Классы Райдемайстера (классы крученой сопряженности) для автоморфизма f (счетной дискретной) группы G определяются отношением эквивалентности x ∼ g x f(g^-1) и совпадают с обычными классами в случае f=id. Число Райдемайстера R(f) - это число классов Райдемайстера. В основном мы будем говорить о следующей гипотетической теореме - крученой теореме Бернсайда-Фробениуса (TBFT): R(f) естественно отождествляется с числом неподвижных точек индуцированного гомеоморфизма на подходящем дуальном объекте группы G.

Первая половина доклада будет посвящена мотивировкам, приложениям, рассмотрению важных (но понятных) примеров и формулировке некоторых результатов.

Затем будут представлены два основных подхода к решению проблемы TBFT: алгебраический и функционально- аналитический, в том числе, полученное докладчиком в рамках последнего, некоммутативное обобщение теоремы Рисса-Маркова-Какутани о представлении функционалов на алгебре функций регулярными мерами.

В заключение, будет кратко рассказано о связи полученных результатов с проблемами разрешимости (крученная проблема Дена) и математической криптографии.

Большинство результатов получено докладчиком, в том числе с соавторами, и доступно в архиве.

В докладе были изложены новые методы вычисления объемов узлов и зацеплений в пространствах постоянной кривизны. При этом узлы и зацепления рассматривались как сингулярные множества конических многообразий, моделируемых в заданных геометриях с предписанными коническими углами.

Предварительно были установлены тригонометрические соотношения, связывающие конические углы с длинами сингулярных геодезических. Затем использовалась классическая формула Шлефли, выражающая производные объема по углам через длины геодезических.

В результате найдены явные интегральные формулы для объемов рассматриваемых конических многообразий.

CH is approached as a problem about the cardinality of the second number class Г. For the purpose, the theory of constituents is extended to the countably infinite case where the nodes of a constituent tree are sequences of finite constituents. Certain branches ("perfect" ones) specify the structures of which a model of a countably infinite constituent consists. In the case of Г, these branches keep on splitting indefinitely and hence have the cardinality of the continuum. Since Г is maximal, they are all satisfied in it.

См. подробный текст выступления докладчика.

Теория энтропии и информации Шеннона позволяет получить почти оптимальные результаты в теории кодирования и сжатии данных. В классической теории кодирования рассматривается задача односторонней передачи сообщений: Алиса должна передать сообщение Бобу используя минимальное число битов.

Мы рассматриваем несколько обобщений теории информации на интерактивные коммуникационные протоколы. Эти обобщения позволяют нам доказать теоремы о прямой сумме в коммуникационной сложности: показать что коммуникационная сложность k копий любой задачи значительно превышает коммуникационную сложность одной копии.

Более абстрактно, мы показываем что информационная сложность I(F) может быть определенна естественным способом как функция от задачи F, и устанавливаем новые связи между I(F), сжатием интерактивных протоколов, и амортизированной коммуникационной сложностью.

Знаменитые леммы Шпернера и Таккера о раскрасках являются дискретными версиями теорем Брауэра (о неподвижной точке) и Борсука-Улама. В докладе предполагается обсудить единый подход к доказательствам этих лемм, а также их обобщений. Этот подход основан на доказательстве, которое в книге Матушека о теореме Борсука – Улама названо «геометрическим». Он позволяет существенно расширить класс многообразий для которых верны эти леммы. Кроме того, в докладе будет рассмотрен класс многообразий для которых верна теорема Борсука – Улама.

Questions on counting usually involve finding integer solutions x,y of equations of the form f(x)=g(y) for polynomials f,g with integer or rational coefficients. For instance, if a,b,c are rational and ab is non-zero, then for m>n>2, the Diophantine equation a C^m_x + b Cⁿ_y = c has only finitely many integer solutions x,y. Another natural example comes from counting lattice points in generalized octahedra. The number of integral points on the n-dimensional octahedron |x₁| + |x₂| + ... + |x_n| ≤ r is given by the polynomial expression p_n(r) = ∑_i=0ⁿ 2ⁱ Cⁱ_nCⁱ_r and the question of whether two octahedra of different dimensions m,n can contain the same number of integral points becomes equivalent to the solvability of p_m(x)=p_n(y) in integers x,y. It turns out that when m>n>1, the above equation has only finitely many integral solutions.

The above results and many others appearing in the last decade have been made possible by a beautiful theorem of Yuri Bilu & Robert Tichy from 2000. For an absolutely irreducible polynomial F(x,y) in ℤ[x,y], a celebrated 1929 theorem due to Siegel shows the finiteness of the number of integer solutions of F(x,y)=0 except when the (projective completion of the) curve defined by F(x,y)=0 has genus 0 and has at most 2 points at infinity. This theorem generalizes also to S-integers in algebraic number fields. But, Siegel's theorem is ineffective. Bilu & Tichy obtained for the equation f(x)=g(y) with f,g polynomials over ℚ, a remarkable theorem which makes Siegel's theorem much more explicit (although still ineffective). Here, we discuss some Diophantine equations where Bilu-Tichy theorem applies and some others where elementary methods or methods of the Chebotarev density theorem apply.

The governing equations for the theories of conformal geometry and nonlinear materials science are basically the same and have been much studied for centuries. Despite some significant advances in the theory of these nonlinear elliptic equations there is still much to be considered. Here we discuss a little of what is known about these equations leading to a fascinating connection with Hilbert's fifth problem on Lie groups.

The talk covered a broad sweep of modern mathematical ideas and connections between analysis, PDE, geometry, algebra and group theory painted with a broad brush.

Теория отслеживания изучает свойства приближенных траекторий (псевдотраекторий) динамических систем. Система обладает свойством отслеживания, если в малой окрестности любой псевдотраектории найдется настоящая траектория динамической системы.

Изучается структура C¹-внутренности множеств векторных полей, обладающих различными видами свойства отслеживания. Основное отличие данной задачи от аналогичной задачи для дискретных динамических систем, порожденных диффеоморфизмами, состоит в репараметризации отслеживающих траекторий. В зависимости от типа репараметризации мы различаем липшицево, ориентированное и орбитальное свойства отслеживания.

В случае диффеоморфизмов подобная C¹-внутренность состоит только из структурно устойчивых диффеоморфизмов. Вводится специальный класс B не структурно устойчивых векторных полей. Приводится пример векторного поля класса B, лежащего в C¹-внутренности множества векторных полей, обладающих ориентированым свойством отслеживания. Доказано, что C¹-внутренность векторных полей, обладающих ориентированным свойством отслеживания и не являющихся векторными полями класса B, состоит лишь из структурно устойчивых векторных полей.

Было рассказано о физических и математических подходах к двумерным моделям статистической физики, обсуждены их общие черты и различия.

Слайды доклада

В докладе была описана дискретная модель топологической квантовой теории поля, живущая на триангулированных многообразиях произвольной размерности. Данная модель приводит к неизвестным ранее локальным комбинаторным формулам для операций Масси на когомологиях многообразия (описывающих в односвязном случае рациональный гомотопический тип) и для кручения Райдемайстера – Рэя – Зингера.