\documentclass[12pt]{article}

\newcommand{\RomanNumeralCaps}[1]
    {\MakeUppercase{\romannumeral #1}}
    
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[letterpaper,top=2cm,bottom=2cm,left=3cm,right=3cm,marginparwidth=1.75cm]{geometry}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[colorlinks=true, allcolors=blue]{hyperref}
%\usepackage[notcite,notref]{showkeys}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}{Лемма}[section]
\newtheorem{prop}{Предложение}[section]


\input mathsoc.sty
\def\submitted{6.05.2024}

\title{Задача Робена для квазилинейных уравнений\\ с критическим ростом правой части}
\author{Д.В. Быстров\footnote{Санкт-Петербургский госуниверситет}, 
\setcounter{footnote}{6}
А.И. Назаров\footnote{ПОМИ РАН и Санкт-Петербургский госуниверситет}}

%\addto\captionsrussian{\def\refname{Список используемой литературы}}

\begin{document}

\PutMathSocLogo

\maketitle

\section{Введение}

Краевые задачи для уравнений с критическим ростом правой части изучаются уже более полувека, начиная с пионерской работы С.И. Похожаева \cite{Pokh65}, который, в частности, показал, что задача Дирихле
\begin{equation} \label{Pokhozh}
-\Delta u=u^{q-1} \ \ \mbox{в}\ \ \Omega,\qquad u|_{\partial\Omega}=0 
\end{equation}
(здесь и далее $\Omega \subset \mathbb{R}^n$, $n\geq 3$, -- ограниченная область со строго липшицевой границей) имеет положительное решение с наименьшей энергией, если $1<q<2^*:=\frac{2n}{n-2}$, $q\ne2$, и не имеет положительных решений, если $q\ge 2^*$, а $\Omega$ -- строго звездная область.

Подчеркнем, что несуществование решения (и, следовательно, недостижимость минимума соответствующего функционала энергии) весьма чувствительно к слабым возмущениям исходной задачи. Впервые этот эффект был открыт в знаменитой работе Х. Брезиса и Л. Ниренберга \cite{BN83}, где было показано, что задача
\begin{equation} \label{BrezNir}
-\Delta u-\alpha u=u^{2^*-1} \ \ \mbox{в}\ \ \Omega,\qquad u|_{\partial\Omega}=0 
\end{equation}
имеет положительное решение с наименьшей энергией при сколь угодно малом положительном значении параметра возмущения\footnote{Этот эффект является нелинейным аналогом виртуального уровня, хорошо известного в спектральной теории.} $\alpha$, если размерность $n\ge4$. Заметим, что при отрицательных $\alpha$ ситуация с разрешимостью задачи (\ref{BrezNir}) такая же, как для задачи (\ref{Pokhozh}).

Решения с наименьшей энергией для задачи Неймана
\begin{equation} \label{Wang}
-\Delta u+u=u^{2^*-1} \ \ \mbox{в}\ \ \Omega,\qquad \partial_{\bf n}u|_{\partial\Omega}=0 
\end{equation}
изучались в работах \cite{AM91} и \cite{Wang91}. Оказалось, что, в отличие от задачи Дирихле, такое решение существует\footnote{Задача (\ref{Wang}) имеет очевидное решение $u\equiv 1$. Однако, как показано в \cite[Предложение 3.1]{NS}, если область достаточно велика, то константа не является решением с наименьшей энергией.} в любой области с границей класса ${\cal C}^2$.

Перечисленные результаты в дальнейшем обобщались на уравнения с $p$-лапласи\-аном и другими операторами в главной части, а также на уравнения на многообразиях (см., например, обзор \cite{Naz08} и приведенную там библиографию).

Вопрос о разрешимости задачи Робэна
\begin{equation} \label{Wang-Robin}
-\Delta u=u^{2^*-1} \ \ \mbox{в}\ \ \Omega,\qquad (\partial_{\bf n}u+\alpha u)|_{\partial\Omega}=0 
\end{equation}
также обсуждался в статье \cite{Wang91}. Именно, было показано, что если $\partial\Omega\in{\cal C}^1$, и существует точка $x^0\in\partial\Omega$ (не умаляя общности, можно считать ее началом координат), такая, что в некоторой окрестности $x^0$ область задается неравенством 
\begin{equation} \label{Wang-nonsmooth}
x_n>a|x'|^{1+\gamma}(1+o(1)), \qquad a>0, \quad 0<\gamma<1
\end{equation}
(здесь и далее $x=(x_1,\dots,x_n)=(x',x_n)$), то задача (\ref{Wang-Robin}) имеет (положительное) решение с наименьшей энергией при любом положительном $\alpha$.

Заметим, что условие (\ref{Wang-nonsmooth}) исключает возможность $\partial\Omega\in{\cal C}^2$, поскольку кривизна границы в начале координат бесконечна. В то же время, как показано в теореме 4.2 \cite{Wang91}, задача (\ref{Wang-Robin}) в единичном шаре имеет {\bf радиальное} решение тогда и только тогда, когда $\alpha<n-2$.
\medskip

В настоящей статье мы рассмотрим обобщение задачи (\ref{Wang-Robin}) для квазилинейных уравнений -- задачу Робэна
\begin{equation}\label{p-Robin}
-\Delta_p u=u^{p^*-1} \ \ \mbox{в}\ \ \Omega,\qquad (|\nabla u|^{p-2}\partial_{\bf n}u+u^{p-1})|_{\partial\Omega}=0. 
\end{equation}
Здесь $\Delta_pu:={\rm div} (|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$ -- оператор $p$-лапласиана, $1<p<n$, $p^*:=\frac {pn}{n-p}$ -- предельный показатель вложения пространства Соболева $W^1_p(\Omega)$ в пространство Лебега.

Мы будем считать, что $\partial\Omega\in{\cal C}^2$, если не оговорено противное, и введем семейство сжатых/растянутых областей\footnote{Заметим, что преобразование $u(x)\mapsto \alpha^{\frac{2-n}2}u(\alpha^{-1} x)$ переводит (\ref{Wang-Robin}) в аналогичную задачу в области $\Omega_{\alpha}$ с заменой $\alpha\mapsto 1$ в граничном условии.\label{dilation}}
$$
\Omega_R=\{x\in\mathbb R^n \ |\ x/R\in\Omega\}.
$$

Определим {\bf функционал энергии} для задачи (\ref{p-Robin}):
\begin{equation}\label{energy}
    {\cal E}[u]=\frac {\int\limits_\Omega |\nabla u(x)|^p\,dx+\int\limits_{\partial \Omega}|u(x)|^p\,dS_x}{\Big(\int\limits_\Omega |u(x)|^{p^*} dx\Big)^{\frac p{p^*}}}=: \frac {\pmb\|u\pmb\|^p_{p\phantom{L}}}{\|u\|^p_{L_{p^*}}}.
\end{equation}
Заметим, что норма $\pmb\|u\pmb\|_p$ эквивалентна стандартной норме в пространстве $W^1_p(\Omega)$. Из теоремы вложения Соболева заключаем, что
\begin{equation}\label{inf}
\lambda(p,\Omega):=\inf\limits_{v\in W^1_p(\Omega) \setminus \{0\}}{\cal E}[v]>0.
\end{equation}
Следующее утверждение достаточно стандартно. Для удобства читателя мы приводим его с доказательством.

\begin{lemma}\label{inf-sol}
    Если инфимум в (\ref{inf}) достигается, то задача (\ref{p-Robin}) имеет слабое положительное решение.
\end{lemma}

\begin{proof}
Легко видеть, что если $u$ -- минимайзер в (\ref{inf}), то функция $|u|$ также является минимайзером. Поэтому можно, не умаляя общности, считать $u\ge0$. Далее, необходимое условие экстремума (уравнение Эйлера и естественное граничное условие) для неотрицательных функций совпадает с (\ref{p-Robin}) после подходящей перенормировки (т.е. умножения $u$ на некоторую константу). Поэтому $u$ --  слабое решение задачи (\ref{p-Robin}). Более того, поскольку $u$ -- супер-$p$-гармоническая функция, то она не может обращаться в нуль внутри $\Omega$ (см. \cite{Tr}). Наконец, $u$ не может обратиться в нуль и в точках границы ввиду леммы о нормальной производной (см. \cite{Tolk83}).
%P. Tolksdorf. On the Dirichlet problem for quasilinear equations in domains with conical boundary points. Commun. Partial Differ. Equ., 8(7):773–817, 1983.
\end{proof}

Решение, построенное в лемме \ref{inf-sol}, мы будем называть {\bf решением с наименьшей энергией}.
\medskip

Обозначим $K(n,p)$ точную константу в неравенстве Соболева (см. \cite{Aub, Tal}):
\begin{equation}\label{Sobolev}
K(n,p)=\sup\limits_{v \in \mathcal{C}^{\infty}_0 \setminus \{0\}} \frac{\| v \|_{L_{p^*}}}{\|\nabla v \|_{L_p}}
=
\omega_{n-1}^{-\frac{1}{n}} n^{-\frac{1}{p}} \left( \frac{p-1}{n-p}\right)^{\frac{1}{p'}} \mathcal{B}\left( \frac{n}{p}, \frac{n}{p'} + 1 \right)^{-\frac{1}{n}},
\end{equation}
где $\omega_{n-1}=\frac {2\pi^{\frac n2}}{\Gamma(\frac n2)}$ -- площадь единичной сферы в $\mathbb R^n$, $p'=\frac p{p-1}$ -- сопряженный к $p$ показатель, а $\mathcal{B}$ -- бета-функция Эйлера. Отметим, что супремум в (\ref{Sobolev}) достигается только на {\bf нефинитных} радиально симметричных функциях
\begin{equation}\label{talenti-fun}
 w_{\varepsilon}(|x|)\equiv w_{\varepsilon}(r):=\Big(\varepsilon+r^{p'}\Big)^{1-\frac{n}{p}}, 
\qquad \varepsilon>0,
\end{equation} 
и на функциях, получаемых из них сдвигами и гомотетиями.

Ключевую роль в доказательстве существования решения задачи (\ref{p-Robin}) с наименьшей энергией играет следующее утверждение. Доказательство его аналогично \cite[Следствие 2.1]{LPT} и \cite[Предложение 1.1]{DN} и приводится для удобства читателя.

\begin{prop}\label{prop2} Пусть $\Omega$ -- ограниченная область в ${\mathbb R}^n$, и $\partial\Omega\in {\mathcal C}^2$. Пусть инфимум в (\ref{inf}) удовлетворяет условию 
\begin{equation}\label{lambda<}
\lambda(p,\Omega)<\frac {2^{-\frac pn}}{K^p(n,p)}.
\end{equation}
Тогда этот инфимум достигается.
\end{prop}

\begin{proof}
Рассмотрим нормированную в $L_{p^*}(\Omega)$ минимизирующую последовательность $\{v_k\}$. Не умаляя общности, можно считать, что $v_k\rightharpoondown v$ в 
$W^1_p(\Omega)$. Согласно теореме Лионса (\cite{Ls}, часть 1; см. также 
\cite[Лемма 2.2]{LPT}), 
$$|v_k|^{p^*}\rightharpoondown |v|^{p^*}+\sum\limits_j
c_j\delta(x-x_j), \qquad |\nabla v_k|^p\rightharpoondown |\nabla v|^p+ 
\sum\limits_jC_j\delta(x-x_j)
$$
(сходимость в пространстве мер на $\overline\Omega$), где $\{x_j\}$ -- не более чем счетный набор точек в $\overline\Omega$, $c_j$ и $C_j$ -- положительные константы. 

Поскольку $\{v_k\}$ -- минимизирующая последовательность, дословно повторяя доказательство теоремы 2.2 \cite{LPT}, получим альтернативу: либо функция $v$ реализует минимум в (\ref{inf}) (при этом множество $\{x_j\}$ пусто), либо $v=0$, а набор $\{x_j\}$ состоит из одной точки $x_0\in\partial\Omega$, причем $c_0=1$ и $C_0=\lambda(p,\Omega)$.

Во втором случае, домножая функции $v_k$ на подходящую срезку с достаточно малым носителем и учитывая, что гладкая область в малой окрестности $x_0$ аппроксимируется полупространством, заключаем, что $\lambda(p,\Omega)=\frac {2^{-\frac pn}}{K^p(n,p)}$. По условию это невозможно, что и 
доказывает требуемое утверждение.
\end{proof}

Таким образом, для доказательства достижимости инфимума в (\ref{inf}) достаточно предъявить функцию, энергия которой меньше $\frac {2^{-\frac pn}}{K^p(n,p)}$. Следуя \cite{LPT} и \cite{DN}, мы строим ее (при некоторых условиях на показатель $p$) в виде функции с малым носителем, имитирующей поведение функции $w_{\varepsilon}(r)$. 

Опишем структуру нашей статьи. \S2 посвящен построению решения с наименьшей энергией задачи (\ref{p-Robin}). В \S3 рассматривается аналогичная задача на многообразии с краем. В \S4 собраны вспомогательные оценки интегралов.

Запись $o_{\rho}(1)$ означает величину, стремящуюся к 
нулю при $\rho\to0$. Все положительные константы, значение которых для нас несущественно, обозначаются буквой $C$. Зависимость этих констант от параметров отмечается в скобках.


\section{Задача (\ref{p-Robin}) в области \texorpdfstring{$\Omega\subset \mathbb R^n$}{}}

Следующий простой результат справедлив в любой размерности $n\ge2$ (ср. \cite[Теорема 1.1]{NS}).

\begin{theorem}\label{Lipschitz}
    Пусть $1<p<n$, и $\Omega$ -- произвольная ограниченная область со строго липшицевой границей. Тогда задача (\ref{p-Robin}) имеет решение с наименьшей энергией в области $\Omega_R$ при всех достаточно малых $R$.
\end{theorem}

\begin{proof} 
    Из доказательства предложения \ref{prop2} видно, что нам достаточно исключить возможность концентрации минимизирующей последовательности $|v_k|^{p^*}\rightharpoondown \delta(x-x_0)$. Но касательный конус к $\Omega_R$ в точке $x_0$ не зависит от $R$, и потому в случае концентрации $\lambda(p,\Omega_R)=\lim\limits_k {\cal E}[v_k]$ также не зависит от $R$. С другой стороны, для функции $c\equiv1$ имеем
$$
{\cal E}[c]=\frac {|\partial\Omega_R|}{|\Omega_R|^{\frac p{p^*}}} =\frac {|\partial\Omega|\,R^{n-1}}{(|\Omega|\,R^n)^{\frac p{p^*}}}= {\rm const}\cdot R^{p-1}.
$$    
Поэтому при достаточно малых $R$ концентрация невозможна, и инфимум в (\ref{inf}) достигается. Из леммы \ref{inf-sol} следует утверждение теоремы.
\end{proof}

\begin{theorem} \label{p>2} 
Пусть $n\geq 4$ и $\partial \Omega \in \mathcal{C}^2$. Тогда существует $\beta>0$ такое, что при $2<p<\frac {n+1}2+\beta$ задача (\ref{p-Robin}) имеет решение с наименьшей энергией в $\Omega$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Рассмотрим шар наименьшего радиуса, содержащий $\Omega$. Пусть 
$x_0\in\partial\Omega$ -- одна из точек касания с этим шаром. Тогда все главные кривизны $\partial\Omega$ в точке $x_0$ положительны, и потому средняя кривизна $H(x_0)$ положительна.

Для функции $u$, определенной в (\ref{cut-talenti-fun}),  из 
(\ref{nabla u^p}), (\ref{F}) и (\ref{u^p,n>3}) получаем
$$ 
\pmb\|u\pmb\|^p_p\leq \left\{
\begin{array}{ll}
\varepsilon^{1-\frac{n}{p}}\Big[E_1\,
- E_2\,(H(x_0)+o_{\rho}(1))
\varepsilon^{\frac{1}{p'}} +
E_3\,\varepsilon^{\frac{p-1}{p'}}\Big] + C(\rho), 
 & 2<p<\frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}; \\
\varepsilon^{1-\frac{n}{p}}\Big[E_1\,
- E_2\,(H(x_0)+o_{\rho}(1))
\varepsilon^{\frac{1\vphantom{^1}}{p'}}\Big] +C\ln(\varepsilon^{-1}) + C(\rho), 
& p=\frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}; \\
\varepsilon^{1-\frac{n}{p}}\Big[E_1
- E_2\,(H(x_0)+o_{\rho}(1))
\varepsilon^{\frac{1\vphantom{^1}}{p'}}\Big] + C(\rho),
& \frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}<p<\frac{n+1}{2}; \\
E_1\,\varepsilon^{1-\frac{n\vphantom{^1}}{p}}-C\ (H(x_0)+o_{\rho}(1))
\ln(\varepsilon^{-1}) + C(\rho),
    & p=\frac{n+1}{2}. \\
\end{array}\right. 
$$
При $2<p<\frac{n+1}{2}$ отсюда с 
учетом (\ref{u^p*}) получаем 
$$
{\cal E}[u]\leq
\frac {E_1}{D_1^{p/p^*}}\left[1+\left(\frac{p}{p^*}\,
\frac {D_2}{D_1}-\frac {E_2}{E_1}\right)
\,(H(x_0)+o_{\rho}(1)+o_\varepsilon(1))\,\varepsilon^{\frac{1}{p'}}
\right].
$$
Прямой подсчет показывает, что при $p<\frac {n+1}2$
\begin{equation*}
\label{eq-const-d}
\frac {p}{p^*}\,\frac {D_2}{D_1}-\frac {E_2}{E_1}=
-\frac{2p}{n}\,\frac {\omega_{n-2}}{\omega_{n-1}}\cdot
\frac {\mathcal {B}\left(\frac {n+1}{p'},\frac {n+1}{p}-2\right)}
{\mathcal {B}\left(\frac {n}{p'},\frac {n}{p}-1\right)}<0. 
\end{equation*}
Поэтому для достаточно малых $\varepsilon$ и $\rho$ получаем
\begin{equation}
\label{E<}
{\cal E}[u]<\frac 
{E_1}{D_1^{p/p^*}}=\frac {2^{-\frac pn}}{K^p(n,p)}.
\end{equation}

При $p=\frac{n+1}{2}$ для достаточно малых $\varepsilon$ и $\rho$ также 
получим (\ref{E<}). Из соображений непрерывности при некотором $\beta>0$ и $p<\frac{n+1}{2}+\beta$ имеем
$\lambda(p,\Omega)<\frac {2^{-\frac pn}}{K^p(n,p)}$.

Применение предложения \ref{prop2} и леммы \ref{inf-sol} заканчивает доказательство.    
\end{proof}

{\bf Гипотеза 1}. Пусть $n\ge3$, $\partial\Omega\in{\cal C}^2$, $\frac{n+1}2<p<n$. Тогда существует $R^*>0$, 
такое, что при $R>R^*$ задача (\ref{p-Robin}) не имеет решения с наименьшей энергией в области $\Omega_R$.\medskip

При $p=2$ формулы (\ref{nabla u^p}) и (\ref{u^p,n>3}) показывают, что первая поправка в градиентном члене и добавка от граничного члена в ${\cal E}[u]$ имеют одинаковый порядок. Следующая теорема уточняет результат теоремы \ref{Lipschitz} для гладкой области.

\begin{theorem} \label{p=2} 
Пусть $n\geq 3$ и $\partial \Omega \in \mathcal{C}^2$. Пусть на $\partial\Omega$ найдется точка $x_0$, такая, что $H(x_0)> \frac 2{n-2}$. Тогда задача (\ref{p-Robin}) с $p=2$ имеет решение с наименьшей энергией в $\Omega$.
\end{theorem}

\begin{proof}
    Пусть $n\ge4$. Тогда формулы (\ref{nabla u^p}), (\ref{u^p*}) и (\ref{u^p,n>3}) дают
$$
{\cal E}[u]\leq
\frac {E_1}{D_1^{\frac{n-2}n}}\left[1+\varepsilon^{\frac{1}{2}}\left(\Big(\frac{n-2}{n}\,
\frac {D_2}{D_1}-\frac {E_2}{E_1}\Big)
\,H(x_0)+\frac{E_3}{E_1}+o_{\rho}(1)
+o_\varepsilon(1)\right)\right].
$$
Прямой подсчет показывает, что при $p=2$ и $H(x_0)> \frac 2{n-2}$
\begin{multline*}
\Big(\frac{n-2}{n}\,
\frac {D_2}{D_1}-\frac {E_2}{E_1}\Big)
\,H(x_0)+\frac{E_3}{E_1}
\\
< \frac {\omega_{n-2}}{\omega_{n-1}}\left(-\frac{8}{n(n-2)}\cdot
\frac {\mathcal {B}\left(\frac {n+1}2,\frac {n-3}2\right)}
{\mathcal {B}\left(\frac {n}2,\frac {n-2}2\right)}+\frac{2}{(n-2)^2}\cdot\frac {\mathcal {B}\left(\frac {n-1}2,\frac {n-3}2\right)}
{\mathcal {B}\left(\frac {n+2}2,\frac {n-2}2\right)}\right)=0. 
\end{multline*}
Поэтому для достаточно малых $\varepsilon$ и $\rho$ получаем
\begin{equation}
\label{E<<}
{\cal E}[u]<\frac 
{E_1}{D_1^{\frac{n-2}{n}}}=\frac {2^{-\frac 2n}}{K^2(n,2)}.
\end{equation}

Если же $n=3$, то формулы (\ref{nabla u^p}), (\ref{F}) и (\ref{u^p,n=3}) дают
\begin{multline*}
\pmb\|u\pmb\|^2_2\leq E_1\varepsilon^{-\frac 12}-\pi (H(x_0)+o_\rho(1))\int\limits_0^{\frac{\rho}{2} \varepsilon^{-\frac 12}}
\frac{t^5\,dt}{(1+t^2)^3}+\ln(\varepsilon^{-1}) \cdot(\pi+o_\rho(1))+C(\rho)\\
\leq E_1\varepsilon^{-\frac 12}+\pi \ln(\varepsilon^{-1}) (1-\frac 12 H(x_0)+o_\rho(1))+C(\rho).
\end{multline*}
С учетом (\ref{u^p*}), при $H(x_0)> \frac 2{n-2}=2$ для достаточно малых $\varepsilon$ и $\rho$ вновь получаем (\ref{E<<}). Применение предложения \ref{prop2} и леммы \ref{inf-sol} заканчивает доказательство.  
\end{proof}

Сравним результат теоремы \ref{p=2} с примером из теоремы 4.2 \cite{Wang91}. Как указано во введении, задача (\ref{Wang-Robin}) в единичном шаре имеет радиальное решение тогда и только тогда, когда $\alpha<n-2$.
Согласно замечанию \ref{dilation}, задача 
\begin{equation} \label{2-Robin}
-\Delta {\bf u}={\bf u}^{2^*-1} \ \ \mbox{в}\ \ B_R,\qquad (\partial_{\bf n}{\bf u}+{\bf u})|_{\partial B_R}=0 
\end{equation}
имеет радиальное решение в шаре $B_R$ тогда и только тогда, когда $R<n-2$. В то же время условие теоремы \ref{p=2} дает $R<\frac{n-2}2$. Однако мы покажем, что при $R>\frac{n-2}2$ радиальное решение не является решением с наименьшей энергией.

Решение, построенное в \cite{Wang91}, равно ${\bf u}(x)=Cw_\varepsilon(x)$, где функция $w_\varepsilon$ определена в (\ref{talenti-fun}) с $p=2$,  $\varepsilon=R(n-2-R)$, а $C$ -- подходящим образом выбранная константа. Из леммы 2.3 \cite{GNN} видно, что любое положительное радиальное решение задачи (\ref{2-Robin}) совпадает с $\bf u$.

\begin{theorem}
    При $\frac{n-2}2<R<n-2$ справедливо неравенство ${\cal E}[{\bf u}]>\frac {2^{-\frac 2n}}{K^2(n,2)}$ и, следовательно, $\bf u$ не является решением с наименьшей энергией задачи (\ref{2-Robin}).
\end{theorem}

\begin{proof}
Записав интегралы в сферических координатах и сделав замену переменной $r^2=\varepsilon t$, получим
$$
\aligned
\int\limits_{B_R} |\nabla {\bf u}(x)|^2\,dx &= C^2(n-2)^2\omega_{n-1} \int\limits_0^R \frac {r^{n+1}\,dr}{(\varepsilon+r^2)^n}=C^2\,\frac {(n-2)^2\omega_{n-1}}{2\varepsilon^{\frac n2 -1}} \int\limits_0^{R^2\varepsilon^{-1}} \frac {t^{\frac n2}\,dt}{(1+t)^n};\\
\int\limits_{\partial B_R} |{\bf u}(x)|^2\,dS_x &= C^2\omega_{n-1}\,\frac {R^{n-1}}{(\varepsilon+R^2)^{n-2}};\\
\int\limits_{B_R} |{\bf u}(x)|^{2^*}dx &= C^{2^*}\omega_{n-1} \int\limits_0^R \frac {r^{n-1}\,dr}{(\varepsilon+r^2)^n}= C^{2^*}\,\frac {\omega_{n-1}}{2\varepsilon^{\frac n2}} \int\limits_0^{R^2\varepsilon^{-1}} \frac {t^{\frac n2-1}\,dt}{(1+t)^n}.
\endaligned
$$
Согласно формуле 2.111.2 \cite{GR},
$$
\int\limits_0^{R^2\varepsilon^{-1}} \frac {t^{\frac n2}\,dt}{(1+t)^n}=-\,\frac 2{n-2}\frac {t^{\frac n2}}{(1+t)^{n-1}}\,\bigg|^{t=R^2\varepsilon^{-1}}+ \frac {n}{n-2} \int\limits_0^{R^2\varepsilon^{-1}} \frac {t^{\frac n2-1}\,dt}{(1+t)^n}.
$$
Поскольку $\varepsilon=R(n-2-R)$, подстановка сокращается с интегралом по $\partial B_R$, и мы получаем
$$
\aligned
\pmb\|{\bf u}\pmb\|^2_2 &=C^2\,\frac {n(n-2)\omega_{n-1}}{2\varepsilon^{\frac n2 -1}} \int\limits_0^{R^2\varepsilon^{-1}} \frac {t^{\frac n2-1}\,dt}{(1+t)^n};\\
{\cal E}[{\bf u}] &= n(n-2)\bigg(\frac {\omega_{n-1}}2 \int\limits_0^{R^2\varepsilon^{-1}} \frac {t^{\frac n2-1}\,dt}{(1+t)^n}\bigg)^{\frac 2n}.
\endaligned
$$
Очевидно, что $R^2\varepsilon^{-1}=\frac R{n-2-R}$ -- возрастающая функция $R$. Поэтому ${\cal E}[{\bf u}]$ -- также возрастающая функция от радиуса, и остается показать, что при $R=\frac {n-2}2$ получается равенство ${\cal E}[{\bf u}]=\frac {2^{-\frac 2n}}{K^2(n,2)}$.

Из формулы (\ref{Sobolev}) видно, что это равенство равносильно
$$
\int\limits_0^1 \frac {t^{\frac n2-1}\,dt}{(1+t)^n} = \mathcal{B}\left(\frac{n}{2},\frac{n}{2}+1 \right).
$$
Замена переменной $t=\tg^2(\frac \varphi2)$ дает
$$
\int\limits_0^1 \frac {t^{\frac n2-1}\,dt}{(1+t)^n} = \frac{1}{2^{n-1}}\int\limits_0^{\frac \pi2}
\sin^{n-1}(\varphi)\,d\varphi= \frac 1{2^n}\,\mathcal{B}\Big(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\Big)
$$
(последнее равенство см. формулу 8.380.2 \cite{GR}), а равенство $\frac 1{2^n}\mathcal{B}\big(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\big)=\mathcal{B}\left(\frac{n}{2},\frac{n}{2}+1 \right)$ следует из формулы удвоения Лежандра для $\Gamma$-функции (формула 8.335.1 \cite{GR}). 
\end{proof}

{\bf Гипотеза 2}. При $R\leq\frac{n-2}{2}$ функция $\bf u$ является решением с наименьшей энергией задачи (\ref{2-Robin}), а при $R>\frac{n-2}{2}$  решения с наименьшей энергией у этой задачи не существует.


\section{Задача (\ref{p-Robin}) на многообразии с краем}

В этом параграфе $\Omega$ -- гладкое компактное $n$-мерное риманово многообразие со строго липшицевым краем, с метрикой $g$ (в дальнейшем слова ``гладкое'', ``компактное''  и ``риманово'' будут опускаться). Соответственно, $\Omega_R$ -- ``гомотетичный образ'' $\Omega$ с метрикой $g_R=R^2g$. 

Аналогично случаю области в $\mathbb R^n$, условие (\ref{lambda<}) обеспечивает достижимость инфимума функционала энергии (\ref{energy}) и, таким образом, существование решения задачи (\ref{p-Robin}) с наименьшей энергией.

Доказательство следующей теоремы дословно повторяет доказательства теорем \ref{Lipschitz} и \ref{p>2}.
\begin{theorem}\label{Lipschitz-man}
    {\bf А}. Пусть $n\ge2$, $1<p<n$, и $\Omega$ -- произвольное многообразие со строго липшицевым краем. Тогда задача (\ref{p-Robin}) имеет решение с наименьшей энергией в $\Omega_R$ при всех достаточно малых $R$.

    {\bf Б}. Пусть $n\geq 4$, $\partial \Omega \in \mathcal{C}^2$, и на $\partial\Omega$ найдется точка $x_0$, такая, что $H(x_0)> 0$. Тогда существует $\beta>0$ такое, что при $2<p<\frac {n+1}2+\beta$ задача (\ref{p-Robin}) имеет решение с наименьшей энергией в $\Omega$.
\end{theorem}

Теорема \ref{p=2} также справедлива для многообразий.
\medskip

Случай, когда средняя кривизна $\partial\Omega$ всюду неположительна, более сложен. Мы рассмотрим его на примере полусферы. Аналогичный результат можно получить для любого многообразия, край которого является вполне геодезическим подмногообразием, если на $\partial\Omega$ найдется точка, в которой скалярная кривизна $\Omega$ положительна (ср. \cite[Theorem 1]{NR}).

\begin{theorem} \label{p>3} 
Пусть $n\geq 8$, и $\Omega$ -- $n$-мерная полусфера. Тогда существует $\beta>0$ такое, что при $3<p<\frac {n+2}3+\beta$ задача (\ref{p-Robin}) имеет решение с наименьшей энергией в $\Omega$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $x_0\in\partial\Omega$. Для функции $u$, определенной формулой (\ref{cut-talenti-fun}) с $r=dist(x,x_0)$,  из 
(\ref{nabla u^p for manifold}), (\ref{tildeF}) и (\ref{u^p,n>3}) получаем
$$ 
\pmb\|u\pmb\|^p_p\leq \left\{
\begin{array}{ll}
\varepsilon^{1-\frac{n}{p}}\Big[E_1\,
- \widetilde{E}_2\,({\cal R}_g +o_{\rho}(1))
\varepsilon^{\frac{2}{p'}} +
E_3\,\varepsilon^{\frac{p-1}{p'}}\Big] + C(\rho), 
 & 3<p<\frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}; \\
\varepsilon^{1-\frac{n}{p}}\Big[E_1\,
- \widetilde{E}_2\,({\cal R}_g +o_{\rho}(1))
\varepsilon^{\frac{2\vphantom{^1}}{p'}}\Big] +C\ln(\varepsilon^{-1}) + C(\rho), 
& p=\frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}; \\
\varepsilon^{1-\frac{n}{p}}\Big[E_1
- \widetilde{E}_2\,({\cal R}_g +o_{\rho}(1))
\varepsilon^{\frac{2\vphantom{^1}}{p'}}\Big] + C(\rho),
& \frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}<p<\frac{n+2}{3}; \\
E_1\,\varepsilon^{1-\frac{n\vphantom{^1}}{p}}-C\ ({\cal R}_g +o_{\rho}(1))
\ln(\varepsilon^{-1}) + C(\rho),
    & p=\frac{n+2}{3}. \\
\end{array}\right. 
$$
При $3<p<\frac{n+2}{3}$ отсюда с 
учетом (\ref{u^p* for manifold}) получаем 
$$
{\cal E}[u]\leq
\frac {E_1}{D_1^{p/p^*}}\left[1+\left(\frac{p}{p^*}\,
\frac {\widetilde{D}_2}{D_1}-\frac {\widetilde{E}_2}{E_1}\right)
\,({\cal R}_g +o_{\rho}(1)+o_\varepsilon(1))\,\varepsilon^{\frac{2}{p'}}
\right].
$$
Прямой подсчет показывает, что при $p<\frac{n+2}{3}$ 
\begin{equation*}
\label{eq-const-m}
\frac{p}{p^*}\,\frac{\widetilde{D}_2}{D_1}-\frac{\widetilde{E}_2}{E_1}
=-\frac {p}{2n^2}\cdot\frac 
{{\mathcal B}\left(\frac {n+2}{p'}, \frac {n+2}{p}-3\right)}
{{\mathcal B}\left(\frac {n}{p'}, \frac {n}{p}-1\right)}<0.
\end{equation*}
Поэтому для достаточно малых $\varepsilon$ и $\rho$ получаем
(\ref{E<}).

При $p=\frac{n+2}{3}$ для достаточно малых $\varepsilon$ и $\rho$ также получим (\ref{E<}). Из соображений непрерывности при некотором $\beta>0$ и 
$p<\frac{n+2}{3}+\beta$ имеем 
$\lambda(p,\Omega)<\frac {2^{-\frac pn}}{K^p(n,p)}$.
Применение Предложения \ref{prop2} и леммы \ref{inf-sol} заканчивает доказательство.    
\end{proof}

{\bf Гипотеза 3}. Пусть $n\ge7$ и $\frac{n+2}3<p<n$. Тогда существует $R^*>0$, такое, что при $R>R^*$ задача (\ref{p-Robin}) не имеет решения с наименьшей энергией на полусфере с радиусом $R$.\medskip

Следующая теорема уточняет результат части {\bf A} теоремы \ref{Lipschitz-man} для $p=3$ на полусфере.

\begin{theorem} \label{p=3} 
Пусть $n\geq 7$, и радиус $R$ $n$-мерной полусферы $\Omega$ удовлетворяет неравенству $R^2<\frac{\omega_{n-1}}{\omega_{n-2}}\frac{(n-1)(2n+1)(n-3)^2}{72(n-2)}$. Тогда задача (\ref{p-Robin}) с $p=3$ имеет решение с наименьшей энергией в $\Omega$.
\end{theorem}

\begin{proof} Аналогично теореме \ref{p=2}, с использованием при $n\geq 8$ формул (\ref{nabla u^p for manifold}), (\ref{u^p* for manifold}) и (\ref{u^p,n>3}), а при $n=7$ -- (\ref{nabla u^p for manifold}), (\ref{u^p* for manifold}), (\ref{tildeF}) и (\ref{u^p,n=7 for manifolds}). 
\end{proof}

\section{Вспомогательные вычисления}

\subsection{Оценки для области \texorpdfstring{$\Omega\subset \mathbb R^n$}{}}

Пусть $\Omega \subset\mathbb{R}^n$ -- ограниченная область, $\partial \Omega \in \mathcal{C}^2$, и $x_0 \in \partial \Omega$. Введём функцию 
\begin{equation} \label{cut-talenti-fun}
    u(x):=u(r):=\varphi(r) w_{\varepsilon} (r),
\end{equation}
где $r:=|x-x_0|$,  $w_\varepsilon$ определена в (\ref{talenti-fun}), а $\varphi(r)$ -- гладкая срезающая функция
\begin{equation*}
    \varphi(r)
=
    \begin{cases}
        = 1, & \text{для } r\leq \frac{\rho}{2};\\
        \leq 1, & \text{для } \frac{\rho}{2} \leq r\leq \rho;\\
        = 0, & \text{для } r \geq \rho.
    \end{cases}
\end{equation*}

Следующие оценки получены в \cite{DN}\footnote{Подчеркнем, что наши обозначения отличаются от принятых в \cite{DN}.}:
\begin{equation}\label{nabla u^p}
    \int\limits_{\Omega} 
    | \nabla u|^p \,dx\leq
\left\{
    \begin{array}{ll}
E_1 \varepsilon^{1-\frac{n}{p}}
- E_2(H(x_0) + o_\rho(1))\varepsilon^{1-\frac{n}{p} +\frac{1}{p'}}
+ C\rho^{\frac{p-n}{p-1}},
&  \text{если } p<\frac{n+1}{2};
    \\
E_1 \varepsilon^{1-\frac{n}{p}}
- (H(x_0) + o_\rho(1)) F(\varepsilon)
+ C\rho^{\frac{p-n\vphantom{^1}}{p-1}},
&  \text{если } p=\frac{n+1}{2};
    \end{array}
    \right.
\end{equation}
\begin{equation} \label{u^p*}
    \int\limits_{\Omega} 
    |u|^{p^*} dx\geq
D_1 \varepsilon^{-\frac{n}{p}}
- D_2 (H(x_0) + o_\rho(1))\varepsilon^{-\frac{n}{p} + \frac{1}{p'}}
- C \rho^{-\frac{n}{p-1}},
\end{equation}
где $H(x_0)$ -- средняя кривизна $\partial \Omega$ в точке $x_0$ (все кривизны мы считаем относительно внутренней нормали),
\begin{equation} \label{E_1}
    E_1=
    \frac{\omega_{n-1}}{2p'}
    \left( \frac{n-p}{p-1} \right)^p
    \mathcal{B}
    \left(\frac{n}{p'} + 1, \frac{n}{p} -1 \right),
\end{equation}
\begin{equation*} \label{E_2}
    E_2=
    \frac{\omega_{n-2}}{2 p'}
    \left( \frac{n-p}{p-1} \right)^p
    \mathcal{B}
    \left(\frac{n+1}{p'} + 1, \frac{n+1}{p} - 2 \right),
\end{equation*}
\begin{equation} \label{F}
    F(\varepsilon)=
    \frac{\omega_{n-2}}{2}
    \int\limits_0^{\frac{\rho}{2} \varepsilon^{-\frac{n-1}{n+1}}}
    \frac{t^{\frac{n^2+1}{n-1}}\,dt}{\big(1+t^{\frac{n+1}{n-1}}\big)^n}\ge C\ln(\varepsilon^{-1});
\end{equation}
\begin{equation} \label{D_1}
    D_1=
    \frac{\omega_{n-1}}{2p'}\,
    \mathcal{B}
    \left(\frac{n}{p'}, \frac{n}{p}\right),
\end{equation}
\begin{equation*} \label{D_2}
    D_2=
    \frac{\omega_{n-2}}{2 p'}\,
    \mathcal{B}
    \left(\frac{n+1}{p'}, \frac{n+1}{p} - 1\right).
\end{equation*}

Теперь оценим
\begin{multline}\label{u^p}
    \int\limits_{\partial \Omega} |u|^p\,dS_x
\leq
    \int\limits_{\partial \Omega \cap \{r<\rho\}} \frac{dS_x}{(\varepsilon+r^{p'})^{n-p}}
=
    \omega_{n-2}\int\limits_0^\rho \frac{r^{n-2}\,dr}{\left(\varepsilon+r^{p'}\right)^{n-p}} 
    \cdot(1+o_\rho(1))
\\
= 
    \omega_{n-2} \varepsilon^{1-\frac{n}{p}+\frac{p-1}{p'}}
    \int\limits_0^{\rho\varepsilon^{-\frac 1{p'}}} \frac{t^{n-2}\,dt}{\left(1+t^{p'}\right)^{n-p}} \cdot(1+o_\rho(1)). 
\end{multline}
Заметим, что при $p>\frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}$ (т.е. при $p'(n-p)<n-1$) предпоследний интеграл в (\ref{u^p}) ограничен равномерно по $\varepsilon$, а при $p<\frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}$ равномерно ограничен (т.е. сходится на полуоси) последний интеграл. 

При $n\ge 4$ справедливы неравенства $2<\frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}<\frac{n+1}2$. Поэтому
\begin{equation} \label{u^p,n>3}
    \int\limits_{\partial \Omega} |u|^p\,dS_x
    \leq
    \left\{
\begin{array}{ll}
    E_3\varepsilon^{1-\frac{n}{p}+\frac{p-1}{p'}} \cdot(1+o_\rho(1)),
    & \text{если } p<\frac{1+\sqrt{4n-3}}{2\vphantom{_1}};
    \\
    C\ln(\varepsilon^{-1}), & \text{если } p=\frac{1+\sqrt{4n-3}\vphantom{^{1^1}}}{2\vphantom{_1}};
    \\
    C, & \text{если } p>\frac{1+\sqrt{4n-3}\vphantom{^{1^1}}}{2}, \\
    \end{array}
    \right.
\end{equation}
где
\begin{equation} \label{E_3}
    E_3=\frac{\omega_{n-2}}{p'}\,
    \mathcal{B}
    \left(\frac{n-1}{p'}, \frac{n}{p}-1-\frac{p-1}{p'}\right).
\end{equation}
При  $n=3$ имеем $2=\frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}=\frac{n+1}2$, и
\begin{equation} \label{u^p,n=3}
    \int\limits_{\partial \Omega} |u|^2\,dS_x
    \leq
    2\pi \int\limits_{0}^{\rho \varepsilon^{-\frac{1}{2}}}
    \frac{t\,dt}{1+t^2}\cdot(1+o_\rho(1))
    \leq
    \ln(\varepsilon^{-1})\cdot(\pi+o_\rho(1)).
\end{equation}


\subsection{Оценки для полусферы}

Пусть $\Omega$ -- $n$-мерная полусфера с радиусом $R$, и $x_0 \in \partial \Omega$. Обозначим $r=dist(x,x_0)$ и введём функцию $u$ по формуле (\ref{cut-talenti-fun}). Следующие оценки получены в \cite{DN}\footnote{В \cite{DN} оценивались интегралы по геодезическому шару, поэтому все коэффициенты отличаются от наших множителем $2$.}:
\begin{equation} \label{nabla u^p for manifold}
    \int\limits_{\Omega} |\nabla u|^p\,dx
\leq
    \begin{cases}
    E_1 \varepsilon^{1-\frac{n}{p}}
    - \widetilde{E}_2 ({\cal R}_g + o_\rho(1))
    \varepsilon^{1-\frac{n}{p} + \frac{2}{p'}}
    + C \rho^{\frac{p-n}{p-1}},
    & \text{если } p<\frac{n+2}{3};
    \\
    E_1 \varepsilon^{1-\frac{n}{p}}
    - ({\cal R}_g + o_\rho(1))
    \widetilde{F}(\varepsilon)
    + C \rho^{\frac{p-n}{p-1}},
    & \text{если } p=\frac{n+2}{3};
    \end{cases}
\end{equation}
\begin{equation} \label{u^p* for manifold}
    \int\limits_{\Omega} |u|^{p^*} dx
\geq
    D_1 \varepsilon^{-\frac{n}{p}}
    - \widetilde{D}_2 ({\cal R}_g + o_\rho(1))
    \varepsilon^{-\frac{n}{p} + \frac{2}{p'}}
    - C \rho^{-\frac{n}{p-1}},
\end{equation}
где $E_1$ и $D_1$ определены в (\ref{E_1}), (\ref{D_1}) соответственно, ${\cal R}_g=n(n-1)R^{-2}$ -- скалярная кривизна сферы, и
\begin{equation*} \label{tildeE_2}
    \widetilde{E}_2 =
    \frac{\omega_{n-1}}{12np'}
    \left( \frac{n-p}{p-1} \right)^p
    \mathcal{B}
    \left(\frac{n+2}{p'} + 1,
        \frac{n+2}{p} - 3\right),
\end{equation*}
\begin{equation} \label{tildeF}
    \widetilde{F}(\varepsilon)=
    \frac{2^{\frac{n-4}{3}}\omega_{n-1}}{3n}
    \int\limits_0^{\frac{\rho}{2} \varepsilon^{-\frac{n-1}{n+2}}}
    \frac{t^{\frac{n^2+n+1}{n-1}}dt}{\big(1+t^{\frac{n+2}{n-1}}\big)^n}
    \geq
    C \ln(\varepsilon^{-1}),
\end{equation}
\begin{equation*} \label{tildeD_2}
    \widetilde{D}_2 =
    \frac{\omega_{n-1}}{12n p'}\,
    \mathcal{B}
    \left(\frac{n+2}{p'},
        \frac{n+2}{p} - 2\right).
\end{equation*}

При $n\geq 8$ справедливы соотношения $3<\frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}<\frac{n+2}{3}$, поэтому для оценки интеграла по $\partial\Omega$ мы можем воспользоваться формулами (\ref{u^p,n>3}) и (\ref{E_3}).

При  $n=7$ имеем $3=\frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}=\frac{n+2}{3}$, и
\begin{equation} \label{u^p,n=7 for manifolds}
    \int\limits_{\partial \Omega} |u|^3\,dS_x
    \leq
    \omega_5
    \int\limits_{0}^{\rho \varepsilon^{-\frac{2}{3}}}
    \frac{t^5}{(1+t^{\frac{3}{2}})^4}\,dt \cdot(1+o_\rho(1)).
\end{equation}
%\newpage

%\small

\begin{thebibliography}{12}

\bibitem{AM91} 
Adimurthi, G. Mancini, \textit{The Neumann problem for elliptic equations with critical nonlinearity}, Nonlinear Analysis, Sc. Norm. Super. di Pisa Quaderni (1991), 9--25. 

\bibitem{Aub} 
Т. Aubin, \textit{Problèmes isopérimétriques et espaces de Sobolev}, J. Diff. Geom. \textbf{11} (1976), 573--598.

\bibitem{BN83} 
H. Brezis, L. Nirenberg, \textit{Positive Solutions of Nonlinear Elliptic Equations Involving Critical Sobolev Exponents}, Comm. Pure Appl. Math. \textbf{36} (1983), 437--477.

\bibitem{DN} 
А.В. Демьянов, А.И. Назаров, \textit{О существовании экстремальной функции в теоремах вложения Соболева с предельным показателем}, {Алгебра и анализ} \textbf{17} (2005), no. 5, 105–-140.

\bibitem{GNN} 
B. Gidas, W.-M. Ni, L. Nirenberg, \textit{Symmetry and Related Properties via the Maximum Principle}, Comm. Math. Phys. {\bf 68} (1979), 209--243. 

\bibitem{GR}
И.С. Градштейн, И.М. Рыжик, \textit{Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений}, Изд.~{\bf 5}, М.: Наука, 1971.


\bibitem{Ls} 
P.-L. Lions, \textit{The concentration-compactness principle in the Calculus of Variations. 
The limit case}, Rev. Mat. Iberoam. {\bf 1} (1985), 45--121, 145--201.

\bibitem{LPT} 
P.-L. Lions, F. Pacella, M. Tricarico, \textit{Best constants in Sobolev inequalities for functions vanishing on some part of the boundary and related questions}, Indiana Univ. Math. J. \textbf{37} (1988), no. 2, 301--324. 

\bibitem{Naz08} 
A.I. Nazarov, \textit{Dirichlet and Neumann problems to critical Emden–Fowler type equations}, J. Global Optim. \textbf{40} (2008), 289–-303.

\bibitem{NR}
A.I. Nazarov, A.B. Reznikov, \textit{Attainability of infima in the critical Sobolev trace embedding theorem on manifolds}, AMS Transl. Series 2. \textbf{229} (2010), 197–-210.

\bibitem{NS} 
А.И. Назаров, А.П. Щеглова, \textit{О некоторых свойствах 
экстремали в вариационной задаче, порожденной теоремой вложения Соболева}, Нелин. задачи и теория функций (ПМА. Вып.\textbf{27}). Нов., Т. Рожковская (2004), 109--136.

\bibitem{Pokh65} 
С.И. Похожаев, \textit{О собственных функциях уравнения $\Delta u + \lambda f(u) = 0$}, Докл. АН СССР \textbf{165} (1965), no. 1, 36–-39.

\bibitem{Tal} 
G. Talenti, \textit{Best constant in Sobolev inequality}, Ann. Mat. Pura Appl. \textbf{110} (1976), 353--372.

\bibitem{Tolk83} 
P. Tolksdorf, \textit{On the Dirichlet problem for Quasilinear Equations in Domains with Conical Boundary Points}, Comm. PDE. \textbf{8} (1983), no. 7, 773–-817.

\bibitem{Tr} 
N.S. Trudinger, \textit{On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations}, Comm. Pure Appl. Math. \textbf{20} (1967), 721--747.

\bibitem{Wang91} 
X.J. Wang, \textit{Neumann problems of semilinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents}, J. Diff. Eqs. \textbf{93} (1991), no. 2, 283--310. 

\end{thebibliography}

%\section{Список литературы}
%\begin{enumerate}
    
%\end{enumerate}


\end{document}

