На заседании выступили:

• Г.И.Синкевич (СПбГАСУ). Научная биография Вейерштрасса.

  Видео

• В.М.Тихомиров (Москва). О математическом творчестве Карла Вейерштрасса

  Вейерштрасс и теория вещественного числа, зарождение общей топологии, начала математического анализа, комплексный анализ, теория эллиптических функций, теория чисел, вариационное исчисление. Размышления Вейерштрасса о математике и математической жизни.

  Видео

На заседании выступили:

• Н.С. Ермолаева (СПбГАСУ). Осип (Иосиф) Иванович Сомов: жизнь и творчество глазами его брата.

  Видео

• И.Е. Лопатухина (СПбГУ). О научной и педагогической деятельности И. И. Сомова.

  Видео

• Г.А. Кутеева (СПбГУ). Плакаты Сомова.

  Видео

• М.М. Воронина (ПГУПС). Работа Сомова в Институте инженеров путей сообщения.

  Видео

См. аннотации докладов на сайте объявлений Петербургского семинара по истории математики

На заседании выступили В.М. Бабич, Б.М. Каштан, М.Я. Пратусевич, А.М. Самсонов.
Видео

На заседании выступили В.М. Рябов, Л.А. Сулягина, А.М. Вершик, С.Ю. Пилюгин, А.В. Соколова. Были воспроизведены записи выступлений В.П. Хавина, В.А. Плисса и Л.Я. Адриановой.
Видео

А.И. Назаров, В.М. Рябов, Л.А. Сулягина, А.М. Вершик, С.Ю. Пилюгин, А.В. Соколова, И.В. Лозинская

Tracing the development of the subject from Chern's early work through his work with me, my work with Cheeger on ordinary differential cohomology, and my later work with Sullivan on uniqueness and extraordinary differential cohomology.

For the past 50 years it has been understood that from the topological point of view dimensions 3 and 4 are special, and especially difficult to understand.

It has also become clear over this period of time that ideas and techniques from geometry, from geometric analysis, and from theoretical physics have proved crucial in advancing our understanding of topological phenomena in these exceptional dimensions. It has also become clear that, while there is a natural interaction between the phenomena in these dimensions and some common sources of invariants, the natures of their topology are very different. This talk will give an overview of the state of knowledge in these two exceptional dimensions, summarize the ideas and techniques that have proven useful in their study, and discuss major open questions.

Колмогоровская (логарифмическая) сложность объекта (числа/текста/кода/вычислимой функции) определяется как длина кратчайшего описания этого объекта. Ни существование и единственность (с определенной точностью), ни невычислимость этой замечательной функции, введенной в 1950-60 годы, не являются интуитивно очевидными.

В докладе было рассказано о двух независимых контекстах, в которых сложность появляется в вероятностных распределениях, связанных с информатикой, подобно тому, как энергия фигурирует в физических статсуммах. Эти контексты – закон Ципфа и асимптотическая граница для кодов, исправляющих ошибки.

Слайды выступления
Видео

Было рассказано о центрах математической жизни города – Независимый, Стекловка, ИППИ, факультет математики ВШЭ, мех-мат МГУ, МЦНМО, концентрируясь на Независимом Университете и Вышке. Откуда берутся деньги на математику, как они добываются и распределяются, и как устроены многочисленные конкурсы для молодежи.

На заседании выступили Т.А. Суслина, А.М. Вершик, Д.Р. Яфаев, Н.Н. Уральцева, Н.Д. Филонов.

Видео

Понятие ориентированной теории когомологий было перенесено в алгебраический контекст И.Паниным и А.Смирновым и, независимо, М.Левинем и Ф.Морелем. Ориентация может быть задана при помощи выбора характеристических классов векторных расслоений: классов Тома, задающих изоморфизмы Тома, или же классов Черна, гарантирующих выполнение теоремы о проективизированном расслоении. Эти классы оказываются мощным техническим средством, позволяющим проводить единообразные вычисления для различных ориентированных теорий когомологий, в частности, для алгебраической K-теории, мотивных когомологий, алгебраических MGL кобордизмов.

В классическом контексте, помимо классов Черна комплексных векторных расслоений, можно определить классы Понтрягина вещественных расслоений и классы Эйлера для ориентированных расслоений. Оказывается, что алгебраические аналоги классов Понтрягина можно построить воспользовавшись симплектическими классами Бореля, а ориентированные расслоения в алгебраическом контексте заменяются на расслоения со структурной группой SL_n. По аналогии с конструкцией Панина-Смирнова можно определить понятие SL-ориентированной теории когомологий, имеющий классы Тома для расслоений со структурной группой SL_n и, как следствие, классы Эйлера и Понтрягина. Эти характеристические классы позволяют получить ряд интересных результатов как в общей ситуации, так и для конкретных теорий когомологий, в частности, для производных групп Витта.

В докладе был сделан обзор недавних результатов о точной асимптотике и теорем сравнения для вероятностей малых уклонений гауссовских процессов в весовых L₂-нормах.

Архивные исследования последних лет позволили восстановить раннюю биографию и историю семьи Георга Кантора (1845-1918). Три поколения его семьи жили в Петербурге и были тесно связаны с его культурой, наукой и торговлей. Почему Екатерина II, Павел I и Александр I покровительствовали семье? Члены этой семьи – придворные, купцы, музыканты, профессора, художники – создавали культуру Петербурга XIX века.

Георг Кантор родился и вырос в доме на 11 линии Васильевского острова, ходил в школу на Невском проспекте. О прекрасном Петербурге он часто вспоминал в Германии, в Россию хотел уехать в конце своей жизни.

В 1870-е годы над проблемой арифметизации континуума работали крупнейшие математики – К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд, Э. Гейне, Г. Шварц, Ш. Мере, У. Дини, но построить целостную теорию смог только Георг Кантор. Наш рассказ и о том, как сложилась его научная жизнь в Германии.

Электронная версия монографии Г.И.Синкевич Георг Кантор & польская школа теории множеств .

На заседании выступили А.М.Вершик, Ю.Д.Бураго, А.Л.Вернер, В.П.Одинец, А.И.Назаров, С.С.Кутателадзе, продемонстрирована видеозапись воспоминаний В.А.Залгаллера 1999 г..
Премии общества «Молодому математику» за 2012 год вручены А.С.Ананьевскому и Р.С.Пусеву.

Нынешний год — год столетия со дня рождения Алана Матисона Тьюринга. Наряду с привнесением революционных идей в информатику, искусственный интеллект и биологию, Тьюринг внес существенный вклад и в такой традиционный раздел математики, как теория чисел. К сожалению, даже о сaмом существовании таких исследований Тьюринга за пределами круга теоретико-числовиков известно немногим.

Все опубликованные Тьюрингом работы по теории чисел связаны с одним, но фундаментальным вопросом этой области математики — распределением простых чисел. В частности, Тьюринг предложил метод для проверки справедливости гипотезы Римана для начальных нулей дзета функции Римана. Этот метод остается основным и при всех современных вычислениях на суперкомпьютерах.

Тьюринг также изобрел механическое устройство для вычисления нулей дзета функции, получил грант на его реализацию, но эта работа была прервана войной и никогда не была закончена.

Видео доклада Ю.В.Матиясевича в Манчестере.

Гипотеза Оппенгейма для линейных форм утверждает, что в размерности 3 и выше любая решетка с положительным норменным минимумом является алгебраической. Известно, что из трехмерной гипотезы Оппенгейма следует классическая гипотеза Литтлвуда. В конце 80-х годов Б.Ф. Скубенко использовал многомерный аналог цепной дроби, так называемые полиэдры Клейна, для того, чтобы доказать гипотезу Оппенгейма. Однако в его рассуждениях содержался существенный пробел, ввиду которого гипотеза по сей день остается недоказанной. В докладе было рассказано о двух результатах для полиэдров Клейна, обобщающих на многомерный случай теорему Лагранжа для квадратичных иррациональностей и тот факт, что число является плохо приближаемым тогда и только тогда, когда его неполные частные ограничены. В итоге мы объединили эти два результата и получили переформулировку гипотезы Оппенгейма в терминах геометрических свойств границ полиэдров Клейна.

На заседании выступили Г.Е.Минц, А.О.Слисенко, В.П.Оревков, И.М.Давыдова, Н.К.Косовский, В.Чернов, С.Соловьев, Э.Ф.Караваев и, с заключительным словом, Ю.В.Матиясевич. Были показаны кинокадры с участием Н.А.Шанина.

Классы Райдемайстера (классы крученой сопряженности) для автоморфизма f (счетной дискретной) группы G определяются отношением эквивалентности x ∼ g x f(g^-1) и совпадают с обычными классами в случае f=id. Число Райдемайстера R(f) - это число классов Райдемайстера. В основном мы будем говорить о следующей гипотетической теореме - крученой теореме Бернсайда-Фробениуса (TBFT): R(f) естественно отождествляется с числом неподвижных точек индуцированного гомеоморфизма на подходящем дуальном объекте группы G.

Первая половина доклада будет посвящена мотивировкам, приложениям, рассмотрению важных (но понятных) примеров и формулировке некоторых результатов.

Затем будут представлены два основных подхода к решению проблемы TBFT: алгебраический и функционально- аналитический, в том числе, полученное докладчиком в рамках последнего, некоммутативное обобщение теоремы Рисса-Маркова-Какутани о представлении функционалов на алгебре функций регулярными мерами.

В заключение, будет кратко рассказано о связи полученных результатов с проблемами разрешимости (крученная проблема Дена) и математической криптографии.

Большинство результатов получено докладчиком, в том числе с соавторами, и доступно в архиве.

В докладе были изложены новые методы вычисления объемов узлов и зацеплений в пространствах постоянной кривизны. При этом узлы и зацепления рассматривались как сингулярные множества конических многообразий, моделируемых в заданных геометриях с предписанными коническими углами.

Предварительно были установлены тригонометрические соотношения, связывающие конические углы с длинами сингулярных геодезических. Затем использовалась классическая формула Шлефли, выражающая производные объема по углам через длины геодезических.

В результате найдены явные интегральные формулы для объемов рассматриваемых конических многообразий.

CH is approached as a problem about the cardinality of the second number class Г. For the purpose, the theory of constituents is extended to the countably infinite case where the nodes of a constituent tree are sequences of finite constituents. Certain branches ("perfect" ones) specify the structures of which a model of a countably infinite constituent consists. In the case of Г, these branches keep on splitting indefinitely and hence have the cardinality of the continuum. Since Г is maximal, they are all satisfied in it.

См. подробный текст выступления докладчика.

Теория энтропии и информации Шеннона позволяет получить почти оптимальные результаты в теории кодирования и сжатии данных. В классической теории кодирования рассматривается задача односторонней передачи сообщений: Алиса должна передать сообщение Бобу используя минимальное число битов.

Мы рассматриваем несколько обобщений теории информации на интерактивные коммуникационные протоколы. Эти обобщения позволяют нам доказать теоремы о прямой сумме в коммуникационной сложности: показать что коммуникационная сложность k копий любой задачи значительно превышает коммуникационную сложность одной копии.

Более абстрактно, мы показываем что информационная сложность I(F) может быть определенна естественным способом как функция от задачи F, и устанавливаем новые связи между I(F), сжатием интерактивных протоколов, и амортизированной коммуникационной сложностью.

Знаменитые леммы Шпернера и Таккера о раскрасках являются дискретными версиями теорем Брауэра (о неподвижной точке) и Борсука-Улама. В докладе предполагается обсудить единый подход к доказательствам этих лемм, а также их обобщений. Этот подход основан на доказательстве, которое в книге Матушека о теореме Борсука – Улама названо «геометрическим». Он позволяет существенно расширить класс многообразий для которых верны эти леммы. Кроме того, в докладе будет рассмотрен класс многообразий для которых верна теорема Борсука – Улама.

Questions on counting usually involve finding integer solutions x,y of equations of the form f(x)=g(y) for polynomials f,g with integer or rational coefficients. For instance, if a,b,c are rational and ab is non-zero, then for m>n>2, the Diophantine equation a C^m_x + b Cⁿ_y = c has only finitely many integer solutions x,y. Another natural example comes from counting lattice points in generalized octahedra. The number of integral points on the n-dimensional octahedron |x₁| + |x₂| + ... + |x_n| ≤ r is given by the polynomial expression p_n(r) = ∑_i=0ⁿ 2ⁱ Cⁱ_nCⁱ_r and the question of whether two octahedra of different dimensions m,n can contain the same number of integral points becomes equivalent to the solvability of p_m(x)=p_n(y) in integers x,y. It turns out that when m>n>1, the above equation has only finitely many integral solutions.

The above results and many others appearing in the last decade have been made possible by a beautiful theorem of Yuri Bilu & Robert Tichy from 2000. For an absolutely irreducible polynomial F(x,y) in ℤ[x,y], a celebrated 1929 theorem due to Siegel shows the finiteness of the number of integer solutions of F(x,y)=0 except when the (projective completion of the) curve defined by F(x,y)=0 has genus 0 and has at most 2 points at infinity. This theorem generalizes also to S-integers in algebraic number fields. But, Siegel's theorem is ineffective. Bilu & Tichy obtained for the equation f(x)=g(y) with f,g polynomials over ℚ, a remarkable theorem which makes Siegel's theorem much more explicit (although still ineffective). Here, we discuss some Diophantine equations where Bilu-Tichy theorem applies and some others where elementary methods or methods of the Chebotarev density theorem apply.

The governing equations for the theories of conformal geometry and nonlinear materials science are basically the same and have been much studied for centuries. Despite some significant advances in the theory of these nonlinear elliptic equations there is still much to be considered. Here we discuss a little of what is known about these equations leading to a fascinating connection with Hilbert's fifth problem on Lie groups.

The talk covered a broad sweep of modern mathematical ideas and connections between analysis, PDE, geometry, algebra and group theory painted with a broad brush.

Теория отслеживания изучает свойства приближенных траекторий (псевдотраекторий) динамических систем. Система обладает свойством отслеживания, если в малой окрестности любой псевдотраектории найдется настоящая траектория динамической системы.

Изучается структура C¹-внутренности множеств векторных полей, обладающих различными видами свойства отслеживания. Основное отличие данной задачи от аналогичной задачи для дискретных динамических систем, порожденных диффеоморфизмами, состоит в репараметризации отслеживающих траекторий. В зависимости от типа репараметризации мы различаем липшицево, ориентированное и орбитальное свойства отслеживания.

В случае диффеоморфизмов подобная C¹-внутренность состоит только из структурно устойчивых диффеоморфизмов. Вводится специальный класс B не структурно устойчивых векторных полей. Приводится пример векторного поля класса B, лежащего в C¹-внутренности множества векторных полей, обладающих ориентированым свойством отслеживания. Доказано, что C¹-внутренность векторных полей, обладающих ориентированным свойством отслеживания и не являющихся векторными полями класса B, состоит лишь из структурно устойчивых векторных полей.

Было рассказано о физических и математических подходах к двумерным моделям статистической физики, обсуждены их общие черты и различия.

Слайды доклада

В докладе была описана дискретная модель топологической квантовой теории поля, живущая на триангулированных многообразиях произвольной размерности. Данная модель приводит к неизвестным ранее локальным комбинаторным формулам для операций Масси на когомологиях многообразия (описывающих в односвязном случае рациональный гомотопический тип) и для кручения Райдемайстера – Рэя – Зингера.