\documentclass[12pt]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[russian]{babel} \usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath,mathrsfs} \usepackage{graphicx} %\usepackage{showkeys} \textwidth=16cm %\textheight=24.8cm \textwidth=16cm \hoffset=-13mm \voffset=-15mm %\pagestyle{empty} %\topmargin=-10mm %\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}\small\normalsize \def\ep{\varepsilon} \def\th{\vartheta} \usepackage{color} \input mathsoc.sty \def\submitted{26.05.2021} \begin{document} \PutMathSocLogo \author{А.И.~Назаров\footnote{ПОМИ РАН и Санкт-Петербургский госуниверситет. Работа частично поддержана совместным грантом РФФИ--DFG 20-51-12004.}\setcounter{footnote}{6} \and А.В.~Чирина\footnote{Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет ``ЛЭТИ''.}} \title{О доступной локальной асимптотической эффективности некоторых критериев согласия} \date{} \maketitle \hfill {\it Памяти Якова Юрьевича Никитина,} \hfill {\it Друга и Учителя} \section{Постановка задачи} Пусть $X_j$ -- независимые наблюдения с.в. $X$ с непрерывной ф.р. $F$. Рассмотрим задачу проверки гипотезы о том, что $F=F_0$ (здесь $F_0$ -- известная ф.р.) против альтернативы $F\ne F_0$. Одним из классических способов построения непараметрических статистик для проверки гипотезы согласия является использование различных функционалов ${\cal J}[\xi_n]$ от (преобразованного) эмпирического процесса \begin{equation}\label{xi} \xi_n(s)=\sqrt{n}\Big(n^{-1}\sum\limits_{j=1}^n {\bf 1} \{F_0(X_j) \le s\}-s\Big). \end{equation} Для сравнения эффективности различных статистик используются различные количественные характеристики. Мы рассмотрим асимптотическую эффективность по Бахадуру, мерой которой является так называемый {\it точный бахадуровский наклон} (см., напр., \cite[\S 1.2]{Nik}) -- неслучайная положительная функция параметра $\theta$, описывающего альтернативу. Поскольку его вычисление -- весьма трудная задача, с учетом практической важности случая близких альтернатив часто ограничиваются изучением {\it локального} точного наклона, т.е. асимптотикой точного наклона при $F\to F_0$. При весьма общих предположениях эта асимптотика имеет вид $b\theta^2$ при $\theta\to0$, коэффициент $b$ называется {\it бахадуровским локальным индексом} соответствующей последовательности статистик. Для широкого класса статистик алгоритм вычисления локального индекса был дан в главе II монографии Я.Ю. Никитина \cite{Nik}. Поскольку (см., напр., \cite[Теорема 1.2.3]{Nik}) для любой последовательности статистик точный бахадуровский наклон не превосходит удвоенной информации Кульбака--Лейблера, особый интерес представляют статистики, {\it локально асимптотически оптимальные по Бахадуру} (ЛАО), для которых отношение этих величин стремится к $1$ при $F\to F_0$. Другими словами, ЛАО статистики обладают максимально возможным бахадуровским локальным индексом для данного семейства альтернатив. Для некоторых конкретных семейств альтернатив (сдвига, масштаба и др.) вопрос о том, является ли последовательность статистик ЛАО, определяется нулевой гипотезой. Проблема определения распределений $F_0$, для которых данная последовательность статистик является ЛАО, подробно обсуждается в \cite[\S\S 6.2-6.3]{Nik}. Однако для некоторых статистик множество таких распределений оказывается пустым. Поясним это. \medskip При некоторых условиях регулярности на семейство ф.р. $F_\theta$ в \cite[\S 6.1]{Nik} показано, что указанные функции распределения $F_0$ являются решениями дифференциального уравнения \begin{equation}\label{difur} \frac {\partial}{\partial\theta} F_\theta(x)\big|_{\theta=0} ={\mathfrak u}(F_0(x)), \end{equation} где ${\mathfrak u}$ -- одна из {\it ведущих функций} для соответствующей последовательности статистик. Это означает, что функция ${\mathfrak u}$ доставляет максимум функционалу ${\cal J}[u]$ на единичном шаре в пространстве Соболева ${\stackrel{\circ}W\vphantom {W}\!\!^1_2}(0,1)$ (ср. \cite[\S 2.6]{Nik} и \cite{KO}). Однако для семейства с параметром сдвига $F_\theta(x)=F(x+\theta)$ уравнение (\ref{difur}) переписывается так: $$ F_0'(x)={\mathfrak u}(F_0(x)), $$ откуда следует, что функция ${\mathfrak u}$ должна быть положительной на интервале $(0,1)$. Это требование справедливо также для некоторых других семейств, например, для семейства с параметром масштаба, если носитель ф.р. сосредоточен на положительной полуоси. Для многих последовательностей статистик (в том числе для классических статистик Колмогорова, Ватсона--Дарлинга, Крамера--фон Мизеса, Андерсона--Дарлинга и др.) множество ведущих функций содержит функцию, положительную на $(0,1)$, см. \cite[\S 6.2]{Nik}. Однако для некоторых более сложных статистик это не так. Приведем два примера. \medskip 1. В работе Н. Хенце и Я.Ю. Никитина \cite{HN} были введены интегрированные аналоги статистики Ватсона $$ \tilde U^2_n=\int\limits_0^1 \Big(A_n(s)-\int\limits_0^1A_n(t)\,dt\Big)^2ds $$ $$ \bar U^2_n=\int\limits_0^1\big(A_n(s)-sA_n(1)\big)^2ds, $$ где $$ A_n(s)=\int\limits_0^s\xi_n(t)\,dt $$ (процесс $\xi_n(t)$ определен в (\ref{xi})). В \cite{HN} показано, что статистика $\tilde U^2_n$ локально асимптотически оптимальна при альтернативе сдвига для распределения гиперболического косинуса (с плотностью $(\pi\ch(x))^{-1}$). В то же время для статистики $\bar U^2_n$ максимизирующая функция в соответствующей экстремальной задаче \begin{equation} \label{prob1} \aligned {\cal J}_1[u]:= &\ \int\limits_0^1\Big(\int\limits_0^x u(t)\,dt-x\int\limits_0^1 u(t)\,dt\Big)^2dx\to\max; \\ {\cal I}[u]:= &\ \int\limits_0^1 (u'(x))^2\,dx\le 1; \qquad u(0)=u(1)=0 \endaligned \end{equation} знакопеременна, и потому эта статистика при альтернативе сдвига не является локально асимптотически оптимальной ни для какого распределения. \medskip 2. В диссертации О.А. Подкорытовой \cite{P} среди других рассматривались статистики $S_{p,n}=\|\nu_n\|_{L_p(0,1)}^2$, основанные на преобразовании Деовельса эмпирического процесса \cite{De} $$ \nu_n(s)=\xi_n(s)+\int\limits_0^s \frac {\xi_n(r)}{1-r}\,dr-s\int\limits_0^1 \frac {\xi_n(r)}{1-r}\,dr. $$ В \cite[\S4.4]{P} показано, что в соответствующей экстремальной задаче (при $p=\infty$ интеграл в ${\cal J}_{2,p}[u]$ следует заменить на максимум, см. (\ref{prob2})) \begin{equation} \label{prob-p} \aligned {\cal J}_{2,p}[u]:= &\ \bigg[\int\limits_0^1\Big|u(x)+\int\limits_0^x \frac {u(t)}{1-t}\,dt-x\int\limits_0^1 \frac {u(t)}{1-t}\,dt\Big|^pdx\bigg]^{\frac 2p}\to\max; \\ {\cal I}[u]= &\ \int\limits_0^1 (u'(x))^2\,dx\le 1; \qquad u(0)=u(1)=0 \endaligned \end{equation} максимизирующая функция знакопеременна\footnote{Поскольку результаты главы 4 \cite{P} труднодоступны, в Приложении 1 мы приводим упрощенное доказательство этого факта.}, и эти статистики при альтернативе сдвига также не являются локально асимптотически оптимальными ни для какого распределения. \medskip В подобной ситуации естественно поставить вопрос: какова максимальная {\it доступная} локальная асимптотическая эффективность таких статистик (например, при альтернативе сдвига)? Для ответа на этот вопрос следует решить модифицированную задачу о максимуме соответствующего функционала (в приведенных примерах это функционалы ${\cal J}_1$ и ${\cal J}_{2,p}$ соответственно) на множестве {\it неотрицательных} функций из единичного шара в ${\stackrel{\circ}W\vphantom {W}\!\!^1_2}(0,1)$. \medskip {\bf Замечание}. С точки зрения вариационного исчисления такая постановка ({\it задача с односторонним ограничением}) корректна. Однако максимизирующая функция заведомо обращается в нуль во внутренних точках промежутка $[0,1]$ и потому соответствует распределению с разрывной ф.р., что невозможно по условию задачи. Тем не менее, эта максимизирующая функция может быть аппроксимирована функциями, {\it положительными на $(0,1)$}. Поэтому, хотя полученная локальная асимптотическая эффективность по-прежнему не достигается, для любого $\ep>0$ существуют распределения, для которых она достигается с точностью до $\ep$. \medskip В настоящей работе мы вычислим доступную локальную асимптотическую эффективность при альтернативе сдвига для статистик $\bar U^2_n$ и $S_{\infty,n}$. Соответствующая задача для $S_{p,n}$ при произвольном $p$, по-ви\-ди\-мо\-му, сколь-нибудь явно решена быть не может. Надежда на получение ответа есть лишь в случаях $p=1$ и $p=2$. \section{Статистика $\bar U^2_n$} Мы ищем максимум в экстремальной задаче (\ref{prob1}) при дополнительном условии $u\ge0$. Пересечение единичного шара в пространстве Соболева ${\stackrel{\circ}W\vphantom {W}\!\!^1_2}(0,1)$ с конусом $u\ge0$ слабо замкнуто в ${\stackrel{\circ}W\vphantom {W}\!\!^1_2}(0,1)$. Поэтому слабо непрерывный на ${\stackrel{\circ}W\vphantom {W}\!\!^1_2}(0,1)$ функционал ${\cal J}_1$ достигает на этом множестве наибольшего значения. Более того, ввиду однородности функционалов ${\cal I}$ и ${\cal J}_1$ можно заменить ограничение ${\cal I}[u]\le 1$ на ${\cal I}[u]=1$. Также ввиду однородности функционалов ${\cal I}$ и ${\cal J}_1$ можно рассмотреть равносильную задачу $$ {\cal P}_1[u]:=\frac {{\cal J}_1[u]}{{\cal I}[u]}\to \max; \qquad u\ge0;\quad u\not\equiv0;\quad u(0)=u(1)=0. $$ Необходимое условие максимума \begin{equation} \label{neobh} d{\cal P}_1[u]\eta=\frac {{\cal P}_1[u]}{{\cal I}[u]}\cdot \big({\cal P}_1[u]^{-1}\cdot d{\cal J}_1[u]\eta- d{\cal I}[u]\eta\big)\le0 \end{equation} для всех приращений $\eta\in{\stackrel{\circ}W\vphantom {W}\!\!^1_2}(0,1)$ таких, что $u+\eta\ge0$. Обозначим $\lambda^{-1}$ значение функционала ${\cal P}_1[u]$ на максимизирующей функции. Подсчитаем дифференциал: \begin{multline*} \frac 12 \,d(\lambda {\cal J}_1-{\cal I})[u]\eta=-\int\limits_0^1 u'(x)\eta'(x)\,dx\\ +\lambda \int\limits_0^1\Big(\int\limits_0^x u(t)\,dt-x\int\limits_0^1 u(t)\,dt\Big)\Big(\int\limits_0^x \eta(t)\,dt-x\int\limits_0^1 \eta(t)\,dt\Big)\,dx\\ =\langle u'',\eta\rangle+\lambda \int\limits_0^1 f_1(x)\eta(x)\,dx, \end{multline*} где $u''$ понимается в смысле обобщенных функций, и $$ f_1(x)=\int\limits_x^1 (U(t)-tU(1))\,dt-\int\limits_0^1 (tU(t)- t^2U(1))\,dt; $$ здесь и далее в этом параграфе $$ U(x)=\int\limits_0^x u(t)\,dt. $$ Для любой неотрицательной функции $\eta\in{\cal C}^\infty_0(0,1)$ имеем $u+\eta\ge0$ и, следовательно, $d{\cal P}_1[u]\eta\le0$, что дает $u''+\lambda f_1\le0$ в смысле обобщенных функций. Поэтому $u''$ есть мера (заряд), причем ее сингулярная часть неположительна. Множество, на котором $u>0$, представляет собой не более чем счетное объединение интервалов. На каждом из этих интервалов $I$ для любой $\eta\in{\cal C}^\infty_0(I)$ при достаточно малых $\alpha$ любого знака имеем $u+\alpha\eta\ge0$, и потому $d{\cal P}_1[u](\alpha\eta)\le0$ влечет $$ \langle u'',\eta\rangle+\lambda \int\limits_0^1 f_1(x)\eta(x)\,dx=0 \qquad \Longrightarrow \qquad -u''=\lambda f_1 \quad \text{на}\quad I. $$ Таким образом, носитель сингулярной компоненты меры $u''$ содержится в множестве, на котором $u=0$. Покажем, что на самом деле сингулярной компоненты у $u''$ нет. Действительно, $u'$ как функция ограниченной вариации имеет в каждой точке левое и правое предельные значения. При этом, поскольку нуль -- минимальное значение $u$ на отрезке $[0,1]$, в каждой точке множества $\{u=0\}\cap(0,1)$ имеем $u'(x-)\le0$ и $u'(x+)\ge0$, откуда $$ \int\limits_{\{u=0\}\cap(0,1)}du''\ge0. $$ Таким образом, сингулярная компонента $u''$ может быть только положительной, что невозможно. Итак, $u''$ регулярна и, следовательно, $u'$ непрерывна на $[0,1]$. Таким образом, на краях каждого интервала $I$, кроме условия $u=0$, имеем также $u'=0$ (за исключением, возможно, точек $0$ и $1$). Покажем, что число интервалов $I$ на самом деле конечно. Дифференцируя уравнение $-u''=\lambda f_1$, мы получаем \begin{equation}\label{equ3} u'''(x)=\lambda\Big(\int\limits_0^x u(t)\,dt-x\int\limits_0^1 u(t)\,dt\Big). \end{equation} Повторное дифференцирование дает \begin{equation}\label{equ4} u^{IV}(x)=\lambda\Big(u(x)-\int\limits_0^1 u(t)\,dt\Big). \end{equation} Из сказанного выше следует, что на замыкании каждого интервала $I$, не примыкающего к точкам $0$ и $1$, функция $u'$ обращается в нуль не менее трех раз. По теореме Ролля $u''$ имеет не менее двух корней, а $u'''$ -- не менее одного. Далее, при фиксированном $\lambda$ из (\ref{equ4}) следует, что $u^{IV}$ равномерно ограничена на всех интервалах $I$. Отсюда получаем оценки на $I$ $$ |u'''(x)|\le c|I|; \qquad |u''(x)|\le c|I|^2; \qquad |u'(x)|\le c|I|^3; \qquad |u(x)|\le c|I|^4, $$ где $c$ не зависит от длины интервала. Если длина интервала $I$ достаточно мала, то из (\ref{equ4}) следует, что $u^{IV}$ отрицательна на $I$. Но это означает, что $u''$ имеет ровно два корня и выпукла вверх на $I$, что противоречит неравенству $u>0$. Таким образом, длины интервалов $I$ ограничены снизу положительным числом, и их количество конечно. Поскольку $f_1$ непрерывна на $[0,1]$, можно считать, что $u''$ непрерывно продолжена на замыкание объединения всех интервалов $I$, на котором теперь выполнено уравнение $-u''=\lambda f_1$. Дополнение этого замыкания состоит из конечного числа интервалов, на которых $u''=0$, и таким образом $u''$ кусочно непрерывна на $[0,1]$. Отметим, что указанное дополнение непусто, поскольку в ином случае функция $u$ максимизировала бы функционал ${\cal P}_1[u]$ без ограничения $u\ge0$, что невозможно ввиду результата \cite{HN}. Рассмотрим теперь изолированный сегмент $[x_0,x_1]$, на котором выполнено уравнение, и сдвинем его на достаточно малое число $h$, оставив остальные сегменты на месте, так, чтобы этот сегмент по-прежнему оставался изолированным и не вышел за пределы отрезка $[0,1]$. Для полученной функции $u_h$ очевидно имеем ${\cal I}[u_h]={\cal I}[u]$, и \begin{equation}\label{conv} \aligned {\cal J}_1[u_h]= &\ \Big(\int\limits_{0}^{x_0}+\int\limits_{x_1}^{1}\Big)(U(x)-x U(1))^2\,dx+ \int\limits_{x_0}^{x_0+h} (U(x_0)-x U(1))^2\,dx\\ + &\ \int\limits_{x_0+h}^{x_1+h} (U(x-h)-x U(1))^2\,dx-\int\limits_{x_1}^{x_1+h} (U(x_1)-x U(1))^2\,dx. \endaligned \end{equation} Сделав в предпоследнем интеграле в (\ref{conv}) замену $y=x-h$, легко видеть, что ${\cal J}_1[u_h]$ -- квадратный трехчлен от $h$, причем $$ \frac {d^2}{dh^2}{\cal J}_1[u_h]=2U(1)\big(U(x_1)-U(x_0)\big)>0. $$ Таким образом, сдвигая сегмент $[x_0,x_1]$ либо вправо, либо влево вплотную к краю или к соседнему сегменту, мы заведомо увеличиваем функционал ${\cal J}_1[u]$, а потому и ${\cal P}_1[u]$. \medskip Итак, остается три варианта: \begin{enumerate} \item $-u''=\lambda f_1$ на $[0,x_0]$ и $u=0$ на $[x_0,1]$; \item $-u''=\lambda f_1$ на $[x_1,1]$ и $u=0$ на $[0,x_1]$; \item $-u''=\lambda f_1$ на $[0,x_0]$ и на $[x_1,1]$, и $u=0$ на $[x_0, x_1]$. \end{enumerate} Легко видеть, что замена $u(x)$ на $u(1-x)$ не меняет значения функционала ${\cal P}_1[u]$. Поэтому варианты 1 и 2 эквивалентны. В варианте 1 из (\ref{equ3}) видно, что $u'''(0)=0$. Таким образом, на отрезке $[0,x_0]$ уравнение (\ref{equ4}) дополняется четырьмя краевыми условиями: \begin{equation}\label{bc} u(0)=u(x_0)=0;\quad u'''(0)=0; \quad u'(x_0)=0. \end{equation} В варианте 3 на отрезке $[0,x_0]$ по-прежнему выполнено уравнение (\ref{equ4}) с краевыми условиями (\ref{bc}), а на отрезке $[x_1,1]$ -- то же уравнение с ``перевернутыми'' краевыми условиями $$ u(1)=u(x_1)=0;\quad u'''(1)=0; \quad u'(x_1)=0. $$ Из симметрии получаем, что $x_1=1-x_0$, и $u(x)\equiv u(1-x)$, откуда $U(x)+U(1-x)\equiv U(1)$. Теперь прямой подсчет показывает, что для функции $v(x)=u(x/2)$, $x\in[0,1]$, справедливы соотношения $$ {\cal I}[v]=\frac 14 {\cal I}[u]; \qquad {\cal J}_1[v]=4{\cal J}_1[u], $$ и потому функция $u$ не дает максимума функционалу ${\cal P}_1$. Таким образом, осталось рассмотреть первый вариант. \medskip Общее решение уравнения (\ref{equ4}) при положительных $\lambda$ \begin{equation}\label{sol} u(x)=c_1\ch(kx)+c_2\sh(kx)+c_3\cos(kx)+c_4\sin(kx)+c_5, \qquad k^4=\lambda. \end{equation} При фиксированных $k$ и $x_0$ граничные условия (\ref{bc}) дают четыре однородных уравнения на константы $c_1,\dots,c_5$. Еще одно уравнение получаем, подставляя (\ref{sol}) непосредственно в (\ref{equ4}): $$ \int\limits_0^{x_0} u(t)\,dt\equiv\int\limits_0^1 u(t)\,dt=c_5. $$ Условием существования нетривиального решения является равенство нулю определителя соответствующей $(5\times5)$-матрицы. Это дает \begin{equation}\label{det} \sin\Big(\frac {kx_0}2\Big)\sh\Big(\frac {kx_0}2\Big)\cdot\Big[\th\Big(\frac {kx_0}2\Big)+\tg\Big(\frac {kx_0}2\Big) + k(1 - x_0)\Big]=0. \end{equation} Решение $u(x)$ при этом определено с точностью до мультипликативной постоянной. Заметим теперь, что решение уравнения (\ref{equ4}) с граничным условием $u'''(0)=0$ автоматически удовлетворяет уравнению (\ref{equ3}). Для выполнения же исходного уравнения $-u''=\lambda f_1$ необходимо и достаточно, чтобы это уравнение выполнялось в какой-нибудь точке промежутка $[0,x_0]$. Например, равенство в точке $x_0$ имеет вид $$ -u''(x_0)=k^4\bigg[\Big(\frac 13-x_0+\frac {x_0^2}2\Big)\int\limits_0^{x_0} u(t)\,dt+\int\limits_0^{x_0} \frac {t^2}2\,u(t)\,dt\bigg], $$ или, после подстановки, \begin{equation}\label{second} \aligned &\ (6 - 3 k^2 x_0^2)\tg\Big(\frac {kx_0}2\Big)- (6 + 3k^2x_0^2) \th\Big(\frac {kx_0}2\Big)\\ +&\ k^3 (2 - 6 x_0 + 3 x_0^2 + x_0^3) - 6k(1 - x_0)\tg\Big(\frac {kx_0}2\Big)\th\Big(\frac {kx_0}2\Big)= 0. \endaligned \end{equation} Нам нужно найти решение системы (\ref{det})-(\ref{second}) с наименьшим $k$. Для этого заметим, что при фиксированном $x_0<1$ выражение в квадратных скобках в (\ref{det}) является монотонной функцией $k$ на каждом интервале возрастания тангенса. В частности, наименьший корень уравнения (\ref{det}) удовлетворяет неравенству $\piz$, т.е. $\th\big(\frac z2\big)+\tg\big(\frac z2\big)<0$, что позволяет уточнить интервал для $z$: $\pi0$, и $$ g'(z)=\frac 32\Big[\tg^4\Big(\frac z2\Big)-\th^4\Big(\frac z2\Big)\Big]>0 \qquad \text{на}\quad (\pi,z_0), $$ уравнение (\ref{g}) имеет на интервале $(\pi,z_0)$ ровно один корень. Приближенное вычисление дает $\widehat z\approx4.00273$, $\widehat k\approx5.21579$ и $\widehat x_0\approx0.767426$. \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[height=5cm]{First1.png} \caption{График максимизирующей функции в задаче (\ref{prob1})} \label{Fig1} \end{figure} Несложно проверить, что соответствующее решение $u(x)$ положительно на интервале $(0,\widehat x_0)$. Отсюда видно, что $f_1(\widehat x_0)=- \lambda^{-1}u''(\widehat x_0)<0$. Поскольку на интервале $(\widehat x_0,1)$ имеем $f_1'(x)=U(1)(x-1)<0$, на этом интервале выполнено неравенство $\lambda f_1(x)<0=-u''(x)$. Таким образом, функция $u$ удовлетворяет необходимому условию максимума (см. рис. \ref{Fig1}). Поскольку $\lambda=\widehat k^4$ принимает наименьшее возможное значение, функция $u$ дает максимум функционалу ${\cal P}_1$ при заданных ограничениях, и максимальное значение равно $\widehat k^{-4}\approx0.0013512$. \medskip Оптимальный локальный индекс для $\bar U^2_n$, вычисленный в \cite{HN}, равен $z_0^{-4}\approx0.0019977$. Таким образом, доступная локальная асимптотическая эффективность статистики $\bar U^2_n$ при альтернативе сдвига составляет более $67\%$ от оптимальной. \section{Статистика $S_{\infty,n}$} Мы ищем максимум в экстремальной задаче \begin{equation} \label{prob2} \aligned {\cal J}_{2,\infty}[u]:= &\ \max\limits_{[0,1]}\Big(u(x)+\int\limits_0^x \frac {u(t)}{1-t}\,dt-x\int\limits_0^1 \frac {u(t)}{1-t}\,dt\Big)^2\to\max; \\ {\cal I}[u]= &\ \int\limits_0^1 (u'(x))^2\,dx\le1; \qquad u\ge0;\quad u(0)=u(1)=0. \endaligned \end{equation} Аналогично предыдущему параграфу, заключаем, что функционал ${\cal J}_{2,\infty}$ достигает наибольшего значения на множестве в ${\stackrel{\circ}W\vphantom {W}\!\!^1_2}(0,1)$, задаваемом ограничениями ${\cal I}[u]\le1$ и $u\ge0$. \medskip Будем действовать в два этапа. Сначала найдем максимум вспомогательного функционала $$ \widetilde{\cal J}_{2,\infty}[u]= \Big(u(x_*)+\int\limits_0^{x_*} \frac {u(t)}{1-t}\,dt-x_*\int\limits_0^1 \frac {u(t)}{1-t}\,dt\Big)^2, $$ где $x_*\in(0,1)$ -- фиксированная точка. Далее произведем максимизацию полученного результата по $x^*\in(0,1)$. Итак, пусть $x^*\in(0,1)$ задана. Аналогично (\ref{neobh}), необходимое условие максимума имеет вид $$ \lambda d\widetilde{\cal J}_{2,\infty}[u]\eta-d{\cal I}[u]\eta\le0 $$ для всех приращений $\eta\in{\stackrel{\circ}W\vphantom {W}\!\!^1_2}(0,1)$ таких, что $u+\eta\ge0$. Здесь и далее $\lambda^{-1}$ -- значение функционала ${\cal P}_2[u]\equiv \widetilde{\cal J}_{2,\infty}[u]\big/{\cal I}[u]$ на максимизирующей функции. Прямой подсчет дает \begin{equation*} \frac 12 \,d(\lambda \widetilde{\cal J}_{2,\infty}-{\cal I})[u]\eta=\langle u''+\lambda f_2,\eta\rangle, \end{equation*} где $u''$ понимается в смысле обобщенных функций, а $f_2$ -- мера (заряд) $$ f_2(x)=(v(x_*)-x_*v(1))\Big[\delta(x-x_*)+\frac 1{1-x}\big(\chi_{[0,x_*]}(x)-x_*\big)\Big]; $$ здесь и далее \begin{equation} \label{Hm} v(x)=u(x)+\int\limits_0^x \frac {u(t)}{1-t}\,dt \end{equation} -- преобразование Хмаладзе функции $u$ (см. \cite{Kh}). Как и в предыдущей задаче, отсюда получаем, что $u''+\lambda f_2\le0$ в смысле обобщенных функций. Поэтому $u''$ есть мера (заряд), и ее сингулярная часть неположительна. Далее, на каждом интервале $I$ положительности $u$ имеем $-u''=\lambda f_2$. Обозначим $\mathscr{C}=\lambda(v(x_*)-x_*v(1))>0$. Тогда дословным повторением рассуждения из предыдущей задачи выводим, что $u''+\mathscr{C}\delta(\cdot-x_*)$ -- регулярная функция, $u'$ непрерывна на $[0,1]\setminus\{x_*\}$, и на краях каждого интервала $I$, кроме условия $u=0$, выполнено условие $u'=0$ (за исключением, возможно, точек $0$ и $1$). %Из формулы (\ref{Hm}) видно, что $v'$ также непрерывна на %$[0,1]$ и равна нулю на дополнении к объединению %интервалов $I$. Заметим теперь, что на интервале $I$, содержащем точку $x_*$, имеем \begin{equation}\label{equ} u''(x)=\left\{ \begin{array}{rl} -\dfrac{\mathscr{C}(1-x_*)}{1-x}<0, & x0, & x>x_*. \end{array} \right. \end{equation} Поэтому на левом конце этого интервала условие $u'=0$ выполняться не может. Следовательно, этот интервал начинается от нуля. Тогда на любом другом интервале положительности $u$ мы имели бы $u''>0$, что невозможно. Таким образом, остается один вариант: \smallskip $-u''=\lambda f_2$ на $[0,x_0]$ и $u=0$ на $[x_0,1]$. \smallskip При этом $x_*0$. Тогда $v'(t)>0$ при $t<\frac 12$, и $u>0$ в окрестности нуля. Но поскольку $v'(t)<0$ при $t>\frac 12$, и интеграл в (\ref{obrat-Hm}) расходится (логарифмически) при $x\to1$, получим $u(x)<0$ в окрестности точки $x=1$, и утверждение доказано. \medskip {\bf 2}. Мы ищем максимум функции $$ F(x,y):=x-2x^2+x^2y^2, \qquad x,y\in[0,1], $$ при условии \begin{equation}\label{A1} G(x,y):=y+\ln(1-y)-\frac {\ln(1-x)}x=0. \end{equation} Легко видеть, что при всех $x\in[0,1)$ уравнение (\ref{A1}) имеет единственное решение $y=\tilde y(x)\in[0,1]$. Более того, $\tilde y(x)$ -- возрастающая функция, $\tilde y(x)>0.84$ и $\lim\limits_{x\to1}\tilde y(x)=1$. По теореме Эйлера необходимое условие экстремума имеет вид $$ \nabla F(x,y)\parallel \nabla G(x,y), $$ что сводится к уравнению \begin{equation}\label{A2} D(x,y):=\frac 1{1-y}-\frac{4x}{1-y}+\frac{2x}{1-x}+\frac{2xy^2}{1-y} +2\ln(1-x)=0. \end{equation} \smallskip {\bf Лемма}. {\it Система уравнений (\ref{A1})--(\ref{A2}) имеет в области $(0,1)\times(0,1)$ единственное решение} (см. рис. \ref{Fig3}). \medskip {\it Доказательство}. Легко видеть, что $\partial^2_{yy}D(x,y)>0$. Далее, $$ D(0,y)>0;\qquad D(0.5,y)<0;\qquad \lim\limits_{x\to1}D(x,y)=+\infty. $$ Поэтому при любом $y\in(0,1)$ уравнение (\ref{A2}) имеет ровно два решения. Обозначим их $\hat x_1(y)\in(0,0.5)$ и $\hat x_2(y)\in(0.5,1)$. Несложно видеть, что $\lim\limits_{y\to1}\hat x_2(y)=1$. \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[height=6.5cm]{Thickness1.png} \caption{Решения уравнений (\ref{A1}) (жирная линия) и (\ref{A2}) (тонкая линия)} \label{Fig3} \end{figure} Покажем, что кривые $y=\tilde y(x)$ и $x=\hat x_2(y)$ не имеют пересечений внутри квадрата. Действительно, рассмотрим прямую $x=2y-1$. Имеем $$ D(2y-1,y)=4-2y-4y^2+2\ln(2-2y)<0 \qquad \mbox{при} \quad 0.72y-1$ при $0.70 \qquad \mbox{при} \quad 0x$, и утверждение доказано. Рассмотрим теперь ветку $x=\hat x_1(y)$. Она имеет хотя бы одно пересечение с кривой $y=\tilde y(x)$. Поскольку $D(0.4,y)>0$ при $y\in(0.84,1)$, имеем $\hat x_1(y)\in(0.4,0.5)$ при $y\in(0.84,1)$. Далее, $G(0.5,y)<0$ при $y\in(0.9,1)$, и потому $\tilde y(x)\in(0.84,0.9)$ при $x<0.5$. Наконец, $D(0.45,y)<0$ при $y\in(0.84,0.9)$, поэтому $\hat x_1(y)\in(0.4,0.45)$ при $y\in(0.84,0.9)$. Итак, мы показали, что точка пересечения кривых $y=\tilde y(x)$ и $x=\hat x_1(y)$ не может лежать вне прямоугольника $\Delta=(0.4,0.45)\times(0.84,0.9)$. Дифференцируя неявную функцию $\tilde y(x)$, получаем \begin{equation}\label{A3} \tilde y'(x)=\frac {(1-y)(x+(1-x)\ln(1-x))}{(1-x)x^2y}\,\bigg|_{y=\tilde y(x)}. \end{equation} Обозначим $G_1(x,y)$ функцию, стоящую в правой части (\ref{A3}). Несложно убедиться, что $G_1(x,y)$ в прямоугольнике $\Delta$ убывает по $y$ и возрастает по $x$. Поэтому в пределах прямоугольника $\Delta$ имеем $$ \tilde y'(x)