Понятие аменабельной группы (т.е. группы с инвариантным средним) было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году в связи с исследованиями алгебраической природы парадокса Банаха-Тарского. Альфорс и Боголюбов независимо пришли к этому понятию через призму римановых поверхностей и топологических групп. В дальнейшем аменабельность стала играть фундаментальную роль во многих исследованиях в теории операторных алгебр, геометрической теории групп, динамических системах и эргодической теории, теории случайных блужданий, топологии и геометрии, дискретной математике, дескриптивной теории множеств и других разделах математики. Существует огромное число эквивалентных определений этого понятия, звучащих «на разных языках», от определения Тарского в терминах отсутствия на аменабельных группах схем, аналогичных финансовым схемам Понзи, до вероятностного критерия Кестена в терминах случайного блуждания на группе. Важную роль в исследовании аменабельности играет рост групп, определенный независимо А.С.Шварцем и Джоном Милнором. В докладе было рассказано о решении нескольких важных проблем, связанных с аменабельностью и ростом, в частности, проблемы Милнора о группах промежуточного роста, проблемы Дэя о неэлементарной аменабельности, гипотезы фон Неймана, проблемы М.Фридмана и П.Тейшнера о существовании новых «хороших» (для топологии) групп и проблемы Гринлифа о существовании аменабельных действий неаменабельных групп. Было также рассказано о роли так называемых самоподобных групп (называемых также фрактальными группами или группами автоматов), ветвящихся групп и других классов групп, действующих на корневых деревьях, в исследованиях аменабельности и роста, и о некоторых приложениях в голоморфной динамике. Также было рассказано о методе доказательства аменабельности, получившем название «Трюк Мюнхаузена», и указано на его связь с техническим приемом, известным как «Дополнение Шура», нередко применяющемся в численных методах решения дифференциальных уравнений в частных производных и некоторых вопросах линейной алгебры.

На заседании выступили В.М.Тихомиров (Москва), А.М.Вершик, А. Г. Хованский (Канада), В.Д.Арнольд (Москва), В.И.Рыжик .

В 1949 году Рохлин опубликовал работу "Об эндоморфизмах компактных коммутативных групп". В ней он подвёл первые итоги своих попыток построить инвариант, различающий сохраняющие меру преобразования с одинаковым непрерывным спектром. Этим инвариантом являлось так называемое кратное перемешивание, причём было установлено, что на рассмотренном в этой работе классе преобразований инвариант постоянен. Перемешивание кратности 2, известное до Рохлина, может пониматься как некое свойство асимптотической независимости (в теоретико-вероятностном смысле) для пар множеств; тогда рохлинское перемешивание кратности r > 2 должно восприниматься как более полный аналог свойства независимости для наборов из r множеств. Из статьи В. А. Рохлина видно, что он не только предполагал, что перемешивания разных кратностей суть различные метрические инварианты, но также и то, что кратное перемешивание (в отличие от случая r = 2) не является спектральным инвариантом. Доказать это ему не удалось. Прошло 60 лет. Эти вопросы так и остались открытыми. Но в эргодической теории появился ряд замечательных результатов о кратном перемешивании и произошли другие важные события, связанные с этой проблематикой. Дело в том, что свойство кратного перемешивания воспринимается интуитивно как очень хорошее (быстрое) перемешивание, а контрпримеры хотелось искать среди систем со слабым, медленным перемешиванием. Первый намек на то, что эта позиция неправильна, появился в работе С. Каликова, который доказал, что перемешивающие системы с хорошей аппроксимацией периодическими преобразованиями обладают свойством кратного перемешивания. Окончательный удар по такому представлению нанес Б. Ост, доказав 20 лет тому назад, что все перемешивающие системы с сингулярным спектром обладают кратным перемешиванием. Несмотря на заметный прогресс в исследовании проблемы Рохлина, в последние годы связанный в основном с теорией самоприсоединений (self-joinings, сплетающих полиморфизмов), интрига остается в силе. В докладе было рассказано об этом прогрессе, включающем авторские обобщения теоремы Б. Маркуса о кратном перемешивании орициклических потоков и далеко идущие обобщения упомянутого результата С. Каликова.

В замечательном цикле работ 2004 – 2008 годов Манджул Бхаргава дал новые истолкования закона композиции Гаусса бинарных квадратичных форм и построил несколько новых таких законов, в том числе высшие законы, степеней 3 и 4. Одним из впечатляющих следствий его результатов является классификация колец степени 4 и 5, т.е. колец, аддитивная группа которых изоморфна ℤ⁴ или ℤ⁵. Напомним, что квадратичные кольца классифицировал Гаусс в 1800 году, а кубические — Делоне и Фаддеев в 1940 году. Первая половина доклада как раз и будет посвящена современному изложению этих классических результатов. В 2007 году Сергей Крутелевич единообразно объяснил и систематизировал квадратичные законы композиции в терминах кубических йордановых алгебр. До самого последнего времени аналогичное систематическое объяснение высших законов отсутствовало. Во второй половине доклада мы отметим, что все высшие законы композиции Бхаргава степеней 3, 4 и 5 связаны с исключительными группами, укажем еще несколько таких законов и предскажем еще один закон композиции, степени 6, связанный с группой типа E8. Кроме того, Бхаргава работает исключительно над ℤ. Обобщение его результатов на произвольные коммутативные кольца совершенно нетривиально. Здесь открывается огромное поле исследований на пересечении классической теории чисел, теории инвариантов, теории алгебраических групп, теории колец, алгебраической K-теории и компьютерной алгебры.

О работах лауреата Абелевской премии 2010 года Джона Тэйта рассказали М. И. Башмаков (на фото справа) и и С. В. Востоков.

Совместная работа с A. Louis, M. Riplinger и M. Spiess. Обсуждались аналитические и численные методы обращения так называемого обобщенного косинусного преобразования. Это преобразование действует на конечных мерах на многообразиях Грассмана. Частный особый случай, находящий многочисленные применения в выпуклой геометрии, — это сферические синусные и косинусные преобразования. В стохастической геометрии эти преобразования характеризуют анизотропность стационарного процесса волокон, являясь эквивалентом розы пересечений данного процесса с плоскостью, у которой заданы размерность и направление. Было показано, как обращение обобщенного косинусного преобразования связано с обращением сферического преобразования Радона. Были даны интегральные формулы обращения, а также разложения на сферические гармоники. Для того, чтобы получить формулу обращения, пригодную для вычислений, применялся метод аппроксимации к обоим преобразованиям, к косинусному и сферическому преобразованию Радона.

	Выступление Н.А. Вавилова Видео ЧТО ДОКАЗЫВАЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО? В последнее время все чаще обсуждается вопрос об изменении статуса доказательства и уменьшении нашей уверенности в справедливости результатов. Критика и скептицизм подобного рода наиболее энергично, часто и агрессивно озвучиваются в двух следующих направлениях. --- Сомнения в надежности доказательств, выполненных с помощью компьютера. --- Сомнения в надежности исключительно длинных и сложных доказательств. Однако я склонен верить, что статус трудных современных результатов --- и их доказательств! --- мало отличается от статуса трудных математических результатов предшествующих веков. Я готов проиллюстрировать многочисленными историческими примерами, что фактические математические доказательства НИКОГДА --- со времен греков --- не удовлетворяли декларируемым стандартам. Классические работы, как и публикуемые сегодня, полны заблуждений, ошибок и пробелов разной степени серьезности. Что гораздо хуже, часто эти заблуждения и ошибки из поколения в поколение воспроизводятся в монографиях и учебниках, и их обнаружение в некоторых случаях потребовало многих десятилетий. Следуя Конфуцию, я приглашаю к вскрытию ошибок, а не к их замазыванию. Нужно честно признать, что математика является человеческой деятельностью, целью и результатом которой является понимание, и мало отличается в смысле своей надежности от других видов человеческой деятельности. Достоверность математического доказательства и его убедительность относится к области психологии и социологии, а не логики. В отличие от любых доказательств, математическое знание КАК ТАКОВОЕ обладает ЧРЕЗВЫЧАЙНО высокой степенью надежности. Эта надежность, как и надежность естественно-научного и технического знания, гарантируется отнюдь не доказательствами индивидуальных результатов, а общей когерентностью математической и естественно-научной картины мира, индивидуальным и коллективным пониманием и прямым контактом с миром идей, которое формируется в процессе работы у каждого квалифицированного и понимающего специалиста. Вот, что знают о доказательстве практикующие математики, но боятся сказать: --- Математическое доказательство, РАССМАТРИВАЕМОЕ КАК ТЕКСТ, не доказывает ничего, кроме факта существования доказательств. --- Ни одно СЕРЬЕЗНОЕ математическое доказательство не может быть полностью формализовано, т.е. записано в соответствии со стандартами, пропагандируемыми математической логикой. --- Доказательство классификации простых конечных групп обладает ГОРАЗДО более высокой степенью достоверности, чем доказательства большинства общепризнанных классических результатов в области топологии, анализа или теории дифференциальных уравнений. А что касается компьютерных вычислений, то лично я склонен доверять им больше, чем любым математическим доказательствам, КРОМЕ САМЫХ ПРОСТЫХ.
	Выступление Ю.В. Матиясевича Видео Мои взгляды во многом противоположны взглядам первого докладчика. По меньшей мере 99.999% теорем, доказываемых современными математиками, выводятся из аксиом теории множеств, и потому эти теоремы в принципе могут быть изложены по всем канонам математической логики. Критерием может служить требование, чтобы доказательство было проверено компьютером. Более того, реальная работа в этом направлении ведется давно, и на этом пути достигнут существенный прогресс. Примером могут служить полная формализация доказательства первой теоремы Геделя о неполноте и теоремы о четырех красках. Систематическое формальное изложение математики много лет ведется в рамках проекта MIZAR, результаты публикуются в журнале "Formalized mathematics" (http://mizar.org/fm/). Цели подобной формализации изложены в виде "QED manifesto": http://en.wikipedia.org/wiki/QED_manifesto http://www.cs.ru.nl/~freek/qed/qed.ps.gzi (первоначальный вариант) http://mizar.org/trybulec65/8.pdf (пересмотренная версия) Во второй части доклада было расказано о новых взглядах на математическое доказательство с точки зрения информатики: интерактивных доказательствах с "нулевым знанием", доказательствах, которые не обязательно читать целиком, чтобы поверить в их правильность, и т. п.
	Заочное выступление А.М.Вершика. Текст, видео (Читает С.В.Востоков).

В 2010 г. исполняется 70 лет создания ЛОМИ / ПОМИ им. В.А. Стеклова, чему предшествовала организация в 1919 г. Математического кабинета Академии наук, который возглавил В.А. Стеклов. По его инициативе в 1921 г. из этого кабинета, Физической лаборатории и Сейсмической сети был создан Физико-математический институт РАН, директором которого был избран Владимир Андреевич, остававшийся в этой должности до своей смерти в 1926 г. В докладе были освещены основные этапы жизненного пути этого выдающегося деятеля отечественной науки, не только внесшего существенный вклад в математику (теория уравнений с частными производными и другие разделы анализа) и механику (гидродинамика и теория упругости), но и заложившего в Петрограде фундамент ныне всемирно известной школы по математической физике, первые достижения которой относятся к трудному периоду 1916-1922 гг. Были затронуты и некоторые другие аспекты организационной и общественной деятельности этой многогранной личности.

В докладе обсуждена связь между алгебраическими группами и алгебрами Ли с одной стороны, и йордановыми алгебрами и некоторыми их обобщениями - с другой. Одним из наиболее известных проявлений этой связи является классическая конструкция простых групп и алгебр Ли типов E6 и F4 по 27-мерной исключительной йордановой алгебре. В действительности все простые йордановы алгебры можно "увидеть", всего лишь глядя на диаграммы Дынкина простых алгебраических групп. С другой стороны, алгебраические структуры йорданова типа с неизбежностью возникают при изучении групп точек изотропных алгебраических групп, поскольку они отвечают за коммутирование элементарных образующих этих групп. Одним из последних результатов, полученных благодаря синтезу теории йордановых алгебр и алгебраических групп, является доказательство автором и В. Петровым гипотезы Гротендика-Серра для простых групп типа F4 с тривиальным инвариантом f3.

В.В. Высоцкий. Слипающиеся частицы, предельные теоремы и тонкие свойства случайных блужданий.

Рассмотрим модель одномерного газа, частицы которого в начальный момент времени имеют случайные скорости и положения. Частицы притягиваются друг к другу за счет гравитации и слипаются при столкновениях. С ходом времени число частиц уменьшается, а их размеры увеличиваются до тех пор, пока не образуется одна гигантская частица суммарной массы. Задача состоит в вероятностном описании этого процесса. Результаты формулируются в виде предельных теорем, при стремящемся к бесконечности числе начальных частиц. Мы докажем, что случайный процесс числа частиц в газе удовлетворяет функциональной версии центральной предельной теоремы. Далее будет показано, каким образом изучение числа частиц приводит к рассмотрению важных общих свойств случайных блужданий. Мы расскажем о задаче нахождения вероятностей малых уклонений частичных сумм случайных блужданий и об успехах в ее решении.

В процессе обсуждения выступили Ю.В.Матиясевич, В.И.Рыжик, В.Б.Некрасов, И.В.Ященко (Москва), А.М.Абрамов (Москва), А.Г.Басуев, О.А.Иванов, В.П.Одинец, М.Я.Пратусевич, Н.А.Широков, С.Е.Рукшин, С.Ю.Славянов, Л.М.Баскин, М.А.Скопина.

Доклад посвящен новому направлению в теории нелинейных уравнений, а именно, теории разрушения (blow-up theory) решений нелинейных уравнений. Основным содержанием доклада является представление и демонстрация нового подхода к этой проблеме. В основе этого подхода лежит понятие нелинейной емкости, порожденной нелинейным оператором. Это позволило свести исходную проблему к вариационной проблеме, в том числе и для нелинейных параболических и гиперболических уравнений, и впервые рассмотреть уравнения высокого порядка. Предложенный подход демонстрируется на многочисленных примерах нелинейных уравнений эллиптического, параболического и гиперболического типов. Материалы по теме доклада: файлы презентации, статья на тему доклада.

Отогональную группу удобно представлять как группу линейных преобразований, сохраняющих некую билинейную форму. Исключительная группа типа E6 представляется как группа линейных преобразований 27-мерного пространства, сохраняющих некую трилинейную симметричную форму (которую можно выразить, например, как норму на исключительной йордановой алгебре). Аналогично, группа типа E7 является группой симплектических преобразований 56-мерного пространства, сохраняющих симметричную четырехлинейную форму, но только в том случае, когда характеристика основного поля отлична от 2. Оказывается, что если нам хочется избавиться от ограничения на характеристику, то придется отказаться от требования симметричности формы. Было рассказано, как это сделать, какова связь преобразований, сохраняющих полилинейные формы, c исключительными группами, и как это помогает описывать уравнения, характеризующие элементы исключительных групп.

О деятельности общества на разных этапах его существования рассказали Н.С.Ермолаева, А.М.Вершик, В.М.Бабич, И.А.Ибрагимов, В.П.Хавин.

Граничное действие свободной группы (и ее подгрупп) является модельным примером нетривиального группового действия, «существенно отличного» от ее действия на самой себе. Доклад посвящен изучению простейшиx эргодическиx свойств этого действия: диссипативности и консервативности (метрические аналоги разрывности и минимальности). Предлагаемый подxод основан на использовании алгебраическиx и геометрическиx методов.

Вольфганг Дёблин, крупный специалист по теории вероятностей 20-го века, в 1950-е годы был уже хорошо известен своими работами по теории марковских цепей. Его coupling method стал одним из основных в последующих исследованиях на стыке теории вероятностей и статистической механики. Но полномерная оценка его места в математике стала возможной только в 2000-м году, когда запечатанный конверт с его статьей «Об уравнении Колмогорова», содержащий построение диффузионного процесса с помощью замены времени в броуновском движении, наконец был распечатан — через 60 лет после его отправки в Парижскую академию наук. Эта статья свидетельствует, что еще в 1940 году Дёблин придумал формулу, сравнимую с формулой, позже полученной К. Ито, которая легла в основу знаменитого исчисления Ито.
В документальном фильме Агнес Хандверк и Харри Виллемса это впечатляющее открытие показано с научной и человеческой точек зрения, а также проливает свет на удивительные обстоятельства смерти Дёблина в возрасте 25 лет.

Состоялся просмотр фильма, представленного его авторами.
С математическими комментариями выступили Б.А.Лифшиц и А.Н.Бородин. Была также показана видеозапись комментариев М.Йора.

Wolfgang Doeblin Video

Пусть Г — оболочка нулевой толщины, разбивающая R3 на две области, внутреннюю и внешнюю. Рассмотрим лапласианы Дирихле и Неймана LDint, LDout, LNint, LNout. Узи Смилянский в 1995 г. сформулировал гипотезу о спектральной двойственности этих лапласианов: векторные нули амплитуды рассеяния внешней задачи Дирихле совпадают с собственными числами внутренней задачи Дирихле. Эта гипотеза была сначала подтверждена численными расчетами, а вскоре доказана, в двумерном случае, Экманом и Пилле. Мы предлагаем доказательство спектральной двойственности для внутреннего и внешнего лапласианов в L2(R3). Оно допускает обобщение на лапласианы Неймана в конечномерном евклидовом пространстве. Доклад основан на совместной работе с Г. Мартином. Более подробная аннотация здесь.

Пусть Г — конечная линейная группа в Cn. Назовем ее хорошей, если алгебра A полиномов, инвариантных относительно группы Г, свободна. Классическая теорема Шевалле утверждает, что хорошие конечные линейные группы — это в точности группы, порожденные комплексными отражениями. Пусть теперь Г — дискретная группа преобразований эрмитова симметрического пространства X. Мы предположим, что факторпространство X/Г компактно. Естественной заменой алгебры инвариантных полиномов служит алгебра Г-a-автоморфных форм на пространстве X. Группа Г называется хорошей, если существует такой фактор автоморфности a, что алгебра автоморфных форм A(Г,a) есть свободная алгебра размерности (dim X+1). В докладе мы сосредоточимся на случае, когда X — это единичный диск B={z \in C | |z| < 1}. Для этого случая были описаны все такие пары (Г,a), что A(Г,a) есть свободная алгебра с двумя образующими.

Задача о (дистанционной) граничной жесткости состоит том, чтобы восстановить риманову метрику в области евклидова пространства, если известны геодезические расстояния между точками ее края. Вопросы такого типа изучаются с XIX века и впервые возникли в связи с обратными задачами геофизики. В настоящее время задача решена во многих частных случаях, но общий случай остается открытым вопросом.

Было рассказано о некоторых новых результатах в этой области и идеях, на которых они основаны. Одна из продуктивных идей состоит в том, чтобы свести задачу о граничной жесткости к более геометричной задаче о минимальном заполнении, то есть о минимизации риманова объема области при аналогичных краевых ограничениях.

Членом общества избрана Т.В.Смирнова-Нагнибеда.

Вручены премии общества "Молодому математику", "Абрамовская премия" и премии конкурса Эйлера.
Видео

Заслушаны отчёты правления (А.М.Вершик), редколлегии "Трудов" общества (Н.Н.Уральцева), ревизионной комиссии (А.Ю.Зайцев) и выступление сопредседателя школьной комиссии (В.А.Рыжик).

Состоялись выборы президента, вице-президентов, правления, редколлегии и комиссий. Новым президентом общества избран Ю.В.Матиясевич, вице-президентами С.В.Востоков и И.А.Ибрагимов, редактором "Трудов" общества вновь избрана Н.Н.Уральцева.
Выступивший от имени членов общества И.А.Ибрагимов поблагодарил А.М.Вершика за многлетнюю самоотверженную работу на посту президента общества.

Новый состав превления и комиссий здесь.
Состоялась краткая дискуссия о планах дальнейшей деятельности общества.

Членами общества избраны В.А.Гриценко и А.П.Щеголева.

При оценке вероятностей редких событий во многих задачах теории вероятностей и математической статистики используются асимптотики больших и малых уклонений центрированных гауссовских случайных процессов X в различных нормах. В случае L₂-нормы эти асимптотики тесно связаны со свойствами собственных чисел интегрального оператора, ядро которого -- ковариационная функция соответствующего процесса G_X(s,t)=EX(s)X(t). Наиболее сильные результаты удается получить в ситуации, когда G_X является функцией Грина краевой задачи для обыкновенного дифференциального оператора. Для этого потребовалось, в частности, уточнить классические результаты Биркгофа о спектрах дифференциальных операторов на отрезке.

В докладе дан обзор результатов последних лет по этой тематике. Часть результатов получена совместно с Я. Ю. Никитиным.

В 2008 году исполнилось 50 лет со дня рождения М. Н. Гусарова (1958--1999), замечательного петербургского математика, одного из первооткрывателей теории инвариантов конечного типа. Инварианты узлов конечного типа, введенные М. Гусаровым в Петербурге и В. Васильевым в Москве практически одновременно (около 1990 года), оказали революционное воздействие на теорию узлов, а вскоре и на другие разделы математики, например, на топологию 3-мерных многообразий. Вскоре после этого О. Виро и М. Поляк изобрели конструктивный способ записывать инварианты конечного типа в виде явных формул при помощи гауссовых диаграмм, которые строятся по плоской проекции узла. Михаил Гусаров доказал изящную и нетривиальную теорему о том, что любой инвариант конечного типа может быть записан при помощи формулы такого вида. В докладе было дано введение в теорию инвариантов конечного порядка, сформулирована теорема Гусарова и приведена схема ее доказательства. Изложение сопровождалось конкретными примерами.

Хорошо известно, что многие задачи теории одномерных диофантовых приближений могут быть решены с помощью непрерывных дробей. Естественного же многомерного обобщения аппарата непрерывных дробей для нужд многомерных диофантовых приближений придумать не удается. В какой-то мере это связано с новыми геометрическими феноменами, возникающими в многомерной теории. Один из них — явление вырождения размерности наилучших диофантовых приближений, открытое автором в 1996 -- 1997 годах и восходящее к работам А. Я. Хинчина, Г. Давенпорта и В. Шмидта. С другой стороны, некоторые многомерные задачи поддаются (в какой-то мере) решению теми же методами, что и одномерные задачи. Таковыми являются, например, некоторые вопросы, связанные с существованием плохо приближаемых чисел. В докладе предполагается коснуться классических задач такого рода, решение которых может быть получено (а иногда и действительно получается) стандартными методами геометрии чисел, а также рассказать о ряде задач метрической теории чисел, которые оказались решенными благодаря развитию автором недавно возникшего в работах Ю. Переса и В. Шлага (2001 -- 2007) нового вероятностного метода, очень простого и изящного. В частности, автору удалось получить результат о существовании плохо приближаемых чисел в так называемой BAD-гипотезе, связанной со знаменитой проблемой Литтлвуда. Подходы, связанные с геометрией многомерных диофантовых приближений оказываются полезными в некоторых вопросах равномерного распределения последовательностей и теории динамических систем. Так, с помощью анализа наилучших диофантовых приближений автор в 1996 -- 1997 г. решил задачу В. В. Козлова об осцилляции интеграла условно периодической функции, о чем тоже будет рассказано в докладе.

r-спин структура на римановой поверхности — это тензорный корень r-той степени из кокасательного расслоения на этой поверхности. В теории пересчения на пространстве модулей r-спин структур имеется два важных результата и одна важная гипотеза.

1) Формула Chiodo — аналог формулы Мамфорда для пространства модулей кривых. Эта формула получается применением формулы Гротендика - Римана - Роха к спинорному расслоению на универсальной кривой.

2) Недавно доказанная нами с Фабером и Шадриным гипотеза Виттена: она связывает теорию пересечения на пространстве r-спин структур с интегрируемыми иерархиями.

3) До сих пор не доказанная формула r-ELSV, также связывающая теорию пересечения на пространстве r-спин структур с интегрируемыми иерархиями, хотя связь, по-видимому, совсем другая.

В докладе было рассказано о Гипотезе Виттена (пункт 2) и формуле r-ELSV (пункт 3).

Были рассмотрены несколько задач о нахождении точных констант в интегральных неравенствах. Несмотря на элементарную формулировку и методы решения, ответы в некоторых из них были получены только недавно, в некоторых же полного результата до сих пор нет.

Для конечномерного векторного пространства V рассматривается пространство V((t)) формальных петель со значением в V с естественной топологией. Мы изучаем группу непрерывных автоморфизмов GL(V((t))) категорными методами. Строятся канонический Z-торсор "размерностей" Dim(V((t))) и канонический C*-жерб "детерминантных теорий" Det(V((t))). Определив действие GL(V((t))) на Det(V((t)), мы строим каноническое центральное расширение GL(V((t)) с помощью этого действия.
Далее определяется символ Конту - Каррера на мультипликативной группе поля формальных рядов Лорана и интерпретируется в терминах построенного центрального расширения. Оказывается, что символ Конту - Каррера удовлетворяет соотношению Стейнберга и таким образом связан с ручным символом в алгебраической К-теории. Используя символ Конту - Каррера, мы доказываем классический закон взаимности для кривых над комплексным полем. Обсуждена возможность аналогичных построений для двумерных локальных полей и для алгебраических поверхностей.

В докладе рассказано, как писать формулы для xарактеров, поxожие на формулы Вейля для представлений конечномерныx полупростыx алгебр. Формулы Вейля имеют очень много доказательств и интерпретаций. Наиболее популярен алгебро-геометрический подxод — при этом неприводимые представления реализуются в сеченияx расслоения на многообразии флагов и формула для xарактера получается из формулы Лефшеца. Представления алгебр токов можно изучать аналогичным образом, но к более общим вертекс-операторным алгебрам (скажем, к алгебре Вирасоро) такой подxод неприменим. В некоторыx случаяx, однако, можно сделать нечто поxожее. Формула Лефшеца — это сумма по неподвижным точкам действия тора на многообразии флагов: каждой неподвижной точке отвечает специальный "экстремальный" вектор в представлении. С этой точки зрения формула типа Вейля — это сумма по экстремальным векторам, а каждый член описывает структуру представления в "окрестности" экстремального вектора.

Также рассказано о связанном сюжете — о q-характераx тензорныx произведений представлений "маленькой" квантовой группы в корне из единицы.

В докладе было рассказано о проекте «Математические этюды», развиваемом в МИАН. Основное содержание проекта — фильмы о решенных и нерешенных математических задачах, созданные с использованием современной компьютерной трехмерной графики. Цель проекта — популяризация математических знаний, однако показанные сюжеты представляют интерес и для профессиональных математиков. Были затронуты, в частности, следующие темы: внутренняя и внешняя геометрия многогранников, шарнирные механизмы П. Л. Чебышева, экстремальное расположение точек на сфере, необычные и красивые конструкции в современной технике как воплощение математических результатов.

1. Обсуждение программы «Петербургский учебник».
2. Проблема оценки результативности обучения.
С основным докладом выступил директор Института продуктивного обучения Российской академии образования, академик РАО М. И. Башмаков. В дискуссии приняли участие С. М. Александрова, А. Л. Вернер, А. П. Карп, Г. М. Карпова, В. П. Одинец, М. Я. Пратусевич, В. И. Рыжик.

К. В. Первышев. Иерархии по времени для эвристических алгоритмов.

Известно следующее утверждение: для любых a < b существует язык, распознаваемый некоторым детерминированным алгоритмом за время O(nb), но не распознаваемый никаким детерминированным алгоритмом за время O(na). Данное утверждение называется иерархией детерминированных алгоритмов по времени. Открытым является вопрос о существовании подобной иерархии для вероятностных алгоритмов. Эвристическими алгоритмами будем называть алгоритмы, которые выдают правильный ответ на 99% входов, но могут ошибаться на 1% входов. Сравнительно недавно Л. Фортноу и Р. Сантанам показали, что иерархия по времени существует для эвристических вероятностных алгоритмов. В докладе рассказывалось простое доказательство этого результата.

В. А. Петров. Мотивы однородных проективных многообразий.

Рассмотрим полупростую алгебраическую группу G внутреннего типа над полем k и проективное многообразие X, однородное относительно действия G. Предположим, что G расщепляется над полем функций k(X). Мы показываем, что в этом случае мотив Чжоу X по модулю любого простого числа p раскладывается в сумму сдвинутых копий некоторого неразложимого мотива Rp(G), зависящего только от G и p. Мы также обсуждаем связь с когомологическими инвариантами и некоторые приложения, относящиеся к вычислению канонической размерности и изучению поведения G при расширении скаляров.

Докладчикам были вручены грамоты лауреатов и премии.
В члены общества приняты: А. А. Кожевников, К. В. Первышев и В. А. Петров.

Совместное заседание Санкт-Петербургского математического общества и Секции математики Дома Ученых. Вечер памяти академика Владимира Ивановича Смирнова (к 120-летию со дня рождения) На заседании выступили: А. И. Назаров, А. М. Вершик, В. М. Бабич, Н. Н. Уральцева, В. П. Хавин, Г. П. Матвиевская (Оренбург). Были заслушаны выступления отсутствующих М. С. Бирмана и В. А. Залгаллера. Принято решение о присуждении премий Санкт-Петербургского математического общества «Молодому математику» за 2007 г. В. А. Петрову и К. В. Первышеву.

Одним из величайших математических открытий на рубеже XIX--XX веков было обнаружение 5 исключительных алгебр Ли / групп Ли / алгебраических групп, типов E₆, E₇, E₈, F₄ и G₂ Киллингом и Картаном. Позже Диксон и Шевалле построили их аналоги над произвольным, в частности, конечным полем, что было одним из решающих продвижений в Классификации конечных простых групп.

Группа типа G₂ представляется как группа матриц степени 7 x 7 (или 8 x 8) и похожа на классические группы. Но вот остальные исключительные группы довольно велики. Кроме того, в минимальных представлениях они задаются уравнениями степени 3 или 4 (уравнениями степени 2 можно задать, с точностью до унипотентной части, только произведения классических групп).

Поэтому вычисления в них считались совсем непростым делом. Для поля техника таких вычислений была развита бельгийской и голландской школами в 1950-х и 1960-х годах (Фрейденталь, Титс, Спрингер, Фельдкамп), но вот для кольца приходилось искать обходные пути, типа локализации.

Доклад посвящен вычислениям в больших исключительных группах как группах матриц степеней 27 x 27, 56 x 56, 248 x 248 и 27 x 27, соответственно.

В начале 1990-х годов автор, Плоткин и Степанов обнаружили, что все вычисления можно организовать так, чтобы использовать при этом не уравнения степени 3 или 4, а лишь КВАДРАТИЧНЫЕ уравнения на элементы одного столбца. Метод сведения к вычислениям такого типа, названный нами разложением унипотентнов, оказался чрезвычайно полезным во многих вопросах структурной теории.

Однако в последнее время в работах автора, Гавриловича, Николенко и Лузгарева выяснилось, что при помощи несложных теоретико-групповых соображений, можно организовать все вычисления так, чтобы использовать при этом только ЛИНЕЙНЫЕ уравнения на алгебру Ли (Доказательство из Книги). Используя этот метод, нам удалось передоказать и усилить основные структурные теоремы. Кроме того, этот метод работает не только на уровне K₁, но и на уровне K₂ (в группе Стейнберга).

Попутно было рассказано о некоторых других методах структурной теории алгебраических групп над кольцами, в частности, о методе локализации.

Начиная с 1970-х годов, торические действия играют всё возрастающую роль в различных областях математики, а их изучение стимулирует возникновение новых взаимосвязей между алгебраической геометрией, комбинаторной и выпуклой геометрией, коммутативной и гомологической алгеброй, дифференциальной топологией и теорией гомотопий. По мере расширения этих приложений возникла целая новая область исследований, ставшая известной как торическая топология. Предметом изучения торической топологии являются алгебраические, комбинаторные, дифференциальные, геометрические и гомотопические аспекты важного класса действий тора с богатой структурой в пространстве орбит.

Первоначальный импульс этому развитию придала теория торических многообразий в алгебраической геометрии. С начала 1990-х годов идеи и методы торических многообразий начали проникать в топологию. Пространство орбит регулярного действия компактного тора Tⁿ несёт богатую комбинаторную структуру, отражающую распределение стационарных подгрупп. Во многих случаях топологию пространства с действием тора можно описать в терминах комбинаторики пространства орбит. Замечательно, что этот подход работает и в обратном направлении: в терминах топологических инвариантов пространств с действием тора удаётся интерпретировать и доказывать весьма тонкие комбинаторные результаты топологически.

Одной из основных здесь является конструкция момент-угол комплекса, переводящая «комбинаторную топологию» в «эквивариантную топологию». В наиболее общем виде эта конструкция сопоставляет симплициальному комплексу (или триангуляции) многообразие или комплекс с просто устроенным действием тора. В частном случае триангуляций сфер, получаемых как границы выпуклых многообразий, эта конструкция приводит к интересному семейству комплексных многообразий, не имеющих кэлеровой структуры. Эти многообразия также возникают в симплектической топологии как множества уровня отображений моментов для гамильтоновых действий тора, и задаются полными пересечениями вещественных квадрик.

Планируется дать обзор основных методов и результатов торической топологии. Среди новых результатов отметим недавно завершённое построение торических и квазиторических представителей в классах комплексных кобордизмов и вычисление колец когомологий момент-угол комплексов в терминах комбинаторных данных триангуляций.

В докладе pассматpиваются некотоpые пpоблемы квантовой механики и нейpофизиологии, лежащие (пока?) за пpеделами нашего понимания. Известно, что эти науки активно взаимодействуют.

С одной стоpоны, мышление, в своих самых существенных пpоявлениях, основано на сложной игpе эволюции и pедукции (коллапса) волновых функций, являющихся pешениями уpавнения Шpедингеpа. Этот пpоцесс иногда связывают с "неалгоpитмической составляющей" нашего мышления, той самой, котоpая отличает человека от компьютеpа.

С дpугой стоpоны, как оказалось, наш мозг (исключая, быть может, подсознание) совеpшенно не пpиспособлен к воспpиятию загадочных квантово-механических эффектов. Есть пpедположение, что эта способность, сохpанившаяся у животных, утpачена человеком в pезультате эволюции.

Основной идеей доклада является отказ от "вещественного" описания упомянутых пpоцессов. Что касается квантовой механики, то эта идея не нова. Еще А. Пуанкаpе (на основании весьма скудных данных науки начала XX века) однажды заметил, что пеpеход от pациональных чисел к вещественным --- нетpивиальный и ответственный выбоp. Адекватное изменение математического аппаpата, по мнению докладчика, заключается в замене отpезка евклидовой пpямой кантоpовым совеpшенным множеством. В нейpофизиологии эта замена отpажает "хаотичность" (или, скоpее, исключительную гибкость) нашегo сознания, что косвенно подтвеpждается электpоэнцефалогpаммой здоpового человека.

В докладе подpобно обсуждается пpостейшая модель "логического pассуждения", в котоpой "истина" интpепpетиpуется как неподвижная точка некотоpого полиномиального опеpатоpа в подходящем компактном кольце, а "пpиближённые пpедставления" о ней как итеpации этого отобpажения. В подобных моделях адекватное "вещественное" описание, по-видимому, невозможно.

Пеpестpойка вещественного аппаpата, котоpая в настоящее вpемя (в pазных целях) осуществляется, в той или иной степени затpагивает алгебpу (кольца, поля, квадpатичные pасшиpения и их гpуппы Галуа), теоpию чисел (диофантовые уpавнения), теоpетико-множественную топологию (ультpаметpические пpостpанства, диадические компакты), диффеpенциальные уpавнения и полудинамические системы (аттpактоpы, хаотическая динамика), p-адический и нестандаpтный анализ, теоpию веpоятностей (неколмогоpовские модели) и некотоpые дpугие pазделы математики, а также квантовую механику и теоpию стpун.

Комбинаторная геометрия — это одна из красивейших дисциплин современной математики. С одной стороны, постановки большинства задач, относящихся к комбинаторной геометрии, абсолютно элементарны и потому доступны пониманию сильного старшеклассника. С другой стороны, решения этих задач зачастую крайне нетривиальны (если, вообще, известны), и требуются весьма глубокие и оригинальные методы для получения серьезных результатов в указанной области.

Одной из наиболее ярких проблем в комбинаторной геометрии является проблема Борсука о разбиении множеств в евклидовом пространстве на части меньшего диаметра. Гипотеза Борсука 1933 года состояла в том, что каждое ограниченное множество в Rⁿ, имеющее ненулевой диаметр, может быть разбито на n+1 часть меньшего диаметра. В связи с попытками обосновать или опровергнуть эту гипотезу были разработаны тонкие методы элементарной геометрии и топологии, комбинаторики и теории вероятностей, которые оказались применимы и ко многим другим задачам.

В докладе было рассказано об интригующей истории проблемы и об упомянутых методах ее решения.

Джон Клейнберг получил премию Неванлинны (аналог медали Филдса в теоретической информатике) в 2006 году на Международном математическом конгрессе в Мадриде. В официальном пресс-релизе указано четыре наиболее существенные группы его результатов:

1. Алгоритмы поиска ближайших соседей. Клейнберг предложил новый способ предварительной обработки семейства точек в евклидовом пространстве, позволяющей по новой точке быстро находить ближайшую точку в базе. Впервые удалось построить метод, который доказуемо быстрее, чем полный перебор.

2. Способ определения авторитетности интернет-страниц. Метод, предложенный Клейнбергом основан на вычислении собственного вектора матрицы, описывающей структуру ссылок в вебе. На этих идеях основан алгоритм PageRank, сделавший Google лучшей системой интернет-поиска.

3. Математические модели эффекта "как тесен мир". Джон Клейнберг предложил интересную модель социальной сети с параметром, характеризующим способ создания связей в сети. Ему удалось обнаружить необычное свойство этой модели: существует единственное значение параметра, при котором есть эффективный способ быстро передать сообщение до любого адресата "по цепочке знакомых".

4. Математическая модель "информационных всплесков". В этой работе рассматривается поток некторых информационных сообщений (например, научные статьи, e-mail'ы, новости). Всплеском (burst) называется интервал времени, в который определенное ключевое слово встречается чаще обычного. Кленйберг предложил способ перечислить все всплески, отсортировать их по "весу" и построить их иерархию.

1. Г. К. Михайлов (Москва). Леонард Эйлер и становление рациональной механики.
2. С. В. Востоков. Эйлер и закон взаимности.
3. M. Mattmueller (Basel). The first modern mathematician? Euler's contribution to the development of scientific style.
4. Н. А. Вавилов (С.-Петербург). Соединить идеи с вычислениями. От Эйлера до компьютерной алгебры.
5. Е. Кац (Израиль). Леонард Эйлер и современные представления о молекулярной структуре фуллеренов и фуллереноподобных наноструктур.

Фото докладчиков (щелкните по изображению для просмотра увеличенной фотографии):

Видео: Собранию был продемонстрирован новый документальный фильма об Эйлере И.Шадхана. См. также здесь.
Другие видеоматериалы, посвященные эйлеровскому конгрессу.

Хорошо известна связь между топологией и метрической геометрией замкнутых двумерных поверхностей: на всякой такой поверхности можно ввести метрику постоянной кривизны, причем знак последней совпадает со знаком эйлеровой характеристики поверхности (положителен для сферы, ноль для тора и отрицателен для поверхностей рода выше 1).

Около 1980 года Уильям Тёрстон высказал гипотезу, что подобным образом, только значительно сложнее, обстоит дело с трехмерными многообразиями. Он описал восемь однородных трехмерных римановых геометрий (три геометрии постоянной кривизны и еще пять, однородных, но не изотропных) и обоснованно предположил, что всякое компактное трехмерное многообразие можно определенным образом разбить на куски, в каждом из которых можно ввести одну из восьми модельных геометрий. Гипотеза геометризации Тёрстона включает в себя в качестве частного случая гипотезу Пуанкаре о том, что связное односвязное ориентируемое трехмерное многообразие гомеоморфно сфере.

В течение 25 лет над программой геометризации трехмерной топологии работало множество математиков. Ими было получено большое количество частных результатов, но в целом гипотеза никак не поддавалась (особое сопротивление оказывали эллиптический и гиперболический случаи).

В цикле из трех препринтов 2002--2003 гг. Г.Перельман предложил доказательство гипотезы геометризации, основанное на исследовании эволюции риманова многообразия под действием потока Риччи. В 2006 году две независимые группы экспертов закончили изучение работ Перельмана, пришли к выводу, что доказательство правильное и опубликовали пространные тексты, в которых восполнены детали, отсутствовавшие в сжатых оригинальных препринтах.

В докладе было дано введение в трехмерную топологию, описана гипотеза геометризации и схематично рассказано о геометрической части рассуждений Г. Перельмана.

Известная Проблема Кадисона - Зингера (ПКЗ, 1959), происходящая на самом деле из одной математической оплошности П.А.Дирака, — одна из наиболее старых нерешенных задач анализа (не говорим о гипотезе Римана...). Вопрос состоит в (недоказанной) единственности продолжения чистых состояний C*-подалгебры алгебры операторов L(H) на всю эту алгебру.

В последние годы было обнаружено, что ПКЗ эквивалентна десятку других нерешенных задач математики и ее приложений — о базисах гильбертова пространства, о замащивании бесконечных матриц, о разбиениях фреймов (frames), об обратимости конечных матриц с лидирующей диагональю, о тригонометрических суммах на канторовых множествах, о комбинаторных свойствах систем векторов в R ⁿ, и другим задачам. Некоторые из эквивалентных формулировок вызывающе элементарны и могут быть сформулированы в качестве упражнений к обычному курсу анализа 5-го семестра. С другой стороны, недавно появились указания на зависимость ПКЗ (и всего узла эквивалентных ей гипотез) от гипотезы континуума (которая, как известно, не зависит от аксиоматики Цермело-Френкеля).

Н. В. Дуров. Арифметическая теория пересечений и гомотопическая алгебра.

Доклад был посвящен изложению общего плана построения арифметической (аракеловской) геометрии и особенно теории пересечений, основанного на построенной докладчиком теории обобщенных колец, и на гомотопической алгебре, которая в данной ситуации успешно заменяет гомологическую алгебру, традиционно применяющуюся для подобных задач. Был подробно рассмотрен один из самых простых, но в то же время интересных примеров -- компактификация спектра кольца целых чисел. На этом примере продемонстрирована ставшая уже классической связь арифметических кратностей пересечений и логарифмов объемов решеток.

О. А. Тараканов. Слабое отслеживание для омега-устойчивых диффеоморфизмов.

Назовем d-псевдотраекторией диффеоморфизма f последовательность таких точек x_k, что dist ( f (x_k ), x_k+1) < d для всех целых k. Диффеоморфизм f обладает свойством слабого отслеживания (СО), если для любого \epsilon существует такое d, что любая d-псевдотраектория f лежит в \epsilon-окрестности некоторой точной траектории f.
В докладе рассмотрена связь свойств СО и омега-устойчивости диффеоморфизмов на гладком многообразии. Известны примеры омега-устойчивых диффеоморфизмов, у которых наличие свойства СО зависит от нетривиальных численных характеристик седловых гиперболических неподвижных точек.
Известно, что неблуждающее множество омега-устойчивого диффеоморфизма f состоит из конечного числа замкнутых, попарно непересекающихся "базисных" множеств, каждое из которых содержит плотную траекторию. Назовем "цепью" длины n последовательность базисных множеств O₁, O₂, ... , O_n, для которых существуют траектории T_i, i=1,...,n-1, стремящиеся к O_i на минус бесконечности и к O_i+1 на плюс бесконечности.
Доказано, что если в фазовой диаграмме омега-устойчивого диффеоморфизма длина любой цепи не превосходит трех, то диффеоморфизм обладает свойством СО.

В члены общества приняты Н. В. Дуров, О. А. Тараканов.

2006 год

---

7 ноября 2006 г.
Совместное заседание Санкт-Петербургского математического общества и Секции математики Дома Ученых
А. И. Генералов. Когомологии конечномерных алгебр: новые методы и результаты

Докладчик в доступной форме рассказал о своих результатах, связанных с вычислениями некоторых когомологических инвариантов конечномерных алгебр, а именно, алгебры Йонеды (это естественный аналог кольца когомологий группы) и алгебры когомологий Хохшильда. Прогресс в этом направлении связан с некоторыми (эмпирическими по природе) приёмами построения проективных резольвент подходящих модулей.

 

 

---

24 октября 2006 г.
Д. В. Трещев (Москва). Диффузия Арнольда: текущее состояние дел.

В 1964 году Арнольд построил пример эволюции переменной "действие" в гамильтоновой системе, близкой к интегрируемой, с выпуклым по "действиям" невозмущенным гамильтонианом. Чириков назвал этот эффект диффузией Арнольда. В докладе рассказано об истории вопроса и современных достижениях.

 

 

---

10 октября 2006

Совместное заседание Санкт-Петербургского математического общества и Секции математики Дома Ученых К 150-летию Андрея Андреевича Маркова ст. (1856 -- 1922) О жизни и творчестве А. А. Маркова рассказали И. А. Ибрагимов, Е. П. Голубева, И. В. Виденский, Н. С. Ермолаева, Л. И. Брылевская. Video Video Video Video. Премия общества «Молодому математику» за 2006 год присуждена Н. В. Дурову за работу «Метод вычисления группы Галуа многочлена с рациональными коэффициентами».

---

29 августа 2006 г.
И. Слоун (Сидней). Снятие проклятия размерности: численное интегрирование в пространствах высокой размерности.

Richard Bellmann coined the phrase "the curse of dimensionality" to describe the extraordinarily rapid increase in the difficulty of most problems as the number of variables increases. A typical problem is numerical multiple integration, where the cost of any integration formula of product type obviously rises exponentially with the number of variables. Nevertheless, problems with hundreds or even thousands of variables do arise, and are now being tackled successfully. In this talk I will describe recent strategies, mathematical settings, and constructions with which suitable integration problems (from mathematical finance, for example) are being successfully handled.

 

 

---

13 июня 2006 г.
И. М. Сонин (Шарлотт, США). Теорема о разбиении - разделении для марковских цепей.

Пусть M — конечное множество, P — стохастическая матрица, U = (Z_n) — семейство марковских цепей (МЦ), задаваемых (M, P) и всевозможными начальными распределениями. Поведение такого семейства — классический результат теории вероятностей, полученный в 30-х годах прошлого века А.Н.Колмогоровым и В.Дёблином. Если стохастическую матрицу P заменить на последовательность стохастических матриц (P_n) и переходы в момент n задавать матрицей P_n, то семейство U становится семейством неоднородных МЦ. Существуют многочисленные результаты, описывающие поведение МЦ из U при определенных предположениях о поведении (P_n). Можно ли что-то сказать об их поведении, если не делать никаких предположений о поведении (P_n) ?

Удивительный ответ на этот вопрос — Да. Его дает теорема, которую мы назвали теоремой о разбиении - разделении (РР-теорема). Она была инициирована небольшой заметкой А.Н. Колмогорова "К теории марковских цепей" (1936), сформулирована и доказана в несколько этапов в статьях Д. Блэквэла (1945), Г. Кона (1971, 1989) и автора (1987, 1991 (Теор. Вероятн.), 1996). Последняя статья содержит краткий обзор других связанных с этой теоремой задач и результатов.

РР-теорема имеет также простую физическую интерпретацию в терминах простейшей модели необратимого процесса — системы чашек, наполненных раствором с различной концентрацией. Необратимость такого процесса проявляется в свойстве мартингальности некоторых случайных последовательностей, связанных с семейством МЦ. Поскольку пространство состояний МЦ конечно, эти мартингальные последовательности в каждый момент времени принимают не более чем | M | значений и обладают некоторыми специальными свойствами, которые не вытекают из классических результатов Д. Дуба.

Мы расскажем также о некоторых новых результатах, но в общем РР-теорема оставляет много открытых вопросов и, по-видимому, может привести к интересным обобщениям не только в теории вероятностей.

---

16 мая 2006 г.
О. К. Шейнман (Москва). Алгебры Кричевера -- Новикова, их представления и приложения в геометрии и математической физике.

В докладе было рассказано об обобщении теории простых алгебр Ли и алгебр Каца -- Муди, начатой в работах Кричевера -- Новикова. Такие алгебры имеют приложения в теории интегрируемых систем и в квантовой теории поля.

 

 

---

13 мая 2006 г.
Cтуденческий математический лекторий
C. Ю. Пилюгин . Сложные структуры в динамике.

---

25 апреля 2006 г.
А. Л. Онищик (Москва). Проблемы классификации комплексных супермногообразий.

Доклад посвящен следующим двум классификационным проблемам.

1) Пусть M --- компактное комплексное многообразие; описать все комплексные аналитические супермногообразия (M, O), редукцией которых является M.

2) Пусть M = G/P --- флаговое однородное пространство полупростой комплексной группы Ли G; описать все однородные комплексные супермногообразия вида (M, O) (в одном специальном случае эта проблема была поставлена Ю.И. Маниным).

Первая задача разбивается на следующие две части: классификация голоморфных векторных расслоений с базой M и классификация комплексных супермногообразий вида (M, O) с фиксированным ассоциированным векторным раслоением E --> M. Первая часть в докладе не обсуждается, а общее решение второй можно дать в терминах 1-когомологий некоторого неабелева комплекса, состоящего из дифференциальных форм на M. В некоторых случаях получено явное решение задачи (например, если M --- неприводимое эрмитово симметрическое пространство, а E --- его кокасательное расслоение). Если M = G/P и супермногообразие (M, O) однородно, то ассоциированное векторное расслоение E --> M является однородным, а дуальное расслоение E^* порождается глобальными голоморфными сечениями. Такие однородные расслоения можно охарактеризовать в терминах определяющих их линейных представлений подгруппы P. В некоторых случаях эти свойства в сочетании с гомологическими методами позволяют дать явное решение задачи.

---

18 апреля 2006 г.
В. Л. Попов (МИАН, Москва). 13-я проблема Гильберта и алгебраические группы.

Насколько можно упростить с помощью алгебраических преобразований общее уравнение
xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n-1x + a_n = 0 ?
При n = 7 оно приводится преобразованием Чирнгауза к виду, зависящему от трех параметров,
y⁷ + p y³ + q y² + r y + 1 = 0.
Возможно ли дальшейшее упрощение, уменьшающее число параметров ?

Имея в виду отрицательный ответ на этот вопрос, Д.Гильберт высказал 100 лет назад предположение, что корень уравнения 7-й степени, как алгебраическая функция его коэффициентов, не представляется в виде конечной суперпозиции функций двух переменных (при n < 7 такое представление возможно). Д.Гильберт ожидал, что в этом утверждении можно ограничиться непрерывными функциями двух переменных, но в 1956-57 гг. А.Н.Колмогоров и В.И.Арнольд показали, что в такой форме утверждение неверно. Однако алгебраическая природа задачи делает более естественным требование алгебраичности рассматриваемых функций двух переменных. Эта точка зрения прослеживается и в более поздней работе Д.Гильберта. Она связана с алгебраическим ядром задачи.

До недавнего времени алгебраический аспект такого рода проблем оставался по существу неисследованным. Однако за последние три года положение изменилось благодаря усилиям З.Рейхштейна, Б.Юсина, Дж.Бюлера и Ж.-П.Серра. Для любой линейной алгебраической группы G (в частности, для любой конечной группы) был введен и исследован новый численный инвариант -- существенная размерность. Он часто оказывается равным минимальному числу параметров, необходимых для описания всех алгебраических объектов определенного типа. Например, если G -- симметрическая группа S_n, то такие объекты -- это расширения полей степени n; если G ортогональная группа O_n, это квадратичные формы от n переменных; если G -- проективная группа PGL_n, это алгебры с делением степени n; если G -- исключительная простая группа типа G₂ (соответственно, типа F₄), это алгебры октав (соответственно, исключительные йордановы алгебры). Существенная размерность имеет геометрический смысл: она связана с главными расслоениями над алгебраическими многообразиями, на которых действует группа G. Для ее вычисления (или оценки) используются методы и результаты современной теории инвариантов, алгебраической геометрии и теории когомологий Галуа. Результаты Ж.-П.Серра и А.Гротендика 50-х годов интерпретируются как классификация групп, существенная размерность которых равна 0. В настоящее время мы знаем о значениях существенной размерности гораздо больше, хотя и далеко не все. В качестве приложений получаются и результаты о невозможности упрощения полиномов с помощью преобразований Чирнгауза.

---

15 апреля 2006 г.
Cтуденческий математический лекторий
C. В. Дужин . О возведении пространств в степень.

---

11 апреля 2006 г.

К 100-летию Исидора Павловича Натансона (1906 -- 1964) На заседании выступили А. М. Вершик, В. С. Виденский, В. В. Жук, Б. М. Макаров, В. Н. Малозёмов, В. Н. Судаков. Видео

---

1 апреля 2006 г.
Cтуденческий математический лекторий
А. М. Вершик . Универсальные графы и задачи, связанные с ними.

---

28 марта 2006 г.
А. Н. Тихомиров. Асимптотическое поведение спектра случайных матриц большой размерности (глобальный режим).

Рассмотрено асимптотическое поведение выборочной спектральной функции распределения случайных матриц большой размерности для вигнеровского ансамбля матриц и ансамбля выборочных ковариационных матриц. Обсуждены вопросы сходимости к полукруговому закону Вигнера и к распределению Марченко -- Пастура для матриц с зависимыми элементами, а также скорость сходимости к указанным законам для матриц с независимыми элементами.

---

14 марта 2006

К 100-летию основателя ленинградской школы теории функций Геннадия Михайловича Голузина (1906 -- 1952) 1. Г. В. Кузьмина. Геннадий Михайлович Голузин и геометрическая теория функций. Доклад был посвящен роли Г. М. Голузина в развитии и распространении основных принципов конформного отображения, параметрического метода Лёвнера, в создании метода вариаций. Была отражена роль результатов Г. М. Голузина в разработке современных методов геометрической теории функций (метод экстремальной метрики, метод симметризации). 2. В. П. Хавин. Замечание об интерполяционной формуле Голузина -- Крылова.

---