{r/2}  \widehat{\mathfrak{C}}_2 (r; s) \left( \| \phi \|_{H^r(\mathbb{R}^d)} + \|F \|_{L_1((0,s);H^r(\mathbb{R}^d))} \right),
		\end{equation*}	
		где константа $\widehat{\mathfrak{C}}_2 (r; s)$ определена в~\emph{(\ref{hat_frakC_2})}.
		\item Если $\phi \in L_2 (\mathbb{R}^d)$ и $F \in L_{1, \mathrm{loc}} (\mathbb{R}; L_2 (\mathbb{R}^d) )$, то
		\begin{equation*}
		\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \| u_\varepsilon (\cdot, s) - u_0 (\cdot, s) \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} = 0, \qquad s \in \mathbb{R}.
		\end{equation*}
	\end{enumerate}
\end{thrm}


\subsection{Уравнение Шрёдингера с сильно сингулярным потенциалом}

В пространстве $L_2(\mathbb{R}^d)$ рассмотрим оператор $\widetilde{\mathcal{A}} = \mathbf{D}^* \check{g}(\mathbf{x}) \mathbf{D} + \check{v}(\mathbf{x})$, где $\check{g}(\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодическая симметричная ($d \times d$)-матрица-функция с вещественными элементами, ограниченная и положительно определённая, а $\check{v}(\mathbf{x})$~--- вещественная $\Gamma$-периодическая функция такая, что
\begin{equation*}
\check{v} \in L_s(\Omega), \qquad s = 1 \text{ при } d = 1, \quad s > \frac{d}{2} \text{ при } d \ge 2.
\end{equation*}
Строгое определение оператора $\widetilde{\mathcal{A}}$ даётся через квадратичную форму
\begin{equation}
\label{appl_strong_sing_Schr_form}
\widetilde{\mathfrak{a}}[u, u] = \int_{\mathbb{R}^d} \left( \left\langle \check{g}(\mathbf{x}) \mathbf{D} u, \mathbf{D} u  \right\rangle + \check{v} (\mathbf{x}) |u|^2 \right) \; d \mathbf{x}, \qquad  u \in H^1(\mathbb{R}^d).
\end{equation}

За счёт добавления к $\check{v}$ постоянной будем считать, что краем спектра оператора $\widetilde{\mathcal{A}}$ является точка $\lambda_0 = 0$. При этом условии оператор $\widetilde{\mathcal{A}}$ допускает удобную факторизацию (см., например, \cite[гл.~6, п.~1.1]{BSu2003}). Для описания этой факторизации рассмотрим уравнение
\begin{equation}
\label{appl_strong_sing_Schr_omega_norm}
\mathbf{D}^* \check{g}(\mathbf{x}) \mathbf{D} \omega (\mathbf{x}) + \check{v}(\mathbf{x}) \omega (\mathbf{x}) = 0.
\end{equation}
Существует $\Gamma$-периодическое решение $\omega \in \widetilde{H}^1 (\Omega)$ этого уравнения, определённое с точностью до постоянного множителя. Этот множитель можно фиксировать так, чтобы $\omega (\mathbf{x}) > 0$ и
\begin{equation}
\label{appl_strong_sing_Schr_omega_cond}
\int_{\Omega} \omega^2(\mathbf{x}) \, d\mathbf{x} = |\Omega|.
\end{equation}
Оказывается, что решение $\omega (\mathbf{x})$ положительно определено и ограничено, а нормы $\| \omega\|_{L_\infty}$, $\| \omega^{-1}\|_{L_\infty}$ контролируются через $\|\check{g}\|_{L_\infty}$, $\|\check{g}^{-1}\|_{L_\infty}$ и $\| \check{v}\|_{L_s (\Omega)}$. Функция $\omega$ является мультипликатором как в $H^1 (\mathbb{R}^d)$, так и в $\widetilde{H}^1 (\Omega)$. Подстановка $u = \omega \varphi$ преобразует форму~(\ref{appl_strong_sing_Schr_form}) к виду
\begin{equation*}
\widetilde{\mathfrak{a}}[u,u] = \int_{\mathbb{R}^d} \omega^2 (\mathbf{x}) \left<\check{g}(\mathbf{x}) \mathbf{D} \varphi, \mathbf{D} \varphi \right> \, d\mathbf{x}, \qquad \varphi \in H^1(\mathbb{R}^d).
\end{equation*}
Это означает, что справедлива факторизация
\begin{equation}
\label{appl_strong_sing_Schr_g}
\widetilde{\mathcal{A}} = \omega^{-1} \mathbf{D}^* g \mathbf{D} \omega^{-1}, \qquad g = \omega^2 \check{g}.
\end{equation}

Рассмотрим теперь оператор
\begin{equation}
\label{appl_strong_sing_Schr_fact_eps}
\widetilde{\mathcal{A}}_\varepsilon = (\omega^\varepsilon)^{-1} \mathbf{D}^* g^{\varepsilon} \mathbf{D} (\omega^\varepsilon)^{-1}.
\end{equation}
В исходных терминах это выражение запишется в виде
\begin{equation}
\label{appl_strong_sing_Schr_eps}
\widetilde{\mathcal{A}}_\varepsilon = \mathbf{D}^* \check{g}^{\varepsilon} \mathbf{D} + \varepsilon^{-2} \check{v}^\varepsilon,
\end{equation}
что можно толковать как оператор Шрёдингера с быстро осциллирующими метрикой $\check{g}^{\varepsilon}$ и сильно сингулярным потенциалом $\varepsilon^{-2} \check{v}^\varepsilon$.

Далее, пусть $\mathbf{A}(\mathbf{x}) = \{A_1(\mathbf{x}), \ldots, A_d(\mathbf{x})\}^{\textrm{T}}$, где $A_j(\mathbf{x})$~--- вещественные $\Gamma$-периодические функции, удовлетворяющие~(\ref{appl_Schr_A_j}). Пусть $\widetilde{v}(\mathbf{x})$ и $\widetilde{\mathcal{V}}(\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодические вещественные функции, такие что
\begin{equation}
\label{appl_strong_sing_Schr_tilde_v_V_Q0_cond}
\begin{gathered}
\widetilde{v}, \widetilde{\mathcal{V}} \in L_s (\Omega), \qquad s = 1 \, \text{ при } \, d = 1, \quad s > \frac{d}{2} \, \text{ при } \, d \ge 2; \\
\int_{\Omega} \omega^2(\mathbf{x}) \widetilde{v}(\mathbf{x}) \, d\mathbf{x} = 0.
\end{gathered}
\end{equation}
Рассмотрим оператор $\widetilde{\mathcal{M}}_\varepsilon$, формально заданный выражением 
\begin{equation}
\label{appl_strong_sing_Schr_operator}
\widetilde{\mathcal{M}}_\varepsilon = (\mathbf{D} - \mathbf{A}^\varepsilon (\mathbf{x}))^* \check{g}^\varepsilon(\mathbf{x}) (\mathbf{D} - \mathbf{A}^\varepsilon (\mathbf{x})) + \varepsilon^{-2} \check{v}^\varepsilon(\mathbf{x}) + \varepsilon^{-1} \widetilde{v}^\varepsilon(\mathbf{x}) + \widetilde{\mathcal{V}}^\varepsilon(\mathbf{x}).
\end{equation}
(Строгое определение даётся через квадратичную форму.) Оператор~(\ref{appl_strong_sing_Schr_operator}) можно трактовать как оператор Шрёдингера с метрикой $\check{g}^\varepsilon$, магнитным потенциалом $\mathbf{A}^\varepsilon$ и электрическим потенциалом $\varepsilon^{-2} \check{v}^\varepsilon + \varepsilon^{-1} \widetilde{v}^\varepsilon + \widetilde{\mathcal{V}}^\varepsilon$, включающим сингулярные слагаемые $\varepsilon^{-2} \check{v}^\varepsilon$ и $\varepsilon^{-1} \widetilde{v}^\varepsilon$. За счёт добавления подходящей константы $\lambda$ всегда можно считать, что оператор $\widetilde{\mathscr{M}}_{\varepsilon} \coloneqq \widetilde{\mathcal{M}}_{\varepsilon}  + \lambda$ положительно определён. 

Положим
\begin{equation}
\label{appl_strong_sing_Schr_v_V_Q0}
v(\mathbf{x}) \coloneqq \widetilde{v} (\mathbf{x}) \omega^2 (\mathbf{x}), \quad \mathcal{V} (\mathbf{x}) \coloneqq \widetilde{\mathcal{V}} (\mathbf{x}) \omega^2 (\mathbf{x}), \quad \mathcal{Q}_0(\mathbf{x}) \coloneqq \omega^2 (\mathbf{x}).
\end{equation}
Учитывая~(\ref{appl_strong_sing_Schr_fact_eps}), (\ref{appl_strong_sing_Schr_eps}), убеждаемся в справедливости тождества $\widetilde{\mathscr{M}}_\varepsilon = (\omega^\varepsilon)^{-1} \mathscr{M}_\varepsilon (\omega^\varepsilon)^{-1}$, где оператор $\mathscr{M}_\varepsilon$ описан в предыдущем пункте, причём для него $g$ определено в~(\ref{appl_strong_sing_Schr_g}), a $v$, $\mathcal{V}$ и $\mathcal{Q}_0$~--- в~(\ref{appl_strong_sing_Schr_v_V_Q0}). В силу~(\ref{appl_strong_sing_Schr_tilde_v_V_Q0_cond}) коэффициенты $v$ и $\mathcal{V}$ удовлетворяют требуемым условиям (\ref{appl_Schr_v_V_cond}).

Воспользуемся результатами п.~\ref{Cauchy_B_eps_section}. Сейчас $f= \omega^{-1}$. Функция $\mathfrak{Q} = (ff^*)^{-1}$ равна $\mathfrak{Q}(\mathbf{x}) = \omega^2(\mathbf{x})$. В силу условия~(\ref{appl_strong_sing_Schr_omega_cond}) имеем $\overline{\mathfrak{Q}} = 1$ и $f_0 = (\overline{\mathfrak{Q}})^{-1/2} = 1$. Исходные данные~(\ref{problem_data}) сейчас сводятся к следующему набору: 
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&d, \rho, s; \|\check{g}\|_{L_\infty}, \|\check{g}^{-1}\|_{L_\infty}, \|\mathbf{A}\|_{L_\rho(\Omega)}, \|\check{v}\|_{L_s(\Omega)}, \|\widetilde{v}\|_{L_s(\Omega)}, \|\widetilde{\mathcal{V}}\|_{L_s(\Omega)}, \\
&\lambda, \quad  \text{параметры решётки} \, \Gamma.
\end{aligned}
\end{equation*} 

Рассмотрим задачу Коши с оператором $\widetilde{\mathscr{M}}_{\varepsilon}$:
\begin{equation}
\label{appl_strong_sing_Schr_Cauchy_problem}
\left\{
\begin{aligned}
	&i \frac{\partial u_{\varepsilon}(\mathbf{x}, s)}{\partial s}  = (\widetilde{\mathscr{M}}_\varepsilon u_{\varepsilon}) (\mathbf{x}, s) + \omega^{\varepsilon}(\mathbf{x}) F(\mathbf{x}, s), \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d, \; s \in \mathbb{R}, \\
	&(\omega^{\varepsilon}(\mathbf{x}))^{-1}u_{\varepsilon} (\mathbf{x}, 0) = \phi(\mathbf{x}), \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d,
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
где $\phi \in L_2(\mathbb{R}^d)$, $F \in L_{1, \mathrm{loc}} (\mathbb{R}; L_2 (\mathbb{R}^d) )$, и соответствующую ей усреднённую задачу
\begin{equation}
\label{appl_strong_sing_Schr_Cauchy_homog_problem}
\left\{
\begin{aligned}
&i \frac{\partial u_0 (\mathbf{x}, s)}{\partial s}  = (\mathscr{M}^0 u_0) (\mathbf{x}, s) + F(\mathbf{x}, s), \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d, \; s \in \mathbb{R}, \\
&u_0 (\mathbf{x}, 0) = \phi(\mathbf{x}), \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

Здесь $\mathscr{M}^0$~-- эффективный оператор~(\ref{appl_magn_Schr_eff}) для оператора $\mathscr{M}$  с коэффициентами~(\ref{appl_strong_sing_Schr_g}), (\ref{appl_strong_sing_Schr_v_V_Q0}).
Сейчас выполнены условия предложения~\ref{hatN11Q(theta)=0_prop}(\ref{N11Q=0_proposit_p1}). Поэтому применима теорема~\ref{B_eps_Cauchy_enchcd_thrm}, которая даёт следующий результат.

\begin{thrm}
	Пусть $u_\varepsilon$~--- решение задачи~\emph{(\ref{appl_strong_sing_Schr_Cauchy_problem})}  и пусть $u_0$~--- решение задачи~\emph{(\ref{appl_strong_sing_Schr_Cauchy_homog_problem})}.
	\begin{enumerate}[label=\arabic*$^{\circ}.$, ref=\arabic*$^{\circ}$]
		\item Если $\phi \in H^r (\mathbb{R}^d)$, $F \in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}; H^r (\mathbb{R}^d))$, где $0 \le r \le 2$, то при $s \in \mathbb{R}$ и $\varepsilon > 0$ выполнена оценка
		\begin{equation*}
		\| (\omega^{\varepsilon})^{-1} u_\varepsilon (\cdot, s) - u_0 (\cdot, s) \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \le \varepsilon^{r/2}  \mathfrak{C}_2 (r; s) \left( \| \phi \|_{H^r(\mathbb{R}^d)} + \|F \|_{L_1((0,s);H^r(\mathbb{R}^d))} \right),
		\end{equation*}	
		где константа $\mathfrak{C}_2 (r; s)$ определена в~\emph{(\ref{frakC_2})}.
		\item Если $\phi \in L_2 (\mathbb{R}^d)$ и $F \in L_{1, \mathrm{loc}} (\mathbb{R}; L_2 (\mathbb{R}^d) )$, то
		\begin{equation*}
		\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \| (\omega^{\varepsilon})^{-1} u_\varepsilon (\cdot, s) - u_0 (\cdot, s) \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} = 0, \qquad s \in \mathbb{R}.
		\end{equation*}
	\end{enumerate}
\end{thrm}


\section{Применение общих результатов: двумерное волновое уравнение Паули}
\subsection{Оператор $\mathcal{P}$}

Пусть магнитный потенциал задан вектор-функцией $\check{\mathbf{A}}(\mathbf{x}) = \{\check{A}_1 (\mathbf{x}), \check{A}_2 (\mathbf{x}) \}$, где $\check{A}_j (\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодические вещественные функции в $\mathbb{R}^2$, причём
\begin{equation}
\label{appl_A_check_L_rho}
\check{A}_j \in L_{\rho} (\Omega), \quad \rho > 2, \quad j= 1, 2.
\end{equation}
Напомним стандартные обозначения для матриц Паули: 
\begin{equation*}
\sigma_1 = \begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \; \sigma_2 = \begin{pmatrix}
0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \; \sigma_3 = \begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
В пространстве $L_2 (\mathbb{R}^2; \mathbb{C}^2)$ рассмотрим оператор $\mathcal{D} = (D_1 - \check{A}_1) \sigma_1 + (D_2 - \check{A}_2) \sigma_2$, $\Dom \mathcal{D} = H^1 (\mathbb{R}^2; \mathbb{C}^2)$. По определению оператор Паули $\mathcal{P}$ есть квадрат оператора $\mathcal{D}$:
\begin{equation}
\label{appl_Pauli_P_operator}
\mathcal{P} = \mathcal{D}^2 = \begin{pmatrix}
P_{-} & 0\\
0 & P_{+}
\end{pmatrix}.
\end{equation}
Точное определение оператора $\mathcal{P}$ даётся через замкнутую квадратичную форму $\| \mathcal{D} \mathbf{u} \|_{L_2(\mathbb{R}^2)}^2$, $\mathbf{u} \in H^1(\mathbb{R}^2; \mathbb{C}^2)$. Если потенциал $\check{\mathbf{A}}(\mathbf{x})$~--- липшицева функция, то блоки оператора~(\ref{appl_Pauli_P_operator}) задаются выражениями
\begin{equation*}
P_{\pm} = (\mathbf{D} - \check{\mathbf{A}}(\mathbf{x}))^2 \pm \check{B}(\mathbf{x}), \qquad \check{B}(\mathbf{x}) \coloneqq \partial_1 \check{A}_2 (\mathbf{x}) - \partial_2 \check{A}_1 (\mathbf{x}).
\end{equation*}
Здесь $\check{B}(\mathbf{x})$ имеет смысл напряжённости магнитного поля.

Оператор $\mathcal{P}$ допускает удобную факторизацию. За счёт калибровочного преобразования можно подчинить потенциал $\check{\mathbf{A}}(\mathbf{x})$ условиям
\begin{equation}
\label{appl_A_check_gauge}
\operatorname{div} \check{\mathbf{A}} (\mathbf{x}) = 0, \qquad \int_{\Omega} \check{\mathbf{A}} (\mathbf{x}) \, d \mathbf{x} = 0,
\end{equation}
не нарушая~(\ref{appl_A_check_L_rho}). (Первое равенство в~(\ref{appl_A_check_gauge}) понимается в смысле распределений.) Тогда существует $\Gamma$-периодическая вещественная функция $\varphi$ такая, что $\nabla \varphi (\mathbf{x}) = \{\check{A}_2 (\mathbf{x}), - \check{A}_1 (\mathbf{x})\}$ и $\overline{\varphi}  = 0$. Отметим, что $\varphi \in \widetilde{W}_\rho^1 (\Omega) \subset C^\sigma$, $\sigma = 1 - 2/\rho$. Положим $\omega_{\pm}(\mathbf{x}) \coloneqq e^{\pm \varphi(\mathbf{x})}$. Тогда оператор~(\ref{appl_Pauli_P_operator}) может быть записан в виде:
\begin{equation}
\mathcal{P} = f_{\times} (\mathbf{x}) b_{\times} (\mathbf{D}) g_{\times} (\mathbf{x})  b_{\times} (\mathbf{D}) f_{\times} (\mathbf{x}),
\end{equation}
где
\begin{equation*}
b_{\times} (\mathbf{D}) = \begin{pmatrix}
0 & D_1 - i D_2\\
D_1 + i D_2 & 0
\end{pmatrix},
 \quad
f_{\times} (\mathbf{x}) = \begin{pmatrix}
\omega_{+} (\mathbf{x}) &0\\
0 & \omega_{-}(\mathbf{x})
\end{pmatrix}, \quad
g_{\times} (\mathbf{x}) = \begin{pmatrix}
\omega_{+}^2 (\mathbf{x}) &0\\
0 & \omega_{-}^2 (\mathbf{x})
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Блоки $P_{\pm}$ оператора~(\ref{appl_Pauli_P_operator}) могут быть записаны в виде
\begin{equation*}
P_{+} = \omega_{-} \partial_{+} \omega_{+}^2 \partial_{-} \omega_{-}, \qquad P_{+} = \omega_{+} \partial_{-} \omega_{-}^2 \partial_{+} \omega_{+}, 
\end{equation*}
где мы ввели обозначение $\partial_{\pm} = D_1 \pm i D_2$.

\subsection{Оператор $\widehat{\mathcal{B}}_{\times}$}

Пусть заданы $\eta_{j, \times}(\mathbf{x})$, $j=1,2$, $v_{\times}(\mathbf{x})$, $\mathcal{Q}_{\times}(\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодические эрмитовы ($2 \times 2$)-матричнозначные функции в $\mathbb{R}^2$ такие, что
\begin{gather*}
\eta_{j, \times} \in L_{\rho}(\Omega), \quad \rho > 2, \; j=1,2; \qquad v_{\times}, \mathcal{Q}_{\times} \in L_s (\Omega), \quad s > 1;\\
\int_{\Omega} v_{\times} (\mathbf{x}) \, d \mathbf{x} = 0.
\end{gather*}

Рассмотрим оператор $\widehat{\mathcal{B}}_{\times}$, формально заданный выражением
\begin{equation}
\label{appl_Pauli_hatB_eps}
\widehat{\mathcal{B}}_{\times, \varepsilon} = b_{\times} (\mathbf{D}) g_{\times}^{\varepsilon} (\mathbf{x})  b_{\times} (\mathbf{D}) + i \sum_{j=1}^{2} \left( \eta_{j, \times}^{\varepsilon}(\mathbf{x}) \partial_j  + \partial_j (\eta_{j, \times}^{\varepsilon} (\mathbf{x}) \cdot) \right) + \varepsilon^{-1} v_{\times}^{\varepsilon}(\mathbf{x})  + \mathcal{Q}_{\times}^{\varepsilon}(\mathbf{x}).
\end{equation}
Чтобы записать оператор~(\ref{appl_Pauli_hatB_eps}) в требуемом виде, введём $\Phi_\times $~--- $\Gamma$-периодическое решение уравнения 
$\Delta \Phi_{\times}(\mathbf{x}) = v_{\times}(\mathbf{x})$, $\int_{\Omega} \Phi_{\times} (\mathbf{x}) \, d \mathbf{x} = 0$
и положим $ \zeta_{j, \times} = - \partial_j \Phi_{\times} $. Тогда $v_{\times} = - \sum_{j=1}^2 \partial_j \zeta_{j, \times}$. Положим $a_{j, \times}  = - \eta_{j, \times}  + i \zeta_{j, \times}$. Легко проверить, что $a_{j, \times} \in L_{\rho'} (\Omega)$ при некотором $\rho' > 2$ (зависящим от $\rho$ и $s$), причём $\|a_{j, \times}\|_{L_{\rho'} (\Omega)}$ контролируется через $\|\eta_{j, \times}\|_{L_{\rho} (\Omega)}$, $\|v_{\times}\|_{L_s (\Omega)}$ и параметры решётки $\Gamma$; подробнее см.~\cite[п.~14.2]{Su2010}. За счёт добавления слагаемого $\lambda \mathcal{Q}_{0,\times} (\mathbf{x})$ будем считать, что оператор $\widehat{\mathcal{B}}_{\times, \varepsilon}  + \lambda \mathcal{Q}^{\varepsilon}_{0,\times} (\mathbf{x})$ положительно определён. Здесь $\mathcal{Q}_{0,\times} (\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодическая положительно определённая и ограниченная ($2\times2$)-матричнозначная функция, а параметр $\lambda$ подчинён ограничению~(\ref{lambda}) (при $f=\mathbf{1}_2$). Таким образом, оператор $\widehat{\mathcal{B}}_{\times, \varepsilon}  + \lambda \mathcal{Q}^{\varepsilon}_{0,\times}(\mathbf{x})$ можно записать в виде~(\ref{hatB_eps}):
\begin{multline*}
\widehat{\mathscr{B}}_{\times, \varepsilon} \coloneqq \widehat{\mathcal{B}}_{\times, \varepsilon} + \lambda \mathcal{Q}_{0,\times}^{\varepsilon}(\mathbf{x}) = \\ = b_{\times} (\mathbf{D}) g_{\times}^{\varepsilon} (\mathbf{x})  b_{\times} (\mathbf{D}) + \sum_{j=1}^d \left( a_{j,\times}^{\varepsilon}(\mathbf{x})D_j + D_j (a_{j,\times}^{\varepsilon}(\mathbf{x}))^* \right) + \mathcal{Q}_{\times}^{\varepsilon}(\mathbf{x}) + \lambda \mathcal{Q}_{0,\times}^{\varepsilon}(\mathbf{x}).
\end{multline*}


Опишем эффективный оператор. Уравнение~(\ref{Lambda_eq}) сейчас имеет вид
\begin{equation*}
b_{\times} (\mathbf{D}) g_{\times} (\mathbf{x}) (b_{\times} (\mathbf{D}) \Lambda_{\times} (\mathbf{x}) + \mathbf{1}_2) = 0, \qquad \int_{\Omega} \Lambda_{\times} (\mathbf{x}) \, d \mathbf{x} = 0.
\end{equation*}
Его решение $\Lambda_{\times}$ можно представить в виде
\begin{equation*}
\Lambda_{\times}(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix}
0 & \Lambda_{-}(\mathbf{x}) \\ 
\Lambda_{+}(\mathbf{x}) & 0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
где $\Lambda_{\pm}$ являются $\Gamma$-периодическими решениями задачи
\begin{equation*}
\partial_{\pm} \omega_{\pm}^2(\mathbf{x}) (\partial_{\mp} \Lambda_{\pm}(\mathbf{x}) + 1) = 0, \qquad \int_{\Omega} \Lambda_{\pm} (\mathbf{x}) \, d \mathbf{x} = 0.
\end{equation*}
Поскольку $m = n$, эффективная матрица равна $g_{\times}^0 = \underline{g_{\times}} = \begin{pmatrix}
g_{+}^0 & 0\\
0 & g_{-}^0 
\end{pmatrix}$, $g_{\pm}^0 = \underline{\omega_{\pm}^2}$. В качестве $\widetilde{\Lambda}$ выступает $\Gamma$-периодическое решение $\widetilde{\Lambda}_{\times}$ задачи
\begin{equation*}
b_{\times} (\mathbf{D}) g_{\times} (\mathbf{x}) b_{\times} (\mathbf{D}) \widetilde{\Lambda}_{\times} (\mathbf{x}) + v_{\times} (\mathbf{x}) + i \sum_{j=1}^{2} \partial_j \eta_{j, \times} (\mathbf{x}) = 0, \qquad \int_{\Omega} \widetilde{\Lambda}_{\times} (\mathbf{x}) \, d \mathbf{x} = 0.
\end{equation*}
Матрицы~(\ref{V}) и~(\ref{W}) сейчас реализуются в виде
\begin{align*}
V_{\times} &\coloneqq | \Omega |^{-1} \int_{\Omega} (b_{\times}( \mathbf{D}) \Lambda_{\times}(\mathbf{x}))^* g_{\times}(\mathbf{x}) (b_{\times}( \mathbf{D}) \widetilde{\Lambda}_{\times}(\mathbf{x})) \, d \mathbf{x},
\\
W_{\times} &\coloneqq | \Omega |^{-1} \int_{\Omega} (b_{\times}( \mathbf{D}) \widetilde{\Lambda}_{\times}(\mathbf{x}))^* g_{\times}(\mathbf{x}) (b_{\times}(\mathbf{D}) \widetilde{\Lambda}_{\times}(\mathbf{x})) \, d \mathbf{x}.
\end{align*}

Вычисление эффективного оператора по общему правилу даёт
\begin{equation*}
\widehat{\mathscr{B}}_{\times}^0 = - g_{\times}^0 \Delta + 2 i (\eta_{1, \times}^0 \partial_1 + \eta_{2, \times}^0 \partial_2) + \overline{\mathcal{Q}_{\times}} - W_{\times} + \lambda \overline{\mathcal{Q}_{0,\times}},
\end{equation*}
где $2 \eta_{1, \times}^0 = 2\overline{\eta_{1, \times}} + \sigma_1 V_{\times} + V_{\times}^* \sigma_1$, $2 \eta_{2, \times}^0 = 2\overline{\eta_{2, \times}} + \sigma_2 V_{\times} + V_{\times}^* \sigma_2$.



\subsection{Оператор $\mathcal{B}_{\times, \varepsilon}$}

Рассмотрим оператор $\mathcal{B}_{\times, \varepsilon}$, формально заданный выражением 
\begin{equation}
\label{appl_Pauli_B_eps}
\mathcal{B}_{\times, \varepsilon} = f_{\times}^{\varepsilon} (\mathbf{x}) b_{\times} (\mathbf{D}) g_{\times}^{\varepsilon} (\mathbf{x})  b_{\times} (\mathbf{D}) f_{\times}^{\varepsilon} (\mathbf{x}) + i \sum_{j=1}^{2} \left( \check{\eta}_{j, \times}^{\varepsilon} (\mathbf{x}) \partial_j  + \partial_j (\check{\eta}_{j, \times}^{\varepsilon} (\mathbf{x}) \cdot)  \right) + \varepsilon^{-1} \check{v}_{\times}^{\varepsilon}(\mathbf{x})  + \check{\mathcal{Q}}_{\times}^{\varepsilon}(\mathbf{x}).
\end{equation}
(Строгое определение даётся через квадратичную форму.) Здесь $\check{\eta}_{j, \times}(\mathbf{x})$, $j=1,2$,~--- $\Gamma$-периодические \emph{диагональные} ($2 \times 2$)-матрицы-функции с вещественными элементами такие, что $\check{\eta}_{j, \times} \in L_{\rho} (\Omega)$, $\rho > 2$; $\check{v}_{\times}(\mathbf{x})$ и $\check{\mathcal{Q}}_{\times}(\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодические эрмитовы ($2 \times 2$)-матрицы-функции, причём
\begin{equation*}
\check{v}_{\times}, \check{\mathcal{Q}}_{\times} \in L_s (\Omega), \; s > 1, \qquad \int_{\Omega} f_{\times}(\mathbf{x})^{-1} \check{v}_{\times} (\mathbf{x}) f_{\times}(\mathbf{x})^{-1}  d \mathbf{x} = 0;
\end{equation*}

\begin{remark}
	Считая потенциалы $\mathbf{A}(\mathbf{x})$ и $\check{\mathbf{A}}(\mathbf{x})$ липшицевыми функциями, рассмотрим оператор
	\begin{gather}
	\label{appl_Pauli}
	\mathfrak{B}_{\varepsilon} = \begin{pmatrix}
	\mathfrak{B}_{-,\varepsilon} & 0 \\
	0 & \mathfrak{B}_{+,\varepsilon}
	\end{pmatrix},\\
	\notag
	\mathfrak{B}_{\pm,\varepsilon} = (\mathbf{D} - \varepsilon^{-1} \check{\mathbf{A}}^{\varepsilon}(\mathbf{x}) - \mathbf{A}^{\varepsilon}(\mathbf{x}) )^2 \pm (\varepsilon^{-2} \check{B}^{\varepsilon}(\mathbf{x}) + \varepsilon^{-1} B^{\varepsilon}(\mathbf{x})),
	\end{gather}
	где $B(\mathbf{x}) = \partial_1 A_2(\mathbf{x})- \partial_2 A_1(\mathbf{x})$. Оператор~\emph{(\ref{appl_Pauli})}~--- это матричный оператор Паули с магнитным потенциалом $\varepsilon^{-1} \check{\mathbf{A}}^{\varepsilon} + \mathbf{A}^{\varepsilon}$ \emph{(}содержащим сингулярное слагаемое\emph{)}. Пусть $\widetilde{v}_{\times} (\mathbf{x})$ и $\mathcal{V}_{\times} (\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодические эрмитовы \emph{($2 \times 2$)}-матрицы-функции, причём $\widetilde{v}_{\times}, \mathcal{V}_{\times} \in L_s (\Omega)$, $s>1$. Рассмотрим возмущённый электрическим потенциалом $\varepsilon^{-1} \widetilde{v}_{\times}^{\varepsilon} + \mathcal{V}_{\times}^{\varepsilon}$ \emph{(}также содержащим сингулярное слагаемое\emph{)} оператор Паули
	\begin{equation}
	\label{appl_Pauli_perturbed}
	\widetilde{\mathcal{B}}_{\times, \varepsilon} = \mathfrak{B}_{\varepsilon}  + \varepsilon^{-1} \widetilde{v}_{\times}^{\varepsilon}(\mathbf{x}) + \mathcal{V}_{\times}^{\varepsilon}(\mathbf{x}).
	\end{equation}
	Дополнительно наложим условие нормировки на $\widetilde{v}_{\times}$:
	\begin{equation*}
	\int_{\Omega} f_{\times}(\mathbf{x})^{-1} \left( \widetilde{v}_{\times}(\mathbf{x}) + 2 \left\langle \check{\mathbf{A}}(\mathbf{x}), \mathbf{A}(\mathbf{x}) \right\rangle \mathbf{1}_2 - B(\mathbf{x}) \sigma_3  \right) f_{\times}(\mathbf{x})^{-1} d \mathbf{x} = 0.
	\end{equation*}
	Тогда оператор~\emph{(\ref{appl_Pauli_perturbed})} может быть записан в виде~\emph{(\ref{appl_Pauli_B_eps})} при
	\begin{equation*}
	\check{\eta}_{j,\times} = A_j \mathbf{1}_2, \; j=1,2; \quad \check{v}_{\times} = \widetilde{v}_{\times} + 2 \left\langle \check{\mathbf{A}}, \mathbf{A} \right\rangle \mathbf{1}_2 - B \sigma_3, \quad \check{\mathcal{Q}}_{\times} = \mathcal{V}_{\times} + |\mathbf{A}|^2 \mathbf{1}_2.
	\end{equation*}
\end{remark}
За счёт добавления подходящего слагаемого $\lambda \mathbf{1}_2$ всегда можно считать, что оператор $\mathscr{B}_{\times,\varepsilon} \coloneqq \mathcal{B}_{\times,\varepsilon}  + \lambda \mathbf{1}_2$ положительно определён. 

Справедливо тождество $\mathscr{B}_{\times, \varepsilon} = f_{\times}^{\varepsilon}  \widehat{\mathscr{B}}_{\times, \varepsilon} f_{\times}^{\varepsilon}$,
где коэффициенты оператора $\widehat{\mathscr{B}}_{\times, \varepsilon}$ выбраны следующим образом: 
\begin{equation*}
\eta_{j, \times} = f_{\times}^{-1} \check{\eta}_{j, \times} f_{\times}^{-1},\; j=1,2; \quad v_{\times} = f_{\times}^{-1} \check{v}_{\times} f_{\times}^{-1}, \quad \mathcal{Q}_{\times} = f_{\times}^{-1} \check{\mathcal{Q}}_{\times} f_{\times}^{-1}; \quad \mathcal{Q}_{0,\times} = f_{\times}^{-2}.
\end{equation*} 

Роль $\mathfrak{Q}$ играет матрица $\mathfrak{Q}_{\times} = f_{\times}^{-2} = g_{\times}^{-1}$. Тогда $\overline{\mathfrak{Q}}_{\times} = \begin{pmatrix}
(g_{+}^0)^{-1} & 0\\
0 & (g_{-}^0)^{-1}
\end{pmatrix}$.
Матрица $f_0$ сейчас равна $f_{\times, 0} = \begin{pmatrix}
(g_{+}^0)^{1/2} & 0\\
0 & (g_{-}^0)^{1/2}
\end{pmatrix}$, a оператор~(\ref{B0}) имеет вид $\mathscr{B}_{\times}^0 = f_{\times, 0} \widehat{\mathscr{B}}_{\times}^0 f_{\times, 0}$.

\subsection{Задача Коши для оператора $\mathscr{B}_{\times, \varepsilon}$}

Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения Паули
\begin{equation}
\label{appl_Pauli_Cauchy_problem}
\left\{
\begin{aligned}
&i \frac{\partial \mathbf{u}_{\varepsilon}(\mathbf{x}, s)}{\partial s} = (\mathscr{B}_{\times, \varepsilon} \mathbf{u}_{\varepsilon}) (\mathbf{x}, s),\qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^2, \; s \in \mathbb{R}, \\
&f_{\times}^{\varepsilon}(\mathbf{x}) \mathbf{u}_{\varepsilon} (\mathbf{x}, 0) = \boldsymbol{\phi}(\mathbf{x}),\qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^2,
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
где $\boldsymbol{\phi} \in L_2(\mathbb{R}^2; \mathbb{C}^2)$, и соответствующую ей усреднённую задачу
\begin{equation}
\label{appl_Pauli_homog_Cauchy_problem}
\left\{
\begin{aligned}
&i \frac{\partial \mathbf{u}_0 (\mathbf{x}, s)}{\partial s}  = (\mathscr{B}_{\times}^0 \mathbf{u}_0)  (\mathbf{x}, s),\qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^2, \; s \in \mathbb{R}, \\
&f_{\times,0} \mathbf{u}_0 (\mathbf{x}, 0) = \boldsymbol{\phi} (\mathbf{x}),\qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^2.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
Применима теорема~\ref{B_eps_Cauchy_general_thrm}. Исходные данные~(\ref{problem_data}) сейчас сводятся к следующему набору: 
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&\rho, s; \|\omega_{+}\|_{L_\infty}, \|\omega_{+}^{-1}\|_{L_\infty}, \|\omega_{-}\|_{L_\infty}, \|\omega_{-}^{-1}\|_{L_\infty}, \\
&\|\check{\eta}_{j,\times}\|_{L_\rho (\Omega)}, j=1,2; \|\check{v}_{\times}\|_{L_s (\Omega)}, \|\check{\mathcal{Q}}_{\times}\|_{L_s(\Omega)}, \lambda, \quad  \text{параметры решётки} \, \Gamma.
\end{aligned}
\end{equation*} 

Мы приходим к следующему утверждению.
\begin{thrm}
	\label{appl_Pauli_Cauchy_thrm}
	Пусть $\mathbf{u}_{\varepsilon}$~--- решение задачи~\emph{(\ref{appl_Pauli_Cauchy_problem})}  и пусть $\mathbf{u}_0$~--- решение задачи~\emph{(\ref{appl_Pauli_homog_Cauchy_problem})}.
	\begin{enumerate}[label=\arabic*$^{\circ}.$, ref=\arabic*$^{\circ}$]
		\item Если $\boldsymbol{\phi} \in H^r (\mathbb{R}^2)$, где $0 \le r \le 3$, то при $s \in \mathbb{R}$ и $\varepsilon > 0$ выполнена оценка
		\begin{equation*}
		\| f_{\times}^{\varepsilon} \mathbf{u}_{\varepsilon} (\cdot, s) - f_{\times,0} \mathbf{u}_0 (\cdot, s) \|_{L_2(\mathbb{R}^2)} \le \varepsilon^{r/3}  \mathfrak{C}_1 (r; s) \| \boldsymbol{\phi} \|_{H^r(\mathbb{R}^2)},
		\end{equation*}	
		где константа $\mathfrak{C}_1 (r; s)$ определена в~\emph{(\ref{frakC_1})}.
		\item Если $\boldsymbol{\phi} \in L_2 (\mathbb{R}^2)$, то
		\begin{equation*}
		\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \| f_{\times}^{\varepsilon} \mathbf{u}_{\varepsilon} (\cdot, s) - f_{\times,0} \mathbf{u}_0 (\cdot, s) \|_{L_2(\mathbb{R}^2)} = 0, \qquad s \in \mathbb{R}.
		\end{equation*}
	\end{enumerate}
\end{thrm}

Результат теоремы~\ref{appl_Pauli_Cauchy_thrm} является точным. Покажем это. Для этого рассмотрим оператор $\mathcal{P}_{1,1} (\boldsymbol{\theta})^* \widehat{N}_{11, \mathfrak{Q}, \times}(\boldsymbol{\theta}) \mathcal{P}_{1,1} (\boldsymbol{\theta})$. Здесь оператор $\widehat{N}_{11, \mathfrak{Q}, \times}(\boldsymbol{\theta})$ играет роль $\widehat{N}_{11, \mathfrak{Q}}(\boldsymbol{\theta})$ для $\mathscr{B}_{\times}$ (см.~п.~\ref{hatN11Q_section}). Используя формулы (см.~(\ref{abstr_sndw_P_q'q_rel}) и~(\ref{abstr_N_and_hatN_Q_relat}))
\begin{gather*}
\mathcal{P}_{1,1} (\boldsymbol{\theta}) = f_{\times} P_{1,1} (\boldsymbol{\theta}) f_{\times}^{-1} \widehat{P},\\
\widehat{N}_{11,\mathfrak{Q},\times}(\boldsymbol{\theta}) = \widehat{P} f_{\times}^{-1} N_{11,\times}(\boldsymbol{\theta}) f_{\times}^{-1} \widehat{P},
\end{gather*} 
получаем $\mathcal{P}_{1,1} (\boldsymbol{\theta})^* \widehat{N}_{11, \mathfrak{Q}, \times}(\boldsymbol{\theta}) \mathcal{P}_{1,1} (\boldsymbol{\theta}) = \widehat{P} f_{\times}^{-1} P_{1,1} (\boldsymbol{\theta}) N_{11,\times}(\boldsymbol{\theta}) P_{1,1} (\boldsymbol{\theta}) f_{\times}^{-1} \widehat{P}$. Как показано в~\cite[п.~12.4]{BSu2005-2} (см. также~\cite[пп.~16.2 и 16.3]{Su2017}), оператор $N_{11,\times}(\boldsymbol{\theta})$, играющий роль $N_{11}(\boldsymbol{\theta})$ для $\mathscr{B}_{\times}$, имеет вид $N_{11,\times}(\boldsymbol{\theta}) = \mu(\boldsymbol{\theta}) I|_\mathfrak{N}$. Здесь
\begin{gather*}
\mu(\boldsymbol{\theta}) = - 2 g_{-}^0 \gamma \left( \theta_1 \Re \overline{\omega_{+}^2 w} + \theta_2 \Im \overline{\omega_{+}^2 w} \right), \qquad \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^1,\\
\gamma = g_{+}^0 g_{-}^0 = |\Omega|^2 \| \omega_{+} \|_{L_2(\Omega)}^{-2} \| \omega_{-} \|_{L_2(\Omega)}^{-2},
\end{gather*}
а $w(\mathbf{x})$~--- $\Gamma$-периодическое решение уравнения
\begin{equation*}
(D_1 - i D_2) w(\mathbf{x}) = g_{+}^0 \omega_{-}^2 (\mathbf{x}) - 1, \qquad \int_{\Omega} w(\mathbf{x}) \, d \mathbf{x} = 0.
\end{equation*} 
Поэтому $\mathcal{P}_{1,1} (\boldsymbol{\theta})^* \widehat{N}_{11, \mathfrak{Q}, \times}(\boldsymbol{\theta}) \mathcal{P}_{1,1} (\boldsymbol{\theta}) = \mu(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P} f_{\times}^{-1} P_{1,1} (\boldsymbol{\theta}) f_{\times}^{-1} \widehat{P}$. Ясно, что  $P_{1,1} (\boldsymbol{\theta}) f_{\times}^{-1} \widehat{P} \ne 0$ при любом $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^1$, а потому $\widehat{P} f_{\times}^{-1} P_{1,1} (\boldsymbol{\theta}) f_{\times}^{-1} \widehat{P} \ne 0$ при любом $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^1$. Приведём пример, заимствованный из~\cite[пример~16.2]{Su2017}, в котором $\mu(\boldsymbol{\theta}) \ne 0$.

\begin{example}
	Пусть $\Gamma = (2 \pi \mathbb{Z})^2$ и пусть $\omega_{-}^2 (\mathbf{x}) = 1 + \alpha (\sin x_2 + 4 \sin 2 x_2)$. Тогда $g_{+}^0 = 1$ и $w (\mathbf{x}) = \alpha (\cos x_2 + 4 \cos 2 x_2)$. Вычислим $\overline{\omega_{+}^2 w}$:
	\begin{multline*}
	\overline{\omega_{+}^2 w} = \frac{\alpha}{2 \pi} \int\limits_{0}^{2 \pi} \frac{\cos x + 2 \cos 2 x}{1 + \alpha (\sin x + 4 \sin 2 x)} \, d x = \frac{3\alpha}{8 \pi} \int\limits_{0}^{2 \pi} \frac{\cos x}{1 + \alpha (\sin x + 4 \sin 2 x)} \, d x = \\ = -\frac{6\alpha^2}{\pi} \int\limits_{-1}^{1} \frac{t \sqrt{1-t^2}}{(1+\alpha t)^2 - 64 \alpha^2 t^2 (1-t^2)} \, d t =\\ = \frac{24 \alpha^3}{\pi} \int\limits_{0}^{1} \frac{t^2 \sqrt{1-t^2}}{((1+\alpha t)^2 - 64 \alpha^2 t^2 (1-t^2)) ((1-\alpha t)^2 - 64 \alpha^2 t^2 (1-t^2))} \, d t.
	\end{multline*}
	Для достаточно малого $\alpha > 0$ (например, можно взять $\alpha = \frac{1}{16}$) подынтегральная функция в последнем интеграле положительна, поэтому $\overline{\omega_{+}^2 w} >0 $ и $\mu(\boldsymbol{\theta}) = -2 g_{-}^0 \gamma \theta_1 \overline{\omega_{+}^2 w}  \ne 0$ при $\theta_1 \ne 0$. Таким образом, $\mathcal{P}_{1,1} (\boldsymbol{\theta})^* \widehat{N}_{11, \mathfrak{Q}, \times}(\boldsymbol{\theta}) \mathcal{P}_{1,1} (\boldsymbol{\theta}) \ne 0$ при $\theta_1 \ne 0$. Применима теорема~\ref{sndw_B_eps_sharpness_thrm}. 
\end{example}
\begin{thebibliography}{99}
\addtolength{\leftmargin}{2in}
\setlength{\itemindent}{0.4in}
\small
\bibitem [APi] {APi} Allaire~G., Piatnitski~A., \emph{Homogenization of the Schr\"{o}dinger equation and effective mass theorems}, Comm. Math. Phys. \textbf{258} (2005), 1--22.
\bibitem [BaPa] {BaPa} Бахвалов~Н.~С., Панасенко~Г.~П., \emph{Осреднение процессов в периодических средах}, Наука, М., 1984.
\bibitem [BeLP] {BeLP} Bensoussan~A., Lions~J.-L., Papanicolaou~G., \emph{Asymptotic analisys for periodic structures}, Stud. Math. Appl., vol. \textbf{5}, North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1978.
\bibitem [BSu1] {BSu2003} Бирман~M.~Ш., Суслина~Т.~А., \emph{Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства и усреднения}, Алгебра и анализ, \textbf{15}:5 (2003), 1--108.
\bibitem [BSu2] {BSu2005} Бирман~М.~Ш., Суслина~Т.~А., \emph{Пороговые аппроксимации резольвенты факторизованного самосопряжённого семейства с учётом корректора}, Алгебра и анализ, \textbf{17}:5 (2005), 69--90.
\bibitem [BSu3] {BSu2005-2} Бирман~М.~Ш., Суслина~Т.~А., \emph{Усреднение периодических эллиптических дифференциальных операторов с учётом корректора}, Алгебра и анализ, \textbf{17}:6 (2005), 1--104.
\bibitem [BSu4] {BSu2006} Бирман~М.~Ш., Суслина~Т.~А., \emph{Усреднение периодических дифференциальных операторов с учётом корректора. Приближение решений в классе Соболева $H^1(\mathbb{R}^d)$}, Алгебра и анализ, \textbf{18}:6 (2006), 1--130.
\bibitem [BSu5] {BSu2008} Бирман~М.~Ш., Суслина~Т.~А., \emph{Операторные оценки погрешности при усреднении нестационарных периодических уравнений}, Алгебра и анализ, \textbf{20}:6 (2008), 30--107.
\bibitem [Bo] {Bo} Борисов~Д.~И., \emph{Асимптотики решений эллиптических систем с быстро осциллирующими коэффициентами}, Алгебра и анализ, \textbf{20}:2 (2008), 19--42.
\bibitem [COrVa] {COrVa}  Conca~C., Orive~R., Vanninathan~M., \emph{Bloch approximation in homogenization and applications}, SIAM J. Math. Anal., \textbf{33}:5 (2002), 1166--1198.
\bibitem [V] {V} Василевская~Е.~С., \emph{Усреднение параболической задачи Коши с периодическими коэффициентами при учёте корректора}, Алгебра и анализ, \textbf{21}:1 (2009), 3--60.
\bibitem [VSu] {VSu} Василевская~Е.~С., Суслина~Т.~А., \emph{Усреднение параболических и эллиптических периодических операторов в $L_2 (\mathbb{R}^d)$ при учёте первого и второго корректоров}, Алгебра и анализ, \textbf{24}:2 (2012),  1--103.
\bibitem [DSu1] {DSu2016} Дородный~М.~А., Суслина~Т.~А., \emph{Усреднение гиперболических уравнений}, Функц. анализ и его прил., \textbf{50}:4 (2016), 91--96.
\bibitem [DSu2] {DSu2018} Dorodnyi~M.~A., Suslina~T.~A., \emph{Spectral Approach to Homogenization of Hyperbolic Equations With Periodic Coefficients}, J. Differ. Equ., \textbf{264}:12 (2018), 7463--7522.
\bibitem [Zh] {Zh} Жиков~В.~В., \emph{О некоторых оценках из теории усреднения}, Докл.~РАН, \textbf{406}:5 (2006), 597--601.
\bibitem [ZhKO] {ZhKO} Жиков~В.~В., Козлов~С.~М., Олейник~О.~А., \emph{Усреднение дифференциальных операторов}, Физматлит, М., 1993.
\bibitem [ZhPas1] {ZhPas2005} Zhikov~V.~V., Pastukhova~S.~E., \emph{On operator estimates for some problems in homogenization theory}, Russ. J. Math. Phys., \textbf{12}:4 (2005), 515--524.
\bibitem [ZhPas2] {ZhPas2006} Zhikov~V.~V., Pastukhova~S.~E., \emph{Estimates of homogenization for a parabolic equation with periodic coefficients}, Russ. J. Math. Phys., \textbf{13}:2 (2006), 224--237.      
\bibitem [ZhPas3] {ZhPas2016} Жиков~В.~В., Пастухова~С.~Е., \emph{Об операторных оценках в теории усреднения}, УМН, \textbf{71}:3(429) (2016), 27--122.
\bibitem [K] {K} Като~Т., \emph{Теория возмущений линейных операторов}, Мир, М., 1972.
\bibitem [M1] {M2013} Мешкова~Ю.~М., \emph{Усреднение задачи Коши для параболических систем с периодическими коэффициентами}, Алгебра и анализ, \textbf{25}:6 (2013), 125-177. 
\bibitem [M2] {M2017} Meshkova~Yu.~M., \emph{On operator error estimates for homogenization of hyperbolic systems with periodic coeffcients}, preprint (2017), \href{https://arxiv.org/abs/1705.02531}{\texttt{https://arxiv.org/abs/1705.02531}}.
\bibitem [M3] {M2019} Мешкова~Ю.~М., \emph{Об усреднении периодических гиперболических систем}, Матем. заметки, принято к печати. 
\bibitem[Se]{Se1981} Севостьянова~Е.~В., \emph{Асимптотическое разложение решения эллиптического уравнения второго порядка с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами}, Матем. сб., \textbf{115(157)}:2(6) (1981), 204--222.
\bibitem [Su1] {Su2004} Суслина~Т.~А., \emph{Об усреднении периодических параболических систем}, Функц. анализ и его прил., \textbf{38}:4 (2004),  86--90.
\bibitem [Su2] {Su2007} Suslina~Т.~A., \emph{Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem}, Amer. Math. Soc. Transl. (2), vol.~\textbf{220}, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, 201--233.
\bibitem [Su3] {Su2010-parab} Suslina~T.~A., \emph{Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem in the Sobolev space $H^1(\mathbb{R}^d)$}, Math. Model. Nat. Phenom., \textbf{5}:4 (2010), 390--447.
\bibitem [Su4] {Su2010} Суслина~Т.~А., \emph{Усреднение в классе Соболева $H^1(\mathbb{R}^d)$ для периодических эллиптических дифференциальных операторов второго порядка при включении членов первого порядка}, Алгебра и анализ, \textbf{22}:1 (2010), 108--221.
\bibitem [Su5] {Su2013} Суслина~Т.~А., \emph{Аппроксимация резольвенты двупараметрического квадратичного операторного пучка вблизи нижнего края спектра}, Алгебра и анализ, \textbf{25}:5 (2013), 221--251.
\bibitem [Su6] {Su2014} Суслина~Т.~А., \emph{Усреднение эллиптических систем с периодическими коэффициентами: операторные оценки погрешности в $L_2(\mathbb{R}^d)$ с учётом корректора}, Алгебра и анализ, \textbf{26}:4 (2014), 195--263.
\bibitem [Su7] {Su2016} Суслина~Т.~А., \emph{Усреднение уравнений типа Шрёдингера}, Функц. анализ и его прил., \textbf{50}:3 (2016), 90--96.
\bibitem [Su8] {Su2017} Suslina~Т.~A., \emph{Spectral approach to homogenization of nonstationary Schr\"{o}dinger-type equations}, J. Math. Anal. and Appl., \textbf{446}:2 (2017), 1466--1523.
\end{thebibliography}

\end{document}