\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath,mathrsfs}
\usepackage{graphicx}


%\usepackage{showkeys}

\textwidth=16cm
%\textheight=24.8cm \textwidth=16cm \hoffset=-13mm \voffset=-15mm
%\pagestyle{empty}
%\topmargin=-10mm
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}\small\normalsize
\def\ep{\varepsilon}
\def\th{\vartheta}
\usepackage{color}


\input mathsoc.sty
\def\submitted{26.05.2021}



\begin{document}
\PutMathSocLogo


\author{А.И.~Назаров\footnote{ПОМИ РАН и 
Санкт-Петербургский 
госуниверситет. Работа частично 
поддержана совместным грантом 
РФФИ--DFG 20-51-12004.}\setcounter{footnote}{6} \and 
А.В.~Чирина\footnote{Санкт-Петербургский государственный 
электротехнический университет ``ЛЭТИ''.}}
 \title{О доступной локальной асимптотической 
эффективности некоторых критериев согласия}
 \date{}
 \maketitle


\hfill {\it Памяти Якова Юрьевича Никитина,}

\hfill {\it Друга и Учителя}

 
\section{Постановка задачи}
 
Пусть $X_j$ -- независимые наблюдения с.в. $X$ с непрерывной 
ф.р. $F$. Рассмотрим задачу проверки гипотезы о том, что 
$F=F_0$ (здесь $F_0$ -- известная ф.р.) против альтернативы 
$F\ne F_0$. Одним из классических способов построения 
непараметрических статистик для проверки гипотезы согласия 
является использование различных функционалов ${\cal 
J}[\xi_n]$ от (преобразованного) эмпирического процесса
\begin{equation}\label{xi}
\xi_n(s)=\sqrt{n}\Big(n^{-1}\sum\limits_{j=1}^n {\bf 1} 
\{F_0(X_j) \le s\}-s\Big).
\end{equation}

Для сравнения эффективности различных статистик используются 
различные количественные характеристики. Мы рассмотрим 
асимптотическую эффективность по Бахадуру, мерой которой 
является так называемый {\it точный бахадуровский наклон} 
(см., напр., \cite[\S 1.2]{Nik}) -- неслучайная 
положительная функция параметра $\theta$, описывающего 
альтернативу. Поскольку его вычисление -- весьма трудная 
задача, с учетом практической важности случая близких 
альтернатив часто ограничиваются изучением {\it локального} 
точного наклона, т.е. асимптотикой точного наклона при $F\to 
F_0$. При весьма общих предположениях эта асимптотика имеет 
вид $b\theta^2$ при $\theta\to0$, коэффициент $b$ называется 
{\it бахадуровским локальным индексом} соответствующей 
последовательности статистик. Для широкого класса статистик 
алгоритм вычисления локального индекса был дан в главе II 
монографии Я.Ю. Никитина \cite{Nik}.

Поскольку (см., напр., \cite[Теорема 1.2.3]{Nik}) для любой 
последовательности статистик точный бахадуровский наклон не 
превосходит удвоенной информации Кульбака--Лейблера, особый 
интерес представляют статистики, {\it локально 
асимптотически оптимальные по Бахадуру} (ЛАО), для которых 
отношение этих величин стремится к $1$ при $F\to F_0$. 
Другими словами, ЛАО статистики обладают максимально 
возможным бахадуровским локальным индексом для данного 
семейства альтернатив. 

Для некоторых конкретных семейств альтернатив (сдвига, 
масштаба и др.) вопрос о том, является ли 
последовательность статистик ЛАО, определяется нулевой 
гипотезой. Проблема определения распределений $F_0$, для 
которых данная последовательность статистик является ЛАО, 
подробно обсуждается в \cite[\S\S 6.2-6.3]{Nik}. Однако для 
некоторых статистик множество таких распределений 
оказывается пустым. Поясним это.
\medskip

При некоторых условиях регулярности на семейство ф.р. 
$F_\theta$ в \cite[\S 6.1]{Nik} показано, что указанные 
функции распределения $F_0$ являются решениями 
дифференциального уравнения
\begin{equation}\label{difur}
\frac {\partial}{\partial\theta} F_\theta(x)\big|_{\theta=0}
={\mathfrak u}(F_0(x)),
\end{equation}
где ${\mathfrak u}$ -- одна из {\it ведущих функций} для 
соответствующей последовательности статистик. Это означает, 
что функция ${\mathfrak u}$ доставляет максимум функционалу 
${\cal J}[u]$ на единичном шаре в пространстве Соболева 
${\stackrel{\circ}W\vphantom {W}\!\!^1_2}(0,1)$ (ср. 
\cite[\S 2.6]{Nik} и \cite{KO}).

Однако для семейства с параметром сдвига 
$F_\theta(x)=F(x+\theta)$ уравнение (\ref{difur}) 
переписывается так:
$$
F_0'(x)={\mathfrak u}(F_0(x)),
$$
откуда следует, что функция ${\mathfrak u}$ должна быть 
положительной на интервале $(0,1)$. Это требование 
справедливо также для некоторых других семейств, например, 
для семейства с параметром масштаба, если носитель ф.р. 
сосредоточен на положительной полуоси.

Для многих последовательностей статистик (в том 
числе для классических статистик Колмогорова, 
Ватсона--Дарлинга, Крамера--фон Мизеса, Андерсона--Дарлинга 
и др.) множество ведущих функций содержит функцию, 
положительную на $(0,1)$, см. \cite[\S 6.2]{Nik}. Однако 
для некоторых более сложных статистик это не так. Приведем 
два примера.
\medskip

1. В работе Н. Хенце и Я.Ю. Никитина \cite{HN} были введены 
интегрированные аналоги статистики Ватсона 
$$
\tilde U^2_n=\int\limits_0^1 
\Big(A_n(s)-\int\limits_0^1A_n(t)\,dt\Big)^2ds
$$
$$
\bar U^2_n=\int\limits_0^1\big(A_n(s)-sA_n(1)\big)^2ds,
$$
где
$$
A_n(s)=\int\limits_0^s\xi_n(t)\,dt
$$
(процесс $\xi_n(t)$ определен в (\ref{xi})).

В \cite{HN} показано, что статистика $\tilde U^2_n$ локально 
асимптотически оптимальна при альтернативе сдвига для 
распределения гиперболического косинуса (с плотностью 
$(\pi\ch(x))^{-1}$). В то же время для статистики $\bar 
U^2_n$ максимизирующая функция в соответствующей 
экстремальной задаче
\begin{equation}
 \label{prob1}
 \aligned
{\cal J}_1[u]:= &\ \int\limits_0^1\Big(\int\limits_0^x 
u(t)\,dt-x\int\limits_0^1 u(t)\,dt\Big)^2dx\to\max; \\ 
{\cal I}[u]:= &\ \int\limits_0^1 (u'(x))^2\,dx\le 1; \qquad 
u(0)=u(1)=0 
\endaligned
\end{equation}
знакопеременна, и потому эта статистика при альтернативе 
сдвига не является локально асимптотически оптимальной ни 
для какого распределения. 
\medskip

2. В диссертации О.А. Подкорытовой \cite{P} среди других 
рассматривались статистики 
$S_{p,n}=\|\nu_n\|_{L_p(0,1)}^2$, основанные на 
преобразовании Деовельса эмпирического процесса \cite{De} 
$$
\nu_n(s)=\xi_n(s)+\int\limits_0^s \frac 
{\xi_n(r)}{1-r}\,dr-s\int\limits_0^1 \frac 
{\xi_n(r)}{1-r}\,dr. 
$$
В \cite[\S4.4]{P} показано, что в соответствующей 
экстремальной задаче (при $p=\infty$ интеграл в ${\cal 
J}_{2,p}[u]$ следует заменить на максимум, см. 
(\ref{prob2})) 
\begin{equation}
 \label{prob-p}
 \aligned
{\cal J}_{2,p}[u]:= &\ 
\bigg[\int\limits_0^1\Big|u(x)+\int\limits_0^x \frac 
{u(t)}{1-t}\,dt-x\int\limits_0^1 \frac 
{u(t)}{1-t}\,dt\Big|^pdx\bigg]^{\frac 2p}\to\max; \\ 
{\cal I}[u]= &\ \int\limits_0^1 (u'(x))^2\,dx\le 1; \qquad 
u(0)=u(1)=0
\endaligned
\end{equation}
максимизирующая функция знакопеременна\footnote{Поскольку 
результаты главы 4 \cite{P} труднодоступны, в Приложении 1 
мы приводим упрощенное доказательство этого факта.}, и эти 
статистики при альтернативе сдвига также не являются 
локально асимптотически оптимальными ни для какого 
распределения. 
\medskip

В подобной ситуации естественно поставить вопрос: какова 
максимальная {\it доступная} локальная асимптотическая 
эффективность таких статистик (например, при альтернативе 
сдвига)? 

Для ответа на этот вопрос следует решить 
модифицированную задачу о максимуме соответствующего 
функционала (в приведенных примерах это функционалы ${\cal 
J}_1$ и ${\cal J}_{2,p}$ соответственно) на множестве 
{\it неотрицательных} функций из единичного шара в 
${\stackrel{\circ}W\vphantom 
{W}\!\!^1_2}(0,1)$.
\medskip

{\bf Замечание}. С точки зрения вариационного исчисления 
такая постановка ({\it задача с односторонним 
ограничением}) корректна. Однако максимизирующая функция 
заведомо обращается в нуль во внутренних точках промежутка 
$[0,1]$ и потому соответствует распределению с разрывной 
ф.р., что невозможно по условию задачи. Тем не менее, эта 
максимизирующая функция может быть аппроксимирована
функциями, {\it положительными на $(0,1)$}. Поэтому, хотя 
полученная локальная асимптотическая эффективность 
по-прежнему не достигается, для любого $\ep>0$ существуют 
распределения, для которых она достигается с точностью до 
$\ep$.
\medskip

В настоящей работе мы вычислим доступную локальную 
асимптотическую эффективность при альтернативе сдвига для 
статистик $\bar U^2_n$ и $S_{\infty,n}$. Соответствующая 
задача для $S_{p,n}$ при произвольном $p$, 
по-ви\-ди\-мо\-му, сколь-нибудь явно решена быть не может. 
Надежда на получение ответа есть лишь в случаях $p=1$ и 
$p=2$. 


\section{Статистика $\bar U^2_n$}
Мы ищем максимум в экстремальной задаче (\ref{prob1}) при 
дополнительном условии $u\ge0$. 


Пересечение единичного шара в пространстве Соболева 
${\stackrel{\circ}W\vphantom {W}\!\!^1_2}(0,1)$ с конусом 
$u\ge0$ слабо замкнуто в ${\stackrel{\circ}W\vphantom 
{W}\!\!^1_2}(0,1)$. Поэтому слабо непрерывный на 
${\stackrel{\circ}W\vphantom {W}\!\!^1_2}(0,1)$ функционал 
${\cal J}_1$  достигает на этом множестве наибольшего 
значения. Более того, ввиду однородности функционалов ${\cal 
I}$ и ${\cal J}_1$ можно заменить ограничение ${\cal 
I}[u]\le 1$ на ${\cal I}[u]=1$. 

Также ввиду однородности функционалов ${\cal I}$ и ${\cal 
J}_1$ можно рассмотреть равносильную задачу 
$$
{\cal P}_1[u]:=\frac {{\cal J}_1[u]}{{\cal I}[u]}\to \max; 
\qquad u\ge0;\quad u\not\equiv0;\quad u(0)=u(1)=0. 
$$

Необходимое условие максимума
\begin{equation}
 \label{neobh}
d{\cal P}_1[u]\eta=\frac {{\cal P}_1[u]}{{\cal I}[u]}\cdot 
\big({\cal P}_1[u]^{-1}\cdot d{\cal J}_1[u]\eta- d{\cal 
I}[u]\eta\big)\le0 
\end{equation}
для всех приращений $\eta\in{\stackrel{\circ}W\vphantom 
{W}\!\!^1_2}(0,1)$ таких, что $u+\eta\ge0$. 
Обозначим $\lambda^{-1}$ значение функционала ${\cal 
P}_1[u]$ на максимизирующей функции. 

Подсчитаем дифференциал:
\begin{multline*}
\frac 12 \,d(\lambda {\cal J}_1-{\cal 
I})[u]\eta=-\int\limits_0^1 u'(x)\eta'(x)\,dx\\ 
+\lambda
\int\limits_0^1\Big(\int\limits_0^x 
u(t)\,dt-x\int\limits_0^1 u(t)\,dt\Big)\Big(\int\limits_0^x 
\eta(t)\,dt-x\int\limits_0^1 \eta(t)\,dt\Big)\,dx\\ 
=\langle u'',\eta\rangle+\lambda
\int\limits_0^1 f_1(x)\eta(x)\,dx,
\end{multline*}
где $u''$ понимается в смысле обобщенных функций, и
$$
f_1(x)=\int\limits_x^1 (U(t)-tU(1))\,dt-\int\limits_0^1 
(tU(t)- t^2U(1))\,dt; 
$$
здесь и далее в этом параграфе
$$
U(x)=\int\limits_0^x u(t)\,dt.
$$
Для любой неотрицательной функции $\eta\in{\cal 
C}^\infty_0(0,1)$ имеем $u+\eta\ge0$ и, следовательно, 
$d{\cal P}_1[u]\eta\le0$, что дает $u''+\lambda f_1\le0$ 
в смысле обобщенных функций. Поэтому $u''$ есть мера 
(заряд), причем 
ее сингулярная часть неположительна. 

Множество, на котором $u>0$, представляет собой не более чем 
счетное объединение интервалов. На каждом из этих интервалов 
$I$ для любой $\eta\in{\cal C}^\infty_0(I)$ при достаточно 
малых $\alpha$ любого знака имеем $u+\alpha\eta\ge0$, и 
потому $d{\cal P}_1[u](\alpha\eta)\le0$ влечет  
$$
\langle u'',\eta\rangle+\lambda \int\limits_0^1 
f_1(x)\eta(x)\,dx=0 \qquad \Longrightarrow \qquad 
-u''=\lambda f_1 \quad \text{на}\quad I. 
$$
Таким образом, носитель сингулярной компоненты меры $u''$ 
содержится в множестве, на котором $u=0$. 

Покажем, что на самом деле сингулярной компоненты у $u''$ 
нет. Действительно, $u'$ как функция ограниченной вариации 
имеет в каждой точке левое и правое предельные значения. 
При этом, поскольку нуль -- минимальное значение $u$ на 
отрезке $[0,1]$, в каждой точке множества 
$\{u=0\}\cap(0,1)$ имеем $u'(x-)\le0$ и $u'(x+)\ge0$, откуда
$$
\int\limits_{\{u=0\}\cap(0,1)}du''\ge0.
$$
Таким образом, сингулярная компонента $u''$ может 
быть только положительной, что невозможно.

Итак, $u''$ регулярна и, следовательно, $u'$ непрерывна на 
$[0,1]$. Таким образом, на краях каждого интервала $I$, 
кроме условия $u=0$, имеем также $u'=0$ (за исключением, 
возможно, точек $0$ и $1$). 

Покажем, что число интервалов $I$ на самом деле конечно. 
Дифференцируя уравнение $-u''=\lambda f_1$, мы получаем 
\begin{equation}\label{equ3}
u'''(x)=\lambda\Big(\int\limits_0^x 
u(t)\,dt-x\int\limits_0^1 u(t)\,dt\Big). 
\end{equation}
Повторное дифференцирование дает
\begin{equation}\label{equ4}
 u^{IV}(x)=\lambda\Big(u(x)-\int\limits_0^1 u(t)\,dt\Big).
\end{equation}
Из сказанного выше следует, что на замыкании каждого 
интервала $I$, не примыкающего к точкам $0$ и $1$, функция 
$u'$ обращается в нуль не менее трех раз. По теореме Ролля 
$u''$ имеет не менее двух корней, а $u'''$ -- не менее 
одного.  

Далее, при фиксированном $\lambda$ из (\ref{equ4}) следует, 
что $u^{IV}$ равномерно ограничена на всех интервалах $I$. 
Отсюда получаем оценки на $I$ 
$$
|u'''(x)|\le c|I|; \qquad |u''(x)|\le c|I|^2; \qquad 
|u'(x)|\le c|I|^3; \qquad |u(x)|\le c|I|^4, 
$$
где $c$ не зависит от длины интервала.

Если длина интервала $I$ достаточно мала, то из (\ref{equ4}) 
следует, что $u^{IV}$ отрицательна на $I$. Но это означает, 
что $u''$ имеет ровно два корня и выпукла вверх на $I$, что 
противоречит неравенству $u>0$. Таким образом, длины 
интервалов $I$ ограничены снизу положительным числом, и их 
количество конечно. 

Поскольку $f_1$ непрерывна на $[0,1]$, можно считать, что 
$u''$ непрерывно продолжена на замыкание объединения всех 
интервалов $I$, на котором теперь выполнено уравнение 
$-u''=\lambda f_1$. Дополнение этого замыкания состоит из 
конечного числа интервалов, на которых $u''=0$, и таким 
образом $u''$ кусочно непрерывна на $[0,1]$. Отметим, что 
указанное дополнение непусто, поскольку в ином случае 
функция $u$ максимизировала бы функционал ${\cal P}_1[u]$ 
без ограничения $u\ge0$, что невозможно ввиду результата 
\cite{HN}.  


Рассмотрим теперь изолированный сегмент $[x_0,x_1]$, на 
котором выполнено уравнение, и сдвинем его на достаточно 
малое число $h$, оставив остальные сегменты на месте, так, 
чтобы этот сегмент по-прежнему оставался изолированным и не 
вышел за пределы отрезка $[0,1]$. Для полученной функции 
$u_h$ очевидно имеем ${\cal I}[u_h]={\cal I}[u]$, и  
\begin{equation}\label{conv}
\aligned
{\cal J}_1[u_h]= &\ 
\Big(\int\limits_{0}^{x_0}+\int\limits_{x_1}^{1}\Big)(U(x)-x 
U(1))^2\,dx+ \int\limits_{x_0}^{x_0+h} (U(x_0)-x 
U(1))^2\,dx\\ 
+ &\ \int\limits_{x_0+h}^{x_1+h} (U(x-h)-x 
U(1))^2\,dx-\int\limits_{x_1}^{x_1+h} (U(x_1)-x 
U(1))^2\,dx. 
\endaligned
\end{equation}
Сделав в предпоследнем интеграле в (\ref{conv}) замену 
$y=x-h$, легко видеть, что ${\cal J}_1[u_h]$ -- квадратный 
трехчлен от $h$, причем 
$$
\frac {d^2}{dh^2}{\cal 
J}_1[u_h]=2U(1)\big(U(x_1)-U(x_0)\big)>0. 
$$
Таким образом, сдвигая сегмент $[x_0,x_1]$ либо вправо, либо 
влево вплотную к краю или к соседнему сегменту, мы заведомо 
увеличиваем функционал ${\cal J}_1[u]$, а потому и ${\cal 
P}_1[u]$. 
\medskip

Итак, остается три варианта:

\begin{enumerate}
 \item $-u''=\lambda f_1$ на $[0,x_0]$ и $u=0$ на $[x_0,1]$;
 
 \item $-u''=\lambda f_1$ на $[x_1,1]$ и $u=0$ на $[0,x_1]$;
 
 \item $-u''=\lambda f_1$ на $[0,x_0]$ и на $[x_1,1]$, и 
$u=0$ на $[x_0, x_1]$. 
 
\end{enumerate}

Легко видеть, что замена $u(x)$ на $u(1-x)$ не меняет 
значения функционала ${\cal P}_1[u]$. Поэтому варианты 1 и 2 
эквивалентны. 

В варианте 1 из (\ref{equ3}) видно, что $u'''(0)=0$. Таким 
образом, на отрезке $[0,x_0]$ уравнение (\ref{equ4}) 
дополняется четырьмя краевыми условиями: 
\begin{equation}\label{bc}
u(0)=u(x_0)=0;\quad u'''(0)=0; \quad u'(x_0)=0.
\end{equation}

В варианте 3 на отрезке $[0,x_0]$ по-прежнему выполнено 
уравнение (\ref{equ4}) с краевыми условиями (\ref{bc}), а на 
отрезке $[x_1,1]$ -- то же уравнение с ``перевернутыми'' 
краевыми условиями 
$$
u(1)=u(x_1)=0;\quad u'''(1)=0; \quad u'(x_1)=0.
$$
Из симметрии получаем, что $x_1=1-x_0$, и $u(x)\equiv 
u(1-x)$, откуда $U(x)+U(1-x)\equiv U(1)$. 
Теперь прямой подсчет показывает, что для функции 
$v(x)=u(x/2)$, $x\in[0,1]$, справедливы соотношения 
$$
{\cal I}[v]=\frac 14 {\cal I}[u]; \qquad {\cal 
J}_1[v]=4{\cal J}_1[u], 
$$
и потому функция $u$ не дает максимума функционалу ${\cal 
P}_1$. Таким образом, осталось рассмотреть первый вариант. 
\medskip

Общее решение уравнения (\ref{equ4}) при положительных 
$\lambda$ 
\begin{equation}\label{sol}
u(x)=c_1\ch(kx)+c_2\sh(kx)+c_3\cos(kx)+c_4\sin(kx)+c_5, 
\qquad k^4=\lambda. 
\end{equation}
При фиксированных $k$ и $x_0$ граничные условия (\ref{bc}) 
дают четыре однородных уравнения на константы 
$c_1,\dots,c_5$. Еще одно уравнение получаем, подставляя 
(\ref{sol}) непосредственно в (\ref{equ4}):
$$
\int\limits_0^{x_0} u(t)\,dt\equiv\int\limits_0^1 
u(t)\,dt=c_5. 
$$
Условием существования нетривиального решения является 
равенство нулю определителя соответствующей 
$(5\times5)$-матрицы. Это дает 
\begin{equation}\label{det}
\sin\Big(\frac {kx_0}2\Big)\sh\Big(\frac 
{kx_0}2\Big)\cdot\Big[\th\Big(\frac 
{kx_0}2\Big)+\tg\Big(\frac {kx_0}2\Big) + k(1 - 
x_0)\Big]=0. 
\end{equation}
Решение $u(x)$ при этом определено с точностью до 
мультипликативной постоянной. 

Заметим теперь, что решение уравнения (\ref{equ4}) с 
граничным условием $u'''(0)=0$ автоматически удовлетворяет 
уравнению (\ref{equ3}). Для выполнения же исходного 
уравнения $-u''=\lambda f_1$ необходимо и достаточно, чтобы 
это уравнение выполнялось в какой-нибудь точке промежутка 
$[0,x_0]$. Например, равенство в точке $x_0$ имеет вид 
$$
-u''(x_0)=k^4\bigg[\Big(\frac 13-x_0+\frac 
{x_0^2}2\Big)\int\limits_0^{x_0} 
u(t)\,dt+\int\limits_0^{x_0} \frac {t^2}2\,u(t)\,dt\bigg], 
$$
или, после подстановки,
\begin{equation}\label{second}
\aligned
&\ (6 - 3 k^2 x_0^2)\tg\Big(\frac {kx_0}2\Big)-
(6 + 3k^2x_0^2) \th\Big(\frac {kx_0}2\Big)\\
+&\ k^3 (2 - 6 x_0 + 3 x_0^2 + x_0^3) - 6k(1 - 
x_0)\tg\Big(\frac {kx_0}2\Big)\th\Big(\frac {kx_0}2\Big)= 
0. 
\endaligned
\end{equation}

Нам нужно найти решение системы (\ref{det})-(\ref{second}) с 
наименьшим $k$. Для этого заметим, что при фиксированном 
$x_0<1$ выражение в квадратных скобках в (\ref{det}) 
является монотонной функцией $k$ на каждом интервале 
возрастания тангенса. В частности, наименьший корень 
уравнения (\ref{det}) удовлетворяет неравенству 
$\pi<kx_0<2\pi$. Обозначив $z=kx_0$, можно выразить $k$ 
через $z$: 
$$
k=z-\th\Big(\frac z2\Big)-\tg\Big(\frac z2\Big).
$$
Из $x_0<1$ выводим $k>z$, т.е. $\th\big(\frac 
z2\big)+\tg\big(\frac z2\big)<0$, что позволяет уточнить 
интервал для $z$: $\pi<z<z_0$, где $z_0\approx4.7300407$ -- 
корень уравнения $\th\big(\frac z2\big)+\tg\big(\frac 
z2\big)=0$ на интервале $(\pi,2\pi)$. 

Подставляя выражение для $k$ в (\ref{second}), получим после 
упрощения 
\begin{equation}\label{g}
g(z):=\th^3\Big(\frac z2\Big)+3\th\Big(\frac 
z2\Big)+\tg^3\Big(\frac z2\Big)-3\tg\Big(\frac z2\Big)=0. 
\end{equation}
Поскольку $\lim\limits_{z\to\pi+0}g(z)=-\infty$, 
$g(z_0)=6\th\big(\frac {z_0}2\big)>0$, и 
$$
g'(z)=\frac 32\Big[\tg^4\Big(\frac z2\Big)-\th^4\Big(\frac 
z2\Big)\Big]>0 \qquad \text{на}\quad (\pi,z_0), 
$$
уравнение (\ref{g}) имеет на интервале $(\pi,z_0)$ ровно 
один корень. Приближенное вычисление дает 
$\widehat z\approx4.00273$, $\widehat k\approx5.21579$ и 
$\widehat x_0\approx0.767426$. 

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[height=5cm]{First1.png}
 \caption{График максимизирующей функции в задаче 
(\ref{prob1})}
\label{Fig1}
\end{figure}


Несложно проверить, что соответствующее решение $u(x)$ 
положительно на интервале $(0,\widehat x_0)$. Отсюда видно, 
что $f_1(\widehat x_0)=- \lambda^{-1}u''(\widehat x_0)<0$. 
Поскольку на интервале $(\widehat x_0,1)$ имеем 
$f_1'(x)=U(1)(x-1)<0$, на этом интервале выполнено 
неравенство $\lambda f_1(x)<0=-u''(x)$. Таким образом, 
функция $u$ удовлетворяет необходимому условию максимума 
(см. рис. \ref{Fig1}). Поскольку $\lambda=\widehat k^4$ 
принимает наименьшее возможное значение, функция $u$ дает 
максимум функционалу ${\cal P}_1$ при заданных 
ограничениях, и максимальное значение равно $\widehat 
k^{-4}\approx0.0013512$. 
\medskip

Оптимальный локальный индекс для $\bar U^2_n$, вычисленный 
в \cite{HN}, равен $z_0^{-4}\approx0.0019977$. Таким 
образом, доступная локальная асимптотическая эффективность 
статистики  $\bar U^2_n$ при альтернативе сдвига составляет 
более $67\%$ от оптимальной.


\section{Статистика $S_{\infty,n}$}

Мы ищем максимум в экстремальной задаче
\begin{equation}
 \label{prob2}
 \aligned
{\cal J}_{2,\infty}[u]:= &\ 
\max\limits_{[0,1]}\Big(u(x)+\int\limits_0^x \frac 
{u(t)}{1-t}\,dt-x\int\limits_0^1 \frac 
{u(t)}{1-t}\,dt\Big)^2\to\max; 
\\
{\cal I}[u]= &\ \int\limits_0^1 (u'(x))^2\,dx\le1; 
\qquad u\ge0;\quad u(0)=u(1)=0.
\endaligned
\end{equation}
Аналогично предыдущему параграфу, заключаем, что функционал 
${\cal J}_{2,\infty}$ достигает наибольшего значения на 
множестве в ${\stackrel{\circ}W\vphantom {W}\!\!^1_2}(0,1)$, 
задаваемом ограничениями ${\cal I}[u]\le1$ и $u\ge0$. 
\medskip

Будем действовать в два этапа. Сначала найдем максимум 
вспомогательного функционала 
$$
\widetilde{\cal J}_{2,\infty}[u]= 
\Big(u(x_*)+\int\limits_0^{x_*} \frac 
{u(t)}{1-t}\,dt-x_*\int\limits_0^1 \frac 
{u(t)}{1-t}\,dt\Big)^2,  
$$
где $x_*\in(0,1)$ -- фиксированная точка.
Далее произведем максимизацию полученного результата по 
$x^*\in(0,1)$. 

Итак, пусть $x^*\in(0,1)$ задана. Аналогично (\ref{neobh}), 
необходимое условие максимума имеет вид
$$
\lambda d\widetilde{\cal J}_{2,\infty}[u]\eta-d{\cal 
I}[u]\eta\le0
$$
для всех приращений $\eta\in{\stackrel{\circ}W\vphantom 
{W}\!\!^1_2}(0,1)$ таких, что $u+\eta\ge0$. Здесь и далее 
$\lambda^{-1}$ --  значение функционала ${\cal 
P}_2[u]\equiv \widetilde{\cal J}_{2,\infty}[u]\big/{\cal 
I}[u]$ на максимизирующей функции. 


Прямой подсчет дает 
\begin{equation*}
\frac 12 \,d(\lambda \widetilde{\cal J}_{2,\infty}-{\cal 
I})[u]\eta=\langle u''+\lambda f_2,\eta\rangle, 
\end{equation*}
где $u''$ понимается в смысле обобщенных функций, а $f_2$ -- 
мера (заряд)
$$
f_2(x)=(v(x_*)-x_*v(1))\Big[\delta(x-x_*)+\frac 
1{1-x}\big(\chi_{[0,x_*]}(x)-x_*\big)\Big]; 
$$
здесь и далее
\begin{equation}
\label{Hm}
v(x)=u(x)+\int\limits_0^x \frac {u(t)}{1-t}\,dt
\end{equation}
-- преобразование Хмаладзе функции $u$ (см. \cite{Kh}).


Как и в предыдущей задаче, отсюда получаем, что 
$u''+\lambda f_2\le0$ в смысле обобщенных функций. Поэтому 
$u''$ есть мера (заряд), и ее сингулярная часть 
неположительна. Далее, на каждом интервале $I$ 
положительности $u$ имеем $-u''=\lambda f_2$.  

Обозначим $\mathscr{C}=\lambda(v(x_*)-x_*v(1))>0$. Тогда 
дословным повторением рассуждения из предыдущей задачи 
выводим, что $u''+\mathscr{C}\delta(\cdot-x_*)$ -- 
регулярная функция, $u'$ непрерывна на 
$[0,1]\setminus\{x_*\}$, и на краях каждого интервала $I$, 
кроме условия $u=0$, выполнено условие $u'=0$ (за 
исключением, возможно, точек $0$ и $1$). 
%Из формулы (\ref{Hm}) видно, что $v'$ также непрерывна на 
%$[0,1]$ и равна нулю на дополнении к объединению 
%интервалов $I$. 


Заметим теперь, что на интервале $I$, содержащем точку 
$x_*$, имеем 
\begin{equation}\label{equ}
u''(x)=\left\{
\begin{array}{rl}
-\dfrac{\mathscr{C}(1-x_*)}{1-x}<0, & x<x_*;\\
\\
\dfrac{\mathscr{C}x_*}{1-x}>0, & x>x_*.
\end{array}
\right.
\end{equation}
Поэтому на левом конце этого интервала условие $u'=0$ 
выполняться не может. Следовательно, этот интервал 
начинается от нуля. Тогда на любом другом интервале 
положительности $u$ мы имели бы $u''>0$, что невозможно. 
Таким образом, остается один вариант: 
\smallskip

$-u''=\lambda f_2$ на $[0,x_0]$ и $u=0$ на $[x_0,1]$.
\smallskip

При этом $x_*<x_0<1$, поскольку в ином случае функция $u$ 
максимизировала бы функционал ${\cal P}_2[u]$ без 
ограничения $u\ge0$, что невозможно ввиду результата 
\cite[\S 4.4]{P}.  


Общее решение уравнения (\ref{equ}) на $[0,x_0]$ имеет вид 
$$
u(x)=\left\{
\begin{array}{rl}
\mathscr{C}(1-x_*)(1-x)\ln\frac 1{1-x}+c_1x+c_2, & 
0<x<x_*;\\ 
\\
-\mathscr{C}x_*(1-x)\ln\frac 1{1-x}+c_3x+c_4, & x_*<x<x_0. 
\end{array}
\right.
$$
Это решение должно удовлетворять граничным условиям
$$
u(0)=u(x_0)=u'(x_0)=0
$$
и условиям сопряжения в точке $x_*$
$$
u(x_*-0)=u(x_*+0);\qquad u'(x_*-0)=u'(x_*+0)+\mathscr{C}.
$$
(первое из них обеспечивает непрерывность $u$, второе 
контролирует коэффициент при $\delta(x-x_*)$).  

Это дает $5$ однородных уравнений на $\mathscr{C}$ и 
$c_1$--$c_4$. Равенство нулю соответствующего определителя 
дает 
\begin{equation}\label{x0x*}
x_0+\ln(1-x_0)=\ln(1-x_*)/x_*. 
\end{equation}
При этом $c_1$--$c_4$ явно выражаются через $\mathscr{C}$, и 
таким образом решение $u(x)$ определено с точностью до 
мультипликативной постоянной. 


Переходя ко второму этапу, мы максимизируем по $x_*$ 
функцию 
$$
\lambda^{-1}=\mathscr{C}^{-1}\bigg(
u(x_*)+\int\limits_0^{x_*} \frac 
{u(t)}{1-t}\,dt-x_*\int\limits_0^{x_0} \frac 
{u(t)}{1-t}\,dt\bigg), 
$$
где $x_0$ определяется по $x_*$ из уравнения (\ref{x0x*}), а 
 $u$ -- полученное на первом этапе решение. После некоторых 
упрощений это приводит к задаче 
$$
x_*-2x_*^2+x_*^2x_0^2 \to\max
$$
при условии (\ref{x0x*}).

В Приложении 2 показано, что эта задача имеет единственную 
критическую точку -- глобальный максимум. Приближенное 
вычисление дает $\widehat x_*\approx0.4310514$, $\widehat 
x_0\approx0.88889$. Очевидно, что соответствующее решение 
$u(x)$ положительно на интервале $(0,x_0)$. Далее, на 
интервале $(\widehat x_0,1)$ выполнено неравенство $\lambda 
f_2(x)<0=-u''(x)$. Таким образом, функция $u$ дает максимум 
функционалу ${\cal P}_2$ при заданных ограничениях (см. 
рис.~\ref{Fig2}), и максимальное значение равно $\widehat 
x_*-2\widehat x_*^2+\widehat x_*^2\widehat 
x_0^2\approx0.20625$. 

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[height=5cm]{Second1.png}
 \caption{График максимизирующей функции в задаче 
(\ref{prob2})}
\label{Fig2}
\end{figure}


Оптимальный локальный индекс для $S_{\infty,n}$, 
вычисленный в \cite{P}, равен $0.25$. Таким образом, 
доступная локальная асимптотическая эффективность 
статистики  $S_{\infty,n}$ при альтернативе сдвига 
составляет более $82\%$ от оптимальной.



\section*{Приложения}

{\bf 1}. Покажем, что в задаче (\ref{prob-p}) 
максимизирующая функция знакопеременна. Хорошо известно, что 
преобразование Хмаладзе (\ref{Hm}) изометрично отображает 
${\stackrel{\circ}W\vphantom {W}\!\!^1_2}(0,1)$ на 
пространство  
$$
W^1_{2,0}(0,1)=\big\{ v\in W^1_2(0,1) \,\big|\, v(0)=0\big\}.
$$
Действительно, интегрирование по частям с учетом граничных 
условий дает 
$$
\int\limits_0^1(v'){}^2(x)\,dx= 
\int\limits_0^1\Big[(u'){}^2(x)+\frac {2u'(x)u(x)}{1-x}+ 
\frac 
{u^2(x)}{(1-x)^2}\Big]\,dx=\int\limits_0^1(u'){}^2(x)\,dx, 
$$
и задачу (\ref{prob-p}) можно записать в терминах функции 
$v$: 
$$
\int\limits_0^1 (v'(x))^2\,dx\le 1; \quad v(0)=0;%\\
\quad\bigg[\int\limits_0^1|v(x)-xv(1)|^pdx\bigg]^{\frac 
2p}\to\max. 
$$
Обозначим $w(x)=v(x)-xv(1)$. Тогда задача (\ref{prob-p}) 
переписывается так: 
$$
\int\limits_0^1 (w'(x)+a)^2\,dx\le 1; \quad w(0)=w(1)=0;
\quad\bigg[\int\limits_0^1|w(x)|^pdx\bigg]^{\frac 
2p}\to\max, 
$$
где $a=v(1)$. В силу граничных условий 
$$
\int\limits_0^1 (w'(x)+a)^2\,dx=\int\limits_0^1 
\big((w'(x))^2+a^2\big)\,dx, 
$$
Поэтому для максимизирующей функции $a=0$, и $v=w$.

Полученная экстремальная задача для $v=w$ хорошо известна 
(см., напр., \cite[\S2.6]{Nik}; более подробно история 
вопроса изложена в недавнем обзоре \cite{NS}). Максимум в 
ней достигается на функции (выражаемой в квадратурах), 
четной относительно точки $x=\frac 12$ и выпуклой вверх на 
интервале $(0,1)$.  

Применим теперь обратное преобразование Хмаладзе 
\begin{equation}
\label{obrat-Hm}
u(x)=(1-x)\int\limits_0^x \frac {v'(t)}{1-t}\,dt.
\end{equation}
Не умаляя общности, будем считать $v>0$. Тогда $v'(t)>0$ при 
$t<\frac 12$, и $u>0$ в окрестности нуля. Но поскольку 
$v'(t)<0$ при $t>\frac 12$, и интеграл в (\ref{obrat-Hm}) 
расходится (логарифмически) при $x\to1$, получим $u(x)<0$ в 
окрестности точки $x=1$, и утверждение доказано. 
\medskip



{\bf 2}. Мы ищем максимум функции
$$
F(x,y):=x-2x^2+x^2y^2, \qquad x,y\in[0,1],
$$
при условии
\begin{equation}\label{A1}
G(x,y):=y+\ln(1-y)-\frac {\ln(1-x)}x=0.
\end{equation}
Легко видеть, что при всех $x\in[0,1)$ уравнение (\ref{A1}) 
имеет единственное решение $y=\tilde y(x)\in[0,1]$. Более 
того, $\tilde y(x)$ -- возрастающая функция, $\tilde 
y(x)>0.84$ и $\lim\limits_{x\to1}\tilde y(x)=1$.  

По теореме Эйлера необходимое условие экстремума имеет вид 
$$
\nabla F(x,y)\parallel \nabla G(x,y),
$$
что сводится к уравнению
\begin{equation}\label{A2}
 D(x,y):=\frac 
1{1-y}-\frac{4x}{1-y}+\frac{2x}{1-x}+\frac{2xy^2}{1-y}
+2\ln(1-x)=0. 
\end{equation}
\smallskip

{\bf Лемма}.
{\it Система уравнений (\ref{A1})--(\ref{A2}) имеет в 
области $(0,1)\times(0,1)$ единственное решение} (см. рис. 
\ref{Fig3}). 
\medskip

{\it Доказательство}. Легко видеть, что 
$\partial^2_{yy}D(x,y)>0$. Далее,  
$$
D(0,y)>0;\qquad D(0.5,y)<0;\qquad 
\lim\limits_{x\to1}D(x,y)=+\infty. 
$$
Поэтому при любом $y\in(0,1)$ уравнение (\ref{A2}) имеет 
ровно два решения. Обозначим их $\hat x_1(y)\in(0,0.5)$ и 
$\hat x_2(y)\in(0.5,1)$. Несложно видеть, что 
$\lim\limits_{y\to1}\hat x_2(y)=1$. 

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[height=6.5cm]{Thickness1.png}
 \caption{Решения уравнений (\ref{A1}) (жирная линия) и 
(\ref{A2}) (тонкая линия)}
\label{Fig3}
\end{figure}


Покажем, что кривые $y=\tilde y(x)$ и $x=\hat x_2(y)$ не 
имеют пересечений внутри квадрата. Действительно, рассмотрим 
прямую $x=2y-1$. Имеем 
$$
D(2y-1,y)=4-2y-4y^2+2\ln(2-2y)<0 \qquad \mbox{при} \quad 
0.7<y<1, 
$$
и потому $\hat x_2(y)>2y-1$ при $0.7<y<1$. В то же время 
$$
G(2y-1,y)=y+\ln(2-2y)/(1-2y)+\ln(1-y)>0 \qquad \mbox{при} 
\quad 0<y<1, 
$$
поэтому $2\tilde y(x)-1>x$, и утверждение доказано.

Рассмотрим теперь ветку $x=\hat x_1(y)$. Она имеет хотя бы 
одно пересечение с кривой $y=\tilde y(x)$. 
Поскольку $D(0.4,y)>0$ при $y\in(0.84,1)$, имеем $\hat 
x_1(y)\in(0.4,0.5)$ при $y\in(0.84,1)$. Далее, $G(0.5,y)<0$ 
при $y\in(0.9,1)$, и потому $\tilde y(x)\in(0.84,0.9)$ при 
$x<0.5$. Наконец, $D(0.45,y)<0$ при $y\in(0.84,0.9)$, 
поэтому $\hat x_1(y)\in(0.4,0.45)$ при $y\in(0.84,0.9)$. 
Итак, мы показали, что точка пересечения кривых $y=\tilde 
y(x)$ и $x=\hat x_1(y)$ не может лежать вне прямоугольника 
$\Delta=(0.4,0.45)\times(0.84,0.9)$. 

Дифференцируя неявную функцию $\tilde y(x)$, получаем
\begin{equation}\label{A3}
\tilde y'(x)=\frac 
{(1-y)(x+(1-x)\ln(1-x))}{(1-x)x^2y}\,\bigg|_{y=\tilde 
y(x)}. 
\end{equation}
Обозначим $G_1(x,y)$ функцию, стоящую в правой части 
(\ref{A3}). Несложно убедиться, что $G_1(x,y)$ в 
прямоугольнике $\Delta$ убывает по $y$ и возрастает по $x$. 
Поэтому в пределах прямоугольника $\Delta$ имеем  
$$
\tilde y'(x)<G_1(0.45,0.84)<0.2.
$$
Аналогично, дифференцируя неявную функцию $\hat x_1(y)$, 
получаем 
\begin{equation}\label{A4}
\hat x_1'(y)=\frac {(1-x)^2(1-4x+4xy-2xy^2)}
{2(1-y)(2-5x+2x^2+xy-(1-x)^2 y^2)}\,\bigg|_{x=\hat 
x_1(y)}. 
\end{equation}
Обозначим $D_1(x,y)$ функцию, стоящую в правой части 
(\ref{A4}). Несложно убедиться, что $D_1(x,y)$ в 
прямоугольнике $\Delta$ убывает по $x$ и возрастает по $y$. 
Поэтому в пределах прямоугольника $\Delta$ имеем  
$$
\hat x_1'(y)<D_1(0.4,0.9)<0.9.
$$
Из полученных неравенств следует, что точка пересечения 
единственная. Лемма доказана.\hfill$\square$\medskip 

Поскольку $F(0,y)\equiv0$ и $F(1,1)=0$, найденное решение 
системы (\ref{A1})--(\ref{A2}) является точкой максимума. 






\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{De}
P. Deheuvels, {\em Invariance of Wiener processes and of 
Brownian bridges by integral transforms and applications}, 
Stochastic Processes and their Applications, {\bf 13} 
(1982), N3, 311-318.  

\bibitem{HN}
N. Henze and Ya.Yu. Nikitin, {\em Watson-Type
 Goodness-of-Fit Tests Based on the Integrated Empirical 
Process}, Mathematical Methods of Statistics, January 2002. 

\bibitem{Kh}
Э.В. Хмаладзе, {\em Мартингальный подход в теории 
непараметрических критериев согласия}, Теория вероятн. и ее 
примен., {\bf 26} (1981), N2, 246-265. 

\bibitem{KO} G. Kallianpur, H. Oodaira, Freidlin--Wentzell 
type estimates for abstract Wiener spaces. Sankhy\={a}: The 
Indian Journal of Statistics, Series A, {\bf 40} (1978), 
N2, 116--137.


\bibitem{NS} A.I. Nazarov, A.P. Shcheglova, {\em 
Steklov-type 1D inequalities (a survey)}, Preprint available 
at https://arxiv.org/abs/2101.10752. 13p.  

\bibitem{Nik} Я.Ю. Никитин, {\em Асимптотическая 
эффективность непараметрических критериев}, М., Физматлит, 
1995. 

\bibitem{P}
О.А. Подкорытова, {\em Бахадуровская эффективность 
непараметрических критериев согласия, основанных на 
преобразованных эмпирических процессах}, Дисс. \dots 
к.ф.м.н., СПбГУ, СПб, 1994.  
 
\end{thebibliography}


\end{document}  

